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# Números inteiros {.unnumbered}
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::: autores
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Erika Diana Alves de Oliveira^[1](#footnote-4){#footnote-ref-4}^ <br />
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Ricardo Mondini Ferrazza^[2](#footnote-5){#footnote-ref-5}^ <br />
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Thamara Tobaldini^[3](#footnote-6){#footnote-ref-6}^ <br />
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Dulcyene Maria Ribeiro^[4](#footnote-7){#footnote-ref-7}^
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:::
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## Objetivo
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O objetivo desta proposta didática é promover a compreensão das
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operações de adição e subtração de números inteiros. As atividades
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sugeridas utilizam fichas coloridas para representarem quantidades
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positivas e negativas e jogos que envolvem as operações com números
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inteiros. Acreditamos que uma vez compreendidas as regras envolvidas nos
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jogos, ficará mais fácil entender as regras das operações com números
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inteiros, pois os raciocínios são análogos.
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## Introdução
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Quando cursamos a disciplina de Didática Aplicada ao Ensino da
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Matemática, do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade
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Estadual do Oeste do Paraná (Unioeste), elaboramos uma sequência
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didática que tinha como objetivo contribuir com a superação dos
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obstáculos didáticos e epistemológicos presentes no ensino dos números
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inteiros. Na sequência didática elaborada, optamos por trabalhar com
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materiais manipulativos, por compreendermos que o uso de materiais
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didáticos auxilia em um processo de ensino e aprendizagem com
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significado.
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Segundo Lorenzato (2006, p.18), "Material didático (MD) é qualquer
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instrumento útil ao processo de ensino-aprendizagem. Portanto, MD pode
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ser um giz, uma calculadora, um filme, um livro, um quebra-cabeça, um
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jogo \[\...\]". Dentre os MD para o trabalho com números inteiros,
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destacamos o ábaco dos números inteiros que, segundo os Parâmetros
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Curriculares Nacionais, é um recurso interessante para explorar tal
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assunto.
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> \[\...\] para explorar a adição e subtração, outro recurso
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> interessante é o ábaco de inteiros, que consiste em duas varetas
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> verticais fixadas num bloco, nas quais se indica a que vai receber as
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> quantidades positivas e a que vai receber as quantidades negativas,
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> utilizando argolas de cores diferentes para marcar pontos. Esse
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> material permite a visualização de quantidades positivas e negativas e
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> das situações associadas ao zero: varetas com a mesma quantidade de
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> argolas. Ao manipular as argolas nas varetas, os alunos poderão
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> construir regras para o cálculo com os números inteiros [@pcn_1998, p. 99].
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No desenvolvimento da atividade, nos deparamos com uma limitação do
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material ao realizar a operação de subtração, pois os alunos, naquele
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momento, não possuíam conhecimento da regra dos sinais para representar
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a operação no ábaco. O ábaco utilizado possuía duas hastes, uma para as
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quantidades positivas e outra para as negativas. Na adição, as
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quantidades negativas eram representadas todas na haste negativa e as
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quantidades positivas eram representadas todas na haste positiva. Em
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seguida, anulava-se as argolas positivas com as negativas e o resultado
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era representado na haste que, após a anulação, ainda tivesse argolas.
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Na subtração, o aluno necessariamente deveria realizar a troca de sinais
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antes de representar as quantidades nas hastes, no exemplo
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$(-7)-(-2)$, se o aluno seguisse a mesma ideia da adição, os dois
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números deveriam ir à haste negativa, mas na operação de subtração
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devemos representar sete argolas na haste negativa e duas argolas na
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haste positiva, ficando com $(-7)+(2)$. Assim, não conseguimos
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realizar a operação no ábaco sem aplicar a regra dos sinais antes da
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representação.
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Com esses questionamentos e reflexões em mente, analisamos livros e
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artigos desenvolvidos na área que trabalham com o ensino de números
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inteiros, a fim de elaborar uma proposta que corresponda com o ensino
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que esperamos oferecer. Assim, desenvolvemos a presente proposta
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didática.
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## Os obstáculos no ensino de números inteiros
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Estudos como o de Igliori [-@igliori_nocao_1999] e Pommer [-@pommer_1998] apontam que o aluno
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passa por diversas dificuldades no processo de construção do conceito de
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números negativos, decorrentes de obstáculos epistemológicos.
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De acordo com Schubring [-@schubring_desenvolvimento_2009, p. 18], os obstáculos epistemológicos
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"residem na natureza do conhecimento matemático, razão pela qual não
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podem ser evitados, já que são constitutivos dos respectivos
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conhecimentos e identificados na história dos conceitos".
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Para Igliori,
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> A noção de obstáculo pode ser utilizada tanto para analisar a gênese
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> histórica de um conhecimento como o ensino ou a evolução espontânea do
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> aluno. Pode-se, portanto pesquisar os obstáculos epistemológicos a
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> partir de uma análise histórica ou a partir de dificuldades
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> resistentes entre os alunos procurando confrontá-las [@igliori_nocao_1999, p. 98].
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Existem diversos obstáculos epistemológicos no ensino, entre eles
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Igliori [-@igliori_nocao_1999] aponta a noção de números inteiros. Para a autora, a
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aceitação dos números negativos demorou para se consolidar, pois
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enfrentou diversos obstáculos. Segundo Radford [1997 *apud* @igliori_nocao_1999], isso se deu devido às culturas locais e pela concepção de
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ciências, matemática e objetos dessas culturas. Enquanto para Glaser
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[1981 *apud* @igliori_nocao_1999], essa lentidão ocorreu porque os
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historiadores e educadores não deram importância para as dificuldades
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presentes no ensino de números negativos.
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Os PCN identificam como barreiras no ensino de números inteiros a
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atribuição de significado às quantidades negativas. Dentre as
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dificuldades, destaca-se o reconhecimento dos números em dois sentidos a
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partir do zero, o reconhecimento e identificação do zero, origem e do
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zero absoluto e a ideia intuitiva de que na operação de adição o
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resultado é um número maior que o original e que na operação de
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subtração o resultado é sempre menor [@pcn_1998].
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## O uso de jogos no ensino
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Portanto, considerando os obstáculos didáticos e epistemológicos
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oriundos das operações com números inteiros e diante da limitação
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apresentada pelo ábaco de números inteiros (material escolhido na
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primeira proposta didática que elaboramos a respeito do tema), sugerimos
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outra proposta de intervenção que tem como intenção proporcionar um
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ensino significativo, em que o aluno tem papel ativo na sua
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aprendizagem. Para isso, nos baseamos no uso de jogos, no qual buscamos
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a compreensão para então formalizar o conteúdo, de modo a justificar a
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utilização da regra de sinais.
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> A introdução de situações contextualizadas, jogos e materiais
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> manipuláveis, associadas ao uso da linguagem matemática, expressas em
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> diversas possibilidades, viabilizam um trabalho didático que permite
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> superar os obstáculos epistemológicos, ao esclarecer as escolhas
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> realizadas ao longo do percurso de construção do conhecimento
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> matemático envolvendo os Números Inteiros [@pommer_1998 p.4].
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Corroborando com essa concepção, destacamos um trecho da Base Nacional
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Comum Curricular (BNCC) que trata dos recursos didáticos e adverte que
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estes devem servir para levar à reflexão e à sistematização:
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> \[\...\] recursos didáticos como malhas quadriculadas, ábacos, jogos,
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> livros, vídeos, calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares de
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> geometria dinâmica têm um papel essencial para a compreensão e
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> utilização das noções matemáticas. Entretanto, esses materiais
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> precisam estar integrados a situações que levam a reflexão e à
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> sistematização, para que se inicie o processo de formalização [@bncc_2017, p. 276].
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Vale destacar que o jogo não deve ser considerado apenas uma diversão ou
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passatempo, ele deve ser planejado e executado com cuidado, como aponta
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Fiorentini e Miorim [-@fiorentini_miorim_1996, p. 9]:
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> O professor não pode subjugar sua metodologia de ensino a algum tipo
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> de material porque ele é atraente ou lúdico. Nenhum material é válido
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> por si só. Os materiais e seu emprego sempre devem estar em segundo
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> plano. A simples introdução de jogos ou atividades no ensino da
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> matemática não garante uma melhor aprendizagem desta disciplina.
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Considerando o uso de jogos como estratégia de ensino, pela qual o aluno
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desenvolve diversas habilidades, Smole, Diniz e Milani (2007, p. 9)
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afirmam que isso ocorre porque "ao jogar, os alunos têm a oportunidade
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de resolver problemas, investigar e descobrir a melhor jogada; refletir
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e analisar as regras, estabelecendo relações entre os elementos do jogo
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e os conceitos matemáticos".
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Desta forma, o jogo, por ser um momento mais descontraído, pode
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oportunizar um ensino sem pressão, o que facilita para os alunos
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adquirirem os conhecimentos com mais significados e oferece um momento
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de socialização da turma [@smole_diniz_milani_2007].
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> Além disso, o trabalho com jogos é um dos recursos que favorece o
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> desenvolvimento da linguagem, diferentes processos de raciocínio e de
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> interação entre os alunos, uma vez que durante um jogo cada jogador
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> tem a possibilidade de acompanhar o trabalho de todos os outros,
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> defender pontos de vista e aprender a ser crítico e confiante em si
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> mesmo [@smole_diniz_milani_2007, p. 9].
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As atividades propostas nesta unidade didática têm como intuito
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trabalhar as operações com números inteiros, como uma tentativa de
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possibilitar aos alunos do 7° ano a compreensão das regras de sinais e,
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assim, evitar que elas sejam apenas decoradas.
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A primeira atividade consiste na manipulação de fichas, a fim de
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familiarizar o aluno com as regras das operações de adição e subtração
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de fichas. Já a segunda atividade trata-se de um jogo, que tem como
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objetivo alcançar a transição da atividade concreta para a representação
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na linguagem matemática na cartela que acompanha o jogo. Enquanto isso,
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a terceira atividade, que também é um jogo, pretende possibilitar que os
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alunos ultrapassem a ideia de que a operação de adição sempre aumenta e
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que a operação de subtração sempre diminui. Por fim, ao desenvolver a
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proposta didática, esperamos que os alunos compreendam as operações de
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adição e subtração, assim como o motivo da regra dos sinais.
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## Atividade 1: <br />[apresentação das operações por meio das fichas]{.small_h2}
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Neste primeiro momento, apresentaremos as operações de adição e
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subtração através de fichas coloridas. Essas fichas foram confeccionadas
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levando em consideração as ideias do material manipulável conhecido como
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Algeplan, principalmente na função que o sinal negativo realiza diante
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das operações.
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O professor disponibilizará aos alunos 20 quadrados com um dos lados do
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quadrado de cor vermelha e outro azul^[5](#footnote-8){#footnote-ref-8}^
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(@fig-frente_verso_fichas), de forma que, ao virar a ficha, troca-se de cor. Em seguida,
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explicará como realizar as operações de adição e subtração utilizando as
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fichas, assim como a regra de virar a ficha quando se está subtraindo.
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{#fig-frente_verso_fichas fig-alt="Duas fichas: frente e verso, azul e
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vermelho" loading="lazy"}
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### Adição das fichas
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#### Adição de fichas de mesma cor:
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Ao somar fichas de mesma cor, o valor final se dá pela quantidade de
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fichas reunidas. A cor das fichas diz se esse valor é positivo ou
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negativo. Veja o exemplo abaixo:
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{#fig-adicao_fichas_mesma_cor fig-alt="Ilustração com fichas azuis sendo somadas e o mesmo com as
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vermelhas" loading="lazy"}
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#### Adição de fichas de cores diferentes:
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Vale ressaltar que fichas de cores diferentes se anulam, isto é, uma
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azul se anula com uma vermelha. Após a anulação conta-se quantas fichas
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sobraram e verifica-se a sua cor.
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{#fig-adicao_fichas_cor_diferente fig-alt="Ilustração de fichas azuis e vermelhas sendo adicionadas. As fichas
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que se anulam estão com um x" loading="lazy"}
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### Subtração das fichas
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Na subtração o sinal negativo tem a função de virar as fichas de lado e
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trocar o sinal da operação. Observe que após a troca do sinal retorna-se
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aos casos de adição. Veja os exemplos abaixo:
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{#fig-subtracao_caso_1 fig-alt="Ilustração de fichas vermelhas e azuis invertendo o sinal - caso
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1" loading="lazy"}
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{#fig-subtracao_caso_2 fig-alt="Ilustração de fichas vermelhas e azuis invertendo o sinal - caso
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2" loading="lazy"}
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## Atividade 2: <br />jogo cartas das operações
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O jogo *cartas das operações* levará os alunos a realizarem operações
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com as fichas, seguindo as regras apresentadas anteriormente. A
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atividade trabalha a visualização da operação com as fichas e, em
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seguida, a passagem do material manipulável para a linguagem aritmética.
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### Participantes:
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2 jogadores.
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### Objetivo da atividade:
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Explorar e familiarizar o aluno com as regras das operações de adição e
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subtração, utilizando as fichas, além de permitir a associação das
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fichas com os números inteiros.
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### Materiais
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Para cada dupla de jogadores é entregue:
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- 1 dado representando as operações de subtração e adição (@fig-dado);
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- 42 cartas numeradas de 0 a 10 (20 positivas numeradas de 1 a 10, 20
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negativas numeradas de 1 a 10 e 2 cartas com o número 0) com
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representação visual colorida em cada carta, sendo
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azul^[6](#footnote-9){#footnote-ref-9}^ a representação dos números
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negativos e vermelho^[7](#footnote-10){#footnote-ref-10}^ dos
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números positivos, como descrito nas fichas anteriores (@fig-cartas);
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- Cartela 7x4 (@fig-cartela) para anotar resultados de cada rodada.
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{#fig-dado fig-alt="Dado para recortar e dobrar" loading="lazy"}
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{#fig-cartas fig-alt="Cartela com o número zero e mais vinte cartelas. Em cada uma das
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cartelas aparecem retângulos e um número mostrando a quantidade de
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retângulos. Nas que possuem retângulos azuis, o número fica negativo, já
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nas que aparecem retângulo vermelhos,
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não" loading="lazy"}
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{#fig-cartela fig-alt="Tabela com 4 colunas: primeira carta, operação, segunda carta e
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resposta. A tabela possui sete linhas a serem
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preenchidas" loading="lazy"}
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### Como jogar
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1. A cada jogada, as 42 cartas numéricas são embaralhadas.
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2. Cada jogador, na sua vez, deve retirar uma das 42 cartas do monte e
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anotá-la na cartela entregue.
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3. Em seguida, jogar o dado das operações e anotar a operação sorteada.
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4. Novamente no montante de cartas embaralhadas, retirar outra carta e
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anotar na cartela.
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5. Com as informações anotadas na cartela, deve-se fazer o processo da
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conta e anotar o resultado na coluna denominada de respostas.
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6. Então o outro jogador realiza os mesmos passos, retirando a carta e
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lançando o dado.
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7. Repete-se o processo por 7 vezes (ou de acordo com o n° de linhas na
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cartela).
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8. Posteriormente o professor fará a correção para analisar os acertos
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e erros, sendo atribuído um ponto a cada acerto. Para o resultado
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errado da operação não será atribuído ponto algum.
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9. O ganhador será o aluno que possuir o maior número de pontos.
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10. Se houver empate, os alunos empatados jogam de novo, até surgir um
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ganhador.
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## Atividade 3: <br />jogo tabuleiro dos sinais
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O jogo Tabuleiro dos sinais permite ao aluno perceber que a operação de
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adição nem sempre aumenta, assim como a subtração nem sempre diminui,
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uma das dificuldades de compreensão das operações com números inteiros.
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Essa percepção será desenvolvida no decorrer do jogo, em que o aluno é
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posto a competir e tentar criar estratégias para vencer.
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### Participantes:
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2 jogadores.
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### Materiais
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Cada dupla receberá:
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- Peças do jogo: Dado das operações, as fichas coloridas e as cartas
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utilizadas nas atividades 1 e 2;
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- Tabuleiro da Fase 1 (@fig-tabuleiro_fase_1);
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- Tabuleiro da Fase 2 (@fig-tabuleiro_fase_2).
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- Um lápis.
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O tabuleiro do jogo *Trilha dos Sinais* pode ser modificado de acordo
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com as estratégias da aula elaborada pelo professor.
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### Fase 1: tabuleiro 1
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#### Objetivo do jogo
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Explorar e investigar as diversas situações que possam surgir nas
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operações de subtração e adição com números inteiros, por meio do jogo e
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das fichas. O jogo permite que o aluno exercite o que aprendeu, até o
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momento, sobre os números inteiros de forma lúdica.
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{#fig-tabuleiro_fase_1 fig-alt="Tabuleiro com casa redondas (bolhas) com setas e indicação de operação
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feita com os símbolos de positivo e
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negativo" loading="lazy"}
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#### Como jogar
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1. Cada jogador recebe 21 cartas (@fig-cartas).
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2. Cada jogador sorteia uma de suas 21 cartas. Na sequência, somam as
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cartas sorteadas, para preencher o círculo central ou círculo de
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origem, utilizando o lápis.
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3. O jogador que tirou a maior carta inicia a partida e escolhe qual
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lado do tabuleiro prefere jogar.
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4. Para iniciar a partida o jogador irá escolher o caminho que seguirá.
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5. O jogador 1, ao escolher um caminho em que a seta possui sinal
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positivo ou negativo, deve sortear uma carta do monte e então
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realizar a operação proposta pela seta. Por exemplo, se a seta tiver
|
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sinal negativo, o jogador subtrairá o valor da carta sorteada com o
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valor presente no círculo anterior à seta. Veja uma situação
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representada abaixo:
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{#fig-exemplo_1 fig-alt="Exemplo" loading="lazy"}
|
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6. Se a seta escolhida não tiver sinal, o jogador deve jogar o dado de
|
|
operações para descobrir a operação a ser realizada e em seguida
|
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tirar uma carta do monte. Então preencher o círculo indicado pela
|
|
seta com o resultado da operação realizada. Veja uma situação
|
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representada abaixo:
|
|
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|
{#fig-exemplo_2 fig-alt="Exemplo" loading="lazy"}
|
|
|
|
:::{.callout-note title="Observação" style="margin-left: 36px"}
|
|
O aluno pode utilizar as fichas coloridas para realizar essas operações, caso não se sinta confiante de realizar as contas sem utilizar o material.
|
|
:::
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|
7. Agora é a vez do jogador 2. Ele realizará os mesmos passos descritos
|
|
para o jogador 1;
|
|
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|
8. Na próxima operação, os jogadores devem realizar as contas levando
|
|
em consideração o resultado anterior. Por exemplo, se o resultado da
|
|
primeira operação foi 5 e a seta for de soma, terá que realizar a
|
|
seguinte conta: 5 + Carta sorteada e assim por diante.
|
|
9. Após seis jogadas, os jogadores completam o círculo final do
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|
tabuleiro da Fase 1. Quem tiver um número maior no círculo final
|
|
será o vencedor. Se quiserem, os jogadores podem convencionar que o
|
|
vencedor será o que tiver o número menor.
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|
|
|
### Fase 2: tabuleiro 2
|
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|
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#### Objetivo do jogo:
|
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|
|
Mostrar para o aluno que trabalhar apenas com as fichas torna-se
|
|
insuficiente para o jogo, por exemplo, ao subtrair ou somar números
|
|
muito grandes, apontando a necessidade de trabalhar utilizando a regra
|
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dos sinais.
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{#fig-tabuleiro_fase_2 fig-alt="Tabuleiro com casa redondas (bolhas) com setas e indicação de operação
|
|
feita com os símbolos de positivo e
|
|
negativo" loading="lazy"}
|
|
|
|
#### Como jogar
|
|
|
|
1. O andamento do jogo ocorre da mesma maneira que a fase 1. Os
|
|
jogadores escolhem um caminho, se a seta tiver sinal, apenas retiram
|
|
uma carta do monte, e se a seta não tiver sinal os jogadores jogam o
|
|
dado de operações e retiram uma carta do monte.
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2. Neste tabuleiro há seis círculos finais, logo realiza-se o jogo até
|
|
serem finalizados os seis caminhos.
|
|
3. Após completar os seis círculos finais, os jogadores devem somar os
|
|
valores presentes nestes círculos.
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|
|
Caso os alunos estejam utilizando as fichas coloridas para auxiliar nas
|
|
operações, nesse momento a quantidade de fichas será insuficiente para
|
|
as operações com os números presentes nos círculos finais. Portanto, o
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aluno precisa de um momento de análise das relações observadas, para que
|
|
após compreender o funcionamento do jogo dos sinais com as fichas, ele
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possa reformular suas ideias e passar da representação com o material
|
|
para a representação com apenas números e símbolos. Pode ser também que
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|
alguns alunos não utilizem as fichas em momento algum do jogo, fazendo
|
|
apenas a representação numérica.
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Por meio do jogo, espera-se que os alunos possam compreender como os
|
|
valores das cartas, os seus sinais e a operação realizada interferem no
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resultado da partida. Assim, por mais que em uma jogada o jogador tenha
|
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dois números positivos grandes, dependendo da operação realizada, ele
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pode obter um número menor que o esperado.
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## Considerações finais
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Com esta proposta consideramos que a compreensão do aluno sobre as
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regras de sinais presentes nas operações de adição e subtração com
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|
números inteiros será alcançada de maneira significativa, indo além da
|
|
simples memorização, pois os alunos terão a oportunidade de estabelecer
|
|
relações entre as fichas coloridas e a regra dos sinais. Espera-se
|
|
também que se desvinculem dos materiais manipuláveis e adotem uma
|
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linguagem matemática ao expressar suas ideias. Essas ações favorecem que
|
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os alunos exerçam um papel ativo no seu aprendizado.
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Por conta da situação causada pela pandemia da COVID-19, não tivemos a
|
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oportunidade de aplicar a proposta em sala de aula, mas propomos que os
|
|
professores utilizem as atividades com seus alunos, podendo alterá-las
|
|
conforme o contexto escolar.
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|
## Notas
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1. ::: {#footnote-4}
|
|
Acadêmica do curso de Matemática - Unioeste/Cascavel. Bolsista do
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Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid).
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E-mail: <diana2001alves@gmail.com> [↑](#footnote-ref-4)
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2. ::: {#footnote-5}
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Acadêmico do curso de Matemática - Unioeste/Cascavel. Bolsista do
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Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid).
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E-mail: <ricardoferraza7@gmail.com> [↑](#footnote-ref-5)
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3. ::: {#footnote-6}
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Acadêmica do curso de Matemática - Unioeste/Cascavel. Bolsista do
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Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid).
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E-mail: <thamaratobaldini08@outlook.com> [↑](#footnote-ref-6)
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4. ::: {#footnote-7}
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Professora do curso de Matemática -- Unioeste/Cascavel. Coordenadora
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de área do subprojeto Interdisciplinar Matemática/Química do
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Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência da Unioeste
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(Pibid). E-mail: <dulcyene.ribeiro@unioeste.br> [↑](#footnote-ref-7)
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5. ::: {#footnote-8}
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Essas cores, nas tonalidades usadas, funcionam para daltônicos. Se o
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leitor quiser alterá-las, lembre-se de usar *websites* ou *app* que
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simulem os diferentes tipos de daltonismo de forma a não usar cores
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que não são distinguidas por daltônicos. [↑](#footnote-ref-8)
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6. ::: {#footnote-9}
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Veja a nota 5. [↑](#footnote-ref-9)
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7. ::: {#footnote-10}
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Veja a nota 5. [↑](#footnote-ref-10)
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## Referências |