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trigonometria-hiperbolica/aplicacoes.qmd
Rafael Tavares Juliani f269aace6b INÍCIO
2025-09-04 16:07:07 -03:00

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# Capítulo 4: Aplicações {#SECTION00800000000000000000 .unnumbered}
```{=html}
<div id="conteudo-capitulo">
```
:::{.raw_html}
<br />
<br />
<br />
<p class=" unidade" id="4P1" title="4P1">
Alguns alunos acreditam que as funções trigonométricas, principalmente as hiperbólicas, existem apenas para complicar
suas vidas. Uma ferramenta a mais para o professor acabar com suas noites de sono tranquilo. Infelizmente para os
alunos e felizmente para a matemática, essas funções não são descartáveis. Neste capítulo, apresentaremos algumas
situações onde são utilizadas as funções trigonométricas.
</p>
<p class=" unidade" id="4P2" title="4P2">
Os livros de ensino fundamental e médio já apresentam algumas aplicações a respeito destas funções, tais como o cálculo
da altura de obstáculos (torres, edifícios e montanhas), do raio da terra, da distância entre objetos, entre outras
aplicações. São em geral situações onde podem ser utilizados argumentos geométricos com triângulos retângulos.
</p>
<p class=" unidade" id="4P3" title="4P3">
As aplicações que iremos aqui apresentar, são um pouco mais complexas e exigirão a utilização de trigonometria no
contexto das funções. Para uma melhor compreensão destas aplicações recomendamos ao leitor algum conhecimento de
cálculo diferencial e integral, geometria, equações diferenciais e de conceitos físicos. De qualquer forma, em cada
seção tentaremos apresentar, mesmo que sem demonstração, alguns dos resultados ou conceitos que desejamos utilizar.
</p>
:::
## 4.1 Cálculo do número $\pi$ {#SECTION00810000000000000000}
::: {.raw_html}
<p class=" unidade" id="4P4" title="4P4">
O número “pi”, é conhecido da humanidade ainda antes de Cristo. É difícil dizer com precisão quando foi concebido,
mas desde muito cedo, o homem percebeu que dividindo o comprimento de uma circunferência qualquer pelo seu diâmetro,
resultava sempre um mesmo valor.
</p>
<p class=" unidade" id="4P5" title="4P5">
O símbolo atual que designa o número “pi” é a letra grega <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span>, que foi utilizada pela primeira vez em 1706 por
William Jones, mas só foi amplamente aceita quando usada por Euler em 1737. Fato este que não nos impedirá de usar a
notação atual <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span>, mesmo para citações mais antigas.
</p>
<p class=" unidade" id="4P6" title="4P6">
O primeiro matemático a investigar o número <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span> foi Arquimedes (287-212 a.C.). Ele efetivamente calculou uma
aproximação para <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span>. Arquimedes construiu polígonos regulares inscritos e circunscritos em uma circunferência e
calculou o perímetro destes polígonos. Quanto mais lados ele colocava no polígono, melhor a aproximação. Usando um
polígono regular de 96 lados, Arquimedes afirmou que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{10}{70},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P7" title="4P7">
<img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1650.svg" alt="$\displaystyle 3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{10}{70}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P8" style="text-indent: 0 !important;" title="4P8">
ou seja, <!-- MATH
$\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.82ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1651.svg" alt="$\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}$"></span>. A fração <!-- MATH
$\frac{22}{7}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1652.svg" alt="$\frac{22}{7}$"></span> é uma das mais famosas aproximações para <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span>.
Entretanto, um artifício do Cálculo Diferencial e Integral nos mostra que <!-- MATH
$\pi \neq \frac{22}{7}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1653.svg" alt="$\pi \neq \frac{22}{7}$"></span>. Mais precisamente,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
0 < \int_{0}^{1} \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} dx
= \frac{22}{7}-\pi.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P9" title="4P9">
<img style="height: 5.44ex; vertical-align: -2.03ex; " src="img/img1654.svg" alt="$\displaystyle 0 < \int_{0}^{1} \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} dx
= \frac{22}{7}-\pi. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P10" title="4P10">
Arquimedes, assim como outros matemáticos de sua época, acreditava que <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span> fosse um número racional. No entanto, em 1761 o
alemão Johann Lambert provou que <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span> é um número irracional. Isto significa que esse número, assim como todos os
números irracionais, possui infinitas casas decimais que não apresentam comportamento periódico.
</p>
<p class=" unidade" id="4P11" title="4P11">
Devido a este fato, vários matemáticos ficaram ocupados durante algum tempo para calcular o valor de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span> com mais casas decimais corretas. O objetivo desta seção é mostrar como a função arco tangente pode ser utilizada para calcular
casas decimais do número <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P12" title="4P12">
Para iniciarmos, precisamos fazer algumas apresentações a respeito de séries geométricas e séries alternadas. É
recomendado ao leitor alguma habilidade sobre sequências e séries. Para um estudo mais aprofundado sobre estas e outras
séries recomendamos [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Swokowski">8</a>, Swokowski].
</p>
<div><b>Definição <span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">1</span></b> &nbsp;
Dada uma sequência geométrica infinita <!-- MATH
$\{ ar^{n} \}_{n \geq 0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.37ex; vertical-align: -0.70ex; " src="img/img1655.svg" alt="$\{ ar^{n} \}_{n \geq 0}$"></span>, a soma dos termos desta sequência é chamada de série
geométrica. É uma expressão da forma
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + \dots + a r^{n} + \cdots.
\end{displaymath}
-->
<div class="mathdisplay unidade" id="4P13" title="4P13">
<img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1656.svg" alt="$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + \dots + a r^{n} + \cdots. $">
</div></div>
<p class=" unidade" id="4P14" title="4P14">
No caso de a soma infinita existir e ser igual a um número real <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img7.svg" alt="$S$"></span>, então dizemos que a série é convergente, ou
ainda, convergente para <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img7.svg" alt="$S$"></span>. No caso em que a soma não existir então a série é dita divergente. Como casos
particulares, observe que se <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1376.svg" alt="$r = 0$"></span> então a soma é igual a <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img295.svg" alt="$a$"></span> e portanto convergente e se <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img1387.svg" alt="$r = 1$"></span> então a soma é
<!-- MATH
$\infty \cdot a = \infty$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1657.svg" alt="$\infty \cdot a = \infty$"></span> e portanto divergente.
</p>
<div id="4Teo2" title="4Teo2" class="unidade"><a id="teosgeo"><b>Teorema <span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">2</span></b></a> &nbsp;
<i>Uma série geométrica, <!-- MATH
$\sum ar^{n}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1658.svg" alt="$\sum ar^{n}$"></span>, é convergente, se e somente se, <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1659.svg" alt="$\vert r\vert < 1$"></span>. No caso de convergir, o valor desta
soma é precisamente o número <!-- MATH
$S = \frac{a}{1-r}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.58ex; vertical-align: -0.95ex; " src="img/img1660.svg" alt="$S = \frac{a}{1-r}$"></span>.
</i></div>
<div><b>Definição <span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">3</span></b> &nbsp;
Se <!-- MATH
$\{ a_{n} \}_{n \geq 0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.37ex; vertical-align: -0.70ex; " src="img/img1661.svg" alt="$\{ a_{n} \}_{n \geq 0}$"></span> é uma sequência infinita de termos positivos, então uma série alternada é uma soma da
forma,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} a_{n} = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \cdots + (-1)^{n} a_{n} + \cdots
\end{displaymath}
-->
<div class="mathdisplay unidade" id="4P15" title="4P15">
<img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1662.svg" alt="$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} a_{n} = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \cdots + (-1)^{n} a_{n} + \cdots $">
</div></div>
<div id="4Teo4" title="4Teo4" class="unidade"><a id="seriealt"><b>Teorema <span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">4</span></b></a> &nbsp;
<i>Uma série alternada <!-- MATH
$\sum (-1)^{n}a_{n}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1663.svg" alt="$\sum (-1)^{n}a_{n}$"></span> é convergente se os termos <span class="MATH"><img style="height: 1.48ex; vertical-align: -0.41ex; " src="img/img1117.svg" alt="$a_{n}$"></span> formam uma sequência positiva, decrescente,
e que tende a zero.
</i></div>
<p class=" unidade" id="4P16" title="4P16">
O leitor interessado nas demonstrações dos dois últimos teoremas, ou em alguns exemplos de séries alternadas e
geométricas, pode consultar [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Swokowski">8</a>, Swokowski].
</p>
<p class=" unidade" id="4P17" title="4P17">
Consideremos então que <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span> seja uma variável real que assume valores no intervalo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img614.svg" alt="$(-1,1)$"></span>. Então <!-- MATH
$x^{2} \in [0,1)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1664.svg" alt="$x^{2} \in [0,1)$"></span>.
Podemos assim, construir uma série geométrica com primeiro termo igual a 1 e razão <!-- MATH
$r = -x^{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.20ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1665.svg" alt="$r = -x^{2}$"></span>, que de acordo com o teorema <a href="#teosgeo">4.2</a>, é convergente para o número <!-- MATH
$S = \frac{1}{1-r} = \frac{1}{1+x^{2}}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.05ex; vertical-align: -1.06ex; " src="img/img1666.svg" alt="$S = \frac{1}{1-r} = \frac{1}{1+x^{2}}$"></span>, já que <!-- MATH
$|r| = x^{2} < 1$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1667.svg" alt="$\vert r\vert = x^{2} < 1$"></span>.
Temos então que,
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P18" title="4P18"><a id="seriepot"></a><!-- MATH
\begin{equation}
\frac{1}{1+x^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}(x^{2})^{n} = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + \cdots + (-1)^{n}x^{2n} + \cdots,
\end{equation}
-->
<table>
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1668.svg" alt="$\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}(x^{2})^{n} = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + \cdots + (-1)^{n}x^{2n} + \cdots,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">1</span>)
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<p class=" unidade" id="4P19" style="text-indent: 0 !important;" title="4P19">
para qualquer <!-- MATH
$x \in (-1,1)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1277.svg" alt="$x \in (-1,1)$"></span>. Observe que esta é uma série geométrica, mas também é uma série alternada. Podemos ainda
dizer que esta série é uma série de potências de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span>, uma vez que seus termos são potências da variável <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P20" title="4P20">
Lembremos agora que a fração <!-- MATH
$\frac{1}{1+x^{2}}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.05ex; vertical-align: -1.06ex; " src="img/img1669.svg" alt="$\frac{1}{1+x^{2}}$"></span>, vista como função de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span>, é a derivada da função <!-- MATH
$y = {\mathrm {tg}}^{-1}(x)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1670.svg" alt="$y = {\mathrm {tg}}^{-1}(x)$"></span>,
exatamente como vimos na seção (<a href="/trigonometria-hiperbolica/funcoes-trigonometricas-circulares#secdercircinv">1.7</a>). Em outras palavras,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\frac{d}{dx} ({\mathrm {tg}}^{-1} x) = \frac{1}{1+x^{2}},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P21" title="4P21">
<img style="height: 4.69ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1671.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{dx} ({\mathrm {tg}}^{-1} x) = \frac{1}{1+x^{2}}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P22" style="text-indent: 0 !important;" title="4P22">
e isto significa que,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {tg}}^{-1} x = \int \frac{1}{1+x^{2}} dx = \int \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^{2n} \right) dx.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P23" title="4P23">
<img style="height: 6.68ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1672.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}^{-1} x = \int \frac{1}{1+x^{2}} dx = \int \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^{2n} \right) dx. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P24" title="4P24">
Recorremos agora ao teorema que garante a integração de uma série de potências. A demonstração deste resultado também
pode ser encontrada em [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Swokowski">8</a>, Swokowski].
</p>
<div id="4Teo5" title="4Teo5" class="unidade"><a id="teointserie"><b>Teorema <span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">5</span></b></a> &nbsp;
<i>Se uma função <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img299.svg" alt="$f(x)$"></span> possui representação em série de potência de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span>, isto é, <!-- MATH
$f(x) = \sum a_{n} x^{n}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1132.svg" alt="$f(x) = \sum a_{n}x^{n}$"></span> e esta série
for convergente em todo <!-- MATH
$x \in (-c,c) \subset \mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1673.svg" alt="$x \in (-c,c) \subset \mathbb{R}$"></span>, então
</i><!-- MATH
\begin{displaymath}
\int f(x) dx = \int \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \right) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \int a_{n} x^{n} dx \right),
\end{displaymath}
-->
<div class="mathdisplay unidade" id="4P25" title="4P25">
<img style="height: 6.68ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1674.svg" alt="$\displaystyle \int f(x) dx = \int \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \right) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \int a_{n} x^{n} dx \right), $">
</div><i>
para todo <!-- MATH
$x \in (-c,c)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1675.svg" alt="$x \in (-c,c)$"></span>. A convergência da nova série obtida pela integração dos termos, pode ser alterada se <span class="MATH"><img style="height: 1.60ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1676.svg" alt="$x = \pm
c$"></span>.
</i></div>
<p class=" unidade" id="4P26" title="4P26">
Este teorema nos permite então determinar, por integração, a série da função arco tangente. Temos assim,
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P27" title="4P27"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.61ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1677.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}^{-1} x$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.68ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1678.svg" alt="$\displaystyle = \int \frac{1}{1+x^{2}} dx = \int \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^{2n} \right) dx$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1679.svg" alt="$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \int (-1)^{n} x^{2n} dx \right)$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1680.svg" alt="$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{2n+1}$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.06ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1681.svg" alt="$\displaystyle = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \cdots + \frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P28" style="text-indent: 0 !important;" title="4P28">
e, assim, obtemos a igualdade desejada para o nosso objetivo,
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P29" title="4P29"><a id="arctanserie"></a><!-- MATH
\begin{equation}
{\mathrm {tg}}^{-1} x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \frac{x^{9}}{9} - \frac{x^{11}}{11} + \cdots +
\frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots.
\end{equation}
-->
<table>
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 5.06ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1682.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}^{-1} x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \...
...{9}}{9} - \frac{x^{11}}{11} + \cdots +
\frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">2</span>) </td></tr>
</tbody></table>
</div>
<p class=" unidade" id="4P30" title="4P30">
Esta igualdade é válida para todo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span> no intervalo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img614.svg" alt="$(-1,1)$"></span>. O ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img1304.svg" alt="$x = 1$"></span>, deve ser avaliado novamente pois é um dos
extremos do intervalo de convergência. Para ser mais preciso, a série geométrica (<a href="#seriepot">4.1</a>) é divergente no ponto
<span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img1304.svg" alt="$x = 1$"></span>. Mas como o teorema <a href="#teointserie">4.5</a> afirma que a convergência pode ser alterada nos extremos do intervalo,
precisamos de uma nova investigação para nos certificarmos de que a série de interesse (<a href="#arctanserie">4.2</a>), tornou-se
convergente em <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img1304.svg" alt="$x = 1$"></span>. Note que para <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img1304.svg" alt="$x = 1$"></span>, a série em (<a href="#arctanserie">4.2</a>) torna-se,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{2n+1}
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P31" title="4P31">
<img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1683.svg" alt="$\displaystyle 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{2n+1} $">
</div><p class=" unidade" id="4P32" style="text-indent: 0 !important;" title="4P32">
que é uma série alternada que satisfaz as condições do teorema <a href="#seriealt">4.4</a> e portanto é convergente. A série
(<a href="#arctanserie">4.2</a>) também converge se <span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1684.svg" alt="$x = -1$"></span>, mas como este valor de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span> está fora do nosso interesse, deixaremos os
detalhes para o leitor interessado.
</p>
<p class=" unidade" id="4P33" title="4P33">
Segue que a igualdade (<a href="#arctanserie">4.2</a>) é válida também para <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img1304.svg" alt="$x = 1$"></span> e como sabemos que <!-- MATH
${\mathrm {tg}}^{-1} 1 =
\frac{\pi}{4}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.76ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1685.svg" alt="${\mathrm {tg}}^{-1} 1 =
\frac{\pi}{4}$"></span>, então temos a fórmula,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\frac{\pi}{4} = {\mathrm {tg}}^{-1} 1 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \cdots
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P34" title="4P34">
<img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1686.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4} = {\mathrm {tg}}^{-1} 1 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1...
...c{1}{9} - \frac{1}{11} + \cdots
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P35" style="text-indent: 0 !important;" title="4P35">
ou, ainda,
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P36" title="4P36"><a id="piserie"></a><!-- MATH
\begin{equation}
\pi = 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \cdots
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}4}{2n+1}.
\end{equation}
-->
<table >
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1687.svg" alt="$\displaystyle \pi = 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \cdots
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}4}{2n+1}.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">3</span>)</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P37" title="4P37">
Esta expressão, obtida por volta de 1670, é conhecida como fórmula de Gregory-Leibniz. O problema desta fórmula é que a
convergência se dá de forma muito lenta, pois a série em (<a href="#arctanserie">4.2</a>) converge para <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span> no intervalo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img280.svg" alt="$[-1,1]$"></span> e
como se pode ver, o ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img1304.svg" alt="$x = 1$"></span> utilizado para obter a série está no extremo do intervalo. Quanto mais afastado do
centro deste intervalo, mais lenta a convergência. Não vamos discutir aqui os chamados “níveis de convergência” e
então para nós, convergência mais rápida significa obter mais casas decimais corretas com menos termos adicionados.
</p>
<p class=" unidade" id="4P38" title="4P38">
Vamos exemplificar o uso desta fórmula calculando uma aproximação para <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span> usando as 30 primeiras parcelas da soma
infinita.
</p>
<br />
<a id="5610"></a>
<table class="PAD BORDER">
<caption><strong>Tabela 4.1:</strong>
Aproximação de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span> pela série de Gregory-Leibniz.</caption>
<tbody><tr><td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$"></span></td>
<td class="CENTER">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="CENTER"><!-- MATH
$(-1)^{n}\dfrac{4}{2n+1}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 4.69ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1688.svg" alt="$(-1)^{n}\dfrac{4}{2n+1}$"></span></td>
<td class="CENTER">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="CENTER"><!-- MATH
$\approx \, \pi$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.21ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1689.svg" alt="$\approx \, \pi$"></span></td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">0</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">4,0000000</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">4,0000000</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">1</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-1,3333333</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">2,6666667</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">2</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,8000000</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,4666667</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">3</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,5714286</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">2,8952381</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">4</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,4444444</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,3396825</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">5</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,3636364</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">2,9760461</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">6</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,3076923</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,2837384</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">7</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,2666667</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,0170717</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">8</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,2352941</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,2523658</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">9</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,2105263</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,0418395</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">10</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,1904762</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,2323157</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">11</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,1739130</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,0584027</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">12</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,1600000</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,2184027</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">13</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,1481481</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,0702546</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">14</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,1379310</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,2081856</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">15</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,1290323</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,0791533</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">16</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,1212121</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,2003654</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">17</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,1142857</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,0860797</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">18</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,1081081</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,1941878</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">19</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,1025641</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,0916237</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">20</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,0975610</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,1891847</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">21</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,0930233</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,0961614</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">22</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,0888889</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,1850503</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">23</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,0851064</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,0999439</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">24</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,0816327</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,1815766</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">25</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,0784314</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,1031452</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">26</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,0754717</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,1786169</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">27</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,0727273</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,1058896</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">28</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">0,0701754</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,1760650</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">29</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">-0,0677966</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">3,1082684</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER"><a id="tabpi1"></a></td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
</tr>
</tbody></table>
<br />
<p class=" unidade" id="4P39" title="4P39">
Note pela tabela acima, que a primeira casa decimal de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span>, somente estabiliza-se quando já
foram somados 25 termos. Serão necessários 300 termos da série para que a segunda casa decimal seja igual a 4 e 5000
termos para obtermos a terceira casa decimal. Apesar disto, esta fórmula está longe de ser considerada inútil.
</p>
<p class=" unidade" id="4P40" title="4P40">
Algum tempo mais tarde, John Machin descobriu que a fórmula (<a href="#arctanserie">4.2</a>) poderia ser usada para valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span>
menores do que 1, obtendo assim, convergências mais rápidas. O problema é que não podemos simplesmente substituir <!-- MATH
$x =
\frac{1}{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1690.svg" alt="$x =
\frac{1}{2}$"></span>, ou <!-- MATH
$x = \frac{1}{10}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1691.svg" alt="$x = \frac{1}{10}$"></span> em (<a href="#arctanserie">4.2</a>) pois não conhecemos <!-- MATH
${\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{2})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1692.svg" alt="${\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{2})$"></span> ou
<!-- MATH
${\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{10})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1693.svg" alt="${\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{10})$"></span>. É necessário um argumento mais engenhoso.
</p>
<p class=" unidade" id="4P41" title="4P41">
Machin usou a fórmula da soma de arcos para a tangente
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {tg}}(u+v) = \frac{{\mathrm {tg}}u + {\mathrm {tg}}v}{1- {\mathrm {tg}}u {\mathrm {tg}}v},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P42" title="4P42">
<img style="height: 4.77ex; vertical-align: -2.03ex; " src="img/img1694.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}(u+v) = \frac{{\mathrm {tg}}u + {\mathrm {tg}}v}{1- {\mathrm {tg}}u {\mathrm {tg}}v}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P43" style="text-indent: 0 !important;" title="4P43">
e obteve a identidade
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {tg}}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{{\mathrm {tg}}x -1}{1 + {\mathrm {tg}}x},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P44" title="4P44">
<img style="height: 5.00ex; vertical-align: -2.03ex; " src="img/img1695.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{{\mathrm {tg}}x -1}{1 + {\mathrm {tg}}x}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P45" style="text-indent: 0 !important;" title="4P45">
e com <!-- MATH
$x = 4{\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{5})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1696.svg" alt="$x = 4{\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{5})$"></span>, escreveu
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P46" title="4P46"><a id="eqtg4atg"></a><!-- MATH
\begin{equation}
{\mathrm {tg}}\left(4{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{5}) - \frac{\pi}{4}\right)
= \frac{{\mathrm {tg}}(4{\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{5})) -1}{1 + {\mathrm {tg}}(4{\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{5}))}.
\end{equation}
-->
<table >
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 6.06ex; vertical-align: -2.52ex; " src="img/img1697.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}\left(4{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{5}) - \frac{\p...
...^{-1}(\frac{1}{5})) -1}{1 + {\mathrm {tg}}(4{\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{5}))}.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">4</span>) </td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P47" title="4P47">
Usando a fórmula da duplicação de arcos para a tangente, Machin calculou
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {tg}}(2{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{5})) = \frac{2{\mathrm {tg}}({\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{5}))}{1-{\mathrm {tg}}^{2}({\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{5}))}
= \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{5}{12},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P48" title="4P48">
<img style="height: 6.06ex; vertical-align: -2.52ex; " src="img/img1698.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}(2{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{5})) = \frac{2{\mat...
...frac{1}{5}))}
= \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{5}{12}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P49" style="text-indent: 0 !important;" title="4P49">
e depois
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {tg}}(4{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{5})) = \frac{2{\mathrm {tg}}(2{\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{5}))}{1-{\mathrm {tg}}^{2}(2{\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{5}))}
= \frac{2 \cdot \frac{5}{12}}{1-(\frac{5}{12})^{2}} = \frac{120}{119},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P50" title="4P50">
<img style="height: 6.06ex; vertical-align: -2.52ex; " src="img/img1699.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}(4{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{5})) = \frac{2{\mat...
...5}))}
= \frac{2 \cdot \frac{5}{12}}{1-(\frac{5}{12})^{2}} = \frac{120}{119}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P51" style="text-indent: 0 !important;" title="4P51">
que substituído em (<a href="#eqtg4atg">4.4</a>) o levou a
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {tg}}\left(4{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{5}) - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{120}{119}-1}{1+\frac{120}{119}}
= \frac{1}{239}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P52" title="4P52">
<img style="height: 6.06ex; vertical-align: -2.52ex; " src="img/img1700.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}\left(4{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{5}) - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{120}{119}-1}{1+\frac{120}{119}}
= \frac{1}{239}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P53" title="4P53">
Aplicando arco tangente em ambos os membros e reorganizando os termos obtém-se a fórmula
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\frac{\pi}{4} = 4 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{5}) - {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{239}),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P54" title="4P54">
<img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1701.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4} = 4 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{5}) - {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{239}), $">
</div><p class=" unidade" id="4P55" style="text-indent: 0 !important;" title="4P55">
que em 1706 foi usada por Machin para calcular 100 casas decimais para <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P56" title="4P56">
A ideia de Machin, de reescrever <!-- MATH
${\mathrm {tg}}^{-1} 1$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1702.svg" alt="${\mathrm {tg}}^{-1} 1$"></span> em somas de arco tangentes com argumentos menores, motivou outros
matemáticos. A igualdade
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P57" title="4P57"><a id="idtgaddinv"></a><!-- MATH
\begin{equation}
{\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{z} ) = {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{m} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{n} ),
\end{equation}
-->
<table>
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.85ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1703.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{z} ) = {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{m} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{n} ),$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">5</span>)</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P58" style="text-indent: 0 !important;" title="4P58">
com <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1412.svg" alt="$z$"></span>, <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1704.svg" alt="$m$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$"></span> inteiros, se mostrou útil nesta abordagem. Note que se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1412.svg" alt="$z$"></span>, <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1704.svg" alt="$m$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$"></span> são inteiros positivos, então
o fato de a função arco tangente ser crescente obrigará os valores de <!-- MATH
$\frac{1}{m}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1705.svg" alt="$\frac{1}{m}$"></span> e <!-- MATH
$\frac{1}{n}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1706.svg" alt="$\frac{1}{n}$"></span> serem menores do
que <!-- MATH
$\frac{1}{z}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1707.svg" alt="$\frac{1}{z}$"></span>. Isto significa que <!-- MATH
$\frac{1}{m}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1705.svg" alt="$\frac{1}{m}$"></span> e <!-- MATH
$\frac{1}{n}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1706.svg" alt="$\frac{1}{n}$"></span> estarão mais próximos de 0 do que <!-- MATH
$\frac{1}{z}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1707.svg" alt="$\frac{1}{z}$"></span>, o
que torna a convergência mais rápida. Vamos primeiramente estabelecer qual a relação entre <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1412.svg" alt="$z$"></span>, <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1704.svg" alt="$m$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$"></span> para que a
identidade (<a href="#idtgaddinv">4.5</a>) tenha sentido.
</p>
<p class=" unidade" id="4P59" title="4P59">
Aplicando a função tangente em ambos os membros de (<a href="#idtgaddinv">4.5</a>), temos
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P60" title="4P60"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1708.svg" alt="$\displaystyle \frac{1}{z} = {\mathrm {tg}}( {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{z} ))$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 3.98ex; vertical-align: -1.47ex; " src="img/img1709.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {tg}}\left( {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{m} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{n} ) \right)$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.02ex; vertical-align: -2.49ex; " src="img/img1710.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm {tg}}({\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{m})) + {\math...
...c{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}{1 - \frac{1}{m} \frac{1}{n}} = \frac{n+m}{mn - 1},$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P61" style="text-indent: 0 !important;" title="4P61">
e portanto, obtemos que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\frac{1}{z} = \frac{n+m}{mn - 1}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P62" title="4P62">
<img style="height: 4.69ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1711.svg" alt="$\displaystyle \frac{1}{z} = \frac{n+m}{mn - 1}.$">
</div>
<p class=" unidade" id="4P63" title="4P63">
Desta igualdade, organizando os termos e somando <span class="MATH"><img style="height: 2.02ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1712.svg" alt="$z^{2}$"></span> em ambos os membros, vem
<!-- MATH
\begin{displaymath}
mn - nz - mz + z^{2} = 1 + z^{2},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P64" title="4P64">
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1713.svg" alt="$\displaystyle mn - nz - mz + z^{2} = 1 + z^{2}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P65" style="text-indent: 0 !important;" title="4P65">
ou ainda
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P66" title="4P66"><a id="idmnz"></a><!-- MATH
\begin{equation}
(m - z)(n - z) = 1 + z^{2}.
\end{equation}
-->
<table>
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1714.svg" alt="$\displaystyle (m - z)(n - z) = 1 + z^{2}.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">6</span>) </td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P67" title="4P67">
A igualdade (<a href="#idmnz">4.6</a>) estabelece portanto uma relação entre <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1412.svg" alt="$z$"></span>, <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1704.svg" alt="$m$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$"></span>, para que a identidade
(<a href="#idtgaddinv">4.5</a>) faça sentido. Como estamos interessados em desmembrar <!-- MATH
${\mathrm {tg}}^{-1} 1$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1702.svg" alt="${\mathrm {tg}}^{-1} 1$"></span> então faremos <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img1715.svg" alt="$z = 1$"></span> em
(<a href="#idtgaddinv">4.5</a>) e (<a href="#idmnz">4.6</a>), obtendo
<!-- MATH
\begin{displaymath}
(m-1)(n-1) = 2.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P68" title="4P68">
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1716.svg" alt="$\displaystyle (m-1)(n-1) = 2. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P69" title="4P69">
Basta então considerar <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1717.svg" alt="$(m-1)$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1718.svg" alt="$(n-1)$"></span> como sendo dois fatores inteiros do número 2. Escolhemos os fatores 1 e 2.
Colocando <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1719.svg" alt="$(m-1)=1$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1720.svg" alt="$(n-1) = 2$"></span> obtemos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1721.svg" alt="$m = 2$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1722.svg" alt="$n = 3$"></span> e, substituindo em (<a href="#idtgaddinv">4.5</a>), temos a fórmula
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P70" title="4P70"><a id="Eulerserie"></a><!-- MATH
\begin{equation}
\frac{\pi}{4} = {\mathrm {tg}}^{-1} 1 = {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{2} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{3} ),
\end{equation}
-->
<table >
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1723.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4} = {\mathrm {tg}}^{-1} 1 = {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{2} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{3} ),$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">7</span>) </td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P71" style="text-indent: 0 !important;" title="4P71">
que foi obtida por Euler em 1738.
</p>
<p class=" unidade" id="4P72" title="4P72">
Observe que podemos novamente repetir esta ideia para modificar as arco tangentes das frações <!-- MATH
$\frac{1}{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1724.svg" alt="$\frac{1}{2}$"></span> ou
<!-- MATH
$\frac{1}{3}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1725.svg" alt="$\frac{1}{3}$"></span> por outra soma de arco tangentes com argumentos menores ainda, para fazer convergências mais rápidas.
</p>
<p class=" unidade" id="4P73" title="4P73">
Este foi um método muito utilizado por matemáticos e várias fórmulas foram obtidas, conhecidas como fórmulas do tipo
Machin. Algumas delas são:
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P74" title="4P74"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1726.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1727.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{2} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{5} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{8} )$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
(Strassnitzky)</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1726.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1728.svg" alt="$\displaystyle = 2 {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{3} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{7} )$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
(Huton)</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1726.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1729.svg" alt="$\displaystyle = 4 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{5}) - {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{70}) + {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{99})$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
(Euler, em 1764)</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1726.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1730.svg" alt="$\displaystyle = 8 {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{10} ) - {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{239} ) - 4 {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{515} )$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
(Klingenstierna)</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1726.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1731.svg" alt="$\displaystyle = 12 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{18}) + 8 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{57}) - 5 {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{239} )$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
(Gauss)</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1726.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1732.svg" alt="$\displaystyle = 3 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{4}) + {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{20}) + {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{1985})$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
(Loney, em 1893)</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1726.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.89ex; vertical-align: -0.86ex; " src="img/img1733.svg" alt="$\displaystyle = 22 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{38}) + 17 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{7}{601}) + 10 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{7}{8149})$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
(Sebah)</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1726.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.89ex; vertical-align: -0.86ex; " src="img/img1734.svg" alt="$\displaystyle = 44 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{57}) + 7 {\mathrm {tg}}^{-1}(\...
... {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{682}) + 24 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{12943})$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
(Stormer, em 1896)</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1726.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1735.svg" alt="$\displaystyle = 12 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{49}) + 32 {\mathrm {tg}}^{-1}(...
...{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{239}) + 12
{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{110443})$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
(Takano, em 1982)</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P75" title="4P75">
A fórmula de Strassnitzky, é obtida a partir da fórmula de Euler, desmembrando o termo <!-- MATH
${\mathrm {tg}}^{-1}( \frac{1}{3} )$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1736.svg" alt="${\mathrm {tg}}^{-1}( \frac{1}{3} )$"></span>. Vamos
ver os detalhes. Considerando <!-- MATH
$\frac{1}{z} = \frac{1}{3}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1737.svg" alt="$\frac{1}{z} = \frac{1}{3}$"></span> e, portanto, <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1738.svg" alt="$z = 3$"></span>, em (<a href="#idtgaddinv">4.5</a>) e (<a href="#idmnz">4.6</a>),
obtemos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
(m-3)(n-3) = 10.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P76" title="4P76">
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1739.svg" alt="$\displaystyle (m-3)(n-3) = 10. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P77" title="4P77">
Escolhemos agora dois fatores de 10. Considerando os fatores 2 e 5 e colocando <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1740.svg" alt="$(m-3)=2$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1741.svg" alt="$(n-3)=5$"></span>, obtemos <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1742.svg" alt="$m = 5$"></span>
e <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1743.svg" alt="$n = 8$"></span>. Temos portanto
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P78" title="4P78"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1726.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1744.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{2} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{3} )$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1745.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{2} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{5} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{8} ).$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P79" title="4P79">
A fórmula de Huton é obtida, também a partir da fórmula de Euler, desmembrando o termo <!-- MATH
${\mathrm {tg}}^{-1}( \frac{1}{2} )$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1692.svg" alt="${\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{2})$"></span>.
Considerando <!-- MATH
$\frac{1}{z} = \frac{1}{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1746.svg" alt="$\frac{1}{z} = \frac{1}{2}$"></span>, isto é, <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1747.svg" alt="$z=2$"></span> e, substituindo em (<a href="#idtgaddinv">4.5</a>) e (<a href="#idmnz">4.6</a>), temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
(m-2)(n-2) = 5,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P80" title="4P80">
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1748.svg" alt="$\displaystyle (m-2)(n-2) = 5, $">
</div><p class=" unidade" id="4P81" style="text-indent: 0 !important;" title="4P81">
e escolhendo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1749.svg" alt="$(m-2) = 1$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1750.svg" alt="$(n-2) = 5$"></span> temos <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1751.svg" alt="$m = 3$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1752.svg" alt="$n = 7$"></span> e com estes valores
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P82" title="4P82"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1726.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1744.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{2} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{3} )$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1753.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{3} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfr...
... = 2 {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{3} ) +
{\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{7} ).$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P83" title="4P83">
Levando em conta ainda que podemos considerar que os fatores, <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1704.svg" alt="$m$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$"></span>, do número <span class="MATH"><img style="height: 2.20ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1754.svg" alt="$z^{2}+1$"></span> sejam inteiros negativos,
e usando o fato de que arco tangente é uma função ímpar, isto é, <!-- MATH
${\mathrm {tg}}^{-1}(-\frac{1}{n}) = - {\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{n})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1755.svg" alt="${\mathrm {tg}}^{-1}(-\frac{1}{n}) = - {\mathrm {tg}}^{-1}(\frac{1}{n})$"></span>,
conseguimos o cancelamento de termos em algumas substituições. Mais ainda, <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1412.svg" alt="$z$"></span>, <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1704.svg" alt="$m$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$"></span> não precisam ser números
inteiros, já que o desenvolvimento aplicado em (<a href="#idtgaddinv">4.5</a>) é válido para quaisquer argumentos reais no domínio
da função arco tangente.
</p>
<p class=" unidade" id="4P84" title="4P84">
Podemos verificar que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{3}) = {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{7}) + {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{2}{11}),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P85" title="4P85">
<img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1756.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{3}) = {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{7}) + {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{2}{11}), $">
</div><p class=" unidade" id="4P86" style="text-indent: 0 !important;" title="4P86">
e que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{2}{11}) = {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{7}) + {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{3}{79}),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P87" title="4P87">
<img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1757.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{2}{11}) = {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{7}) + {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{3}{79}), $">
</div><p class=" unidade" id="4P88" style="text-indent: 0 !important;" title="4P88">
e substituindo estas duas igualdades na fórmula de Huton, obtém-se
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P89" title="4P89"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.04ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img1726.svg" alt="$\displaystyle \frac{\pi}{4}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1728.svg" alt="$\displaystyle = 2 {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{3} ) + {\mathrm {tg}}^{-1}( \tfrac{1}{7} )$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.86ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1758.svg" alt="$\displaystyle = 3 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{7}) + 2{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{2}{11})$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.87ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1759.svg" alt="$\displaystyle = 5 {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{7}) + {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{3}{79}).$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P90" title="4P90">
Vamos comparar os resultados obtidos na tabela <a href="#tabpi1">4.1</a>, calculando agora uma aproximação de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span> pela série de
Euler (<a href="#Eulerserie">4.7</a>). Fazendo <!-- MATH
$x = \frac{1}{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1690.svg" alt="$x =
\frac{1}{2}$"></span> e <!-- MATH
$x = \frac{1}{3}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1760.svg" alt="$x = \frac{1}{3}$"></span> em (<a href="#arctanserie">4.2</a>), temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{2}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}(2n+1)}, \qquad \text{e} \qquad
{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{3}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{2n+1}(2n+1)}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P91" title="4P91">
<img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1761.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{2}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}(2n+1)},$">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1762.svg" alt="$\displaystyle \qquad
{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{3}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{2n+1}(2n+1)}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P92" title="4P92">
Então temos que,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\pi = 4{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{2}) + 4{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{3})
= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{4}{2^{2n+1}(2n+1)} + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{4}{3^{2n+1}(2n+1)}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P93" title="4P93">
<img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1763.svg" alt="$\displaystyle \pi = 4{\mathrm {tg}}^{-1}(\tfrac{1}{2}) + 4{\mathrm {tg}}^{-1}(\...
...ac{4}{2^{2n+1}(2n+1)} + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{4}{3^{2n+1}(2n+1)}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P94" title="4P94">
Abaixo segue uma tabela de convergência para <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span> com os 15 primeiros termos desta última série.
</p>
<br />
<a id="6070"></a>
<table class="PAD BORDER">
<caption><strong>Tabela 4.2:</strong>
Aproximação de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span> pela série de Euler.</caption>
<tbody><tr><td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$"></span></td>
<td class="RIGHT"><!-- MATH
$S_{1} = \frac{(-1)^{n}4}{2^{2n+1}(2n+1)}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.60ex; vertical-align: -1.32ex; " src="img/img1764.svg" alt="$S_{1} = \frac{(-1)^{n}4}{2^{2n+1}(2n+1)}$"></span></td>
<td class="RIGHT"><!-- MATH
$S_{2} = \frac{(-1)^{n}4}{3^{2n+1}(2n+1)}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.60ex; vertical-align: -1.32ex; " src="img/img1765.svg" alt="$S_{2} = \frac{(-1)^{n}4}{3^{2n+1}(2n+1)}$"></span></td>
<td class="RIGHT"><!-- MATH
$S_{1} + S_{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img1766.svg" alt="$S_{1} + S_{2}$"></span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="CENTER"><!-- MATH
$\approx \pi$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.21ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1767.svg" alt="$\approx \pi$"></span></td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="RIGHT">&nbsp;</td>
<td class="RIGHT">&nbsp;</td>
<td class="RIGHT">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">0</td>
<td class="RIGHT">2,0000000000</td>
<td class="RIGHT">1,3333333333</td>
<td class="RIGHT">3,3333333333</td>
<td class="CENTER">3,3333333333</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">1</td>
<td class="RIGHT">-0,1666666667</td>
<td class="RIGHT">-0,0493827160</td>
<td class="RIGHT">-0,2160493827</td>
<td class="CENTER">3,1172839506</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">2</td>
<td class="RIGHT">0,0250000000</td>
<td class="RIGHT">0,0032921811</td>
<td class="RIGHT">0,0282921811</td>
<td class="CENTER">3,1455761317</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">3</td>
<td class="RIGHT">-0,0044642857</td>
<td class="RIGHT">-0,0002612842</td>
<td class="RIGHT">-0,0047255699</td>
<td class="CENTER">3,1408505618</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">4</td>
<td class="RIGHT">0,0008680556</td>
<td class="RIGHT">0,0000225801</td>
<td class="RIGHT">0,0008906357</td>
<td class="CENTER">3,1417411974</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">5</td>
<td class="RIGHT">-0,0001775568</td>
<td class="RIGHT">-0,0000020527</td>
<td class="RIGHT">-0,0001796096</td>
<td class="CENTER">3,1415615879</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">6</td>
<td class="RIGHT">0,0000375601</td>
<td class="RIGHT">0,0000001930</td>
<td class="RIGHT">0,0000377531</td>
<td class="CENTER">3,1415993410</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">7</td>
<td class="RIGHT">-0,0000081380</td>
<td class="RIGHT">-0,0000000186</td>
<td class="RIGHT">-0,0000081566</td>
<td class="CENTER">3,1415911844</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">8</td>
<td class="RIGHT">0,0000017952</td>
<td class="RIGHT">0,0000000018</td>
<td class="RIGHT">0,0000017970</td>
<td class="CENTER">3,1415929813</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">9</td>
<td class="RIGHT">-0,0000004015</td>
<td class="RIGHT">-0,0000000002</td>
<td class="RIGHT">-0,0000004017</td>
<td class="CENTER">3,1415925796</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">10</td>
<td class="RIGHT">0,0000000908</td>
<td class="RIGHT">0,0000000000</td>
<td class="RIGHT">0,0000000908</td>
<td class="CENTER">3,1415926705</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">11</td>
<td class="RIGHT">-0,0000000207</td>
<td class="RIGHT">-0,0000000000</td>
<td class="RIGHT">-0,0000000207</td>
<td class="CENTER">3,1415926497</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">12</td>
<td class="RIGHT">0,0000000048</td>
<td class="RIGHT">0,0000000000</td>
<td class="RIGHT">0,0000000048</td>
<td class="CENTER">3,1415926545</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">13</td>
<td class="RIGHT">-0,0000000011</td>
<td class="RIGHT">-0,0000000000</td>
<td class="RIGHT">-0,0000000011</td>
<td class="CENTER">3,1415926534</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">14</td>
<td class="RIGHT">0,0000000003</td>
<td class="RIGHT">0,0000000000</td>
<td class="RIGHT">0,0000000003</td>
<td class="CENTER">3,1415926536</td>
</tr>
<tr><td class="CENTER">&nbsp;</td>
<td class="RIGHT">&nbsp;</td>
<td class="RIGHT">&nbsp;</td>
<td class="RIGHT">&nbsp;</td>
<td class="CENTER">&nbsp;</td>
</tr>
</tbody></table>
<br />
<p class=" unidade" id="4P95" title="4P95">
Observe que esta série converge muito mais rápido do que a série (<a href="#piserie">4.3</a>). Com apenas 15
termos somados, temos 9 casas decimais corretas de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span>. Note ainda que na terceira coluna, os valores vão para zero
mais rápido do que na segunda coluna. Como dissemos antes, isto ocorre pois a terceira coluna representa os valores da
série arco tangente de <!-- MATH
$\frac{1}{3}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1725.svg" alt="$\frac{1}{3}$"></span> e <!-- MATH
$\frac{1}{3}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1725.svg" alt="$\frac{1}{3}$"></span> está mais próximo de 0 do que <!-- MATH
$\frac{1}{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1724.svg" alt="$\frac{1}{2}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P96" title="4P96">
Atualmente o trabalho de calcular <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span> é feito com o auxílio de supercomputadores, que trabalham por horas ou até dias
para calcular trilhões de casas decimais. As fórmulas baseadas em arco tangente são bastante utilizadas por
apresentarem apenas números racionais.
</p>
<p class=" unidade" id="4P97" title="4P97">
A questão principal é por que calcular <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span> com trilhões de casas decimais? Sabe-se que umas poucas casas decimais
resolvem todos os problemas práticos de engenharia, física ou matemática. Para ser mais preciso, 39 casas decimais
permitem calcular a medida da circunferência do universo com erro menor do que o diâmetro de um átomo de hidrogênio.
</p>
<p class=" unidade" id="4P98" title="4P98">
Uma aplicação prática é o teste de microprocessadores. Quando um computador ou um processador numérico é desenvolvido,
é necessário saber até que ponto sua eficiência numérica é confiável, e nestes termos, nada melhor do que testá-lo a
calcular um número já conhecido. Calcular dígitos de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span>, já não é mais uma questão de conhecer este número, mas sim
de comprovar o poder dos computadores.
</p>
<p class=" unidade" id="4P99" title="4P99">
Para uma coleção maior de fórmulas envolvendo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span> recomendamos [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Sebah">6</a>, Sebah], [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Eymard">1</a>, Eymard] e também
[<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Weisstein">9</a>, Weisstein]. Comentários e demonstrações sobre outras fórmulas para <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span> podem ser encontrados em
[<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Eymard">1</a>, Eymard].
</p>
:::
## 4.2 Cálculo de integrais {#SECTION00820000000000000000}
::: {.raw_html}
<a id="secinttrig"></a>
<p class=" unidade" id="4P100" title="4P100">
Dentre as aplicações clássicas e imediatas do Cálculo Diferencial e Integral estão o cálculo de áreas de regiões e de
comprimentos de curvas determinadas por funções. Estes cálculos em geral reduzem-se ao cálculo de integrais envolvendo
tais funções. Entretanto, determinar certas integrais não é tarefa tão fácil. Existem várias regras de integração porém
muitas funções não se enquadram nas técnicas tradicionais de integração.
</p>
<p class=" unidade" id="4P101" title="4P101">
Dentre várias situações podemos citar como exemplo
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P102" title="4P102"><a id="integrais"></a><!-- MATH
\begin{equation}
\int \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx \qquad \text{e} \qquad \int \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx,
\end{equation}
-->
<table>
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1768.svg" alt="$\displaystyle \int \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1769.svg" alt="$\displaystyle \qquad \int \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">8</span>) </td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P103" style="text-indent: 0 !important;" title="4P103">
para <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img1123.svg" alt="$r>0$"></span> uma constante e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span> no devido intervalo de definição das funções consideradas.
</p>
<p class=" unidade" id="4P104" title="4P104">
A primeira integral aparece, por exemplo, no cálculo de áreas de regiões circulares. Mais precisamente, dado <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img1123.svg" alt="$r>0$"></span>, a
área <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$"></span> compreendida entre o eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span> e o gráfico do semi-círculo <!-- MATH
$f(x) = \sqrt{r^{2}-x^{2}}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.70ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1770.svg" alt="$f(x) = \sqrt{r^{2}-x^{2}}$"></span>, no intervalo <!-- MATH
$[a,b]
\subset [-r,r]$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1771.svg" alt="$[a,b]
\subset [-r,r]$"></span>, é calculada pela integral definida
<!-- MATH
\begin{displaymath}
A = \int_{a}^{b} \sqrt{r^{2}-x^{2}} dx.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P105" title="4P105">
<img style="height: 5.42ex; vertical-align: -2.01ex; " src="img/img1772.svg" alt="$\displaystyle A = \int_{a}^{b} \sqrt{r^{2}-x^{2}} dx. $">
</div>
<div class="CENTER"><a id="6102"></a>
<table>
<caption class="BOTTOM"><strong>Figura 4.1:</strong>
Área sob a semicircunferência. </caption>
<tbody><tr><td>
<div class="CENTER">
<img src="img/areaint.png" alt="Image areaint">
</div></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<p class=" unidade" id="4P106" title="4P106">
A segunda integral em (<a href="#integrais">4.8</a>) aparece, por exemplo, no cálculo de comprimento de curvas. O comprimento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$"></span> da
curva determinada pelo gráfico de uma função quadrática <!-- MATH
$g(x) = kx^{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1773.svg" alt="$g(x) = kx^{2}$"></span>, para alguma constante <!-- MATH
$k \in \mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img289.svg" alt="$k \in \mathbb{R}$"></span>, no intervalo
<!-- MATH
$[a,b] \subset \mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1774.svg" alt="$[a,b] \subset \mathbb{R}$"></span>, é dado por
<!-- MATH
\begin{displaymath}
C = \int_{a}^{b} \sqrt{1+[g'(x)]^{2}} dx = \frac{1}{r} \int_{a}^{b} \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P107" title="4P107">
<img style="height: 5.42ex; vertical-align: -2.01ex; " src="img/img1775.svg" alt="$\displaystyle C = \int_{a}^{b} \sqrt{1+[g'(x)]^{2}} dx = \frac{1}{r} \int_{a}^{b} \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx, $">
</div><p class=" unidade" id="4P108" style="text-indent: 0 !important;" title="4P108">
sendo que <!-- MATH
$r = \frac{1}{2k}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1776.svg" alt="$r = \frac{1}{2k}$"></span> tornou-se uma constante de ajuste.
</p>
<p class=" unidade" id="4P109" title="4P109">
O aluno de um curso de Cálculo Diferencial e Integral, quando se depara com alguma das integrais em (<a href="#integrais">4.8</a>),
recorre às fórmulas de integração prontas que geralmente figuram nas últimas páginas dos livros. Mas estas fórmulas não
“caíram do céu”. Nesta seção vamos mostrar como as funções trigonométricas podem ajudar a determinar as integrais em
(<a href="#integrais">4.8</a>). Não vamos nos preocupar com o intervalo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1777.svg" alt="$[a,b]$"></span> e então faremos os cálculos considerando as
integrais indefinidas.
</p>
<p class=" unidade" id="4P110" title="4P110">
Para a primeira integral em (<a href="#integrais">4.8</a>), precisaremos antes o cálculo auxiliar da integral
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int \cos^{2}x dx.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P111" title="4P111">
<img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1778.svg" alt="$\displaystyle \int \cos^{2}x dx. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P112" title="4P112">
Usando as identidades
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P113" title="4P113"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1779.svg" alt="$\displaystyle \cos^{2}x + {\mathrm {sen}}^{2}x = 1,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1780.svg" alt="$\displaystyle \cos^{2}x - {\mathrm {sen}}^{2}x = \cos(2x),$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P114" style="text-indent: 0 !important;" title="4P114">
obtemos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\cos^{2}x = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} \cos(2x),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P115" title="4P115">
<img style="height: 2.85ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1781.svg" alt="$\displaystyle \cos^{2}x = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} \cos(2x), $">
</div><p class=" unidade" id="4P116" style="text-indent: 0 !important;" title="4P116">
e, também,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {sen}}^{2}x = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} \cos(2x).
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P117" title="4P117">
<img style="height: 2.85ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1782.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}^{2}x = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} \cos(2x). $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P118" title="4P118">
Integrando temos
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P119" title="4P119"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1783.svg" alt="$\displaystyle \int \cos^{2}x dx$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.82ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1784.svg" alt="$\displaystyle = \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{4} {\mathrm {sen}}(2x),$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1785.svg" alt="$\displaystyle \int {\mathrm {sen}}^{2}x dx$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.82ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1786.svg" alt="$\displaystyle = \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{4} {\mathrm {sen}}(2x).$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P120" title="4P120">
O leitor atento diria agora que esquecemos a constante de integração nas duas expressões acima. Por simplicidade,
durante os cálculos omitiremos a constante de integração, que só será apresentada ao final para não perder
definitivamente o rigor matemático. Agora vamos ao cálculo da primeira integral em (<a href="#integrais">4.8</a>). Considerando que
<!-- MATH
$x \in [-r,r]$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1787.svg" alt="$x \in [-r,r]$"></span>, queremos determinar
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P121" title="4P121">
<img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1788.svg" alt="$\displaystyle \int \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P122" title="4P122">
Fazendo a mudança de variáveis <!-- MATH
$x = r{\mathrm {sen}}t$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.55ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1789.svg" alt="$x = r{\mathrm {sen}}t$"></span>, temos que <!-- MATH
$\frac{dx}{dt} = r \cos t$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1790.svg" alt="$\frac{dx}{dt} = r \cos t$"></span> e, substituindo na integral, temos
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P123" title="4P123"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1768.svg" alt="$\displaystyle \int \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1791.svg" alt="$\displaystyle = \int \sqrt{r^{2}-(r{\mathrm {sen}}t)^{2}} \,\, r \cos t dt$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1792.svg" alt="$\displaystyle = \int r\sqrt{1- {\mathrm {sen}}^{2} t} \,\, r \cos t dt = r^{2} \int \sqrt{\cos^{2} t} \cos t dt.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P124" title="4P124">
Lembremos agora que <!-- MATH
$x \in [-r,r]$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1787.svg" alt="$x \in [-r,r]$"></span> e então a substituição <!-- MATH
$x = r {\mathrm {sen}}t$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.55ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1789.svg" alt="$x = r{\mathrm {sen}}t$"></span> obriga (bijetivamente) <!-- MATH
$t \in
[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1793.svg" alt="$t \in
[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$"></span>. Neste intervalo temos <!-- MATH
$\cos t > 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img1794.svg" alt="$\cos t > 0$"></span> e então
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P125" title="4P125"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1768.svg" alt="$\displaystyle \int \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1795.svg" alt="$\displaystyle = r^{2} \int \sqrt{\cos^{2} t} \cos t dt = r^{2} \int \cos t \cos t dt$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.26ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1796.svg" alt="$\displaystyle = r^{2} \int \cos^{2} t dt = r^{2} (\tfrac{1}{2}t + \tfrac{1}{4} {\mathrm {sen}}(2t)) = \frac{r^{2}}{2}t + \frac{r^{2}}{2} {\mathrm {sen}}t \cos t.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P126" title="4P126">
Voltando à variável original <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span>, temos que <!-- MATH
${\mathrm {sen}}t = \frac{x}{r}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1797.svg" alt="${\mathrm {sen}}t = \frac{x}{r}$"></span>, ou ainda <!-- MATH
$t = {\mathrm {sen}}^{-1}(\frac{x}{r})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.75ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1798.svg" alt="$t = {\mathrm {sen}}^{-1}(\frac{x}{r})$"></span> e, assim,
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P127" title="4P127"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1768.svg" alt="$\displaystyle \int \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.89ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1799.svg" alt="$\displaystyle = \frac{r^{2}}{2}t + \frac{r^{2}}{2} {\mathrm {sen}}t \cos t$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.33ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img1800.svg" alt="$\displaystyle = \frac{r^{2}}{2} {\mathrm {sen}}^{-1}(\tfrac{x}{r}) + \frac{r^{2...
...^{2}}{2} {\mathrm {sen}}^{-1}(\tfrac{x}{r}) + \frac{1}{2} x
\sqrt{r^{2}-x^{2}}.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P128" title="4P128">
Obtemos então a fórmula de integração presente nos livros de Cálculo Diferencial e Integral
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx = \frac{r^{2}}{2} {\mathrm {sen}}^{-1}(\tfrac{x}{r}) + \frac{x}{2} \sqrt{r^{2}-x^{2}} + C,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P129" title="4P129">
<img style="height: 5.26ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1801.svg" alt="$\displaystyle \int \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx = \frac{r^{2}}{2} {\mathrm {sen}}^{-1}(\tfrac{x}{r}) + \frac{x}{2} \sqrt{r^{2}-x^{2}} + C, $">
</div><p class=" unidade" id="4P130" style="text-indent: 0 !important;" title="4P130">
para alguma constante de integração <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P131" title="4P131">
A segunda integral em (<a href="#integrais">4.8</a>) é obtida de forma análoga porém com funções trigonométricas hiperbólicas.
Primeiro vamos determinar a integral
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int \cosh^{2}x dx.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P132" title="4P132">
<img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1802.svg" alt="$\displaystyle \int \cosh^{2}x dx. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P133" title="4P133">
Usando as identidades
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P134" title="4P134"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1803.svg" alt="$\displaystyle \cosh^{2}x - {\mathrm{senh}}^{2}x = 1,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1804.svg" alt="$\displaystyle \cosh^{2}x + {\mathrm{senh}}^{2}x = \cosh(2x),$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P135" style="text-indent: 0 !important;" title="4P135">
temos que
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P136" title="4P136"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.85ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1805.svg" alt="$\displaystyle \cosh^{2}x = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} \cosh(2x),$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.85ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1806.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}^{2}x = \tfrac{1}{2} \cosh(2x) - \tfrac{1}{2},$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P137" style="text-indent: 0 !important;" title="4P137">
e integrando
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P138" title="4P138"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1807.svg" alt="$\displaystyle \int \cosh^{2}x dx = \tfrac{1}{4} {\mathrm{senh}}(2x) + \tfrac{1}{2}x,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1808.svg" alt="$\displaystyle \int {\mathrm{senh}}^{2}x dx = \tfrac{1}{4} {\mathrm{senh}}(2x) - \tfrac{1}{2}x.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P139" title="4P139">
Vamos agora determinar a integral de interesse,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P140" title="4P140">
<img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1809.svg" alt="$\displaystyle \int \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx, $">
</div><p class=" unidade" id="4P141" style="text-indent: 0 !important;" title="4P141">
considerando <!-- MATH
$x \in \mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img1123.svg" alt="$r>0$"></span> uma constante arbitrária. Fazendo a mudança de variáveis <!-- MATH
$x = r {\mathrm{senh}}t$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1810.svg" alt="$x = r {\mathrm{senh}}t$"></span> temos que
<!-- MATH
$\frac{dx}{dt} = r \cosh t$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1811.svg" alt="$\frac{dx}{dt} = r \cosh t$"></span> e então temos
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P142" title="4P142"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1812.svg" alt="$\displaystyle \int \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1813.svg" alt="$\displaystyle = \int \sqrt{r^{2}+(r {\mathrm{senh}}t)^{2}} \,\, r \cosh t dt$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1814.svg" alt="$\displaystyle = \int r \sqrt{1+{\mathrm{senh}}^{2} t} \,\, r \cosh t dt$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1815.svg" alt="$\displaystyle = r^{2} \int \sqrt{1+{\mathrm{senh}}^{2} t} \,\, \cosh t dt = r^{2} \int \sqrt{\cosh^{2} t} \,\, \cosh t dt.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P143" title="4P143">
Lembrando agora que a função seno hiperbólico é bijetiva de <!-- MATH
$\mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$"></span> em <!-- MATH
$\mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$"></span> e então a mudança de variável <!-- MATH
$x = r {\mathrm{senh}}t$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1810.svg" alt="$x = r {\mathrm{senh}}t$"></span>
permite <!-- MATH
$t \in \mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img688.svg" alt="$t \in \mathbb{R}$"></span> e como <!-- MATH
$\cosh t > 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img1816.svg" alt="$\cosh t > 0$"></span> para qualquer <!-- MATH
$t \in \mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img688.svg" alt="$t \in \mathbb{R}$"></span>, temos
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P144" title="4P144"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1812.svg" alt="$\displaystyle \int \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1817.svg" alt="$\displaystyle = r^{2} \int \sqrt{\cosh^{2} t} \,\, \cosh t dt$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1818.svg" alt="$\displaystyle = r^{2} \int \cosh t \,\, \cosh t dt$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.89ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1819.svg" alt="$\displaystyle = r^{2}( \tfrac{1}{4} {\mathrm{senh}}(2t) + \tfrac{1}{2}t) = \frac{r^{2}}{2} {\mathrm{senh}}t \cosh t + \frac{r^{2}}{2}t,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P145" style="text-indent: 0 !important;" title="4P145">
e voltando à variável <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span>, temos <!-- MATH
${\mathrm{senh}}t = \frac{x}{r}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1820.svg" alt="${\mathrm{senh}}t = \frac{x}{r}$"></span>, ou ainda <!-- MATH
$t = {\mathrm{senh}}^{-1}(\frac{x}{r})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1821.svg" alt="$t = {\mathrm{senh}}^{-1}(\frac{x}{r})$"></span> e, assim,
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P146" title="4P146"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1812.svg" alt="$\displaystyle \int \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.89ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1822.svg" alt="$\displaystyle = \frac{r^{2}}{2} {\mathrm{senh}}t \cosh t + \frac{r^{2}}{2}t$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.33ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img1823.svg" alt="$\displaystyle = \frac{r^{2}}{2} \frac{x}{r} \sqrt{1+\frac{x^{2}}{r^{2}}} + \fra...
...{x}{2} \sqrt{r^{2}+x^{2}} + \frac{r^{2}}{2} {\mathrm{senh}}^{-1}(\tfrac{x}{r}).$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P147" title="4P147">
Neste caso, podemos escrever esta igualdade sem o uso explícito da função arco seno hiperbólico. Usando a identidade
<!-- MATH
${\mathrm{senh}}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^{2} + 1})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.70ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1824.svg" alt="${\mathrm{senh}}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^{2} + 1})$"></span>, obtida na seção <a href="/trigonometria-hiperbolica/igualdades-exponenciais-e-logaritmicas#secforlog">3.3</a>, escrevemos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx = \frac{x}{2} \sqrt{r^{2}+x^{2}} + \frac{r^{2}}{2} \ln\left( \tfrac{x}{r} + \sqrt{\tfrac{x^{2}}{r^{2}} + 1} \right),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P148" title="4P148">
<img style="height: 5.45ex; vertical-align: -2.10ex; " src="img/img1825.svg" alt="$\displaystyle \int \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx = \frac{x}{2} \sqrt{r^{2}+x^{2}} + \frac{r^{2}}{2} \ln\left( \tfrac{x}{r} + \sqrt{\tfrac{x^{2}}{r^{2}} + 1} \right), $">
</div><p class=" unidade" id="4P149" style="text-indent: 0 !important;" title="4P149">
e, reorganizando os termos temos, finalmente
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx = \frac{x}{2} \sqrt{r^{2}+x^{2}} + \frac{r^{2}}{2} \ln\left( x + \sqrt{x^{2} + r^{2}} \right) + C,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P150" title="4P150">
<img style="height: 5.26ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1826.svg" alt="$\displaystyle \int \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx = \frac{x}{2} \sqrt{r^{2}+x^{2}} + \frac{r^{2}}{2} \ln\left( x + \sqrt{x^{2} + r^{2}} \right) + C, $">
</div><p class=" unidade" id="4P151" style="text-indent: 0 !important;" title="4P151">
sendo que a constante de integração <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$"></span> absorve o termo constante <!-- MATH
$-\frac{r^{2}}{2} \ln r$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.09ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1827.svg" alt="$-\frac{r^{2}}{2} \ln r$"></span> que desprezamos na
reorganização dos termos.
</p>
<p class=" unidade" id="4P152" title="4P152">
A fórmula de integração
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int \sqrt{x^{2}-r^{2}} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}-r^{2}} - \frac{r^{2}}{2} \ln\left( x + \sqrt{x^{2} - r^{2}} \right) + C,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P153" title="4P153">
<img style="height: 5.26ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img1828.svg" alt="$\displaystyle \int \sqrt{x^{2}-r^{2}} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}-r^{2}} - \frac{r^{2}}{2} \ln\left( x + \sqrt{x^{2} - r^{2}} \right) + C, $">
</div><p class=" unidade" id="4P154" style="text-indent: 0 !important;" title="4P154">
válida para <!-- MATH
$x \geq r > 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.94ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img1829.svg" alt="$x \geq r > 0$"></span>, é obtida de maneira análoga pela substituição <!-- MATH
$x = r \cosh t$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1830.svg" alt="$x = r \cosh t$"></span>. Deixamos agora os detalhes
para o leitor.
</p>
<p class=" unidade" id="4P155" title="4P155">
Podemos ainda observar que em algumas situações, o cálculo da integral <!-- MATH
$\int \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.82ex; vertical-align: -0.74ex; " src="img/img1831.svg" alt="$\int \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$"></span> não é efetuado em
coordenadas cartesianas. Como é sabido, as coordenadas cartesianas dificultam o cálculo de integrais em regiões
circulares. Neste tipo de região é recomendado o uso de coordenadas polares. Mas a conversão de coordenadas cartesianas
para polares (e vice-versa) faz uso das funções trigonométricas também.
</p>
:::
## 4.3 A catenária {#SECTION00830000000000000000}
::: {.raw_html}
<p class=" unidade" id="4P156" title="4P156">
Catenária é o nome da curva que descreve a trajetória de equilíbrio de um cabo flexível, de comprimento fixo e suspenso
por duas hastes. O estudo desta curva desempenha um papel fundamental nos cursos de engenharia.
</p>
<p class=" unidade" id="4P157" title="4P157">
Consideremos então um cabo flexível, sustentado por duas hastes, pelos pontos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img53.svg" alt="$B$"></span>. Fixemos um sistema coordenado
cartesiano com o eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1832.svg" alt="$Ox$"></span> no nível do solo e o eixo <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1833.svg" alt="$Oy$"></span> perpendicular ao solo passando pelo ponto mais baixo do cabo.
O cabo descreve uma curva neste sistema coordenado. Denotemos por <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1201.svg" alt="$y = f(x)$"></span> esta curva. Chamemos <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1834.svg" alt="$C = (0,c)$"></span> o ponto
mais baixo da curva, que está sobre o eixo <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1833.svg" alt="$Oy$"></span>. Tomemos um ponto <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1835.svg" alt="$P = (x,y)$"></span> sobre esta curva e sem perda de
generalidade, consideremos o ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img4.svg" alt="$P$"></span> à direita de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$"></span> no sistema coordenado considerado, isto é, <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1835.svg" alt="$P = (x,y)$"></span> com <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img637.svg" alt="$x>0$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P158" title="4P158">
Considerando a porção do cabo entre os pontos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img4.svg" alt="$P$"></span>, temos as forças <span class="MATH"><img style="height: 2.25ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1836.svg" alt="$\vec{h}$"></span>, <span class="MATH"><img style="height: 2.15ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1837.svg" alt="$\vec{p}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.11ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1838.svg" alt="$\vec{t}$"></span>, atuando
sobre esta porção do cabo. <span class="MATH"><img style="height: 2.15ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1837.svg" alt="$\vec{p}$"></span> é a força peso, que é decomposta nas componentes horizontal e vertical por
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\vec{p} = (0, -\omega L)
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P159" title="4P159">
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1839.svg" alt="$\displaystyle \vec{p} = (0, -\omega L) $">
</div><p class=" unidade" id="4P160" style="text-indent: 0 !important;" title="4P160">
sendo que <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1840.svg" alt="$\omega$"></span> é o peso do cabo por unidade de comprimento e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1841.svg" alt="$L$"></span> é o comprimento do cabo (da porção do cabo
considerada). <span class="MATH"><img style="height: 2.11ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1838.svg" alt="$\vec{t}$"></span> é a força de tração pela direita no ponto <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1835.svg" alt="$P = (x,y)$"></span> e é decomposta nas componentes horizontal
e vertical por
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\vec{t} = (t \cos \theta, t {\mathrm {sen}}\theta),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P161" title="4P161">
<img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1842.svg" alt="$\displaystyle \vec{t} = (t \cos \theta, t {\mathrm {sen}}\theta), $">
</div><p class=" unidade" id="4P162" style="text-indent: 0 !important;" title="4P162">
sendo <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span> o módulo da tensão pela direita e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1843.svg" alt="$\theta$"></span> o ângulo que o vetor tangencial <span class="MATH"><img style="height: 2.11ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1838.svg" alt="$\vec{t}$"></span> faz com a horizontal.
<span class="MATH"><img style="height: 2.25ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1836.svg" alt="$\vec{h}$"></span> é a força de tração pela esquerda no ponto <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1834.svg" alt="$C = (0,c)$"></span>, dada por
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\vec{h} = (-h,0),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P163" title="4P163">
<img style="height: 2.77ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1844.svg" alt="$\displaystyle \vec{h} = (-h,0), $">
</div><p class=" unidade" id="4P164" style="text-indent: 0 !important;" title="4P164">
sendo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img293.svg" alt="$h$"></span> o módulo da tensão pela esquerda.
</p>
<div class="CENTER"><a id="6377"></a>
<table>
<caption class="BOTTOM"><strong>Figura 4.2:</strong>
Forças atuantes no cabo suspenso.</caption>
<tbody><tr><td>
<div class="CENTER">
<img src="img/catenaria.png" alt="Image catenaria">
</div></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<p class=" unidade" id="4P165" title="4P165">
O sistema está em equilíbrio, isto é,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\vec{h} + \vec{p} + \vec{t} = \vec{0},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P166" title="4P166">
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1845.svg" alt="$\displaystyle \vec{h} + \vec{p} + \vec{t} = \vec{0}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P167" style="text-indent: 0 !important;" title="4P167">
e então
<!-- MATH
\begin{displaymath}
(-h,0) + (0,-\omega L) + (t \cos \theta, t {\mathrm {sen}}\theta) = (0,0),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P168" title="4P168">
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1846.svg" alt="$\displaystyle (-h,0) + (0,-\omega L) + (t \cos \theta, t {\mathrm {sen}}\theta) = (0,0), $">
</div><p class=" unidade" id="4P169" style="text-indent: 0 !important;" title="4P169">
donde temos
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P170" title="4P170"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1847.svg" alt="$\displaystyle -h + t \cos \theta = 0$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1848.svg" alt="$\displaystyle -\omega L + t {\mathrm {sen}}\theta = 0.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P171" title="4P171">
Agora, sabemos do cálculo diferencial e integral que a inclinação <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1843.svg" alt="$\theta$"></span>, do vetor tangente à curva em um ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span>,
se relaciona com a curva por
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {tg}}\theta = y',
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P172" title="4P172">
<img style="height: 2.40ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1849.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}\theta = y', $">
</div><p class=" unidade" id="4P173" style="text-indent: 0 !important;" title="4P173">
donde temos que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y' = {\mathrm {tg}}\theta = \frac{{\mathrm {sen}}\theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\omega L}{t}}{\frac{h}{t}} = \frac{\omega L}{h}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P174" title="4P174">
<img style="height: 6.02ex; vertical-align: -2.49ex; " src="img/img1850.svg" alt="$\displaystyle y' = {\mathrm {tg}}\theta = \frac{{\mathrm {sen}}\theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\omega L}{t}}{\frac{h}{t}} = \frac{\omega L}{h}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P175" title="4P175">
Mas note que <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1841.svg" alt="$L$"></span> não é uma constante. <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1851.svg" alt="$L = L(x)$"></span> é o comprimento da curva de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$"></span> a <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img4.svg" alt="$P$"></span> e isto dependerá da posição do
ponto <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1835.svg" alt="$P = (x,y)$"></span>. Sabemos (do cálculo) que o comprimento desta curva pode ser calculado pela fórmula integral,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
L = L(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{1+(y')^{2}} \,\, dx,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P176" title="4P176">
<img style="height: 5.08ex; vertical-align: -2.03ex; " src="img/img1852.svg" alt="$\displaystyle L = L(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{1+(y')^{2}} \,\, dx, $">
</div><p class=" unidade" id="4P177" style="text-indent: 0 !important;" title="4P177">
e, assim,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y' = \frac{\omega L}{h} = \frac{\omega}{h} \int_{0}^{x} \sqrt{1+(y')^{2}} \,\, dx.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P178" title="4P178">
<img style="height: 5.08ex; vertical-align: -2.03ex; " src="img/img1853.svg" alt="$\displaystyle y' = \frac{\omega L}{h} = \frac{\omega}{h} \int_{0}^{x} \sqrt{1+(y')^{2}} \,\, dx. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P179" title="4P179">
Para eliminar a integral do segundo membro, derivamos ambos os membros da igualdade e, usando o Teorema Fundamental do
Cálculo, obtemos
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P180" title="4P180"><a id="catenaria"></a><!-- MATH
\begin{equation}
y'' = \frac{\omega}{h} \sqrt{1+(y')^{2}}.
\end{equation}
-->
<table >
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 4.39ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1854.svg" alt="$\displaystyle y'' = \frac{\omega}{h} \sqrt{1+(y')^{2}}.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">9</span>) </td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P181" title="4P181">
A esta equação diferencial, juntamos as condições iniciais <span class="MATH"><img style="height: 2.34ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1855.svg" alt="$y'(0) = 0$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1856.svg" alt="$y(0) = c$"></span>. Com o intuito de encontrar
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1201.svg" alt="$y = f(x)$"></span>, a função que descreve a curva catenária, vamos resolver esta equação diferencial. Fazendo <span class="MATH"><img style="height: 2.21ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1857.svg" alt="$z=y'$"></span> e
substituindo em (<a href="#catenaria">4.9</a>), temos a equação diferencial de ordem 1,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
z' = \tfrac{\omega}{h} \sqrt{1+z^{2}},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P182" title="4P182">
<img style="height: 3.21ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1858.svg" alt="$\displaystyle z' = \tfrac{\omega}{h} \sqrt{1+z^{2}}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P183" style="text-indent: 0 !important;" title="4P183">
que pode ser reescrita na forma
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\frac{z'}{\sqrt{1+z^{2}}} = \frac{\omega}{h}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P184" title="4P184">
<img style="height: 5.19ex; vertical-align: -2.06ex; " src="img/img1859.svg" alt="$\displaystyle \frac{z'}{\sqrt{1+z^{2}}} = \frac{\omega}{h}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P185" title="4P185">
Integrando em <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span>, obtemos
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P186" title="4P186"><!-- MATH
\begin{equation}
\int \frac{z'}{\sqrt{1+z^{2}}} dx = \frac{\omega}{h} x + k,
\end{equation}
-->
<table >
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 5.19ex; vertical-align: -2.06ex; " src="img/img1860.svg" alt="$\displaystyle \int \frac{z'}{\sqrt{1+z^{2}}} dx = \frac{\omega}{h} x + k,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">10</span>) </td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P187" style="text-indent: 0 !important;" title="4P187">
para alguma constante de integração <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img50.svg" alt="$k$"></span> que ainda será determinada. Para determinar a integral do primeiro membro,
notemos que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int \frac{z'}{\sqrt{1+z^{2}}} dx = \int \frac{\frac{dz}{dx}}{\sqrt{1+z^{2}}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}} dz.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P188" title="4P188">
<img style="height: 5.59ex; vertical-align: -2.06ex; " src="img/img1861.svg" alt="$\displaystyle \int \frac{z'}{\sqrt{1+z^{2}}} dx = \int \frac{\frac{dz}{dx}}{\sqrt{1+z^{2}}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}} dz. $">
</div><p class=" unidade" id="4P189" style="text-indent: 0 !important;" title="4P189">
e levando em conta que a fração <!-- MATH
$\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.29ex; vertical-align: -1.31ex; " src="img/img1862.svg" alt="$\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$"></span> é a derivada da função <!-- MATH
${\mathrm{senh}}^{-1} z$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.14ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1863.svg" alt="${\mathrm{senh}}^{-1} z$"></span> (em relação a <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1412.svg" alt="$z$"></span>),
segue que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm{senh}}^{-1} z = \int \frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}} dz = \frac{\omega}{h}x + k,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P190" title="4P190">
<img style="height: 5.03ex; vertical-align: -2.06ex; " src="img/img1864.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}^{-1} z = \int \frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}} dz = \frac{\omega}{h}x + k, $">
</div><p class=" unidade" id="4P191" style="text-indent: 0 !important;" title="4P191">
para alguma constante <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img50.svg" alt="$k$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P192" title="4P192">
Substituindo a condição inicial <!-- MATH
$z(0) = y'(0) = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.34ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1865.svg" alt="$z(0) = y'(0) = 0$"></span>, obtemos o valor da constante <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img226.svg" alt="$k = 0$"></span>. Voltando para a variável <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img71.svg" alt="$y$"></span>,
e com <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img226.svg" alt="$k = 0$"></span>, obtemos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm{senh}}^{-1}(y') = \frac{\omega}{h} x.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P193" title="4P193">
<img style="height: 4.03ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1866.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}^{-1}(y') = \frac{\omega}{h} x. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P194" title="4P194">
Aplicando a função seno hiperbólico em ambos os membros, temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y' = {\mathrm{senh}}(\tfrac{\omega}{h}x),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P195" title="4P195">
<img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1867.svg" alt="$\displaystyle y' = {\mathrm{senh}}(\tfrac{\omega}{h}x), $">
</div><p class=" unidade" id="4P196" style="text-indent: 0 !important;" title="4P196">
e integrando ambos os membros em relação a <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span>, vem
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y = \frac{h}{\omega} \cosh(\tfrac{\omega}{h} x) + k.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P197" title="4P197">
<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1868.svg" alt="$\displaystyle y = \frac{h}{\omega} \cosh(\tfrac{\omega}{h} x) + k. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P198" title="4P198">
Usando a condição inicial <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1856.svg" alt="$y(0) = c$"></span>, conseguimos o valor da nova constante de integração <!-- MATH
$k = (c-\frac{h}{\omega})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1869.svg" alt="$k = (c-\frac{h}{\omega})$"></span>.
Segue portanto a função procurada
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y = \frac{h}{\omega} \cosh(\tfrac{\omega}{h} x) + \left( c-\tfrac{h}{\omega} \right).
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P199" title="4P199">
<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1870.svg" alt="$\displaystyle y = \frac{h}{\omega} \cosh(\tfrac{\omega}{h} x) + \left( c-\tfrac{h}{\omega} \right). $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P200" title="4P200">
Desta forma, obtemos que a curva catenária é descrita por um cosseno hiperbólico. O termo de translação
<!-- MATH
$(c-\frac{h}{\omega})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1871.svg" alt="$(c-\frac{h}{\omega})$"></span> pode ser manipulado mudando-se a origem do sistema coordenado fixado sobre a curva catenária. Os
fatores <!-- MATH
$\frac{h}{\omega}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1872.svg" alt="$\frac{h}{\omega}$"></span> e <!-- MATH
$\frac{\omega}{h}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1873.svg" alt="$\frac{\omega}{h}$"></span> determinam a abertura da curva.
</p>
:::
## 4.4 Série de Fourier {#SECTION00840000000000000000}
::: {.raw_html}
<p class=" unidade" id="4P201" title="4P201">
O objetivo desta seção é apresentar as séries de Fourier. Jean Baptiste Fourier (1768-1830) foi o primeiro matemático a
investigar séries envolvendo senos e cossenos e, por isso, essas séries levam hoje o seu nome. Ele introduziu esse
assunto em 1822 em seu livro <i>Théorie Analytique de la Chaleur</i> (Teoria analítica do calor).
</p>
<p class=" unidade" id="4P202" title="4P202">
Consideremos uma barra de comprimento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1841.svg" alt="$L$"></span>, com extremos em contato com um material de temperatura constante igual a
zero. Se <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1874.svg" alt="$u(x,t)$"></span> é a temperatura desta barra no ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span> e no instante <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span>, <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> é a distribuição inicial da
temperatura da barra e o fluxo de calor na extremidade da barra é proporcional à temperatura da extremidade, então a
função <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1874.svg" alt="$u(x,t)$"></span> satisfaz as equações
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{l} u_{t} = \alpha^{2} u_{xx} \quad \text{em} \quad (0,L) \times (0,\infty), \\
u(0,t) + u_{x}(0,t) = u(L,t) + u_{x}(L,t) = 0 \quad \text{para} \quad t \geq 0, \\
u(x,0) = f(x) \quad \text{para} \quad x \in [0,L], \end{array} \right.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P203" title="4P203">
<img style="height: 9.60ex; vertical-align: -4.29ex; " src="img/img1875.svg" alt="$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} u_{t} = \alpha^{2} u_{xx} \quad \text{em...
..., \\
u(x,0) = f(x) \quad \text{para} \quad x \in [0,L], \end{array} \right. $">
</div><p class=" unidade" id="4P204" style="text-indent: 0 !important;" title="4P204">
sendo que <!-- MATH
$u_{t} = \frac{\partial u}{\partial t}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1876.svg" alt="$u_{t} = \frac{\partial u}{\partial t}$"></span>, <!-- MATH
$u_{x} = \frac{\partial u}{\partial x}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1877.svg" alt="$u_{x} = \frac{\partial u}{\partial x}$"></span> e <!-- MATH
$u_{xx} =
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.20ex; vertical-align: -0.94ex; " src="img/img1878.svg" alt="$u_{xx} =
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P205" title="4P205">
Esta é uma equação diferencial parcial, sujeita às condições de contorno e condições iniciais. Vamos resolver esta
equação. O método que usaremos é conhecido como método das variáveis separáveis.
</p>
<p class=" unidade" id="4P206" title="4P206">
Este método consiste em supor que a função <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1874.svg" alt="$u(x,t)$"></span> possa ser expressa como um produto de duas funções, uma dependendo
de <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span> e outra dependendo de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span>, isto é, supomos que <!-- MATH
$u(x,t) = \varphi(x) \eta(t)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1879.svg" alt="$u(x,t) = \varphi(x) \eta(t)$"></span>. Substituindo na equação
diferencial parcial, temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\varphi(x) \eta'(t) = \alpha^{2} \eta(t) \varphi''(x),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P207" title="4P207">
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1880.svg" alt="$\displaystyle \varphi(x) \eta'(t) = \alpha^{2} \eta(t) \varphi''(x), $">
</div><p class=" unidade" id="4P208" style="text-indent: 0 !important;" title="4P208">
ou, ainda,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\frac{1}{\alpha^{2}} \frac{\eta'(t)}{\eta(t)} = \frac{\varphi''(x)}{\varphi(x)}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P209" title="4P209">
<img style="height: 5.20ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1881.svg" alt="$\displaystyle \frac{1}{\alpha^{2}} \frac{\eta'(t)}{\eta(t)} = \frac{\varphi''(x)}{\varphi(x)}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P210" title="4P210">
Observe que o membro da direita não depende de <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span>, enquanto o membro da esquerda não depende de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span>. Isto sugere que
na verdade ambos os membros não dependam nem de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span> e nem de <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span>, isto é, são constantes. Fisicamente esta constante é
negativa considerando que a taxa de variação da temperatura está diminuindo. Por uma questão de facilidade no
desenvolvimento dos cálculos, esta constante negativa é escrita como <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1882.svg" alt="$-\lambda$"></span>, com <!-- MATH
$\lambda > 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img1883.svg" alt="$\lambda > 0$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P211" title="4P211">
Temos então
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\frac{1}{\alpha^{2}} \frac{\eta'(t)}{\eta(t)} = -\lambda \qquad \text{e} \qquad \frac{\varphi''(x)}{\varphi(x)} = -\lambda,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P212" title="4P212">
<img style="height: 5.20ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1884.svg" alt="$\displaystyle \frac{1}{\alpha^{2}} \frac{\eta'(t)}{\eta(t)} = -\lambda$">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 5.20ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1885.svg" alt="$\displaystyle \qquad \frac{\varphi''(x)}{\varphi(x)} = -\lambda, $">
</div><p class=" unidade" id="4P213" style="text-indent: 0 !important;" title="4P213">
ou ainda,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\eta'(t) + \lambda\alpha^{2} \eta(t) = 0 \qquad \text{e} \qquad \varphi''(x) + \lambda \varphi(x) = 0.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P214" title="4P214">
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1886.svg" alt="$\displaystyle \eta'(t) + \lambda\alpha^{2} \eta(t) = 0$">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1887.svg" alt="$\displaystyle \qquad \varphi''(x) + \lambda \varphi(x) = 0. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P215" title="4P215">
Temos agora duas equações diferenciais ordinárias, lineares e homogêneas. As soluções são fáceis de serem obtidas e
são, precisamente,
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P216" title="4P216"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1888.svg" alt="$\displaystyle \varphi(x)$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.78ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1889.svg" alt="$\displaystyle = a\cos(\sqrt{\lambda}x) + b{\mathrm {sen}}(\sqrt{\lambda}x)$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1890.svg" alt="$\displaystyle \eta(t)$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.40ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1891.svg" alt="$\displaystyle = ce^{-\lambda \alpha^{2} t}$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P217" style="text-indent: 0 !important;" title="4P217">
para quaisquer coeficientes <!-- MATH
$a,b,c \in \mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1892.svg" alt="$a,b,c \in \mathbb{R}$"></span>. Segue que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
u(x,t) = \left( a\cos(\sqrt{\lambda}x) + b{\mathrm {sen}}(\sqrt{\lambda}x) \right) ce^{-\lambda \alpha^{2} t}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P218" title="4P218">
<img style="height: 3.98ex; vertical-align: -1.47ex; " src="img/img1893.svg" alt="$\displaystyle u(x,t) = \left( a\cos(\sqrt{\lambda}x) + b{\mathrm {sen}}(\sqrt{\lambda}x) \right) ce^{-\lambda \alpha^{2} t}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P219" title="4P219">
Os coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img295.svg" alt="$a$"></span>, <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1894.svg" alt="$b$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1895.svg" alt="$c$"></span> poderão ser determinados ou estimados utilizando as condições iniciais e as condições de
contorno. Aplicando as condições de contorno, e já descartando a função exponencial que nunca se anula, temos que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{l}
ca + cb\sqrt{\lambda} = 0, \\
ca\cos(\sqrt{\lambda}L) + cb{\mathrm {sen}}(\sqrt{\lambda}L) - ca\sqrt{\lambda}{\mathrm {sen}}(\sqrt{\lambda}L) +
cb\sqrt{\lambda}\cos(\sqrt{\lambda}L) = 0.
\end{array} \right.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P220" title="4P220">
<img style="height: 6.51ex; vertical-align: -2.74ex; " src="img/img1896.svg" alt="$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
ca + cb\sqrt{\lambda} = 0, \\
ca\cos(...
...\lambda}L) +
cb\sqrt{\lambda}\cos(\sqrt{\lambda}L) = 0.
\end{array} \right. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P221" title="4P221">
Vamos considerar que <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img1897.svg" alt="$c \neq 0$"></span> pois estamos interessados em uma solução não identicamente nula. Da primeira equação
obtemos que <!-- MATH
$a = -b\sqrt{\lambda}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.38ex; vertical-align: -0.33ex; " src="img/img1898.svg" alt="$a = -b\sqrt{\lambda}$"></span> e, substituindo isso na segunda equação, temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
b(1+\lambda) {\mathrm {sen}}(\sqrt{\lambda}L) = 0.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P222" title="4P222">
<img style="height: 2.78ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1899.svg" alt="$\displaystyle b(1+\lambda) {\mathrm {sen}}(\sqrt{\lambda}L) = 0. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P223" title="4P223">
Mas como <!-- MATH
$\lambda > 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img1883.svg" alt="$\lambda > 0$"></span> então <!-- MATH
$(1+\lambda) \neq 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1900.svg" alt="$(1+\lambda) \neq 0$"></span> e, por isso, também vamos impor que <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img1901.svg" alt="$b \neq 0$"></span>, pois caso contrário,
isto é, se <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1902.svg" alt="$b = 0$"></span> teríamos também <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1903.svg" alt="$a = 0$"></span> e a função <!-- MATH
$\varphi(x)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1904.svg" alt="$\varphi(x)$"></span> se tornaria identicamente nula, fazendo a solução
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1874.svg" alt="$u(x,t)$"></span> identicamente nula. Como estamos interessados em soluções não nulas, vamos impor <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img1901.svg" alt="$b \neq 0$"></span>. Desta forma,
resta que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {sen}}(\sqrt{\lambda}L) = 0,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P224" title="4P224">
<img style="height: 2.78ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1905.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}(\sqrt{\lambda}L) = 0, $">
</div><p class=" unidade" id="4P225" style="text-indent: 0 !important;" title="4P225">
donde
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\sqrt{\lambda} = \frac{k\pi}{L},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P226" title="4P226">
<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1906.svg" alt="$\displaystyle \sqrt{\lambda} = \frac{k\pi}{L}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P227" style="text-indent: 0 !important;" title="4P227">
para qualquer <!-- MATH
$k \in \mathbb{Z}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$"></span>. Já que o sinal do argumento no seno se transmite para o coeficiente <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1894.svg" alt="$b$"></span>, podemos considerar
que <!-- MATH
$k \in \mathbb{N}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1907.svg" alt="$k \in \mathbb{N}$"></span>. Sendo assim, para cada <!-- MATH
$k \in \mathbb{N}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1907.svg" alt="$k \in \mathbb{N}$"></span>, temos uma solução
<!-- MATH
\begin{displaymath}
u_{k}(x,t) = \left( a_{k}\cos(\frac{k\pi}{L}x) +b_{k}{\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) \right) e^{-\lambda \alpha^{2} t},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P228" title="4P228">
<img style="height: 5.24ex; vertical-align: -2.10ex; " src="img/img1908.svg" alt="$\displaystyle u_{k}(x,t) = \left( a_{k}\cos(\frac{k\pi}{L}x) +b_{k}{\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) \right) e^{-\lambda \alpha^{2} t}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P229" style="text-indent: 0 !important;" title="4P229">
para certos coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 1.50ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1909.svg" alt="$a_{k}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1910.svg" alt="$b_{k}$"></span>, que já incorporaram também a constante <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1895.svg" alt="$c$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P230" title="4P230">
Pelo princípio da superposição de soluções para equações homogêneas, temos que a soma destas soluções é ainda uma
solução. Segue que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
u(x,t) = \sum_{k=0}^{\infty} u_{k}(x,t) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( a_{k}\cos(\frac{k\pi}{L}x) +b_{k}{\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) \right) e^{-\lambda \alpha^{2} t}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P231" title="4P231">
<img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1911.svg" alt="$\displaystyle u(x,t) = \sum_{k=0}^{\infty} u_{k}(x,t) = \sum_{k=0}^{\infty} \le...
...L}x) +b_{k}{\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) \right) e^{-\lambda \alpha^{2} t}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P232" title="4P232">
Tudo o que precisamos agora é determinar os coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 1.50ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1909.svg" alt="$a_{k}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1910.svg" alt="$b_{k}$"></span>. Aplicando a condição inicial, temos que
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P233" title="4P233"><a id="serieFf"></a><!-- MATH
\begin{equation}
f(x) = u(x,0) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k}\cos(\frac{k\pi}{L}x) + b_{k}{\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x).
\end{equation}
-->
<table >
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1912.svg" alt="$\displaystyle f(x) = u(x,0) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k}\cos(\frac{k\pi}{L}x) + b_{k}{\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x).$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">11</span>)</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P234" title="4P234">
Os coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 1.50ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1909.svg" alt="$a_{k}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1910.svg" alt="$b_{k}$"></span> procurados, são então coeficientes que satisfazem a identidade (<a href="#serieFf">4.11</a>).
Perguntamos então quais as hipóteses sobre <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> para que a igualdade (<a href="#serieFf">4.11</a>) se verifique para certos
coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 1.50ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1909.svg" alt="$a_{k}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1910.svg" alt="$b_{k}$"></span> reais? Esta questão é respondida pelo teorema <a href="#teoFourier">4.7</a> enunciado mais adiante.
Além disso, se a igualdade (<a href="#serieFf">4.11</a>) se verificar, como são calculados os coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 1.50ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1909.svg" alt="$a_{k}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1910.svg" alt="$b_{k}$"></span>? Esta
questão será comentada agora.
</p>
<p class=" unidade" id="4P235" title="4P235">
Para mostrar como são calculados estes coeficientes, precisamos estudar algumas propriedades a respeito do conjunto de
funções
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\mathcal{F} = \left\{ \cos(\frac{m\pi}{L}x); \quad m \in \mathbb{N}\right\} \cup \left\{ {\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x); \quad n \in \mathbb{N}\right\}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P236" title="4P236">
<img style="height: 4.06ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1913.svg" alt="$\displaystyle \mathcal{F} = \left\{ \cos(\frac{m\pi}{L}x); \quad m \in \mathbb{...
...\cup \left\{ {\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x); \quad n \in \mathbb{N}\right\}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P237" title="4P237">
Consideremos o conjunto <!-- MATH
$\mathcal{C} = C([-L,L]; \mathbb{R})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1914.svg" alt="$\mathcal{C} = C([-L,L]; \mathbb{R})$"></span>, das funções contínuas e definidas no intervalo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1915.svg" alt="$[-L,L]$"></span> com
valores em <!-- MATH
$\mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$"></span>. Este conjunto munido da soma de funções
<!-- MATH
\begin{displaymath}
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P238" title="4P238">
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1916.svg" alt="$\displaystyle (f+g)(x) = f(x) + g(x) $">
</div><p class=" unidade" id="4P239" style="text-indent: 0 !important;" title="4P239">
e do produto por escalar <!-- MATH
$a \in \mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img284.svg" alt="$a \in \mathbb{R}$"></span>,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
(af)(x) = a f(x),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P240" title="4P240">
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1917.svg" alt="$\displaystyle (af)(x) = a f(x), $">
</div><p class=" unidade" id="4P241" style="text-indent: 0 !important;" title="4P241">
é um espaço vetorial real. O funcional bilinear <!-- MATH
$\langle \cdot, \cdot \rangle: \mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1918.svg" alt="$\langle \cdot, \cdot \rangle: \mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathbb{R}$"></span>
dado por
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\langle f, g \rangle = \int_{-L}^{L} f(x) g(x) dx
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P242" title="4P242">
<img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1919.svg" alt="$\displaystyle \langle f, g \rangle = \int_{-L}^{L} f(x) g(x) dx $">
</div><p class=" unidade" id="4P243" style="text-indent: 0 !important;" title="4P243">
define um produto interno em <!-- MATH
$\mathcal{C}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.63ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1920.svg" alt="$\mathcal{C}$"></span>. A respeito deste produto interno vemos que o conjunto <!-- MATH
$\mathcal{F}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.63ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1921.svg" alt="$\mathcal{F}$"></span> é um
conjunto de vetores ortogonais no espaço vetorial <!-- MATH
$\mathcal{C} = C([-L,L]; \mathbb{R})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1914.svg" alt="$\mathcal{C} = C([-L,L]; \mathbb{R})$"></span>. Provaremos isto em forma de teorema.
</p>
<div id="4Teo6" title="4Teo6" class="unidade"><a id="teoFLI"><b>Teorema <span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">6</span></b></a> &nbsp;
<i>O conjunto de funções
</i><!-- MATH
\begin{displaymath}
\mathcal{F} = \left\{ \cos(\frac{m\pi}{L}x); \quad m \in \mathbb{N}\right\} \cup \left\{ {\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x); \quad n \in \mathbb{N}\right\}.
\end{displaymath}
-->
<div class="mathdisplay unidade" id="4P244" title="4P244">
<img style="height: 4.06ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1913.svg" alt="$\displaystyle \mathcal{F} = \left\{ \cos(\frac{m\pi}{L}x); \quad m \in \mathbb{...
...\cup \left\{ {\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x); \quad n \in \mathbb{N}\right\}. $">
</div><p class=" unidade" id="4P245" style="text-indent: 0 !important;" title="4P245"><i>
é um conjunto de funções duas a duas ortogonais do espaço vetorial <!-- MATH
$\mathcal{C} = C([-L,L]; \mathbb{R})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1914.svg" alt="$\mathcal{C} = C([-L,L]; \mathbb{R})$"></span>.
</i></p></div>
<div><i>Prova</i>.
Para quaisquer <!-- MATH
$m,n \in \mathbb{N}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1922.svg" alt="$m,n \in \mathbb{N}$"></span>, temos que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int_{-L}^{L} \cos(\frac{m\pi}{L}x) {\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) dx = 0
\end{displaymath}
-->
<div class="mathdisplay unidade" id="4P246" title="4P246">
<img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1923.svg" alt="$\displaystyle \int_{-L}^{L} \cos(\frac{m\pi}{L}x) {\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) dx = 0 $">
</div><p class=" unidade" id="4P247" style="text-indent: 0 !important;" title="4P247">
já que o integrando é uma função ímpar.
</p>
<p class=" unidade" id="4P248" title="4P248">
Se <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img1924.svg" alt="$m \neq n$"></span> então
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P249" title="4P249"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1925.svg" alt="$\displaystyle \int_{-L}^{L}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.03ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1926.svg" alt="$\displaystyle \cos(\frac{m\pi}{L}x) \cos(\frac{n\pi}{L}x) dx$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1927.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \cos(\frac{m\pi}{L}x+\frac{n\pi}{L}x) + \cos(\frac{m\pi}{L}x-\frac{n\pi}{L}x) dx$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.92ex; vertical-align: -2.33ex; " src="img/img1928.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{2} \left[ \frac{L}{(m+n)\pi}{\mathrm {sen}}(\frac{m\pi...
...(m-n)\pi}{\mathrm {sen}}(\frac{m\pi}{L}x-\frac{n\pi}{L}x) \right]_{-L}^{L} = 0,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P250" style="text-indent: 0 !important;" title="4P250">
pois a função seno se anula para argumentos múltiplos inteiros de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $"></span>. Da mesma forma, ainda para <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img1924.svg" alt="$m \neq n$"></span>,
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P251" title="4P251"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1925.svg" alt="$\displaystyle \int_{-L}^{L}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.03ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1929.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}(\frac{m\pi}{L}x) {\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) dx$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1930.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \cos(\frac{m\pi}{L}x-\frac{n\pi}{L}x) - \cos(\frac{m\pi}{L}x+\frac{n\pi}{L}x) dx$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.92ex; vertical-align: -2.33ex; " src="img/img1931.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{2} \left[ \frac{L}{(m-n)\pi}{\mathrm {sen}}(\frac{m\pi...
...(m+n)\pi}{\mathrm {sen}}(\frac{m\pi}{L}x+\frac{n\pi}{L}x) \right]_{-L}^{L} = 0,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P252" style="text-indent: 0 !important;" title="4P252">
e isto termina a prova.
<span style="float: right"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img193.svg" alt="$\qedsymbol$"></span>
</p>
</div>
<p class=" unidade" id="4P253" title="4P253">
Em relação ao conjunto <!-- MATH
$\mathcal{F}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.63ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1921.svg" alt="$\mathcal{F}$"></span> do teorema anterior, é importante provar que o produto interno de uma destas
funções com ela mesma não se anula. Faremos isto agora pois precisaremos destes resultados mais tarde. Usando as
fórmulas para as integrais de seno e cosseno quadrado, obtidas na seção <a href="aplicacoes#secinttrig">4.2</a>, temos
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P254" title="4P254"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1932.svg" alt="$\displaystyle \int_{-L}^{L} \cos(\frac{m\pi}{L}x) \cos(\frac{m\pi}{L}x) dx$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1933.svg" alt="$\displaystyle = \int_{-L}^{L} \cos^{2}(\frac{m\pi}{L}x) dx$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.19ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1934.svg" alt="$\displaystyle = \frac{L}{m\pi} \int_{-m\pi}^{m\pi} \cos^{2}u du$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.57ex; vertical-align: -2.33ex; " src="img/img1935.svg" alt="$\displaystyle = \frac{L}{m\pi} \left[ \frac{1}{2}u + \frac{1}{4} {\mathrm {sen}}(2u) \right]_{-m\pi}^{m\pi} = L,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P255" style="text-indent: 0 !important;" title="4P255">
desde que <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img1936.svg" alt="$m \neq 0$"></span>. Se <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1937.svg" alt="$m = 0$"></span> então claramente
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int_{-L}^{L} \cos(\frac{m\pi}{L}x) \cos(\frac{m\pi}{L}x) dx = \int_{-L}^{L} dx = 2L.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P256" title="4P256">
<img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1938.svg" alt="$\displaystyle \int_{-L}^{L} \cos(\frac{m\pi}{L}x) \cos(\frac{m\pi}{L}x) dx = \int_{-L}^{L} dx = 2L. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P257" title="4P257">
Da mesma forma temos que
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P258" title="4P258"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1939.svg" alt="$\displaystyle \int_{-L}^{L} {\mathrm {sen}}(\frac{m\pi}{L}x) {\mathrm {sen}}(\frac{m\pi}{L}x) dx$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1940.svg" alt="$\displaystyle = \int_{-L}^{L} {\mathrm {sen}}^{2}(\frac{m\pi}{L}x) dx$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.19ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1941.svg" alt="$\displaystyle = \frac{L}{m\pi} \int_{-m\pi}^{m\pi} {\mathrm {sen}}^{2}u du$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.57ex; vertical-align: -2.33ex; " src="img/img1942.svg" alt="$\displaystyle = \frac{L}{m\pi} \left[ \frac{1}{2}u - \frac{1}{4} {\mathrm {sen}}(2u) \right]_{-m\pi}^{m\pi} = L,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P259" style="text-indent: 0 !important;" title="4P259">
desde que <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img1936.svg" alt="$m \neq 0$"></span>. O caso <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1937.svg" alt="$m = 0$"></span> fica
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int_{-L}^{L} {\mathrm {sen}}(\frac{m\pi}{L}x) {\mathrm {sen}}(\frac{m\pi}{L}x) dx = \int_{-L}^{L} 0 dx = 0.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P260" title="4P260">
<img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1943.svg" alt="$\displaystyle \int_{-L}^{L} {\mathrm {sen}}(\frac{m\pi}{L}x) {\mathrm {sen}}(\frac{m\pi}{L}x) dx = \int_{-L}^{L} 0 dx = 0. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P261" title="4P261">
Vamos agora obter as expressões para os coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 1.50ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1909.svg" alt="$a_{k}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1910.svg" alt="$b_{k}$"></span>, admitindo que a função <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> possa ser escrita na
forma da série (<a href="#serieFf">4.11</a>), ou ainda,
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P262" title="4P262"><a id="serieFfa0"></a><!-- MATH
\begin{equation}
f(x) = a_{0} + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k}\cos(\frac{k\pi}{L}x) +b_{k}{\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) \right).
\end{equation}
-->
<table >
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 6.49ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1944.svg" alt="$\displaystyle f(x) = a_{0} + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k}\cos(\frac{k\pi}{L}x) +b_{k}{\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) \right).$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">12</span>) </td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P263" title="4P263">
Primeiramente vamos obter <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1122.svg" alt="$a_{0}$"></span>. Integrando (<a href="#serieFfa0">4.12</a>) em <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span>, de <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1945.svg" alt="$-L$"></span> a <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1841.svg" alt="$L$"></span>, obtemos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int_{-L}^{L} f(x) dx = \int_{-L}^{L} a_{0} + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k}\cos(\frac{k\pi}{L}x) +b_{k}{\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) \right) dx.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P264" title="4P264">
<img style="height: 6.49ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1946.svg" alt="$\displaystyle \int_{-L}^{L} f(x) dx = \int_{-L}^{L} a_{0} + \sum_{k=1}^{\infty}...
... a_{k}\cos(\frac{k\pi}{L}x) +b_{k}{\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) \right) dx. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P265" title="4P265">
Como o somatório acima converge uniformemente então podemos integrar termo a termo. Temos assim,
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P266" title="4P266"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1947.svg" alt="$\displaystyle \int_{-L}^{L} f(x) dx$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.49ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1948.svg" alt="$\displaystyle = \int_{-L}^{L} a_{0} dx + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k} \int_...
...k\pi}{L}x) dx + b_{k} \int_{-L}^{L} {\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) dx \right)$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1949.svg" alt="$\displaystyle = \int_{-L}^{L} a_{0} dx = 2La_{0},$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P267" style="text-indent: 0 !important;" title="4P267">
já que as integrais trigonométricas do somatório se anulam. Temos portanto que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
a_{0} = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) dx.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P268" title="4P268">
<img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1950.svg" alt="$\displaystyle a_{0} = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) dx. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P269" title="4P269">
Para obter cada um dos demais termos <span class="MATH"><img style="height: 1.48ex; vertical-align: -0.41ex; " src="img/img1117.svg" alt="$a_{n}$"></span>, para <!-- MATH
$n=1,2,3,\dots$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1951.svg" alt="$n=1,2,3,\dots$"></span>, tomamos o produto interno de (<a href="#serieFfa0">4.12</a>) com
a respectiva função <!-- MATH
$\cos(\frac{n\pi}{L}x)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1952.svg" alt="$\cos(\frac{n\pi}{L}x)$"></span>. Temos então
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P270" title="4P270"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1953.svg" alt="$\displaystyle \int_{-L}^{L} f(x)\cos(\frac{n\pi}{L}x) dx$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.67ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1954.svg" alt="$\displaystyle = \int_{-L}^{L} \left( a_{0} + \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\cos(\fra...
...i}{L}x) +b_{k}{\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) \right) \cos(\frac{n\pi}{L}x) dx$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.49ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1955.svg" alt="$\displaystyle = \int_{-L}^{L} a_{0}\cos(\frac{n\pi}{L}x) dx + \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \int_{-L}^{L} \cos(\frac{k\pi}{L}x) \cos(\frac{n\pi}{L}x) dx$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.49ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1956.svg" alt="$\displaystyle \qquad \qquad + \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \int_{-L}^{L} {\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) \cos(\frac{n\pi}{L}x) dx.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P271" title="4P271">
De acordo com os resultados do teorema <a href="#teoFLI">4.6</a>, as integrais do último membro se anulam todas, exceto a integral
em cossenos quando <!-- MATH
$k = n \neq 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img1957.svg" alt="$k = n \neq 0$"></span>. Segue que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int_{-L}^{L} f(x)\cos(\frac{n\pi}{L}x) dx = a_{n} \int_{-L}^{L} \cos(\frac{n\pi}{L}x) \cos(\frac{n\pi}{L}x) dx = a_{n} L,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P272" title="4P272">
<img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1958.svg" alt="$\displaystyle \int_{-L}^{L} f(x)\cos(\frac{n\pi}{L}x) dx = a_{n} \int_{-L}^{L} \cos(\frac{n\pi}{L}x) \cos(\frac{n\pi}{L}x) dx = a_{n} L, $">
</div><p class=" unidade" id="4P273" style="text-indent: 0 !important;" title="4P273">
e, portanto,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
a_{n} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi}{L}x) dx,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P274" title="4P274">
<img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1959.svg" alt="$\displaystyle a_{n} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi}{L}x) dx, $">
</div><p class=" unidade" id="4P275" style="text-indent: 0 !important;" title="4P275">
para todo <!-- MATH
$n = 1,2,3, \dots$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1951.svg" alt="$n=1,2,3,\dots$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P276" title="4P276">
Analogamente obtemos cada um dos coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 1.96ex; vertical-align: -0.41ex; " src="img/img1960.svg" alt="$b_{n}$"></span>, tomando o produto interno de (<a href="#serieFfa0">4.12</a>) com a respectiva
função <!-- MATH
${\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1961.svg" alt="${\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x)$"></span>. Temos então que
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P277" title="4P277"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1962.svg" alt="$\displaystyle \int_{-L}^{L} f(x){\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) dx$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.49ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1963.svg" alt="$\displaystyle = \int_{-L}^{L} a_{0}{\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) dx + \sum_{...
...} a_{k} \int_{-L}^{L} \cos(\frac{k\pi}{L}x) {\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) dx$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.49ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1964.svg" alt="$\displaystyle \qquad \qquad + \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \int_{-L}^{L} {\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) {\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) dx.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P278" title="4P278">
De acordo com os resultados obtidos no teorema <a href="#teoFLI">4.6</a>, as integrais do último membro se anulam todas, exceto a
integral em senos quando <!-- MATH
$k = n \neq 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img1957.svg" alt="$k = n \neq 0$"></span>. Temos assim,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int_{-L}^{L} f(x){\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) dx = b_{n} \int_{-L}^{L} {\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) {\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) dx = b_{n}L.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P279" title="4P279">
<img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1965.svg" alt="$\displaystyle \int_{-L}^{L} f(x){\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) dx = b_{n} \in...
...{\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) {\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) dx = b_{n}L. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P280" title="4P280">
Segue que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
b_{n} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x){\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) dx,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P281" title="4P281">
<img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1966.svg" alt="$\displaystyle b_{n} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x){\mathrm {sen}}(\frac{n\pi}{L}x) dx, $">
</div><p class=" unidade" id="4P282" style="text-indent: 0 !important;" title="4P282">
para <!-- MATH
$n = 1,2,3, \dots$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1951.svg" alt="$n=1,2,3,\dots$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P283" title="4P283">
Desta forma temos que
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P284" title="4P284"><a id="serieF"></a><!-- MATH
\begin{equation}
f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\cos(\frac{k\pi}{L}x) +b_{k}{\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x)
\end{equation}
-->
<table>
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 6.49ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1967.svg" alt="$\displaystyle f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\cos(\frac{k\pi}{L}x) +b_{k}{\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x)$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">13</span>) </td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P285" style="text-indent: 0 !important;" title="4P285">
para
<!-- MATH
\begin{displaymath}
a_{k} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{k\pi}{L} x) dx \qquad (k \geq 0),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P286" title="4P286">
<img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1968.svg" alt="$\displaystyle a_{k} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{k\pi}{L} x) dx \qquad (k \geq 0), $">
</div><p class=" unidade" id="4P287" style="text-indent: 0 !important;" title="4P287">
e
<!-- MATH
\begin{displaymath}
b_{k} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) {\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L} x) dx \qquad (k > 0),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P288" title="4P288">
<img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1969.svg" alt="$\displaystyle b_{k} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) {\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L} x) dx \qquad (k > 0), $">
</div><p class=" unidade" id="4P289" style="text-indent: 0 !important;" title="4P289">
desde que <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> admita representação na forma da série (<a href="#serieFf">4.11</a>). O ajuste <!-- MATH
$\frac{1}{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1724.svg" alt="$\frac{1}{2}$"></span> em <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1122.svg" alt="$a_{0}$"></span> é só para
padronizar a expressão dos <span class="MATH"><img style="height: 1.50ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1909.svg" alt="$a_{k}$"></span> para todo <!-- MATH
$k \in \mathbb{N}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1907.svg" alt="$k \in \mathbb{N}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P290" title="4P290">
Os coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 1.50ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1909.svg" alt="$a_{k}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1910.svg" alt="$b_{k}$"></span> obtidos pelas expressões acima são chamados de coeficientes de Fourier da função <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span>.
A série em (<a href="#serieF">4.13</a>) é chamada de série de Fourier de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span>. Muito cuidado neste momento. A série do lado direito de
(<a href="#serieF">4.13</a>) simplesmente é definida como sendo a série de Fourier da função <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span>. Não falamos nada a respeito da
série de Fourier de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> convergir para <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span>, aliás, admitimos esta convergência para calcular os coeficientes. Isto
significa que garantir a igualdade (<a href="#serieF">4.13</a>) é um pouco mais complicado do que parece.
</p>
<p class=" unidade" id="4P291" title="4P291">
Apresentamos agora um teorema que garante esta convergência. A demonstração pode ser encontrada em [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Iorio">3</a>, Iorio]
ou [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Guidorizzi">2</a>, Guidorizzi].
</p>
<div id="4Teo7" title="4Teo7" class="unidade"><a id="teoFourier"><b>Teorema <span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">7</span></b></a> &nbsp;
<i>Seja <!-- MATH
$f:[-L,L] \to \mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1970.svg" alt="$f:[-L,L] \to \mathbb{R}$"></span> uma função contínua, com derivada segunda contínua por partes e tal que <!-- MATH
$f(-L) = f(L)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1971.svg" alt="$f(-L) = f(L)$"></span>. Então a
série de Fourier de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> converge uniformemente para <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> em <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1915.svg" alt="$[-L,L]$"></span>. Isto é,
</i><!-- MATH
\begin{displaymath}
f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left[ a_{k} \cos(\frac{k\pi}{L}x) + b_{k} {\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) \right],
\end{displaymath}
-->
<div class="mathdisplay unidade" id="4P292" title="4P292">
<img style="height: 6.49ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1972.svg" alt="$\displaystyle f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left[ a_{k} \cos(\frac{k\pi}{L}x) + b_{k} {\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) \right], $">
</div><p class=" unidade" id="4P293" style="text-indent: 0 !important;" title="4P293"><i>
para todo <!-- MATH
$x \in [-L,L]$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1973.svg" alt="$x \in [-L,L]$"></span>.
</i></p></div>
<p class=" unidade" id="4P294" title="4P294">
A hipótese de que <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> seja contínua é bastante forte. Na verdade, esta hipótese pode ser reduzida para uma hipótese de
continuidade por partes. A hipótese de continuidade por partes da derivada segunda já garante isto. Neste caso, em cada
ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$"></span> de continuidade de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> a série de Fourier de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> converge para <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> e nos pontos de descontinuidade
(descontinuidade tipo salto) a série de Fourier converge para o ponto médio dos limites laterais de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span>. Este resultado
pode ser encontrado também em [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Iorio">3</a>, Iorio].
</p>
<p class=" unidade" id="4P295" title="4P295">
Podemos também colocar o intervalo de interesse como sendo um intervalo da forma <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1974.svg" alt="$[0,L]$"></span>. Isto não é problema pois dada
uma função <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> definida no intervalo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1974.svg" alt="$[0,L]$"></span> podemos construir uma extensão <!-- MATH
$\overline{f}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.07ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1975.svg" alt="$\overline{f}$"></span> de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> a todo intervalo
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1915.svg" alt="$[-L,L]$"></span> por
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\overline{f}(x)
= \left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \text{se} & -L \leq x < 0 \\f(x) & \text{se} & 0 \leq x \leq L, \end{array} \right.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P296" title="4P296">
<img style="height: 6.51ex; vertical-align: -2.74ex; " src="img/img1976.svg" alt="$\displaystyle \overline{f}(x)
= \left\{ \begin{array}{lcl} 0 &amp; \text{se} &amp; -L \leq x < 0 \\ f(x) &amp; \text{se} &amp; 0 \leq x \leq L, \end{array} \right. $">
</div><p class=" unidade" id="4P297" style="text-indent: 0 !important;" title="4P297">
e os coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 1.50ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1909.svg" alt="$a_{k}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1910.svg" alt="$b_{k}$"></span> de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1977.svg" alt="$\bar{f}$"></span> ficam também reduzidos a
<!-- MATH
\begin{displaymath}
a_{k} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} \overline{f}(x) \cos(\frac{k\pi}{L} x) dx = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos(\frac{k\pi}{L} x) dx,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P298" title="4P298">
<img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1978.svg" alt="$\displaystyle a_{k} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} \overline{f}(x) \cos(\frac{k\pi}{L} x) dx = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos(\frac{k\pi}{L} x) dx, $">
</div><p class=" unidade" id="4P299" style="text-indent: 0 !important;" title="4P299">
e
<!-- MATH
\begin{displaymath}
b_{k} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} \overline{f}(x) {\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L} x) dx = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} f(x) {\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L} x) dx,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P300" title="4P300">
<img style="height: 5.55ex; vertical-align: -2.14ex; " src="img/img1979.svg" alt="$\displaystyle b_{k} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} \overline{f}(x) {\mathrm {sen}}...
...L} x) dx = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} f(x) {\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L} x) dx, $">
</div><p class=" unidade" id="4P301" style="text-indent: 0 !important;" title="4P301">
que são na verdade coeficientes para <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> restritos ao intervalo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1974.svg" alt="$[0,L]$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P302" title="4P302">
Embora a série de Taylor desempenha um papel fundamental para a matemática aplicada, a série de Fourier apresenta
propriedades que a tornam mais adequada para certas aplicações. Dentre estas propriedades, um fato relevante é que os
coeficientes da série de Taylor são os termos <!-- MATH
$\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.36ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1980.svg" alt="$\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$"></span> e então a função <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> deve possuir derivadas
de ordem <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$"></span> contínuas no ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1225.svg" alt="$x_{0}$"></span>. A série de Fourier não exige tanto. O teorema que apresentamos exige apenas
derivada segunda contínua por partes.
</p>
<p class=" unidade" id="4P303" title="4P303">
Além disso, a série de Taylor é uma série com boa aproximação para a função nas proximidades do ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1225.svg" alt="$x_{0}$"></span>. Quanto
mais afastado do ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1225.svg" alt="$x_{0}$"></span> mais coeficientes serão necessários para uma aproximação satisfatória. Já a série de
Fourier tem comportamento global. Isto significa que não é necessário aumentar o número de coeficientes quando se muda
o ponto de interesse do intervalo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1915.svg" alt="$[-L,L]$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P304" title="4P304">
Uma aplicação prática do uso da série de Fourier é o armazenamento e transmissão de imagens. Consideremos que uma
fotografia seja tirada em um telefone celular com câmera. A foto é composta de pontos coloridos. Supondo que a
resolução da foto seja de <!-- MATH
$640 \times 480$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1981.svg" alt="$640 \times 480$"></span>, então a foto é um retângulo de 640 pontos de largura por 480 pontos de
altura. São portanto 307.200 pontos coloridos, dispostos em 640 colunas e 480 linhas.
</p>
<p class=" unidade" id="4P305" title="4P305">
Para gravar esta foto, no sistema VGA, são armazenados 3 bytes de informações para cada um destes pontos. Estes bytes
correspondem às intensidades de vermelho, verde e azul de cada ponto. São então 921.600 bytes que devem ser gravados,
isto sem contar outras informações, conhecidas como o cabeçalho da imagem. Cada byte armazena como informação um número
inteiro de 0 a 255.
</p>
<p class=" unidade" id="4P306" title="4P306">
Vamos agora ver como a série de Fourier pode ajudar a economizar espaço para gravar esta figura.
</p>
<p class=" unidade" id="4P307" title="4P307">
Se olharmos para cada uma das 480 linhas que compõem a figura temos que cada linha possui 640 pontos. São 640 bytes
armazenando as intensidades de vermelho, 640 armazenando as intensidades de verde e 640 as intensidades de azul, num
total de 1.920 bytes para cada uma das 480 linhas da figura. Se traçarmos um gráfico destes 640 valores para a
intensidade de vermelho, podemos construir uma função <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img299.svg" alt="$f(x)$"></span> que representa estas intensidades.
</p>
<p class=" unidade" id="4P308" title="4P308">
A função será portanto uma função constante em cada um dos 640 subintervalos no qual foi dividido o intervalo <!-- MATH
$[0,L] =
[0,640]$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1982.svg" alt="$[0,L] =
[0,640]$"></span>.
</p>
<div class="CENTER"><a id="7016"></a>
<table>
<caption class="BOTTOM"><strong>Figura 4.3:</strong>
Gráfico de uma cor de uma linha da figura. </caption>
<tbody><tr><td>
<div class="CENTER">
<img src="img/SFcor.png" alt="Image SFcor"> </div></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<p class=" unidade" id="4P309" title="4P309">
A função pode ainda ser reescalonada para que os valores estejam, digamos de 0 a 1, ao invéz de 0 a 255. O
reescalonamento é para que os saltos da função sejam pequenos, diminuindo a oscilação da série de Fourier na passagem
de um segmento a outro.
</p>
<p class=" unidade" id="4P310" title="4P310">
Feito isto, montamos a série de Fourier desta função <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span>. A série de Fourier de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span> dará uma boa aproximação para a
função <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$"></span>. Tudo o que precisamos armazenar agora são os coeficientes de Fourier desta série. Exemplificaremos o
processo considerando 21 coeficientes, sendo eles <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1122.svg" alt="$a_{0}$"></span>, <span class="MATH"><img style="height: 1.48ex; vertical-align: -0.41ex; " src="img/img1117.svg" alt="$a_{n}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.96ex; vertical-align: -0.41ex; " src="img/img1960.svg" alt="$b_{n}$"></span> para <!-- MATH
$n = 1, 2, \dots, 10$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1983.svg" alt="$n = 1, 2, \dots, 10$"></span>. Como estes
coeficientes são números reais, então o armazenamento de cada um destes números ocupa 6 bytes, totalizando 126 bytes
para os 21 coeficientes de Fourier.
</p>
<p class=" unidade" id="4P311" title="4P311">
Desta forma, ao invés de gastar 640 bytes para armazenar as intensidades de vermelho, podemos usar apenas 126 bytes.
Repetindo este processo para as intensidades de verde e de azul, temos o armazenamento de 378 bytes para cada linha da
figura, no lugar dos 1.920 bytes tradicionais.
</p>
<p class=" unidade" id="4P312" title="4P312">
Aplicando isto a todas as 480 linhas da figura, temos um gasto de 181.440 bytes ao invés dos 921.600 tradicionais. Uma
compactação de mais de 80%. Levemos ainda em conta que podem ser armazenados mais do que os 21 coeficientes que
citamos, ou menos. Gravando mais coeficientes implicará em uma maior qualidade da imagem, porém, menos economia de
espaço e menos coeficientes implicarão menor qualidade, porém, maior economia de espaço. Pode-se ainda trabalhar com
apenas os coeficientes da função seno ou somente com os coeficientes da função cosseno. O formato de imagens conhecido
como JPG ou JPEG é um sistema de compressão e armazenamento de imagens baseado em uma série de cossenos.
</p>
<p class=" unidade" id="4P313" title="4P313">
O espaço necessário para gravar uma figura já não é um grande problema. Os atuais discos rígidos e os cartões de
memória para celulares e câmeras digitais já possuem uma capacidade de armazenamento bem expressiva, o que poderia até
dispensar uma compactação da imagem. Mas a transmissão das imagens é ainda um problema.
</p>
<p class=" unidade" id="4P314" title="4P314">
Celulares com tecnologia GSM transmitem dados a uma taxa máxima de 9.600bps, isto é, 9.600 bits por segundo e isto
significa 1.200 bytes por segundo (1byte = 8bits). A tecnologia GPRS possui na prática uma taxa de transmissão de dados
de até 40.200bps (em teoria até 171.200bps). A tecnologia EDGE transmite na prática até 384.000bps (em teoria até
473.600bps). A tecnologia 3G transmite até 7Mbps (Mega bits por segundo), isto é, 7.340.032 bits por segundo, ou
917.504 bytes por segundo.
</p>
<p class=" unidade" id="4P315" title="4P315">
Uma imagem com 921.600 bytes necessita de 768 segundos, ou 12 minutos e 48 segundos para a transmissão via GSM. Já uma
imagem de 181.440 bytes, compactada por série de Fourier, necessita de 152 segundos, ou 2 minutos e 32 segundos para a
transmissão. Isto conseguindo a taxa máxima de transmissão. Independentemente da tecnologia utilizada ou da taxa de
transmissão atingida, 921.600 bytes sempre necessitarão 5 vezes mais tempo para serem transmitidos do que 181.440
bytes.
</p>
<p class=" unidade" id="4P316" title="4P316">
A evolução das tecnologias de celulares ajuda na redução do tempo de transmissão. Na contramão desta evolução, a
resolução das imagens também evolui. Resoluções maiores como <!-- MATH
$800 \times 600$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1984.svg" alt="$800 \times 600$"></span> ou <!-- MATH
$1.280 \times 960$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1985.svg" alt="$1.280 \times 960$"></span>, significam que as
imagens possuem mais pontos e, consequentemente, exigem mais espaço para a gravação e mais tempo para a transmissão. A
compactação continua sendo importante neste processo pois diminui o tamanho e o tempo de transmissão das imagens,
quaisquer que sejam as tecnologias utilizadas para armazenamento e transmissão de dados.
</p>
:::
## 4.5 Lançamento vertical e queda livre com resistência {#SECTION00850000000000000000}
::: {.raw_html}
<p class=" unidade" id="4P317" title="4P317">
Nesta seção vamos estudar a velocidade de um objeto lançado verticalmente para cima, em determinado momento <span class="MATH"><img style="height: 1.88ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1986.svg" alt="$t_{0}$"></span>, a
uma certa velocidade inicial <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1987.svg" alt="$v_{0}$"></span>. Quando este objeto atingir a altura máxima, ele começa a cair. Vamos também
estudar esta velocidade de queda.
</p>
<p class=" unidade" id="4P318" title="4P318">
Consideremos um sistema coordenado com apenas um eixo vertical, apontando para cima, cuja origem é o nível do solo.
Designemos por <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span> o tempo, <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1988.svg" alt="$y(t)$"></span> a posição (altura em relação ao solo) do objeto e <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1989.svg" alt="$v(t)$"></span> a velocidade do objeto no
instante <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P319" title="4P319">
Supondo que este objeto seja então lançado para cima, ele está sujeito à ação da gravidade e também a uma força de
atrito com o ar. Em geral, forças de atrito são consideradas como sendo proporcionais a uma potência da velocidade.
Esta potência varia de acordo com a própria velocidade. Para problemas desta natureza a potência considerada é 2.
</p>
<p class=" unidade" id="4P320" title="4P320">
A ação da gravidade resume-se na força peso <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1990.svg" alt="$p = -mg$"></span>, sendo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1704.svg" alt="$m$"></span> a massa do objeto e <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img285.svg" alt="$g$"></span> a aceleração da gravidade. A
força de atrito <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img40.svg" alt="$r$"></span> com o ar, é considerada como <!-- MATH
$r = -kv^{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.20ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1991.svg" alt="$r = -kv^{2}$"></span>, sendo <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img635.svg" alt="$k>0$"></span> a constante de proporcionalidade que é
dependente de alguns fatores como densidade do ar e a área da secção transversal frontal do objeto. O sinal negativo
das duas forças é decorrente do fato que são contrárias ao referencial, isto é, ambas apontam para baixo.
</p>
<p class=" unidade" id="4P321" title="4P321">
Para um corpo qualquer, a constante de proporcionalidade é dada por <!-- MATH
$k = \frac{\rho A \delta}{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.93ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1992.svg" alt="$k = \frac{\rho A \delta}{2}$"></span>, sendo que <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1993.svg" alt="$\rho$"></span> é a
densidade do ar, <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$"></span> é a área da secção transversal frontal exposta ao ar e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1994.svg" alt="$\delta$"></span> é um coeficiente que depende da
forma do objeto. Embora a densidade do ar varie com a altura, para cálculos aproximados em baixa altitude, pode ser
utilizado o valor ao nível do mar que é de <!-- MATH
$1,29 Kg/m^{3}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1995.svg" alt="$1,29 Kg/m^{3}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P322" title="4P322">
De acordo com a segunda lei de Newton, temos que <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1996.svg" alt="$F = ma$"></span>, sendo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1997.svg" alt="$F$"></span> a força resultante do sistema, que é a soma das
duas forças consideradas. Temos assim,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
ma = F = p + r = -mg - kv^{2}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P323" title="4P323">
<img style="height: 2.53ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1998.svg" alt="$\displaystyle ma = F = p + r = -mg - kv^{2}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P324" title="4P324">
A aceleração <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img295.svg" alt="$a$"></span> por sua vez é igual à derivada da velocidade em função do tempo e então temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
m v' = ma = -mg - kv^{2}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P325" title="4P325">
<img style="height: 2.53ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1999.svg" alt="$\displaystyle m v' = ma = -mg - kv^{2}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P326" title="4P326">
Esta é uma equação diferencial não linear, sujeita a uma condição inicial <!-- MATH
$v(t_{0}) = v_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2000.svg" alt="$v(t_{0}) = v_{0}$"></span>. Resolver esta equação nos
fornece <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1989.svg" alt="$v(t)$"></span> que é a velocidade do objeto em função do tempo. Vamos obter esta solução. Reescrevemos a equação
diferencial na forma
<!-- MATH
\begin{displaymath}
v' = -g(1 + \frac{k}{mg}v^{2}),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P327" title="4P327">
<img style="height: 4.91ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2001.svg" alt="$\displaystyle v' = -g(1 + \frac{k}{mg}v^{2}), $">
</div><p class=" unidade" id="4P328" style="text-indent: 0 !important;" title="4P328">
ou, ainda,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\frac{v'}{(1 + \frac{k}{mg}v^{2})} = -g.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P329" title="4P329">
<img style="height: 5.91ex; vertical-align: -2.78ex; " src="img/img2002.svg" alt="$\displaystyle \frac{v'}{(1 + \frac{k}{mg}v^{2})} = -g. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P330" title="4P330">
Para simplificar, chamemos <!-- MATH
$\lambda^{2} = \frac{k}{mg}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.10ex; vertical-align: -1.12ex; " src="img/img2003.svg" alt="$\lambda^{2} = \frac{k}{mg}$"></span> e integrando a equação anterior em <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span>, temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int \frac{v'}{(1 + \lambda^{2}v^{2})} dt = -gt + C,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P331" title="4P331">
<img style="height: 5.20ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img2004.svg" alt="$\displaystyle \int \frac{v'}{(1 + \lambda^{2}v^{2})} dt = -gt + C, $">
</div><p class=" unidade" id="4P332" style="text-indent: 0 !important;" title="4P332">
para algum <!-- MATH
$C \in \mathbb{R}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img2005.svg" alt="$C \in \mathbb{R}$"></span>, constante de integração.
</p>
<p class=" unidade" id="4P333" title="4P333">
A integral do primeiro membro pode ser determinada por
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P334" title="4P334"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 5.20ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img2006.svg" alt="$\displaystyle \int \frac{v'}{(1 + \lambda^{2}v^{2})} dt$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.60ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img2007.svg" alt="$\displaystyle = \int \frac{\frac{dv}{dt}}{(1 + \lambda^{2}v^{2})} dt$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.04ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img2008.svg" alt="$\displaystyle = \int \frac{1}{(1 + \lambda^{2}v^{2})} dv = \frac{1}{\lambda} {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v),$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P335" style="text-indent: 0 !important;" title="4P335">
donde segue que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v) = -\lambda gt + C,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P336" title="4P336">
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2009.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v) = -\lambda gt + C, $">
</div><p class=" unidade" id="4P337" style="text-indent: 0 !important;" title="4P337">
para alguma constante de integração <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$"></span>. Usando a condição inicial <!-- MATH
$v(t_{0}) = v_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2000.svg" alt="$v(t_{0}) = v_{0}$"></span>, temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
C = {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) + \lambda gt_{0}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P338" title="4P338">
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2010.svg" alt="$\displaystyle C = {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) + \lambda gt_{0}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P339" title="4P339">
Temos portanto que a velocidade <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$"></span> é dada implicitamente por
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P340" title="4P340"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2011.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v)$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2012.svg" alt="$\displaystyle = -\lambda gt + {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) + \lambda gt_{0},$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2013.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) - \lambda g(t-t_{0}).$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P341" title="4P341">
Aplicando tangente em ambos os membros e usando a identidade da soma de arcos para a tangente, temos
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P342" title="4P342"><table>
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2014.svg" alt="$\displaystyle \lambda v = \lambda v(t)$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2015.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {tg}}( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0})-\lambda g(t-t_{0}) )$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.16ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img2016.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\lambda v_{0} - {\mathrm {tg}}(\lambda g(t-t_{0}))}{1 + \lambda v_{0}{\mathrm {tg}}(\lambda g(t-t_{0}))},$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
<a id="eqvdec"></a>(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">14</span>)</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P343" style="text-indent: 0 !important;"title="4P343">
para qualquer <span class="MATH"><img style="height: 1.88ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img2017.svg" alt="$t > t_{0}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P344" title="4P344">
O movimento de ascendência do objeto é então dado em termos da função tangente. Sabemos que este movimento deve
obrigatoriamente cessar na ausência de outras forças. Para ser mais preciso, observe que conforme <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span> cresce, a equação
(<a href="#eqvdec">4.14</a>) nos diz que <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$"></span> decresce. Como a função tangente vai para o infinito continuamente quando o argumento se
aproxima de <!-- MATH
$\frac{\pi}{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img42.svg" alt="$\frac{\pi}{2}$"></span>, então existe um tempo <!-- MATH
$t_{1} > t_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.88ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img2018.svg" alt="$t_{1} > t_{0}$"></span> de forma que o numerador de (<a href="#eqvdec">4.14</a>) se anula.
</p>
<p class=" unidade" id="4P345" title="4P345">
Este tempo <span class="MATH"><img style="height: 1.87ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2019.svg" alt="$t_{1}$"></span>, é o tempo em que o objeto atinge a velocidade <!-- MATH
$v(t_{1}) = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2020.svg" alt="$v(t_{1}) = 0$"></span> e começa o movimento de queda livre,
de volta ao solo. Colocando <!-- MATH
$\lambda v_{0} - {\mathrm {tg}}(\lambda g(t_{1}-t_{0})) = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2021.svg" alt="$\lambda v_{0} - {\mathrm {tg}}(\lambda g(t_{1}-t_{0})) = 0$"></span>, podemos facilmente verificar que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
t_{1} = \frac{1}{\lambda g} {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) + t_{0}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P346" title="4P346">
<img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2022.svg" alt="$\displaystyle t_{1} = \frac{1}{\lambda g} {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) + t_{0}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P347" title="4P347">
A altura <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2023.svg" alt="$y(t_{1})$"></span> que o objeto atinge, antes de começar a cair, também pode ser determinada. Como sabemos, a
velocidade <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1989.svg" alt="$v(t)$"></span> do objeto, é dada em termos da sua posição <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1988.svg" alt="$y(t)$"></span> pela igualdade
<!-- MATH
\begin{displaymath}
v(t) = \frac{dy}{dt},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P348" title="4P348">
<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img2024.svg" alt="$\displaystyle v(t) = \frac{dy}{dt}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P349" style="text-indent: 0 !important;" title="4P349">
e portanto
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y(t) = \int v(t) dt + C,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P350" title="4P350">
<img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img2025.svg" alt="$\displaystyle y(t) = \int v(t) dt + C, $">
</div><p class=" unidade" id="4P351" style="text-indent: 0 !important;" title="4P351">
para alguma constante de integração <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$"></span>. Substituindo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1989.svg" alt="$v(t)$"></span> temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y(t) = \int \frac{1}{\lambda} {\mathrm {tg}}( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0})-\lambda g(t-t_{0}) ) dt + C,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P352" title="4P352">
<img style="height: 4.89ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img2026.svg" alt="$\displaystyle y(t) = \int \frac{1}{\lambda} {\mathrm {tg}}( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0})-\lambda g(t-t_{0}) ) dt + C, $">
</div><p class=" unidade" id="4P353" style="text-indent: 0 !important;" title="4P353">
e fazendo a mudança de variáveis <!-- MATH
$s = {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0})-\lambda g(t-t_{0})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2027.svg" alt="$s = {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0})-\lambda g(t-t_{0})$"></span>, temos <!-- MATH
$\frac{ds}{dt} = -\lambda g$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img2028.svg" alt="$\frac{ds}{dt} = -\lambda g$"></span>,
e assim
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P354" title="4P354"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2029.svg" alt="$\displaystyle y(t)$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.89ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img2030.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{\lambda} \int {\mathrm {tg}}( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0})-\lambda g(t-t_{0}) ) dt + C$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2031.svg" alt="$\displaystyle = \frac{-1}{\lambda^{2}g} \int {\mathrm {tg}}s ds + C$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2032.svg" alt="$\displaystyle = \frac{-1}{\lambda^{2}g} \int \frac{{\mathrm {sen}}s}{\cos s} ds + C = \frac{-1}{\lambda^{2}g} \ln\vert\cos s\vert + C.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P355" title="4P355">
Observe que nesta etapa, estamos considerando que <!-- MATH
$t_{0} \leq t \leq t_{1}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.89ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img2033.svg" alt="$t_{0} \leq t \leq t_{1}$"></span>. Nestes termos,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
0 < \lambda g(t-t_{0}) < \lambda g(t_{1}-t_{0}),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P356" title="4P356">
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2034.svg" alt="$\displaystyle 0 < \lambda g(t-t_{0}) < \lambda g(t_{1}-t_{0}), $">
</div><p class=" unidade" id="4P357" style="text-indent: 0 !important;" title="4P357">
e lembrando que <!-- MATH
$\lambda g(t_{1}-t_{0}) = {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2035.svg" alt="$\lambda g(t_{1}-t_{0}) = {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0})$"></span>, temos que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
0 < {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) - \lambda g(t-t_{0}) < {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) < \frac{\pi}{2}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P358" title="4P358">
<img style="height: 4.03ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img2036.svg" alt="$\displaystyle 0 < {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) - \lambda g(t-t_{0}) < {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) < \frac{\pi}{2}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P359" title="4P359">
Isto significa que <!-- MATH
$0 < s < \frac{\pi}{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img2037.svg" alt="$0 < s < \frac{\pi}{2}$"></span> e neste intervalo temos que <!-- MATH
$\cos s > 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img2038.svg" alt="$\cos s > 0$"></span>. Podemos portanto descartar o
módulo no logaritmo. Segue que
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P360" title="4P360"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2039.svg" alt="$\displaystyle y$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2040.svg" alt="$\displaystyle = \frac{-1}{\lambda^{2}g} \ln(\cos s) + C$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2041.svg" alt="$\displaystyle = \frac{-1}{\lambda^{2}g} \ln\left( \cos( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0})-\lambda g(t-t_{0}) ) \right)+ C,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P361" style="text-indent: 0 !important;" title="4P361">
para alguma constante de integração <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$"></span>. Para determinar a constante <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$"></span>, usamos a condição inicial <!-- MATH
$y(t_{0}) = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2042.svg" alt="$y(t_{0}) = 0$"></span>, que
nos fornece <!-- MATH
$C = \frac{1}{\lambda^{2}g} \ln\left( \cos\left( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) \right) \right)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.21ex; vertical-align: -1.23ex; " src="img/img2043.svg" alt="$C = \frac{1}{\lambda^{2}g} \ln\left( \cos\left( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) \right) \right)$"></span>. Temos assim, que
a altura do objeto em um determinado tempo <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span> com <!-- MATH
$t_{0} \leq t \leq t_{1}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.89ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img2033.svg" alt="$t_{0} \leq t \leq t_{1}$"></span>, é dada por
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y(t) = \frac{-1}{\lambda^{2}g} \ln\left( \cos( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0})-\lambda g(t-t_{0}) ) \right) + \frac{1}{\lambda^{2}g} \ln\left( \cos( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) ) \right),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P362" title="4P362">
<img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2044.svg" alt="$\displaystyle y(t) = \frac{-1}{\lambda^{2}g} \ln\left( \cos( {\mathrm {tg}}^{-1...
...1}{\lambda^{2}g} \ln\left( \cos( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) ) \right), $">
</div><p class=" unidade" id="4P363" style="text-indent: 0 !important;" title="4P363">
sendo portanto a altura máxima que o objeto atinge
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y(t_{1}) = \frac{1}{\lambda^{2}g} \ln\left( \cos( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) ) \right).
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P364" title="4P364">
<img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2045.svg" alt="$\displaystyle y(t_{1}) = \frac{1}{\lambda^{2}g} \ln\left( \cos( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) ) \right). $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P365" title="4P365">
Agora, vamos seguir o estudo quando <span class="MATH"><img style="height: 1.87ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2046.svg" alt="$t > t_{1}$"></span>. No instante <span class="MATH"><img style="height: 1.87ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2019.svg" alt="$t_{1}$"></span>, o objeto atinge a altura máxima e começa então o
movimento de descida do objeto conhecido como movimento de queda livre. O problema da queda livre pode ser totalmente
desvinculado do que esquematizamos até agora. Um objeto pode cair em queda livre sem ter sido necessariamente
arremessado para cima. Um exemplo disto é um paraquedista que salta de um avião.
</p>
<p class=" unidade" id="4P366" title="4P366">
A equação de descida do objeto é um pouco diferente pois agora a força de atrito age no mesmo sentido do referencial. A
equação das forças é agora dada por
<!-- MATH
\begin{displaymath}
ma = F = p + r = -mg + kv^{2},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P367" title="4P367">
<img style="height: 2.53ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2047.svg" alt="$\displaystyle ma = F = p + r = -mg + kv^{2}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P368" style="text-indent: 0 !important;" title="4P368">
e, portanto, a equação diferencial é dada por
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P369" title="4P369"><a id="eqpquedas"></a><!-- MATH
\begin{equation}
v' = a = g\left( \tfrac{k}{gm}v^{2} - 1 \right) = g(\lambda^{2}v^{2}-1),
\end{equation}
-->
<table >
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 3.98ex; vertical-align: -1.47ex; " src="img/img2048.svg" alt="$\displaystyle v' = a = g\left( \tfrac{k}{gm}v^{2} - 1 \right) = g(\lambda^{2}v^{2}-1),$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">15</span>) </td></tr>
</tbody></table> </div>
<p class=" unidade" id="4P370" style="text-indent: 0 !important;" title="4P370">
sujeita à condição inicial <!-- MATH
$v(t_{1}) = v_{1}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2049.svg" alt="$v(t_{1}) = v_{1}$"></span>. No caso do corpo ser arremessado verticalmente para cima, temos que
<!-- MATH
$v(t_{1}) = v_{1} = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2050.svg" alt="$v(t_{1}) = v_{1} = 0$"></span>. Por uma questão de simplicidade substituímos o termo <!-- MATH
$\frac{k}{gm}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.10ex; vertical-align: -1.12ex; " src="img/img2051.svg" alt="$\frac{k}{gm}$"></span> por <!-- MATH
$\lambda^{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.02ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2052.svg" alt="$\lambda^{2}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P371" title="4P371">
Temos portanto um problema de valor inicial
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{l} v' = g(\lambda^{2}v^{2}-1) \\v(t_{1}) = v_{1}. \end{array} \right.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P372" title="4P372">
<img style="height: 6.51ex; vertical-align: -2.74ex; " src="img/img2053.svg" alt="$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} v' = g(\lambda^{2}v^{2}-1) \\ v(t_{1}) = v_{1}. \end{array} \right. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P373" title="4P373">
Reescrevendo a equação diferencial obtemos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\frac{1}{(\lambda^{2}v^{2}-1)} v' = g,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P374" title="4P374">
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img2054.svg" alt="$\displaystyle \frac{1}{(\lambda^{2}v^{2}-1)} v' = g, $">
</div><p class=" unidade" id="4P375" style="text-indent: 0 !important;" title="4P375">
e integrando em <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span>, com a mudança de variáveis <!-- MATH
$u =\lambda v$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2055.svg" alt="$u =\lambda v$"></span>, temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
gt = \int \frac{1}{\lambda^{2}v^{2}-1} v' dt = \int \frac{1}{\lambda^{2}v^{2}-1} dv = -\frac{1}{\lambda} \int \frac{1}{1-u^{2}} du.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P376" title="4P376">
<img style="height: 4.89ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img2056.svg" alt="$\displaystyle gt = \int \frac{1}{\lambda^{2}v^{2}-1} v' dt = \int \frac{1}{\lambda^{2}v^{2}-1} dv = -\frac{1}{\lambda} \int \frac{1}{1-u^{2}} du. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P377" title="4P377">
De acordo com as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas (ver tabela <a href="/trigonometria-hiperbolica/igualdades-exponenciais-e-logaritmicas#tabdfhi">3.1</a>)
temos que a integral do último membro é igual a <!-- MATH
${\mathrm {tgh}}^{-1} u$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.59ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1055.svg" alt="${\mathrm {tgh}}^{-1} u$"></span> para <!-- MATH
$u \in (-1,1)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img552.svg" alt="$u \in (-1,1)$"></span>, ou igual a <!-- MATH
${\mathrm{ctgh}}^{-1} u$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.59ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1056.svg" alt="${\mathrm{ctgh}}^{-1} u$"></span> se <!-- MATH
$u \in
(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img583.svg" alt="$u \in
(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P378" title="4P378">
Observemos que não há a possibilidade de que <!-- MATH
$u = \lambda v = \pm 1$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img2057.svg" alt="$u = \lambda v = \pm 1$"></span>, em virtude de que a força de aceleração <span class="MATH"><img style="height: 1.81ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2058.svg" alt="$v'$"></span>
nunca se anula (a menos que não haja gravidade) e, portanto, o lado direito da igualdade (<a href="#eqpquedas">4.15</a>) também nunca
se anula.
</p>
<p class=" unidade" id="4P379" title="4P379">
Resta que ou <!-- MATH
$\lambda^{2} v^{2} > 1$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img2059.svg" alt="$\lambda^{2} v^{2} > 1$"></span> ou <!-- MATH
$\lambda^{2} v^{2} < 1$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img2060.svg" alt="$\lambda^{2} v^{2} < 1$"></span>. Isto será uma decorrência da velocidade inicial de
queda <span class="MATH"><img style="height: 1.51ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2061.svg" alt="$v_{1}$"></span>. Se <!-- MATH
$v_{1}^{2} = ( v(t_{1}) )^{2} > \frac{1}{\lambda^{2}}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.92ex; vertical-align: -0.94ex; " src="img/img2062.svg" alt="$v_{1}^{2} = ( v(t_{1}) )^{2} > \frac{1}{\lambda^{2}}$"></span> então esta desigualdade se mantem para todo <span class="MATH"><img style="height: 1.87ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2046.svg" alt="$t > t_{1}$"></span> e se <!-- MATH
$v_{1}^{2} < \frac{1}{\lambda^{2}}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.92ex; vertical-align: -0.94ex; " src="img/img2063.svg" alt="$v_{1}^{2} < \frac{1}{\lambda^{2}}$"></span> então isto se mantem para todo <span class="MATH"><img style="height: 1.87ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2046.svg" alt="$t > t_{1}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P380" title="4P380">
Para não sobrecarregar (ainda mais) o texto, vamos escolher uma das duas situações observadas acima. Para ficar
consistente com início da seção, isto é, o arremesso vertical e o instante <span class="MATH"><img style="height: 1.87ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2019.svg" alt="$t_{1}$"></span> no qual <!-- MATH
$v_{1} = v(t_{1}) = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2064.svg" alt="$v_{1} = v(t_{1}) = 0$"></span>,
escolhemos o caso em que <!-- MATH
$\lambda^{2} v^{2} < 1$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img2060.svg" alt="$\lambda^{2} v^{2} < 1$"></span>. Assumindo esta condição, temos que <!-- MATH
$u = \lambda v \in (-1,1)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2065.svg" alt="$u = \lambda v \in (-1,1)$"></span> e a
solução da equação diferencial será dada implicitamente por
<!-- MATH
\begin{displaymath}
gt = -\frac{1}{\lambda} \int \frac{1}{1-u^{2}} du = -\frac{1}{\lambda} {\mathrm {tgh}}^{-1} u + C,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P381" title="4P381">
<img style="height: 4.89ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img2066.svg" alt="$\displaystyle gt = -\frac{1}{\lambda} \int \frac{1}{1-u^{2}} du = -\frac{1}{\lambda} {\mathrm {tgh}}^{-1} u + C, $">
</div><p class=" unidade" id="4P382" style="text-indent: 0 !important;" title="4P382">
e voltando à variável <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$"></span>,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\lambda gt = -{\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v) + C.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P383" title="4P383">
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2067.svg" alt="$\displaystyle \lambda gt = -{\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v) + C. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P384" title="4P384">
A constante <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$"></span>, calculada pela condição inicial <!-- MATH
$v(t_{1}) = v_{1}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2049.svg" alt="$v(t_{1}) = v_{1}$"></span>, é
<!-- MATH
\begin{displaymath}
C = \lambda g t_{1} + {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P385" title="4P385">
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2068.svg" alt="$\displaystyle C = \lambda g t_{1} + {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}), $">
</div><p class=" unidade" id="4P386" style="text-indent: 0 !important;" title="4P386">
o que nos leva a
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\lambda gt = -{\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v) + \lambda g t_{1} + {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}).
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P387" title="4P387">
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2069.svg" alt="$\displaystyle \lambda gt = -{\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v) + \lambda g t_{1} + {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}). $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P388" title="4P388">
Com o intuito de isolar a velocidade <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$"></span>, reescrevemos a igualdade na forma
<!-- MATH
\begin{displaymath}
{\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v) = {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) - \lambda g(t-t_{1}),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P389" title="4P389">
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2070.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v) = {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) - \lambda g(t-t_{1}), $">
</div><p class=" unidade" id="4P390" style="text-indent: 0 !important;" title="4P390">
e aplicamos tangente hiperbólica em ambos os membros, obtendo
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\lambda v = {\mathrm {tgh}}({\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) - \lambda g(t-t_{1})) = \frac{\lambda v_{1} - {\mathrm {tgh}}(\lambda g(t-t_{1}))}{1-\lambda v_{1}{\mathrm {tgh}}(\lambda g(t-t_{1}))}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P391" title="4P391">
<img style="height: 5.16ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img2071.svg" alt="$\displaystyle \lambda v = {\mathrm {tgh}}({\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) -...
...gh}}(\lambda g(t-t_{1}))}{1-\lambda v_{1}{\mathrm {tgh}}(\lambda g(t-t_{1}))}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P392" title="4P392">
A velocidade de queda do objeto é dada portanto em termos da função tangente hiperbólica. Vamos analisar o
comportamento da velocidade <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$"></span> quando <!-- MATH
$t \to \infty$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2072.svg" alt="$t \to \infty$"></span>. Observe que na prática não podemos considerar <!-- MATH
$t \to \infty$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2072.svg" alt="$t \to \infty$"></span>,
porque certamente o objeto atinge o solo em um tempo finito. Mas esta análise nos trará boas ideias sobre a velocidade
terminal, isto é, a velocidade aproximada com que o objeto atinge o solo.
</p>
<p class=" unidade" id="4P393" title="4P393">
Lembremos que <!-- MATH
${\mathrm {tgh}}u \to 1$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img2073.svg" alt="${\mathrm {tgh}}u \to 1$"></span>, quando <!-- MATH
$u \to \infty$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img863.svg" alt="$u \to \infty$"></span> (Ver seção <a href="/trigonometria-hiperbolica/funcoes-trigonometricas-hiperbolicas#secfunchip">2.3</a>). Assim, quando <!-- MATH
$t \to \infty$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2072.svg" alt="$t \to \infty$"></span>, temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\lambda v = \frac{\lambda v_{1} - {\mathrm {tgh}}(2\lambda g(t-t_{1}))}{1-\lambda v_{1} {\mathrm {tgh}}(2\lambda g(t-t_{1}))} \to \frac{\lambda v_{1} - 1}{1-\lambda v_{1}} = -1,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P394" title="4P394">
<img style="height: 5.16ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img2074.svg" alt="$\displaystyle \lambda v = \frac{\lambda v_{1} - {\mathrm {tgh}}(2\lambda g(t-t_...
...gh}}(2\lambda g(t-t_{1}))} \to \frac{\lambda v_{1} - 1}{1-\lambda v_{1}} = -1, $">
</div><p class=" unidade" id="4P395" style="text-indent: 0 !important;" title="4P395">
donde <!-- MATH
$v \to -\frac{1}{\lambda} = -\sqrt{\frac{mg}{k}}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 4.07ex; vertical-align: -1.44ex; " src="img/img2075.svg" alt="$v \to -\frac{1}{\lambda} = -\sqrt{\frac{mg}{k}}$"></span>. O sinal negativo decorre do fato de que a velocidade do objeto
é um vetor que aponta em sentido contrário ao referencial escolhido.
</p>
<p class=" unidade" id="4P396" title="4P396">
Supondo que o objeto em questão fosse um paraquedista com paraquedas aberto, temos que a velocidade terminal do
paraquedista (em módulo) é <!-- MATH
$v_{t} = \frac{1}{\lambda} = \sqrt{\frac{mg}{k}} = \sqrt{\frac{2p}{\rho A\delta}}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 4.10ex; vertical-align: -1.44ex; " src="img/img2076.svg" alt="$v_{t} = \frac{1}{\lambda} = \sqrt{\frac{mg}{k}} = \sqrt{\frac{2p}{\rho A\delta}}$"></span>, sendo
<span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2077.svg" alt="$p$"></span> o peso do paraquedista, <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1993.svg" alt="$\rho$"></span> a densidade do ar e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$"></span> a área do paraquedas.
</p>
<p class=" unidade" id="4P397" title="4P397">
Vemos então que quanto maior for o peso do paraquedista, maior a velocidade terminal. Também, quanto maiores forem a
área do paraquedas ou a densidade do ar, menor a velocidade terminal.
</p>
<p class=" unidade" id="4P398" title="4P398">
Podemos também determinar o tempo <span class="MATH"><img style="height: 1.86ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2078.svg" alt="$t_{2}$"></span> que o objeto leva para atingir o solo novamente. Este tempo é exatamente o
tempo em que <!-- MATH
$y(t_{2}) = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2079.svg" alt="$y(t_{2}) = 0$"></span>. O problema momentâneo é que não temos ainda uma identidade para a posição <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img71.svg" alt="$y$"></span> do objeto,
no momento de queda. Vamos determinar esta igualdade. Como feito anteriormente
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y(t) = \int v(t) dt + C,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P399" title="4P399">
<img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img2025.svg" alt="$\displaystyle y(t) = \int v(t) dt + C, $">
</div><p class=" unidade" id="4P400" style="text-indent: 0 !important;" title="4P400">
para alguma constante de integração <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$"></span>, que será determinada pela condição inicial <!-- MATH
$y(t_{1}) = h$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2080.svg" alt="$y(t_{1}) = h$"></span> a altura em que o
objeto foi solto em queda livre no instante <span class="MATH"><img style="height: 1.87ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2019.svg" alt="$t_{1}$"></span>. No caso de o objeto ter sido arremessado verticalmente, então
lembremos que esta condição será <!-- MATH
$y(t_{t}) = h = \frac{1}{\lambda^{2}g} \ln\left( \cos( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) )
\right)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.21ex; vertical-align: -1.23ex; " src="img/img2081.svg" alt="$y(t_{t}) = h = \frac{1}{\lambda^{2}g} \ln\left( \cos( {\mathrm {tg}}^{-1}(\lambda v_{0}) )
\right)$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P401" title="4P401">
Substituindo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1989.svg" alt="$v(t)$"></span> na equação integral, temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y(t) = \frac{1}{\lambda} \int {\mathrm {tgh}}({\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) - \lambda g(t-t_{1})) dt + C,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P402" title="4P402">
<img style="height: 4.89ex; vertical-align: -1.92ex; " src="img/img2082.svg" alt="$\displaystyle y(t) = \frac{1}{\lambda} \int {\mathrm {tgh}}({\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) - \lambda g(t-t_{1})) dt + C, $">
</div><p class=" unidade" id="4P403" style="text-indent: 0 !important;" title="4P403">
e fazendo a mudança de variáveis <!-- MATH
$s = {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) - \lambda g(t-t_{1})$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.63ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2083.svg" alt="$s = {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) - \lambda g(t-t_{1})$"></span>, temos <!-- MATH
$\frac{ds}{dt} = -\lambda
g$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img2028.svg" alt="$\frac{ds}{dt} = -\lambda g$"></span> e, assim,
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P404" title="4P404"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2029.svg" alt="$\displaystyle y(t)$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2084.svg" alt="$\displaystyle = -\frac{1}{\lambda^{2}g} \int {\mathrm {tgh}}s ds + C$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2085.svg" alt="$\displaystyle = -\frac{1}{\lambda^{2}g} \int \frac{{\mathrm{senh}}s}{\cosh s} ds + C$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2086.svg" alt="$\displaystyle = -\frac{1}{\lambda^{2}g} \ln( \cosh s )+ C$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2087.svg" alt="$\displaystyle = -\frac{1}{\lambda^{2}g} \ln\left(\cosh( {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) - \lambda g(t-t_{1}) ) \right) + C.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P405" title="4P405">
Substituindo a condição <!-- MATH
$y(t_{1}) = h$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2080.svg" alt="$y(t_{1}) = h$"></span>, temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
C = h + \frac{1}{\lambda^{2}g} \ln \cosh( {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) ),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P406" title="4P406">
<img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2088.svg" alt="$\displaystyle C = h + \frac{1}{\lambda^{2}g} \ln \cosh( {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) ), $">
</div><p class=" unidade" id="4P407" style="text-indent: 0 !important;" title="4P407">
e, assim,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y(t) = h + \frac{1}{\lambda^{2}g} \ln\left(\cosh( {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) ) \right)
- \frac{1}{\lambda^{2}g} \ln\left(\cosh( {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) - \lambda g(t-t_{1}) ) \right).
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P408" title="4P408">
<img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2089.svg" alt="$\displaystyle y(t) = h + \frac{1}{\lambda^{2}g} \ln\left(\cosh( {\mathrm {tgh}}...
...eft(\cosh( {\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) - \lambda g(t-t_{1}) ) \right). $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P409" title="4P409">
Reorganizando temos que
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P410" title="4P410"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.53ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2090.svg" alt="$\displaystyle \lambda^{2} gy$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.74ex; vertical-align: -2.31ex; " src="img/img2091.svg" alt="$\displaystyle = \lambda^{2}gh + \ln\frac{\cosh({\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}))}{\cosh({\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1})-\lambda g(t-t_{1}))}$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.74ex; vertical-align: -2.31ex; " src="img/img2092.svg" alt="$\displaystyle = \lambda^{2}gh - \ln\frac{\cosh({\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1})-\lambda g(t-t_{1}))}{\cosh({\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}))},$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P411" style="text-indent: 0 !important;" title="4P411">
e calculando o tempo <span class="MATH"><img style="height: 1.86ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2078.svg" alt="$t_{2}$"></span>, para que <!-- MATH
$y(t_{2}) = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2079.svg" alt="$y(t_{2}) = 0$"></span>, temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
t_{2} = t_{1} + \frac{1}{\lambda g}\left({\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) - \cosh^{-1} \left(e^{\lambda^{2}gh}
\cosh({\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1})) \right) \right).
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P412" title="4P412">
<img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.95ex; " src="img/img2093.svg" alt="$\displaystyle t_{2} = t_{1} + \frac{1}{\lambda g}\left({\mathrm {tgh}}^{-1}(\la...
...^{\lambda^{2}gh}
\cosh({\mathrm {tgh}}^{-1}(\lambda v_{1})) \right) \right).
$">
</div>
<p class=" unidade" id="4P413" title="4P413">
Para finalizar, observamos que se tivéssemos escolhido <!-- MATH
$\lambda^{2} v_{1}^{2} > 1$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.67ex; vertical-align: -0.74ex; " src="img/img2094.svg" alt="$\lambda^{2} v_{1}^{2} > 1$"></span>, então a velocidade seria dada por
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P414" title="4P414"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2095.svg" alt="$\displaystyle \lambda v$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2096.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm{ctgh}}( {\mathrm{ctgh}}^{-1}(\lambda v_{1}) -\lambda g(t-t_{1}) )$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.74ex; vertical-align: -2.31ex; " src="img/img2097.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1-{\mathrm {tgh}}({\mathrm{ctgh}}^{-1}(\lambda v_{1})) {\...
...h}}({\mathrm{ctgh}}^{-1}(\lambda v_{1})) - {\mathrm {tgh}}(\lambda g(t-t_{1}))}$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.57ex; vertical-align: -2.77ex; " src="img/img2098.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1- \frac{1}{\lambda v_{1}} {\mathrm {tgh}}(\lambda g(t-t_...
...(\lambda g(t-t_{1})) }{ 1 - \lambda v_{1} {\mathrm {tgh}}(\lambda g(t-t_{1}))},$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P415" style="text-indent: 0 !important;" title="4P415">
e sabendo que <!-- MATH
${\mathrm {tgh}}u \to 1$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img2073.svg" alt="${\mathrm {tgh}}u \to 1$"></span> quando <!-- MATH
$u \to \infty$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img863.svg" alt="$u \to \infty$"></span>, ainda teríamos <!-- MATH
$v \to -\frac{1}{\lambda} = -\sqrt{\frac{mg}{k}}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 4.07ex; vertical-align: -1.44ex; " src="img/img2075.svg" alt="$v \to -\frac{1}{\lambda} = -\sqrt{\frac{mg}{k}}$"></span>
quando <!-- MATH
$t \to \infty$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2072.svg" alt="$t \to \infty$"></span>.
</p>
:::
## 4.6 O pêndulo simples {#SECTION00860000000000000000}
::: {.raw_html}
<p class=" unidade" id="4P416" title="4P416">
Um pêndulo consiste de um objeto de massa <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1704.svg" alt="$m$"></span> preso a um suporte horizontal rígido por um fio de comprimento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1841.svg" alt="$L$"></span>. O fio
é considerado rígido, inextensível e com massa desprezível. Este objeto é solto de uma posição inicial, onde o fio faz
um ângulo <!-- MATH
$\theta_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.01ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img2099.svg" alt="$\theta_{0}$"></span> com a perpendicular e começa a oscilar em movimento de vai-e-vem. Vamos considerar que
<!-- MATH
$\theta_{0} > 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.01ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img2100.svg" alt="$\theta_{0} > 0$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P417" title="4P417">
Uma vez solto o pêndulo, o ângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1843.svg" alt="$\theta$"></span> que o fio faz com a perpendicular, varia com o tempo. Nestes termos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1843.svg" alt="$\theta$"></span>
é uma função da variável temporal <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span>, isto é, <!-- MATH
$\theta = \theta(t)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2101.svg" alt="$\theta = \theta(t)$"></span> e, além disso, <!-- MATH
$-\theta_{0} < \theta < \theta_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.01ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img2102.svg" alt="$-\theta_{0} < \theta < \theta_{0}$"></span>.
A situação pode ser visualizada na figura <a href="#figpen">4.4</a>.
</p>
<div class="CENTER"><a id="figpen"></a><a id="7400"></a>
<table>
<caption class="BOTTOM"><strong>Figura 4.4:</strong>
Pêndulo simples.</caption>
<tbody><tr><td>
<div class="CENTER">
<img src="img/pendulo.png" alt="Image pendulo"> </div></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<p class=" unidade" id="4P418" title="4P418">
O movimento do objeto se dá em um plano bidimensional e descreve neste plano uma trajetória circular. Fixemos um
sistema coordenado bidimensional nas coordenadas tangencial e radial ao movimento circular. Isto é, um dos eixos é
tangente à trajetória circular enquanto o outro eixo é normal (perpendicular) à trajetória circular.
</p>
<p class=" unidade" id="4P419" title="4P419">
Sobre este objeto agem a força peso <span class="MATH"><img style="height: 2.15ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1837.svg" alt="$\vec{p}$"></span>, a força <span class="MATH"><img style="height: 2.11ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1838.svg" alt="$\vec{t}$"></span> de tensão com a haste e uma força <span class="MATH"><img style="height: 1.76ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2103.svg" alt="$\vec{r}$"></span> de atrito
(ou resistência do ar).
</p>
<p class=" unidade" id="4P420" title="4P420">
A força peso é decomposta, em termos do ângulo que a haste faz com a vertical, nas componentes tangencial e radial como
<!-- MATH
$\vec{p} = (-mg {\mathrm {sen}}\theta, -mg \cos \theta)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2104.svg" alt="$\vec{p} = (-mg {\mathrm {sen}}\theta, -mg \cos \theta)$"></span>, sendo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1704.svg" alt="$m$"></span> a massa do objeto e <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img285.svg" alt="$g$"></span> a aceleração gravitacional.
</p>
<p class=" unidade" id="4P421" title="4P421">
A força de tensão com a haste é decomposta como <!-- MATH
$\vec{t} = (0,T)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2105.svg" alt="$\vec{t} = (0,T)$"></span> sendo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img643.svg" alt="$T$"></span> o módulo da força de tensão na componente
radial. A primeira coordenada é nula pois não há força de tensão com a haste no sentido tangencial.
</p>
<p class=" unidade" id="4P422" title="4P422">
Como a velocidade do pêndulo é pequena, a força de atrito <span class="MATH"><img style="height: 1.76ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2103.svg" alt="$\vec{r}$"></span> é considerada como sendo proporcional à velocidade
<span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$"></span>, isto é, <!-- MATH
$\vec{r} = (-kv,0)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2106.svg" alt="$\vec{r} = (-kv,0)$"></span>, para uma constante de proporcionalidade <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img635.svg" alt="$k>0$"></span>. O sinal negativo é consequência de que
a força de atrito age no sentido contrário à velocidade. A segunda componente é nula pois a resistência não afeta o
movimento radial. Na verdade, como a haste é considerada inextensível, não há movimento radial. A velocidade ainda deve
ser dada em termos do deslocamento circular, isto é, <!-- MATH
$v = L \frac{d\theta}{dt}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img2107.svg" alt="$v = L \frac{d\theta}{dt}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P423" title="4P423">
Como vimos na seção anterior, <!-- MATH
$k = \frac{\rho A \delta}{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.93ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1992.svg" alt="$k = \frac{\rho A \delta}{2}$"></span>, em que <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1993.svg" alt="$\rho$"></span> é a densidade do ar, <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$"></span> a área frontal do
objeto e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1994.svg" alt="$\delta$"></span> um coeficiente que depende da forma do objeto. Para objetos esféricos considera-se <!-- MATH
$\delta =
\frac{1}{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img2108.svg" alt="$\delta =
\frac{1}{2}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P424" title="4P424">
De acordo com a segunda lei de Newton, temos <!-- MATH
$m\vec{a} = \vec{F}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.25ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2109.svg" alt="$m\vec{a} = \vec{F}$"></span>, sendo que <span class="MATH"><img style="height: 2.25ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2110.svg" alt="$\vec{F}$"></span> é a força resultante do sistema.
A aceleração <span class="MATH"><img style="height: 1.76ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2111.svg" alt="$\vec{a}$"></span> deve ser considerada somente na componente tangencial, em termos do deslocamento circular
<span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1843.svg" alt="$\theta$"></span>. Isto é, <!-- MATH
$\vec{a} = \left( \frac{dv}{dt}, 0 \right) = \left( L \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}, 0 \right)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.98ex; vertical-align: -1.47ex; " src="img/img2112.svg" alt="$\vec{a} = \left( \frac{dv}{dt}, 0 \right) = \left( L \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}, 0 \right)$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P425" title="4P425">
Assim, temos
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P426" title="4P426"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 5.45ex; vertical-align: -2.10ex; " src="img/img2113.svg" alt="$\displaystyle \left( mL \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}, 0 \right)$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2114.svg" alt="$\displaystyle = m\vec{a} = \vec{F} = \vec{p}+\vec{t}+\vec{r}$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2115.svg" alt="$\displaystyle = (-mg {\mathrm {sen}}\theta, -mg \cos \theta) + (0,T) + (-kv,0)$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.82ex; vertical-align: -0.84ex; " src="img/img2116.svg" alt="$\displaystyle = \left( -mg {\mathrm {sen}}\theta - kL\tfrac{d\theta}{dt}, -mg \cos \theta + T \right).$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P427" title="4P427">
Igualando cada uma das componentes temos que
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P428" title="4P428"><table >
<tbody><tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.31ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2117.svg" alt="$\displaystyle mL\theta'' + kL \theta' + mg {\mathrm {sen}}\theta = 0,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
<a id="eqpend1"></a>(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">16</span>)</td></tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2118.svg" alt="$\displaystyle T = mg \cos \theta,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
<a id="eqpend2"></a>(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">17</span>)</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P429" style="text-indent: 0 !important;" title="4P429">
sendo que <!-- MATH
$\theta' = \frac{d\theta}{dt}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img2119.svg" alt="$\theta' = \frac{d\theta}{dt}$"></span>. Este sistema está sujeito às condições iniciais em <span class="MATH"><img style="height: 1.88ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1986.svg" alt="$t_{0}$"></span>, dadas por
<!-- MATH
$\theta(t_{0}) = \theta_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2120.svg" alt="$\theta(t_{0}) = \theta_{0}$"></span> o ângulo inicial em que o pêndulo é solto e <!-- MATH
$\theta'(t_{0}) = v_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.34ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2121.svg" alt="$\theta'(t_{0}) = v_{0}$"></span> a velocidade inicial
do pêndulo. Se o pêndulo for solto do repouso, então naturalmente <!-- MATH
$\theta'(t_{0}) = v_{0} = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.34ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2122.svg" alt="$\theta'(t_{0}) = v_{0} = 0$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P430" title="4P430">
A equação (<a href="#eqpend1">4.16</a>) é uma equação diferencial não linear na variável <!-- MATH
$\theta = \theta(t)$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2101.svg" alt="$\theta = \theta(t)$"></span>. Garantir a existência
de uma solução pode ser complicado e mais complicado ainda talvez seja encontrar esta solução. Modificações podem ser
feitas na equação (<a href="#eqpend1">4.16</a>) a fim de facilitar a determinação de uma solução. Vamos estudar agora o caso em que a
equação é liearizada, pois equações diferenciais lineares são mais fáceis de se obter solução. Vamos considerar então
que o pêndulo oscile com variações pequenas do ângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1843.svg" alt="$\theta$"></span>. O limite (ver proposição <a href="/trigonometria-hiperbolica/funcoes-trigonometricas-circulares#limfundsin">1.6</a>),
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\lim_{\theta \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}\theta}{\theta} = 1,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P431" title="4P431">
<img style="height: 4.75ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img2123.svg" alt="$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}\theta}{\theta} = 1, $">
</div><p class=" unidade" id="4P432" style="text-indent: 0 !important;" title="4P432">
sugere que para valores pequenos do argumento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1843.svg" alt="$\theta$"></span>, o numerador e o denominador são valores muito próximos. Podemos
traduzir isto escrevendo <!-- MATH
${\mathrm {sen}}\theta \approx \theta$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img2124.svg" alt="${\mathrm {sen}}\theta \approx \theta$"></span> para valores pequenos de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1843.svg" alt="$\theta$"></span>. Para se ter uma ideia desta
aproximação, o erro cometido ao aproximar <!-- MATH
${\mathrm {sen}}\theta$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img2125.svg" alt="${\mathrm {sen}}\theta$"></span> por <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1843.svg" alt="$\theta$"></span> para um ângulo de <!-- MATH
$10^{\circ}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img2126.svg" alt="$10^{\circ}$"></span>, é menor que um
milésimo.
</p>
<p class=" unidade" id="4P433" title="4P433">
Nesta abordagem, o termo não linear <!-- MATH
${\mathrm {sen}}\theta$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img2125.svg" alt="${\mathrm {sen}}\theta$"></span> é substituído por <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1843.svg" alt="$\theta$"></span> e a equação (<a href="#eqpend1">4.16</a>) torna-se
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P434" title="4P434"><a id="eqpendlin"></a><!-- MATH
\begin{equation}
mL\theta'' + kL \theta' + mg \theta = 0,
\end{equation}
-->
<table >
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.31ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2127.svg" alt="$\displaystyle mL\theta'' + kL \theta' + mg \theta = 0,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">18</span>) </td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P435" style="text-indent: 0 !important;" title="4P435">
que agora é uma equação diferencial linear. Esta equação diferencial possui soluções baseadas nas raízes da equação do
segundo grau,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
mLx^{2} + kLx + mg = 0,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P436" title="4P436">
<img style="height: 2.53ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2128.svg" alt="$\displaystyle mLx^{2} + kLx + mg = 0, $">
</div><p class=" unidade" id="4P437" style="text-indent: 0 !important;" title="4P437">
chamada de equação auxiliar. A respeito destas raízes, temos três casos a considerar.
</p>
<p class=" unidade" id="4P438" title="4P438">
<b>Caso 1</b>. Se <!-- MATH
$\Delta = (k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg) > 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2129.svg" alt="$\Delta = (k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg) > 0$"></span> então a equação auxiliar possui duas raízes reais
distintas
<!-- MATH
\begin{displaymath}
x_{1} = \frac{-kL + \sqrt{k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg}}{2mL}, \qquad x_{2} = \frac{-kL - \sqrt{k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg}}{2mL},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P439" title="4P439">
<img style="height: 5.14ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img2130.svg" alt="$\displaystyle x_{1} = \frac{-kL + \sqrt{k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg}}{2mL}, \qquad x_{2} = \frac{-kL - \sqrt{k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg}}{2mL}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P440" style="text-indent: 0 !important;" title="4P440">
e a solução de (<a href="#eqpendlin">4.18</a>) é da forma
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\theta = \theta(t) = C_{1}e^{x_{1}t} + C_{2}e^{x_{2}t},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P441" title="4P441">
<img style="height: 2.56ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2131.svg" alt="$\displaystyle \theta = \theta(t) = C_{1}e^{x_{1}t} + C_{2}e^{x_{2}t}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P442" style="text-indent: 0 !important;" title="4P442">
para <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2132.svg" alt="$C_{1}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2133.svg" alt="$C_{2}$"></span> constantes a serem determinadas pelas condições iniciais <!-- MATH
$y(0) = \theta_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2134.svg" alt="$y(0) = \theta_{0}$"></span> e <!-- MATH
$y'(0) = v_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.34ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2135.svg" alt="$y'(0) = v_{0}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P443" title="4P443">
Mas note que
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P444" title="4P444"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.51ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2136.svg" alt="$\displaystyle x_{1}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.14ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img2137.svg" alt="$\displaystyle = \frac{-kL + \sqrt{k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg}}{2mL} < \frac{-kL + \sqrt{k^{2}L^{2}}}{2mL} = 0$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.50ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2138.svg" alt="$\displaystyle x_{2}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.14ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img2139.svg" alt="$\displaystyle = \frac{-kL - \sqrt{k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg}}{2mL} < 0$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P445" style="text-indent: 0 !important;" title="4P445">
e, portanto, o movimento angular do pêndulo decai a zero exponencialmente. Isto deve-se a um valor elevado da constante
de proporcionalidade <!-- MATH
$k = \frac{\rho A \delta}{2}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.93ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1992.svg" alt="$k = \frac{\rho A \delta}{2}$"></span>. Valor alto o suficiente para tornar <!-- MATH
$k^{2}L^{2} > 4m^{2}Lg$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.42ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2140.svg" alt="$k^{2}L^{2} > 4m^{2}Lg$"></span>.
Observemos que se a densidade <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1993.svg" alt="$\rho$"></span>, do meio em que o pêndulo estiver imerso for alta, então esta situação é atingida.
</p>
<p class=" unidade" id="4P446" title="4P446">
Neste caso, se o pêndulo passar pela solução de equilíbrio <!-- MATH
$\theta(t) = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2141.svg" alt="$\theta(t) = 0$"></span>, isto somente poderá ocorrer uma vez,
exatamente no ponto
<!-- MATH
\begin{displaymath}
t = \frac{mL}{\sqrt{k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg}} \ln \left( -\frac{C_{2}}{C_{1}} \right),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P447" title="4P447">
<img style="height: 5.62ex; vertical-align: -2.48ex; " src="img/img2142.svg" alt="$\displaystyle t = \frac{mL}{\sqrt{k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg}} \ln \left( -\frac{C_{2}}{C_{1}} \right), $">
</div><p class=" unidade" id="4P448" style="text-indent: 0 !important;" title="4P448">
e somente se <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2133.svg" alt="$C_{2}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2132.svg" alt="$C_{1}$"></span> possuírem sinais contrários.
</p>
<p class=" unidade" id="4P449" title="4P449">
<b>Caso 2</b>. Se <!-- MATH
$\Delta = (k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg) = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2143.svg" alt="$\Delta = (k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg) = 0$"></span>, então a única raiz real da equação auxiliar é,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
x = \frac{-kL}{2mL} = \frac{-k}{2m},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P450" title="4P450">
<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img2144.svg" alt="$\displaystyle x = \frac{-kL}{2mL} = \frac{-k}{2m}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P451" style="text-indent: 0 !important;" title="4P451">
e, neste caso, a solução de (<a href="#eqpendlin">4.18</a>) é dada por
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\theta = \theta(t) = C_{1}e^{\frac{-k}{2m}t} + C_{2}te^{\frac{-k}{2m}t} = (C_{1} + C_{2}t) e^{\frac{-k}{2m}t},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P452" title="4P452">
<img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2145.svg" alt="$\displaystyle \theta = \theta(t) = C_{1}e^{\frac{-k}{2m}t} + C_{2}te^{\frac{-k}{2m}t} = (C_{1} + C_{2}t) e^{\frac{-k}{2m}t}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P453" title="4P453">
para <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2132.svg" alt="$C_{1}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2133.svg" alt="$C_{2}$"></span> constantes que satisfarão as condições iniciais <!-- MATH
$y(0) = \theta_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2134.svg" alt="$y(0) = \theta_{0}$"></span> e <!-- MATH
$y'(0) = v_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.34ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2135.svg" alt="$y'(0) = v_{0}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P454" title="4P454">
Observe que ainda temos que a solução vai para zero quando <!-- MATH
$t \to \infty$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2072.svg" alt="$t \to \infty$"></span>. Também a solução passa uma única vez pela
solução de equilíbrio, exatamente em
<!-- MATH
\begin{displaymath}
t = -\frac{C_{1}}{C_{2}},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P455" title="4P455">
<img style="height: 4.86ex; vertical-align: -1.89ex; " src="img/img2146.svg" alt="$\displaystyle t = -\frac{C_{1}}{C_{2}}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P456" style="text-indent: 0 !important;" title="4P456">
também para <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2132.svg" alt="$C_{1}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2133.svg" alt="$C_{2}$"></span> com sinais contrários (pois <span class="MATH"><img style="height: 1.94ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img2147.svg" alt="$t \geq 0$"></span>).
</p>
<p class=" unidade" id="4P457" title="4P457">
<b>Caso 3</b>. Se <!-- MATH
$\Delta = (k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg) < 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2148.svg" alt="$\Delta = (k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg) < 0$"></span> então as raízes da equação auxiliar são os
números complexos conjugados
<!-- MATH
\begin{displaymath}
x_{1} = \overline{x_{2}} = \frac{-k}{2m} + \frac{\sqrt{k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg}}{2mL} i,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P458" title="4P458">
<img style="height: 5.14ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img2149.svg" alt="$\displaystyle x_{1} = \overline{x_{2}} = \frac{-k}{2m} + \frac{\sqrt{k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg}}{2mL} i, $">
</div><p class=" unidade" id="4P459" style="text-indent: 0 !important;" title="4P459">
e então a solução da equação diferencial (<a href="#eqpendlin">4.18</a>) toma a forma (que mais nos interessa)
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\theta = \theta(t) = e^{\frac{-k}{2m}t} \left( C_{1} \cos(\omega t) + C_{2} {\mathrm {sen}}(\omega t) \right),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P460" title="4P460">
<img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2150.svg" alt="$\displaystyle \theta = \theta(t) = e^{\frac{-k}{2m}t} \left( C_{1} \cos(\omega t) + C_{2} {\mathrm {sen}}(\omega t) \right), $">
</div><p class=" unidade" id="4P461" style="text-indent: 0 !important;" title="4P461">
com <!-- MATH
$\omega = \frac{\sqrt{k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg}}{2mL}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.76ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img2151.svg" alt="$\omega = \frac{\sqrt{k^{2}L^{2}-4m^{2}Lg}}{2mL}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2132.svg" alt="$C_{1}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2133.svg" alt="$C_{2}$"></span> constantes que satisfazem as condições
iniciais <!-- MATH
$y(0) = \theta_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2134.svg" alt="$y(0) = \theta_{0}$"></span> e <!-- MATH
$y'(0) = v_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.34ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2135.svg" alt="$y'(0) = v_{0}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P462" title="4P462">
Observe que agora temos um movimento oscilatório. Mesmo assim, a presença da exponencial com potência negativa nos diz
que o movimento tende a zero quando <!-- MATH
$t \to \infty$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2072.svg" alt="$t \to \infty$"></span>. Porém agora o valor da constante de proporcionalidade é pequeno.
Para ser mais preciso, <!-- MATH
$k < 2m\sqrt{\frac{g}{L}}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 4.07ex; vertical-align: -1.44ex; " src="img/img2152.svg" alt="$k < 2m\sqrt{\frac{g}{L}}$"></span>. Isto significa que a convergência para zero se dá de forma mais
lenta, permitindo algum tempo de oscilação, antes do pêndulo parar. Esta parada ocorre na prática, mas teoricamente o
pêndulo oscila para sempre com oscilação muito pequena.
</p>
<p class=" unidade" id="4P463" title="4P463">
Para finalizar esta seção observe que a equação (<a href="#eqpend2">4.17</a>) não foi utilizada até agora. Em verdade ela é útil para
calcular a força de tração <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img643.svg" alt="$T$"></span>, exercida pelo fio sobre o objeto, depois que tivermos determinado uma expressão para
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2153.svg" alt="$\theta(t)$"></span>.
</p>
:::
## 4.7 Sistema massa-mola {#SECTION00870000000000000000}
::: {.raw_html}
<p class=" unidade" id="4P464" title="4P464">
Vamos considerar que uma mola extensível, de comprimento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2154.svg" alt="$l$"></span> em repouso, esteja presa verticalmente a um suporte
rígido. Prendemos então um objeto de massa <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1704.svg" alt="$m$"></span> à extremidade livre da mola. Isto provocará uma distensão da mola, para
um ponto de equilíbrio, por <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img118.svg" alt="$s$"></span> unidades de comprimento.
</p>
<p class=" unidade" id="4P465" title="4P465">
Parece natural que se deslocarmos a massa <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1704.svg" alt="$m$"></span> e a soltarmos, esta massa oscilará em movimento de sobe e desce. Queremos
um modelo para determinar a sua posição com o tempo. Para equacionar o problema, fixemos um sistema coordenado (só
precisaremos da componente vertical) cuja origem está no ponto que dista <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2155.svg" alt="$L=(l+s)$"></span> do suporte rígido e cresce no
sentido do suporte.
</p>
<p class=" unidade" id="4P466" title="4P466">
Designemos <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1988.svg" alt="$y(t)$"></span> a posição do objeto no instante <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span>, ou mais precisamente, a posição da extremidade da mola no
instante <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span>. Note então que a distância <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2156.svg" alt="$d$"></span> entre o objeto e o suporte rígido, no instante <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$"></span> é
<!-- MATH
\begin{displaymath}
d(t) = L - y(t).
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P467" title="4P467">
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2157.svg" alt="$\displaystyle d(t) = L - y(t). $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P468" title="4P468">
De acordo com o nosso referencial duas forças unidimensionais atuam sobre o objeto. A força peso <span class="MATH"><img style="height: 2.15ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1837.svg" alt="$\vec{p}$"></span> e a força de
tração da mola <span class="MATH"><img style="height: 2.11ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1838.svg" alt="$\vec{t}$"></span>, ambas com mesma direção (vertical) e sentidos contrários.
</p>
<p class=" unidade" id="4P469" title="4P469">
O peso <span class="MATH"><img style="height: 2.15ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1837.svg" alt="$\vec{p}$"></span>, considerado negativo por estar em sentido contrário ao eixo fixado, é dado por <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1990.svg" alt="$p = -mg$"></span>. A força de
tração <span class="MATH"><img style="height: 2.11ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1838.svg" alt="$\vec{t}$"></span> é dada pela lei de Hooke. A lei de Hooke diz que a força de tração da mola é proporcional à distensão
causada pela massa. Isto é, <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2158.svg" alt="$t = ks$"></span> sendo <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img635.svg" alt="$k>0$"></span> a constante de proporcionalidade, conhecida como constante de
elasticidade da mola, que depende do material que a mola é composta.
</p>
<p class=" unidade" id="4P470" title="4P470">
Agora note que, como o sistema está em equilíbrio, a força resultante <span class="MATH"><img style="height: 2.25ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2110.svg" alt="$\vec{F}$"></span> é nula. Isto é, <!-- MATH
$\vec{F} = \vec{p} +
\vec{t} = \vec{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2159.svg" alt="$\vec{F} = \vec{p} +
\vec{t} = \vec{0}$"></span>, o que nos leva a
<!-- MATH
\begin{displaymath}
ks-mg = 0.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P471" title="4P471">
<img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2160.svg" alt="$\displaystyle ks-mg = 0. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P472" title="4P472">
Desloquemos a massa por uma quantidade <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2161.svg" alt="$y_{0}$"></span> e deixamos o sistema livre para se movimentar. Agora a força de tensão
<span class="MATH"><img style="height: 2.11ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1838.svg" alt="$\vec{t}$"></span> depende também da posição <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2162.svg" alt="$y = y(t)$"></span> do corpo. Temos assim,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\vec{t} = k(s-y),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P473" title="4P473">
<img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2163.svg" alt="$\displaystyle \vec{t} = k(s-y), $">
</div><p class=" unidade" id="4P474" title="4P474">
pois a distenção da mola agora é <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2164.svg" alt="$(s-y)$"></span>. De acordo com a segunda lei de Newton temos <!-- MATH
$\vec{F} = m\vec{a}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.25ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2165.svg" alt="$\vec{F} = m\vec{a}$"></span>. Segue que
<!-- MATH
\begin{displaymath}
m\vec{a} = \vec{F} = \vec{t} + \vec{p} = ks - ky - mg = -ky,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P475" title="4P475">
<img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2166.svg" alt="$\displaystyle m\vec{a} = \vec{F} = \vec{t} + \vec{p} = ks - ky - mg = -ky, $">
</div><p class=" unidade" id="4P476" style="text-indent: 0 !important;" title="4P476">
e, portanto, a equação que descreve o movimento <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1988.svg" alt="$y(t)$"></span> do corpo é
<!-- MATH
\begin{displaymath}
m\vec{a} = - ky.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P477" title="4P477">
<img style="height: 2.15ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2167.svg" alt="$\displaystyle m\vec{a} = - ky. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P478" title="4P478">
Como a aceleração <span class="MATH"><img style="height: 1.76ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2111.svg" alt="$\vec{a}$"></span> é a derivada segunda do movimento <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1988.svg" alt="$y(t)$"></span>, então a equação diferencial
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y'' + \frac{k}{m} y = 0,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P479" title="4P479">
<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img2168.svg" alt="$\displaystyle y'' + \frac{k}{m} y = 0, $">
</div><p class=" unidade" id="4P480" style="text-indent: 0 !important;" title="4P480">
modela o movimento da massa <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1704.svg" alt="$m$"></span> com o passar do tempo. Ainda temos as condições iniciais
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y(0) = y_{0} \quad \text{e} \quad y'(0) = v_{0}
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P481" title="4P481">
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2169.svg" alt="$\displaystyle y(0) = y_{0}$">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2170.svg" alt="$\displaystyle \quad y'(0) = v_{0} $">
</div><p class=" unidade" id="4P482" style="text-indent: 0 !important;" title="4P482">
que siginificam respectivamente a posição inicial e a velocidade inicial (zero se o sistema é solto do repouso).
</p>
<p class=" unidade" id="4P483" title="4P483">
Temos então o Problema de Valor Inicial,
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P484" title="4P484"><a id="PVIMaMo"></a><!-- MATH
\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{l} y'' + \frac{k}{m} y = 0 \\y(0) = y_{0}, \qquad y'(0) = v_{0} \end{array} \right.
\end{equation}
-->
<table >
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 6.51ex; vertical-align: -2.74ex; " src="img/img2171.svg" alt="$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} y'' + \frac{k}{m} y = 0 \\ y(0) = y_{0}, \qquad y'(0) = v_{0} \end{array} \right.$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: top;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">19</span>) </td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P485" title="4P485">
Esta equação diferencial é uma equação linear homogênea de ordem 2. Podemos verificar que a função dada por
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y = C_{1} \cos(\omega t) + C_{2} {\mathrm {sen}}(\omega t),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P486" title="4P486">
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2172.svg" alt="$\displaystyle y = C_{1} \cos(\omega t) + C_{2} {\mathrm {sen}}(\omega t), $">
</div><p class=" unidade" id="4P487" style="text-indent: 0 !important;" title="4P487">
com <!-- MATH
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 4.07ex; vertical-align: -1.32ex; " src="img/img2173.svg" alt="$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2132.svg" alt="$C_{1}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2133.svg" alt="$C_{2}$"></span> são números reais quaisquer, é uma solução para a equação
diferencial. Observe que o movimento é oscilatório em termos de senos e cossenos. As constantes <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2132.svg" alt="$C_{1}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2133.svg" alt="$C_{2}$"></span> podem
ser determinadas substituindo-se as duas condições <!-- MATH
$y(0) = y_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2174.svg" alt="$y(0) = y_{0}$"></span> e <!-- MATH
$y'(0) = v_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.34ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2135.svg" alt="$y'(0) = v_{0}$"></span>. Temos assim,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{l} y_{0} = y(0) = C_{1} \\
v_{0} = y'(0) = C_{2} \omega \end{array} \right.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P488" title="4P488">
<img style="height: 6.51ex; vertical-align: -2.74ex; " src="img/img2175.svg" alt="$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} y_{0} = y(0) = C_{1} \\
v_{0} = y'(0) = C_{2} \omega \end{array} \right. $">
</div><p class=" unidade" id="4P489" style="text-indent: 0 !important;" title="4P489">
donde a solução é
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y = y_{0} \cos(\omega t) + \frac{v_{0}}{\omega} {\mathrm {sen}}(\omega t).
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P490" title="4P490">
<img style="height: 4.03ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img2176.svg" alt="$\displaystyle y = y_{0} \cos(\omega t) + \frac{v_{0}}{\omega} {\mathrm {sen}}(\omega t). $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P491" title="4P491">
Observe que para conhecer esta equação completamente ainda é necessário conhecer <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1840.svg" alt="$\omega$"></span> e, para isso, precisamos do
valor da constante da mola <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img50.svg" alt="$k$"></span>. Este valor pode ser determinado medindo-se o deslocamento <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img118.svg" alt="$s$"></span> causado pela massa <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1704.svg" alt="$m$"></span>,
pois como vimos <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2177.svg" alt="$(ks-mg)=0$"></span>, ou ainda, <!-- MATH
$k = \frac{mg}{s} = \frac{p}{s}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.57ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img2178.svg" alt="$k = \frac{mg}{s} = \frac{p}{s}$"></span>, onde <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2077.svg" alt="$p$"></span> é o peso do objeto (o módulo da força
peso <span class="MATH"><img style="height: 2.15ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1837.svg" alt="$\vec{p}$"></span>).
</p>
<p class=" unidade" id="4P492" title="4P492">
Este modelo pode ser complicado um pouco mais. Para ser mais preciso, este modelo é muito simples, pois supõe condições
que na prática são irreais. As únicas forças consideradas são a força peso e a força de tração da mola e isto supõe a
ausência de outras forças externas, como por exemplo, a resitência do ar. Este modelo precisa então de vácuo perfeito.
Por este motivo, o sistema acima é dito sistema do movimento livre não amortecido.
</p>
<p class=" unidade" id="4P493" title="4P493">
Um exemplo de complicação do problema é considerar que a mola “envelhece”. Em outras palavras, considerar que a
constante <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img50.svg" alt="$k$"></span> da mola, seja variável com o tempo. Fisicamente isto significa que a mola perde suas propriedades
iniciais de deformação com o passar do tempo.
</p>
<p class=" unidade" id="4P494" title="4P494">
Poderíamos considerar a função de elasticidade da mola seja dada por <!-- MATH
$ke^{-\alpha t}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.92ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2179.svg" alt="$ke^{-\alpha t}$"></span> com <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img635.svg" alt="$k>0$"></span> e <!-- MATH
$\alpha > 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img638.svg" alt="$\alpha > 0$"></span>. Temos
então uma equação diferencial dada por <!-- MATH
$y'' + \frac{k}{m}e^{-\alpha t}y = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img2180.svg" alt="$y'' + \frac{k}{m}e^{-\alpha t}y = 0$"></span>. Outra função de elasticidade da mola que
poderíamos considerar é <!-- MATH
$k\frac{1}{t}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img2181.svg" alt="$k\frac{1}{t}$"></span> para <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img635.svg" alt="$k>0$"></span> e então a equação diferencial se torna <!-- MATH
$y'' + \frac{k}{mt}y = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img2182.svg" alt="$y'' + \frac{k}{mt}y = 0$"></span>.
Em ambos os casos temos equações diferenciais de ordem 2 com coeficientes variáveis e isto dificulta muito a obtenção
de uma solução analítica.
</p>
<p class=" unidade" id="4P495" title="4P495">
Outra complicação que podemos causar, que não dificulta determinar uma solução, é considerar que o corpo oscile imerso
em algum fluido, como ar, água, óleo, entre outros. Isto obrigará a consideração de alguma força externa de atrito
agindo sobre o sistema.
</p>
<p class=" unidade" id="4P496" title="4P496">
Em geral, uma força de atrito é considerada como sendo proporcional a uma potência da velocidade. Como a velocidade de
oscilação da massa é relativamente pequena, em geral a potência considerada é 1, isto é, a força de atrito <span class="MATH"><img style="height: 1.76ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2103.svg" alt="$\vec{r}$"></span> é
proporcional à velocidade <span class="MATH"><img style="height: 1.76ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2183.svg" alt="$\vec{v}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P497" title="4P497">
Nestes termos, consideremos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\vec{r} = -\lambda \vec{v},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P498" title="4P498">
<img style="height: 1.93ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img2184.svg" alt="$\displaystyle \vec{r} = -\lambda \vec{v}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P499" style="text-indent: 0 !important;" title="4P499">
para <!-- MATH
$\lambda > 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img1883.svg" alt="$\lambda > 0$"></span>. O sinal negativo é decorrência de que a força de amortecimento é contrária à velocidade. Assim, a
força resultante <span class="MATH"><img style="height: 2.25ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2110.svg" alt="$\vec{F}$"></span> é
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\vec{F} = \vec{p} + \vec{t} + \vec{r},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P500" title="4P500">
<img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2185.svg" alt="$\displaystyle \vec{F} = \vec{p} + \vec{t} + \vec{r}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P501" style="text-indent: 0 !important;" title="4P501">
e temos
<!-- MATH
\begin{displaymath}
m\vec{a} = \vec{F} = \vec{t} + \vec{p} + \vec{r} = ks - ky - mg - \lambda \vec{v} = - ky - \lambda \vec{v}.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P502" title="4P502">
<img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2186.svg" alt="$\displaystyle m\vec{a} = \vec{F} = \vec{t} + \vec{p} + \vec{r} = ks - ky - mg - \lambda \vec{v} = - ky - \lambda \vec{v}. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P503" title="4P503">
Lembrando que a aceleração é a derivada segunda da posição (<!-- MATH
$\vec{a} = y''$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.21ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2187.svg" alt="$\vec{a} = y''$"></span>) e que a velocidade é a derivada primeira
da posição (<!-- MATH
$\vec{v} = y'$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.21ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2188.svg" alt="$\vec{v} = y'$"></span>), então vem a equação diferencial
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P504" title="4P504"><a id="eqmasmol"></a><!-- MATH
\begin{equation}
my'' + \lambda y' + ky = 0,
\end{equation}
-->
<table >
<tbody><tr>
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.31ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img2189.svg" alt="$\displaystyle my'' + \lambda y' + ky = 0,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
(<span class="arabic">4</span>.<span class="arabic">20</span>) </td></tr>
</tbody></table> </div>
<p class=" unidade" id="4P505" style="text-indent: 0 !important;" title="4P505">
sujeita às condições iniciais <!-- MATH
$y(0) = y_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2174.svg" alt="$y(0) = y_{0}$"></span> (posição inicial) e <!-- MATH
$y'(0) = v_{0}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.34ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2135.svg" alt="$y'(0) = v_{0}$"></span> (velocidade inicial).
</p>
<p class=" unidade" id="4P506" title="4P506">
A solução desta equação agora depende agora das raízes da equação auxiliar quadrática,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
mx^{2} + \lambda x + k = 0,
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P507" title="4P507">
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img2190.svg" alt="$\displaystyle mx^{2} + \lambda x + k = 0, $">
</div><p class=" unidade" id="4P508" style="text-indent: 0 !important;" title="4P508">
e, portanto, do comportamento de <!-- MATH
$\Delta = \lambda^{2} - 4mk$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.20ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img2191.svg" alt="$\Delta = \lambda^{2} - 4mk$"></span>. Temos três casos a considerar.
</p>
<p class=" unidade" id="4P509" title="4P509">
<b>Caso 1</b>. Se <!-- MATH
$\Delta = (\lambda^{2} - 4mk) > 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2192.svg" alt="$\Delta = (\lambda^{2} - 4mk) > 0$"></span> então podemos verificar que a função dada por
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y(t) = C_{1} e^{x_{1} t} + C_{2} e^{x_{2} t},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P510" title="4P510">
<img style="height: 2.56ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2193.svg" alt="$\displaystyle y(t) = C_{1} e^{x_{1} t} + C_{2} e^{x_{2} t}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P511" style="text-indent: 0 !important;" title="4P511">
com
<!-- MATH
\begin{displaymath}
x_{1} = \frac{-\lambda + \sqrt{\lambda^{2}-4mk}}{2m}, \qquad \text{e} \qquad x_{2} = \frac{-\lambda - \sqrt{\lambda^{2}-4mk}}{2m},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P512" title="4P512">
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img2194.svg" alt="$\displaystyle x_{1} = \frac{-\lambda + \sqrt{\lambda^{2}-4mk}}{2m},$">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img2195.svg" alt="$\displaystyle \qquad x_{2} = \frac{-\lambda - \sqrt{\lambda^{2}-4mk}}{2m}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P513" style="text-indent: 0 !important;" title="4P513">
é solução da equação diferencial (<a href="#eqmasmol">4.20</a>) para quaisquer constantes reais <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2132.svg" alt="$C_{1}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2133.svg" alt="$C_{2}$"></span>.
</p>
<p class=" unidade" id="4P514" title="4P514">
Observe que
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P515" title="4P515"><table class="equation">
<tbody><tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.51ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2136.svg" alt="$\displaystyle x_{1}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.13ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img2196.svg" alt="$\displaystyle = \frac{-\lambda + \sqrt{\lambda^{2}-4mk}}{2m} < \frac{-\lambda + \sqrt{\lambda^{2}}}{2m} = 0,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.50ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2138.svg" alt="$\displaystyle x_{2}$"></span></td>
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img2197.svg" alt="$\displaystyle = \frac{-\lambda - \sqrt{\lambda^{2}-4mk}}{2m} < 0,$"></span></td>
<td class="eqno" style="text-align:right">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
</tbody></table></div>
<p class=" unidade" id="4P516" style="text-indent: 0 !important;" title="4P516">
e isto garante que, independentemente das constantes <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2132.svg" alt="$C_{1}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2133.svg" alt="$C_{2}$"></span>, ou da posição inicial e da velocidade inicial,
a solução do sistema tende a zero exponencialmente quando <!-- MATH
$t \to \infty$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2072.svg" alt="$t \to \infty$"></span>. De outra forma,
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\lim_{t \to \infty} y(t) = 0.
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P517" title="4P517">
<img style="height: 3.33ex; vertical-align: -1.66ex; " src="img/img2198.svg" alt="$\displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t) = 0. $">
</div>
<p class=" unidade" id="4P518" title="4P518">
Isto significa que o movimento do corpo tende a cessar exponencialmente. É uma consequência imediata de uma constante
de amortecimento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2199.svg" alt="$\lambda$"></span> muito grande. Grande o suficiente para garantir que <!-- MATH
$\lambda^{2} - 4mk > 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.20ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img2200.svg" alt="$\lambda^{2} - 4mk > 0$"></span>. Neste caso
dizemos que o sistema é super amortecido.
</p>
<p class=" unidade" id="4P519" title="4P519">
<b>Caso 2</b>. Se <!-- MATH
$\Delta = (\lambda^{2}-4mk) = 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2201.svg" alt="$\Delta = (\lambda^{2}-4mk) = 0$"></span> então podemos verificar que a função
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y(t) = C_{1} e^{x t} + C_{2}te^{x t},
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P520" title="4P520">
<img style="height: 2.56ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2202.svg" alt="$\displaystyle y(t) = C_{1} e^{x t} + C_{2}te^{x t}, $">
</div><p class=" unidade" id="4P521" style="text-indent: 0 !important;" title="4P521">
é solução da equação diferencial (<a href="#eqmasmol">4.20</a>) para <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2132.svg" alt="$C_{1}$"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2133.svg" alt="$C_{2}$"></span> constantes reais e <!-- MATH
$x = -\frac{\lambda}{2m}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img2203.svg" alt="$x = -\frac{\lambda}{2m}$"></span>
a única raiz real da equação auxiliar.
</p>
<p class=" unidade" id="4P522" title="4P522">
Note que ainda temos <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img1317.svg" alt="$x < 0$"></span> e, portanto, a solução ainda decai (exponencialmente) para zero quando <!-- MATH
$t \to \infty$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2072.svg" alt="$t \to \infty$"></span>. Este
sistema é dito criticamente amortecido, pois ainda é amortecido, mas qualquer decréscimo na constante de amortecimento
<span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2199.svg" alt="$\lambda$"></span>, o movimento se tornará oscilatório.
</p>
<p class=" unidade" id="4P523" title="4P523">
<b>Caso 3</b>. Se <!-- MATH
$\Delta = (\lambda^{2}-4mk) < 0$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2204.svg" alt="$\Delta = (\lambda^{2}-4mk) < 0$"></span> então temos que a função
<!-- MATH
\begin{displaymath}
y(t) = e^{\frac{-\lambda}{2m}t} \left( C_{1}\cos(\omega t) + C_{2} {\mathrm {sen}}(\omega t) \right),
\end{displaymath}
-->
</p>
<div class="mathdisplay unidade" id="4P524" title="4P524">
<img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img2205.svg" alt="$\displaystyle y(t) = e^{\frac{-\lambda}{2m}t} \left( C_{1}\cos(\omega t) + C_{2} {\mathrm {sen}}(\omega t) \right), $">
</div><p class=" unidade" id="4P525" style="text-indent: 0 !important;" title="4P525">
com <!-- MATH
$\omega = \frac{\sqrt{4mk-\lambda^{2}}}{2m}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 3.22ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img2206.svg" alt="$\omega = \frac{\sqrt{4mk-\lambda^{2}}}{2m}$"></span>, é solução da equação diferencial (<a href="#eqmasmol">4.20</a>) para <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img2132.svg" alt="$C_{1}$"></span> e
<span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img2133.svg" alt="$C_{2}$"></span> constantes reais quaisquer. Observe que mesmo sendo um movimento oscilatório, o termo
<!-- MATH
$e^{\frac{-\lambda}{2m}t}$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2207.svg" alt="$e^{\frac{-\lambda}{2m}t}$"></span> tende a zero quando <!-- MATH
$t \to \infty$
-->
<span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2072.svg" alt="$t \to \infty$"></span>. Isto significa que este movimento oscilatório ainda
tende a diminuir e cessar com o tempo. Porém isto ocorrerá de forma mais lenta permitindo algum tempo de oscilação do
corpo antes da parada.
</p>
<p class=" unidade" id="4P526" title="4P526">
Este tempo de oscilação naturalmente depende de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2199.svg" alt="$\lambda$"></span> que é a constante de proporcionalidade da força de atrito.
Quanto menor o valor de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2199.svg" alt="$\lambda$"></span> mais tempo de oscilação antes de o corpo parar. Esta parada ocorre na prática, mas
lembremos que teoricamente a oscilação ocorre para todo <span class="MATH"><img style="height: 1.94ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img2147.svg" alt="$t \geq 0$"></span>.
</p>
:::
```{=html}
</div>
```
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