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# Capítulo 3: Igualdades exponenciais e logarítmicas {.unnumbered}
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```{=html}
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<div id="conteudo-capitulo">
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```
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:::{.raw_html}
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<p class=" unidade" id="3P1" title="3P1">
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Neste capítulo, explicaremos porque são válidas as identidades exponenciais mencionadas na introdução deste texto. As
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igualdades que usualmente definem as funções trigonométricas hiperbólicas, como soma de exponenciais,
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</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P2" title="3P2"><a id="idexpo"></a><!-- MATH
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\begin{equation}
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{\mathrm{senh}}x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \qquad \text{e} \qquad \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}.
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\end{equation}
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-->
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<table>
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<tbody><tr>
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<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 4.72ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img10.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$" loading="lazy"> e<img style="height: 4.72ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img11.svg" alt="$\displaystyle \qquad \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}. $" loading="lazy"></span></td>
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<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
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(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">1</span>) </td></tr>
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</tbody></table></div>
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<p class=" unidade" id="3P3" title="3P3">
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Como sabemos, o logaritmo é a função inversa da função exponencial, com a devida restrição no domínio e na imagem. É
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natural então pensarmos que as funções trigonométricas hiperbólicas inversas possam ser escritas como logaritmos. Isto
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de fato ocorre e também mostraremos como são obtidas as fórmulas
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</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P4" title="3P4"><a id="idlog"></a><!-- MATH
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\begin{equation}
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{\mathrm{senh}}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}) \qquad \text{e} \qquad \cosh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^{2} - 1}).
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\end{equation}
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-->
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<table>
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<tbody><tr>
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<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1114.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^{2} + 1})$" loading="lazy"> e<img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1115.svg" alt="$\displaystyle \qquad \cosh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^{2} - 1}).$" loading="lazy"></span></td>
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<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
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(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">2</span>) </td></tr>
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</tbody></table></div>
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<p class=" unidade" id="3P5" title="3P5">
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Identidades similares às identidades em (<a href="#idexpo">3.1</a>) e em (<a href="#idlog">3.2</a>) também são válidas para a trigonometria
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circular. Entretanto neste caso será necessário o envolvimento de variáveis complexas.
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</p>
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<a id="secspot"></a>
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:::
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## 3.1 Método das séries de potência {#SECTION00710000000000000000}
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::: {.raw_html}
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<p class=" unidade" id="3P6" title="3P6">
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O método que utilizaremos para provar as identidades em (<a href="#idexpo">3.1</a>) nesta seção é o método das séries de potência e
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então faremos primeiramente uma breve introdução às séries de potência de variáveis reais. Para um estudo mais
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aprofundado sobre séries de potências recomendamos [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Swokowski">8</a>, Swokowski].
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</p>
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<div><b>Definição <span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">1</span></b>
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Se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> é uma variável real independente, então uma série de potências em <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> é uma soma infinita da forma,
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4} + a_{5}x^{5} + \cdots
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\end{displaymath}
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-->
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P7" title="3P7">
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<img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1116.svg" alt="$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4} + a_{5}x^{5} + \cdots $" loading="lazy">
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</div>
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sendo que cada termo <span class="MATH"><img style="height: 1.48ex; vertical-align: -0.41ex; " src="img/img1117.svg" alt="$a_{n}$" loading="lazy"></span> é um número real, chamado de coeficiente da <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span>-ésima potência de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span>.
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</div>
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<p class=" unidade" id="3P8" title="3P8">
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Observe que o primeiro termo da série é <!-- MATH
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$a_{0}x^{0}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.38ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1119.svg" alt="$a_{0}x^{0}$" loading="lazy"></span>. Para simplificar a notação, estamos supondo que <span class="MATH"><img style="height: 2.03ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img1120.svg" alt="$x^{0} = 1$" loading="lazy"></span> mesmo
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para <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1121.svg" alt="$x=0$" loading="lazy"></span>.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P9" title="3P9">
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Se a soma infinita existir e for um número real <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img7.svg" alt="$S$" loading="lazy"></span>, então dizemos que a série converge, ou ainda, que converge para
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<span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img7.svg" alt="$S$" loading="lazy"></span>. Se a soma não existir então a série é dita divergente. Naturalmente a convergência de uma série de potências está
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condicionada aos termos <span class="MATH"><img style="height: 1.48ex; vertical-align: -0.41ex; " src="img/img1117.svg" alt="$a_{n}$" loading="lazy"></span> e principalmente ao valor da variável <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span>.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P10" title="3P10">
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Observe que para <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1121.svg" alt="$x=0$" loading="lazy"></span> a série se reduz a um único termo e, portanto, é uma série convergente (para <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1122.svg" alt="$a_{0}$" loading="lazy"></span>). O que
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realmente interessa é se existem outros valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span>, além de <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1121.svg" alt="$x=0$" loading="lazy"></span>, para os quais a série de potências é
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convergente. Nestes termos um fato importante é a determinação dos valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> que tornam uma série de potências
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convergente, isto é, determinar os valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> para os quais a soma infinita existe.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P11" title="3P11">
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O conjunto dos valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> que tornam a série convergente é um intervalo, centrado em <span class="MATH">0</span> e com raio <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img1123.svg" alt="$r>0$" loading="lazy"></span>. É um
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intervalo do tipo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1124.svg" alt="$(-r,r)$" loading="lazy"></span>, podendo ainda ser fechado em algum dos extremos. Para determinar este intervalo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1124.svg" alt="$(-r,r)$" loading="lazy"></span>
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usamos, em geral, o chamado teste da razão (Critério de D'Alembert).
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</p>
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<div id="3Teo2" title="3Teo2" class="unidade"><b>Teorema <span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">2</span></b> (Teste da razão)
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<i>Dada uma série <!-- MATH
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$\sum b_{n}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1125.svg" alt="$\sum b_{n}$" loading="lazy"></span>, então
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</i><table width="90%">
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<tbody><tr><td align="right" valign="top"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1126.svg" alt="$i)$" loading="lazy"></span></td><td valign="top"> Se <!-- MATH
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$\lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \right| = L < 1$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 4.12ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img1127.svg" alt="$\lim\limits_{n \to \infty} \left\vert \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \right\vert = L < 1$" loading="lazy"></span>, a série é absolutamente
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convergente (e, portanto, convergente).
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</td></tr>
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<tr><td align="right" valign="top"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1128.svg" alt="$ii)$" loading="lazy"></span></td><td valign="top"> Se <!-- MATH
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$\lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \right| = L > 1$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 4.12ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img1129.svg" alt="$\lim\limits_{n \to \infty} \left\vert \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \right\vert = L > 1$" loading="lazy"></span>, a série é divergente.
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</td></tr></tbody></table></div>
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<p class=" unidade" id="3P12" title="3P12">
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Para os valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> que tornam a série convergente, definimos uma função <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img299.svg" alt="$f(x)$" loading="lazy"></span>, cujo domínio é o intervalo de
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convergência da série. O recíproco disto é uma pergunta mais interessante. Dada uma função <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img299.svg" alt="$f(x)$" loading="lazy"></span> definida em algum
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intervalo <!-- MATH
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$I = (-r,r)$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1130.svg" alt="$I = (-r,r)$" loading="lazy"></span>, é possível obter uma série de potências <!-- MATH
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$\sum a_{n}x^{n}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1131.svg" alt="$\sum a_{n}x^{n}$" loading="lazy"></span> de forma que <!-- MATH
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$f(x) = \sum a_{n}x^{n}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1132.svg" alt="$f(x) = \sum a_{n}x^{n}$" loading="lazy"></span>
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para todo <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1133.svg" alt="$x \in I$" loading="lazy"></span>? Mais ainda, se existir tal série, como devem ser os coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 1.48ex; vertical-align: -0.41ex; " src="img/img1117.svg" alt="$a_{n}$" loading="lazy"></span>? A segunda pergunta
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é respondida pelo teorema de Maclaurin.
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</p>
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<div id="3Teo3" title="3Teo3" class="unidade"><b>Teorema <span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">3</span></b> (Teorema de Maclaurin)
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<i>Se <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img299.svg" alt="$f(x)$" loading="lazy"></span> é uma função que admite uma representação por série de potências de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span>,
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</i><!-- MATH
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\begin{displaymath}
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f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
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\end{displaymath}
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-->
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P13" title="3P13">
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<img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1134.svg" alt="$\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $" loading="lazy">
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</div><p class=" unidade" id="3P14" style="text-indent: 0 !important;" title="3P14"><i>
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para todo <!-- MATH
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$x \in (-r,r)$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1135.svg" alt="$x \in (-r,r)$" loading="lazy"></span>, então <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$" loading="lazy"></span> é uma função infinitamente diferenciável no ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1121.svg" alt="$x=0$" loading="lazy"></span> e mais ainda,
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</i><!-- MATH
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\begin{displaymath}
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f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2} x^{2} + \frac{f'''(0)}{3!} x^{3} + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^{4} + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n} + \cdots
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|
\end{displaymath}
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|
-->
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|
</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P15" title="3P15">
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<img style="height: 5.01ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1136.svg" alt="$\displaystyle f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2} x^{2} + \frac{f'''(0)}{3!...
|
|
... + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^{4} + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n} + \cdots $" loading="lazy">
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</div><i>
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para todo <!-- MATH
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$x \in (-r,r)$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1135.svg" alt="$x \in (-r,r)$" loading="lazy"></span>.
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|
</i></div>
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<p class=" unidade" id="3P16" title="3P16">
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Este teorema nos diz principalmente que os coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 1.48ex; vertical-align: -0.41ex; " src="img/img1117.svg" alt="$a_{n}$" loading="lazy"></span>, da série de potências de uma função, são
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|
respectivamente <!-- MATH
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$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 3.36ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1137.svg" alt="$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$" loading="lazy"></span>, sendo que a notação <span class="MATH"><img style="height: 2.11ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1138.svg" alt="$f^{(n)}$" loading="lazy"></span> refere-se à derivada de ordem <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span> da função <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$" loading="lazy"></span>.
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|
</p>
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<p class=" unidade" id="3P17" title="3P17">
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Para exemplificar o processo, vamos obter as séries de potência de algumas funções de interesse como <!-- MATH
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${\mathrm{senh}}x$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1139.svg" alt="${\mathrm{senh}}x$" loading="lazy"></span>, <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1140.svg" alt="$\cosh
|
|
x$" loading="lazy"></span>, <!-- MATH
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|
${\mathrm {sen}}x$
|
|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1141.svg" alt="${\mathrm {sen}}x$" loading="lazy"></span>, <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1142.svg" alt="$\cos x$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1143.svg" alt="$e^{x}$" loading="lazy"></span>, assumindo que estas funções admitem uma representação em série de potências em algum
|
|
intervalo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1124.svg" alt="$(-r,r)$" loading="lazy"></span>. Este não deve ser um trabalho difícil neste momento pois conhecemos as derivadas destas funções.
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|
Assim, parece não haver problemas significativos para a determinação dos coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 1.48ex; vertical-align: -0.41ex; " src="img/img1117.svg" alt="$a_{n}$" loading="lazy"></span> das séries de potências
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destas funções.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P18" title="3P18">
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Primeiramente, vamos à série de potências da função <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1143.svg" alt="$e^{x}$" loading="lazy"></span>. Esperamos encontrar uma série de potências em <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span>, de
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forma que,
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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e^{x} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4} + a_{5}x^{5} + \cdots.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P19" title="3P19">
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|
<img style="height: 2.49ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1144.svg" alt="$\displaystyle e^{x} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4} + a_{5}x^{5} + \cdots. $" loading="lazy">
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|
</div>
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<p class=" unidade" id="3P20" title="3P20">
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De acordo com o teorema de Maclaurin, devemos ter <!-- MATH
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$a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$
|
|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 3.36ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1145.svg" alt="$a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$" loading="lazy"></span> para todo <!-- MATH
|
|
$n \in \mathbb{N}$
|
|
-->
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|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1146.svg" alt="$n \in \mathbb{N}$" loading="lazy"></span>. Como sabemos,
|
|
a função exponencial <!-- MATH
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$f(x) = e^{x}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1147.svg" alt="$f(x) = e^{x}$" loading="lazy"></span> possui derivadas de qualquer ordem contínuas e mais ainda <!-- MATH
|
|
$f^{(n)}(x) = e^{x}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1148.svg" alt="$f^{(n)}(x) = e^{x}$" loading="lazy"></span> para
|
|
qualquer <!-- MATH
|
|
$n \in \mathbb{N}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1146.svg" alt="$n \in \mathbb{N}$" loading="lazy"></span>. Então os coeficientes da série de Maclaurin ficam
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<!-- MATH
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|
\begin{displaymath}
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|
a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{e^{0}}{n!} = \frac{1}{n!},
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|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P21" title="3P21">
|
|
<img style="height: 4.98ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1149.svg" alt="$\displaystyle a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{e^{0}}{n!} = \frac{1}{n!}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P22" style="text-indent: 0 !important;" title="3P22">
|
|
e assim temos que
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|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P23" title="3P23"><a id="exserie"></a><!-- MATH
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\begin{equation}
|
|
e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{4!}x^{4} + \frac{1}{5!}x^{5} + \frac{1}{6!}x^{6} + \frac{1}{7!}x^{7} + \cdots.
|
|
\end{equation}
|
|
-->
|
|
<table>
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 4.56ex; vertical-align: -1.59ex; " src="img/img1150.svg" alt="$\displaystyle e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{4!}x^{4} + \frac{1}{5!}x^{5} + \frac{1}{6!}x^{6} + \frac{1}{7!}x^{7} + \cdots.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
|
|
(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">3</span>) </td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P24" title="3P24">
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|
Podemos determinar (pelo teste da razão) que a série do lado direito converge para todo <!-- MATH
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|
$x \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, já que para qualquer <!-- MATH
|
|
$x \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>,
|
|
<!-- MATH
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|
\begin{displaymath}
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|
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{(n+1)!} x^{n+1}}{ \frac{1}{n!} x^{n}} \right|
|
|
= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n!}{(n+1)!} \frac{x^{n+1}}{x^{n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} |x| = 0 < 1,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P25" title="3P25">
|
|
<img style="height: 6.68ex; vertical-align: -2.74ex; " src="img/img1152.svg" alt="$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\vert \frac{\frac{1}{(n+1)!} x^{n+1}}{ \...
|
|
...}{x^{n}} \right\vert = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \vert x\vert = 0 < 1, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P26" style="text-indent: 0 !important;" title="3P26">
|
|
e, portanto, a igualdade (<a href="#exserie">3.3</a>) é válida para todo <!-- MATH
|
|
$x \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P27" title="3P27">
|
|
Consideremos agora a função <!-- MATH
|
|
$f(x) = {\mathrm{senh}}x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1153.svg" alt="$f(x) = {\mathrm{senh}}x$" loading="lazy"></span>. Queremos determinar os coeficientes <!-- MATH
|
|
$a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 3.36ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1145.svg" alt="$a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$" loading="lazy"></span> para
|
|
todo <!-- MATH
|
|
$n \in \mathbb{N}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1146.svg" alt="$n \in \mathbb{N}$" loading="lazy"></span>. Dos resultados dos capítulos anteriores, temos que se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span> é par, <!-- MATH
|
|
$f^{(n)}(x) = {\mathrm{senh}}x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1154.svg" alt="$f^{(n)}(x) = {\mathrm{senh}}x$" loading="lazy"></span> e se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span> é
|
|
ímpar <!-- MATH
|
|
$f^{(n)}(x) = \cosh x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1155.svg" alt="$f^{(n)}(x) = \cosh x$" loading="lazy"></span>. Desta forma, os coeficientes são dados por
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
a_{n} = \left\{ \begin{array}{ll}
|
|
\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} = \dfrac{{\mathrm{senh}}0}{n!} = \dfrac{0}{n!} = 0 & \text{se} \quad n \quad \text{é par}, \\
|
|
& \\
|
|
\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} = \dfrac{\cosh 0}{n!} = \dfrac{1}{n!} & \text{se} \quad n \quad \text{é ímpar}.
|
|
\end{array} \right.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P28" title="3P28">
|
|
<img style="height: 12.90ex; vertical-align: -5.94ex; " src="img/img1156.svg" alt="$\displaystyle a_{n} = \left\{ \begin{array}{ll}
|
|
\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} = \dfr...
|
|
...dfrac{1}{n!} & \text{se} \quad n \quad \text{é ímpar}.
|
|
\end{array} \right. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P29" title="3P29">
|
|
Substituindo estes coeficientes na série de potências temos que
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P30" title="3P30"><a id="sinhxserie"></a><!-- MATH
|
|
\begin{equation}
|
|
{\mathrm{senh}}x = x + \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{5!}x^{5} + \frac{1}{7!}x^{7} + \frac{1}{9!}x^{9} + \frac{1}{11!}x^{11} + \cdots.
|
|
\end{equation}
|
|
-->
|
|
<table >
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1157.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}x = x + \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{5!}x^{5} + \frac{1}{7!}x^{7} + \frac{1}{9!}x^{9} + \frac{1}{11!}x^{11} + \cdots.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
|
|
(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">4</span>)</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P31" title="3P31">
|
|
A série do lado direito converge (pelo teste da razão) para qualquer <!-- MATH
|
|
$x \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, pois para todo <!-- MATH
|
|
$x \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> temos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}}{ \frac{1}{(2n-1)!} x^{2n-1}} \right|
|
|
= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} \frac{x^{2n+1}}{x^{2n-1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n+1)2n} |x^{2}| = 0 < 1,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P32" title="3P32">
|
|
<img style="height: 6.84ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1158.svg" alt="$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\vert \frac{\frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}}{...
|
|
...\right\vert = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n+1)2n} \vert x^{2}\vert = 0 < 1, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P33" style="text-indent: 0 !important;" title="3P33">
|
|
e, portanto, a igualdade (<a href="#sinhxserie">3.4</a>) é válida para todo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> real.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P34" title="3P34">
|
|
Com raciocínio similar desenvolvemos a série de potências para a função <!-- MATH
|
|
$f(x) = \cosh x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1159.svg" alt="$f(x) = \cosh x$" loading="lazy"></span>. Lembremos que agora,
|
|
<!-- MATH
|
|
$f^{(n)}(x) = \cosh x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1155.svg" alt="$f^{(n)}(x) = \cosh x$" loading="lazy"></span> se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span> é par e <!-- MATH
|
|
$f^{(n)}(x) = {\mathrm{senh}}x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1154.svg" alt="$f^{(n)}(x) = {\mathrm{senh}}x$" loading="lazy"></span> se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span> é ímpar. Então, contrariamente ao caso anterior,
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
a_{n} = \left\{ \begin{array}{ll}
|
|
\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} = \dfrac{\cosh 0}{n!} = \dfrac{1}{n!} & \text{se} \quad n \quad \text{é par}, \\
|
|
& \\
|
|
\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} = \dfrac{{\mathrm{senh}}0}{n!} = \dfrac{0}{n!} = 0 & \text{se} \quad n \quad \text{é ímpar}.
|
|
\end{array} \right.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P35" title="3P35">
|
|
<img style="height: 12.90ex; vertical-align: -5.94ex; " src="img/img1160.svg" alt="$\displaystyle a_{n} = \left\{ \begin{array}{ll}
|
|
\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} = \dfr...
|
|
...c{0}{n!} = 0 & \text{se} \quad n \quad \text{é ímpar}.
|
|
\end{array} \right. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P36" title="3P36">
|
|
Desta forma, temos
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P37" title="3P37"><a id="coshxserie"></a><!-- MATH
|
|
\begin{equation}
|
|
\cosh x = 1 + \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} + \frac{1}{6!}x^{6} + \frac{1}{8!}x^{8} + \frac{1}{10!}x^{10} + \cdots,
|
|
\end{equation}
|
|
-->
|
|
<table>
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 4.56ex; vertical-align: -1.59ex; " src="img/img1161.svg" alt="$\displaystyle \cosh x = 1 + \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} + \frac{1}{6!}x^{6} + \frac{1}{8!}x^{8} + \frac{1}{10!}x^{10} + \cdots,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
|
|
(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">5</span>) </td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P38" style="text-indent: 0 !important;" title="3P38">
|
|
sendo também esta igualdade verdadeira para todo <!-- MATH
|
|
$x \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P39" title="3P39">
|
|
Dada agora a função <!-- MATH
|
|
$f(x) = {\mathrm {sen}}x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1162.svg" alt="$f(x) = {\mathrm {sen}}x$" loading="lazy"></span>, queremos determinar para todo <!-- MATH
|
|
$n \in \mathbb{N}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1146.svg" alt="$n \in \mathbb{N}$" loading="lazy"></span> os coeficientes <!-- MATH
|
|
$a_{n} =
|
|
\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 3.36ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1145.svg" alt="$a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$" loading="lazy"></span> da série de potências de <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img299.svg" alt="$f(x)$" loading="lazy"></span>. Dos resultados anteriores, sabemos que se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span> é par,
|
|
<!-- MATH
|
|
$f^{(n)}(x) = (-1)^{\frac{n}{2}} {\mathrm {sen}}x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.71ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1163.svg" alt="$f^{(n)}(x) = (-1)^{\frac{n}{2}} {\mathrm {sen}}x$" loading="lazy"></span> e se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span> é ímpar <!-- MATH
|
|
$f^{(n)}(x) = (-1)^{\frac{n-1}{2}} \cos x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.98ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1164.svg" alt="$f^{(n)}(x) = (-1)^{\frac{n-1}{2}} \cos x$" loading="lazy"></span>. Desta forma, os
|
|
coeficientes são
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
a_{n} = \left\{ \begin{array}{ll}
|
|
\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} = \dfrac{(-1)^{\frac{n}{2}} {\mathrm {sen}}0}{n!} = \dfrac{0}{n!} = 0 & \text{se} \quad n \quad \text{é par}, \\
|
|
& \\
|
|
\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} = \dfrac{(-1)^{\frac{n-1}{2}} \cos 0}{n!} = \dfrac{(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{n!} & \text{se} \quad n \quad \text{é ímpar}.
|
|
\end{array} \right.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P40" title="3P40">
|
|
<img style="height: 13.31ex; vertical-align: -6.15ex; " src="img/img1165.svg" alt="$\displaystyle a_{n} = \left\{ \begin{array}{ll}
|
|
\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} = \dfr...
|
|
...-1}{2}}}{n!} & \text{se} \quad n \quad \text{é ímpar}.
|
|
\end{array} \right. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P41" title="3P41">
|
|
Observe que os termos <!-- MATH
|
|
$(-1)^{\frac{n-1}{2}}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.98ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1166.svg" alt="$(-1)^{\frac{n-1}{2}}$" loading="lazy"></span> para <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span> ímpar, são alternadamente 1 e -1. Substituindo estes coeficientes
|
|
na série de potências temos que
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P42" title="3P42"><a id="sinxserie"></a><!-- MATH
|
|
\begin{equation}
|
|
{\mathrm {sen}}x = x - \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{5!}x^{5} - \frac{1}{7!}x^{7} + \frac{1}{9!}x^{9} - \frac{1}{11!}x^{11} + \cdots.
|
|
\end{equation}
|
|
-->
|
|
<table>
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1167.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}x = x - \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{5!}x^{5} - \frac{1}{7!}x^{7} + \frac{1}{9!}x^{9} - \frac{1}{11!}x^{11} + \cdots.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
|
|
(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">6</span>) </td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P43" title="3P43">
|
|
A série do lado direito converge (pelo teste da razão) para qualquer <!-- MATH
|
|
$x \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, já que
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\lim_{n \to \infty} \left|- \frac{\frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}}{ \frac{1}{(2n-1)!} x^{2n-1}} \right|
|
|
= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} \frac{x^{2n+1}}{x^{2n-1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n+1)2n} |x^{2}| = 0 < 1,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P44" title="3P44">
|
|
<img style="height: 6.84ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1168.svg" alt="$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\vert- \frac{\frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}}...
|
|
...\right\vert = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n+1)2n} \vert x^{2}\vert = 0 < 1, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P45" style="text-indent: 0 !important;" title="3P45">
|
|
para qualquer <!-- MATH
|
|
$x \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Segue que a igualdade (<a href="#sinxserie">3.6</a>) é válida para todo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> real.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P46" title="3P46">
|
|
Com raciocínio similar a este abordamos a função <!-- MATH
|
|
$f(x) = \cos x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1169.svg" alt="$f(x) = \cos x$" loading="lazy"></span>. Lembremos que, <!-- MATH
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|
$f^{(n)}(x) = (-1)^{\frac{n}{2}} \cos
|
|
x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.71ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1170.svg" alt="$f^{(n)}(x) = (-1)^{\frac{n}{2}} \cos
|
|
x$" loading="lazy"></span> se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span> é par e <!-- MATH
|
|
$f^{(n)}(x) = (-1)^{\frac{n+1}{2}} {\mathrm {sen}}x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.98ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1171.svg" alt="$f^{(n)}(x) = (-1)^{\frac{n+1}{2}} {\mathrm {sen}}x$" loading="lazy"></span> se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span> é ímpar. Então, contrariamente ao caso anterior,
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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a_{n} = \left\{ \begin{array}{ll}
|
|
\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} = \dfrac{(-1)^{\frac{n}{2}} \cos 0}{n!} = \dfrac{(-1)^{\frac{n}{2}}}{n!} & \text{se} \quad n \quad \text{é par}, \\
|
|
& \\
|
|
\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} = \dfrac{(-1)^{\frac{n+1}{2}} {\mathrm {sen}}0}{n!} = \dfrac{0}{n!} = 0 & \text{se} \quad n \quad \text{é ímpar}.
|
|
\end{array} \right.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P47" title="3P47">
|
|
<img style="height: 13.31ex; vertical-align: -6.15ex; " src="img/img1172.svg" alt="$\displaystyle a_{n} = \left\{ \begin{array}{ll}
|
|
\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} = \dfr...
|
|
...c{0}{n!} = 0 & \text{se} \quad n \quad \text{é ímpar}.
|
|
\end{array} \right. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P48" title="3P48">
|
|
Desta forma, temos
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|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P49" title="3P49"><a id="cosxserie"></a><!-- MATH
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|
\begin{equation}
|
|
\cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} - \frac{1}{6!}x^{6} + \frac{1}{8!}x^{8} - \frac{1}{10!}x^{10} + \cdots,
|
|
\end{equation}
|
|
-->
|
|
<table>
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 4.56ex; vertical-align: -1.59ex; " src="img/img1173.svg" alt="$\displaystyle \cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} - \frac{1}{6!}x^{6} + \frac{1}{8!}x^{8} - \frac{1}{10!}x^{10} + \cdots,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
|
|
(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">7</span>)</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P50" style="text-indent: 0 !important;" title="3P50">
|
|
sendo também esta igualdade verdadeira para todo <!-- MATH
|
|
$x \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
|
|
</p>
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|
<p class=" unidade" id="3P51" title="3P51">
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Vamos usar agora as séries de potência obtidas anteriormente para verificar a validade das igualdades em
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|
(<a href="#idexpo">3.1</a>). Consideremos primeiro a série de potência da função exponencial em <a href="#secspot">3.1</a>,
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
|
|
e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{4!}x^{4} + \frac{1}{5!}x^{5} + \frac{1}{6!}x^{6} + \frac{1}{7!}x^{7} + \cdots,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P52" title="3P52">
|
|
<img style="height: 4.56ex; vertical-align: -1.59ex; " src="img/img1174.svg" alt="$\displaystyle e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{4!}x^{4} + \frac{1}{5!}x^{5} + \frac{1}{6!}x^{6} + \frac{1}{7!}x^{7} + \cdots, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P53" title="3P53">
|
|
válida para todo <!-- MATH
|
|
$x \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Naturalmente se substituirmos na série <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> por <span class="MATH"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1175.svg" alt="$-x$" loading="lazy"></span> obtemos a série de potências para a
|
|
função <span class="MATH"><img style="height: 1.85ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1176.svg" alt="$e^{-x}$" loading="lazy"></span>. Isto também pode ser feito como anteriormente, determinando-se os coeficientes <!-- MATH
|
|
$a_{n} =
|
|
\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 3.36ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1145.svg" alt="$a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$" loading="lazy"></span> para a série de potências da função <!-- MATH
|
|
$f(x) = e^{-x}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.38ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1177.svg" alt="$f(x) = e^{-x}$" loading="lazy"></span>. Isto nos leva aos coeficientes <!-- MATH
|
|
$a_{n} =
|
|
\frac{(-1)^{n}}{n!}$
|
|
-->
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|
<span class="MATH"><img style="height: 3.11ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1178.svg" alt="$a_{n} =
|
|
\frac{(-1)^{n}}{n!}$" loading="lazy"></span>. De qualquer forma teremos
|
|
<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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|
e^{-x} = 1 - x + \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{4!}x^{4} - \frac{1}{5!}x^{5} + \frac{1}{6!}x^{6} - \frac{1}{7!}x^{7} + \cdots,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P54" title="3P54">
|
|
<img style="height: 4.56ex; vertical-align: -1.59ex; " src="img/img1179.svg" alt="$\displaystyle e^{-x} = 1 - x + \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{4!}x^{4} - \frac{1}{5!}x^{5} + \frac{1}{6!}x^{6} - \frac{1}{7!}x^{7} + \cdots, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P55" style="text-indent: 0 !important;" title="3P55">
|
|
para todo <!-- MATH
|
|
$x \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Somando as série de potências de <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1143.svg" alt="$e^{x}$" loading="lazy"></span> e de <span class="MATH"><img style="height: 1.85ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1176.svg" alt="$e^{-x}$" loading="lazy"></span> obtemos,
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P56" title="3P56"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1180.svg" alt="$\displaystyle e^{x} + e^{-x}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.56ex; vertical-align: -1.59ex; " src="img/img1181.svg" alt="$\displaystyle = 2 + 2\frac{1}{2}x^{2} + 2\frac{1}{4!}x^{4} + 2\frac{1}{6!}x^{6} + 2\frac{1}{8!}x^{8} + 2\frac{1}{10!}x^{10} + \cdots$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.24ex; vertical-align: -2.10ex; " src="img/img1182.svg" alt="$\displaystyle = 2 \left( 1 + \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} + \frac{1}{6!}x^{6} + \frac{1}{8!}x^{8} + \frac{1}{10!}x^{10} + \cdots \right).$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P57" title="3P57">
|
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Agora lembremos que a série do lado direito é exatamente a série de potências da função cosseno hiperbólico (Ver
|
|
(<a href="#coshxserie">3.5</a>)). Desta forma temos que
|
|
<!-- MATH
|
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\begin{displaymath}
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|
e^{x} + e^{-x} = 2 \cosh x,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P58" title="3P58">
|
|
<img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1183.svg" alt="$\displaystyle e^{x} + e^{-x} = 2 \cosh x, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P59" style="text-indent: 0 !important;" title="3P59">
|
|
donde segue que
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P60" title="3P60">
|
|
<img style="height: 4.72ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1184.svg" alt="$\displaystyle \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P61" title="3P61">
|
|
Por outro lado, fazendo a diferença entre as séries de potências das funções <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1143.svg" alt="$e^{x}$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.85ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1176.svg" alt="$e^{-x}$" loading="lazy"></span>, temos
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P62" title="3P62"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1185.svg" alt="$\displaystyle e^{x} - e^{-x}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1186.svg" alt="$\displaystyle = 2x + 2\frac{1}{3!}x^{3} + 2\frac{1}{5!}x^{5} + 2\frac{1}{7!}x^{7} + 2\frac{1}{9!}x^{9} + 2\frac{1}{11!}x^{11} + \cdots$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.24ex; vertical-align: -2.10ex; " src="img/img1187.svg" alt="$\displaystyle = 2 \left( x + \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{5!}x^{5} + \frac{1}{7!}x^{7} + \frac{1}{9!}x^{9} + \frac{1}{11!}x^{11} + \cdots \right),$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P63" style="text-indent: 0 !important;" title="3P63">
|
|
e lembrando que o lado direito é a série de potências da função seno hiperbólico (Ver (<a href="#sinhxserie">3.4</a>)), temos que
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{x} - e^{-x} = 2 {\mathrm{senh}}x,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P64" title="3P64">
|
|
<img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1188.svg" alt="$\displaystyle e^{x} - e^{-x} = 2 {\mathrm{senh}}x, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P65" style="text-indent: 0 !important;" title="3P65">
|
|
donde segue
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
{\mathrm{senh}}x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P66" title="3P66">
|
|
<img style="height: 4.72ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1189.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P67" title="3P67">
|
|
Fica assim verificada a validade das fórmulas exponenciais, que são comumente utilizadas para definir as funções
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|
trigonométricas hiperbólicas. Com estas duas igualdades, podemos escrever as demais funções trigonométricas
|
|
hiperbólicas também em termos da função exponencial. São
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P68" title="3P68"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1190.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tgh}}x$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.90ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1191.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm{senh}}x}{\cosh x} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}},$" loading="lazy"> para<img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1192.svg" alt="$\displaystyle \quad x \in \mathbb{R},$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1193.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{ctgh}}x$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.90ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1194.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\cosh x}{{\mathrm{senh}}x} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}},$" loading="lazy"> para<img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img1195.svg" alt="$\displaystyle \quad x \neq 0,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1196.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{sech}}x$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.69ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1197.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{\cosh x} = \frac{2}{e^{x} + e^{-x}},$" loading="lazy"> para<img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1192.svg" alt="$\displaystyle \quad x \in \mathbb{R},$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1198.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{csch}}x$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.69ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1199.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{{\mathrm{senh}}x} = \frac{2}{e^{x} - e^{-x}},$" loading="lazy"> para<img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img1200.svg" alt="$\displaystyle \quad x \neq 0.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
:::
|
|
|
|
## 3.2 Método das equações diferenciais {#SECTION00720000000000000000}
|
|
|
|
::: {.raw_html}
|
|
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|
<p class=" unidade" id="3P69" title="3P69">
|
|
Nesta seção, provaremos as identidades em (<a href="#idexpo">3.1</a>) usando o método das equações diferenciais. Precisamos
|
|
naturalmente alguns resultados em relação às equações diferenciais. Para um estudo mais aprofundado sobre equações
|
|
diferenciais recomendamos [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Zill">10</a>, Zill].
|
|
</p>
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|
<div><p style="text-indent: 0 !important;"><b>Definição <span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">4</span></b>
|
|
Uma equação diferencial ordinária, de ordem <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span>, é uma equação que envolve uma variável real independente <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span>, uma
|
|
função <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1201.svg" alt="$y = f(x)$" loading="lazy"></span> e suas derivadas <!-- MATH
|
|
$y', y'', \dots, y^{(n)}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.51ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1202.svg" alt="$y', y'', \dots, y^{(n)}$" loading="lazy"></span>, de forma que o coeficiente de <span class="MATH"><img style="height: 2.51ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1203.svg" alt="$y^{(n)}$" loading="lazy"></span> seja não nulo.
|
|
</p></div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P70" title="3P70">
|
|
São exemplos de equações diferencias ordinárias:
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P71" title="3P71"><table>
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1204.svg" alt="$\displaystyle y'' + y = {\mathrm {sen}}(2x)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
<a id="EDO1">(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">8</span>)</a></td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.31ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1205.svg" alt="$\displaystyle y \cdot y' + x = 0$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
<a id="EDO2">(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">9</span>)</a></td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.61ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1206.svg" alt="$\displaystyle y^{(4)} + xy'' +e^{x}y = 0$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1207.svg" alt="$\displaystyle (y')^{2} + 3xy' - 4x^{2} = 0$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
<a id="EDO4">(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">10</span>)</a></td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.53ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1208.svg" alt="$\displaystyle x^{3}y''' +2x^{2}y'' - xy' + y = 12x^{2}$" loading="lazy"></span></td>
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<td class="eqno" style="text-align:right">
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<a id="EDO5">(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">11</span>)</a></td></tr>
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</tbody></table></div>
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<div><p style="text-indent: 0 !important;"><b>Definição <span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">5</span></b>
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Uma equação diferencial ordinária linear, de ordem <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span>, é uma equação diferencial que seja linear nas componentes
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<span class="MATH"><img style="height: 2.51ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1209.svg" alt="$y^{(k)}$" loading="lazy"></span>, para todo <!-- MATH
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$k = 0, 1, \dots, n$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1210.svg" alt="$k = 0, 1, \dots, n$" loading="lazy"></span>. É uma expressão da forma,
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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a_{n}(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + a_{2}(x) y^{''} + a_{1}(x) y^{'} + a_{0}(x) y = g(x),
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\end{displaymath}
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|
-->
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P72" title="3P72">
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<img style="height: 2.77ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1211.svg" alt="$\displaystyle a_{n}(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + a_{2}(x) y^{''} + a_{1}(x) y^{'} + a_{0}(x) y = g(x), $" loading="lazy">
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|
</div>
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sendo que as funções coeficientes <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1212.svg" alt="$a_{k}(x)$" loading="lazy"></span>, para todo <!-- MATH
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|
$k = 0,1, \dots, n$
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|
-->
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|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1210.svg" alt="$k = 0, 1, \dots, n$" loading="lazy"></span> e a função <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img300.svg" alt="$g(x)$" loading="lazy"></span>, são contínuas para todo
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<span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> em um certo intervalo de interesse <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img529.svg" alt="$I$" loading="lazy"></span>. Também <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1213.svg" alt="$a_{n}(x)$" loading="lazy"></span> é não identicamente nula em <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img529.svg" alt="$I$" loading="lazy"></span>. Quando <!-- MATH
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$g(x) \equiv 0$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1214.svg" alt="$g(x) \equiv 0$" loading="lazy"></span>,
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então dizemos que a equação diferencial é homogênea.
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</p></div>
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<div><p style="text-indent: 0 !important;"><b>Definição <span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">6</span></b>
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Qualquer função <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1201.svg" alt="$y = f(x)$" loading="lazy"></span>, definida num intervalo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img529.svg" alt="$I$" loading="lazy"></span>, que satisfaz a equação diferencial neste intervalo, é dita uma
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|
solução para a equação diferencial em <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img529.svg" alt="$I$" loading="lazy"></span>.
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</p></div>
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<p class=" unidade" id="3P73" title="3P73">
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As funções <!-- MATH
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$y = -\frac{1}{3}{\mathrm {sen}}(2x)$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img1215.svg" alt="$y = -\frac{1}{3}{\mathrm {sen}}(2x)$" loading="lazy"></span>, <!-- MATH
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$y = -2x^{2}$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.42ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1216.svg" alt="$y = -2x^{2}$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
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|
$y = x + x\ln x + 4x^{2}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.42ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1217.svg" alt="$y = x + x\ln x + 4x^{2}$" loading="lazy"></span> (<span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img637.svg" alt="$x>0$" loading="lazy"></span>), são soluções das equações
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diferenciais (<a href="#EDO1">3.8</a>), (<a href="#EDO4">3.10</a>) e (<a href="#EDO5">3.11</a>), respectivamente. A solução da equação diferencial (<a href="#EDO2">3.9</a>)
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é dada implicitamente por <!-- MATH
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$x^{2} + y^{2} = 4$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.42ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1218.svg" alt="$x^{2} + y^{2} = 4$" loading="lazy"></span>, para <!-- MATH
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$-2 < x < 2$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1219.svg" alt="$-2 < x < 2$" loading="lazy"></span>.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P74" title="3P74">
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Embora a ideia seja bastante simples, encontrar uma solução para uma equação diferencial dada, não é tarefa simples. Os
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métodos conhecidos nos permitem determinar soluções de uma classe muito pequena de equações diferenciais. Mesmo assim,
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algumas destas equações não possuem solução explícita.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P75" title="3P75">
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Não é do nosso interesse estudar aqui os métodos para obtenção de soluções de uma equação diferencial. Entretanto é
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importante saber que nem sempre uma solução para uma equação diferencial é única. Podemos verificar que a função
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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y = k_{1} \cos(x) + k_{2} {\mathrm {sen}}(x),
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|
\end{displaymath}
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|
-->
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|
</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P76" title="3P76">
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<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1220.svg" alt="$\displaystyle y = k_{1} \cos(x) + k_{2} {\mathrm {sen}}(x), $" loading="lazy">
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</div><p class=" unidade" id="3P77" style="text-indent: 0 !important;" title="3P77">
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|
é uma solução da equação <!-- MATH
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$y'' + y = 0$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.21ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1221.svg" alt="$y'' + y = 0$" loading="lazy"></span>, para quaisquer valores reais de <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img1222.svg" alt="$k_{1}$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1223.svg" alt="$k_{2}$" loading="lazy"></span>. Para podermos determinar os
|
|
valores de <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img1222.svg" alt="$k_{1}$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1223.svg" alt="$k_{2}$" loading="lazy"></span> são necessárias informações adicionais, chamadas de condições iniciais. Como veremos mais
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tarde, dentro de certas hipóteses, uma equação diferencial munida de condições iniciais possui solução única.
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</p>
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<div><p style="text-indent: 0 !important;"><b>Definição <span class="arabic">3</span>..<span class="arabic">7</span></b>
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Um problema de valor inicial, ou PVI, consiste de uma equação diferencial ordinária, de ordem <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span>, juntamente com <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span>
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restrições. Tais restrições são chamadas de condições iniciais. É um problema da forma,
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<!-- MATH
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|
\begin{displaymath}
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|
\left\{ \begin{array}{l}
|
|
a_{n}(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + a_{2}(x) y'' + a_{1}(x) y' + a_{0}(x) y = g(x), \\
|
|
y^{(n-1)}(x_{0}) = y_{n-1}, \quad \dots, \quad y''(x_{0}) = y_{2}, \quad y'(x_{0}) = y_{1}, \quad y(x_{0}) = y_{0}
|
|
\end{array} \right.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P78" title="3P78">
|
|
<img style="height: 6.51ex; vertical-align: -2.74ex; " src="img/img1224.svg" alt="$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
|
|
a_{n}(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)}...
|
|
... = y_{2}, \quad y'(x_{0}) = y_{1}, \quad y(x_{0}) = y_{0}
|
|
\end{array} \right. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
sendo que <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1225.svg" alt="$x_{0}$" loading="lazy"></span> é um ponto de interesse no intervalo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img529.svg" alt="$I$" loading="lazy"></span> e os valores <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1226.svg" alt="$y_{k}$" loading="lazy"></span>, para <!-- MATH
|
|
$k = 0,1, \dots, n-1$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1227.svg" alt="$k = 0,1, \dots, n-1$" loading="lazy"></span>, são
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números reais conhecidos.
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</p></div>
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<p class=" unidade" id="3P79" title="3P79">
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Cuidado para não confundir um PVI com uma equação diferencial. Um PVI é um conjunto de uma equação diferencial
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juntamente com condições iniciais.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P80" title="3P80">
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Como exemplo, vamos agora considerar a equação diferencial de ordem 2, mencionada anteriormente <!-- MATH
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|
$y'' + y = 0$
|
|
-->
|
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<span class="MATH"><img style="height: 2.21ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1221.svg" alt="$y'' + y = 0$" loading="lazy"></span>, a sua
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|
“família” de soluções dada por <!-- MATH
|
|
$y = k_{1} \cos(x) + k_{2} {\mathrm {sen}}(x)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1228.svg" alt="$y = k_{1} \cos(x) + k_{2} {\mathrm {sen}}(x)$" loading="lazy"></span> e impor duas condições iniciais que permitirão
|
|
determinar os valores de <span class="MATH"><img style="height: 2.00ex; vertical-align: -0.45ex; " src="img/img1222.svg" alt="$k_{1}$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.99ex; vertical-align: -0.44ex; " src="img/img1223.svg" alt="$k_{2}$" loading="lazy"></span>. Tomemos o PVI,
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\left\{\begin{array}{l} y'' + y = 0 \\y'(0) = 1, \quad y(0) = 2, \end{array} \right.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P81" title="3P81">
|
|
<img style="height: 6.51ex; vertical-align: -2.74ex; " src="img/img1229.svg" alt="$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} y'' + y = 0 \\ y'(0) = 1, \quad y(0) = 2, \end{array} \right. $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P82" style="text-indent: 0 !important;" title="3P82">
|
|
e substituindo as duas condições iniciais, temos que
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|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P83" title="3P83"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img1230.svg" alt="$\displaystyle 1$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1231.svg" alt="$\displaystyle = y'(0) = - k_{1} {\mathrm {sen}}(0) + k_{2} \cos(0) = k_{2},$" loading="lazy"> e</span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1232.svg" alt="$\displaystyle 2$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1233.svg" alt="$\displaystyle = y(0) = k_{1} \cos(0) + k_{2} {\mathrm {sen}}(0) = k_{1},$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P84" style="text-indent: 0 !important;" title="3P84">
|
|
o que nos leva a uma única solução do PVI dado, que é
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
y = 2 \cos(x) + {\mathrm {sen}}(x).
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P85" title="3P85">
|
|
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1234.svg" alt="$\displaystyle y = 2 \cos(x) + {\mathrm {sen}}(x). $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P86" title="3P86">
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|
O próximo teorema, é a chave para o nosso objetivo. Sua demonstração é que não é do nosso interesse, pois além de não
|
|
ser o objetivo principal deste capítulo, é um tanto complexa e exige ferramentas que não abordamos como por exemplo o
|
|
teorema de ponto fixo de Banach. Desta forma, vamos omitir a sua demonstração. O leitor interessado nesta demonstração
|
|
poderá consultar algum texto de Equações Diferenciais (ordinárias). Sugerimos [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Zill">10</a>, Zill].
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|
</p>
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|
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|
<div id="3Teo8" title="3Teo8" class="unidade"><a id="teoPicard"><b>Teorema <span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">8</span></b></a> (Teorema de Picard)
|
|
<i>Se as funções <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1212.svg" alt="$a_{k}(x)$" loading="lazy"></span>, para todo <!-- MATH
|
|
$k = 0,1,\dots, n$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1210.svg" alt="$k = 0, 1, \dots, n$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img300.svg" alt="$g(x)$" loading="lazy"></span>, forem contínuas em um intervalo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img529.svg" alt="$I$" loading="lazy"></span>, com <!-- MATH
|
|
$a_{n}(x)
|
|
\neq 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1235.svg" alt="$a_{n}(x)
|
|
\neq 0$" loading="lazy"></span> para todo <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1133.svg" alt="$x \in I$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.46ex; " src="img/img1225.svg" alt="$x_{0}$" loading="lazy"></span> é um ponto de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img529.svg" alt="$I$" loading="lazy"></span>, então o PVI
|
|
</i><!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\left\{ \begin{array}{l}
|
|
a_{n}(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + a_{2}(x) y'' + a_{1}(x) y' + a_{0}(x) y = g(x), \\
|
|
y^{(n-1)}(x_{0}) = y_{n-1}, \quad \dots, \quad y''(x_{0})=y_{2}, \quad y'(x_{0}) = y_{1}, \quad y(x_{0}) = y_{0}
|
|
\end{array} \right.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P87" title="3P87">
|
|
<img style="height: 6.51ex; vertical-align: -2.74ex; " src="img/img1224.svg" alt="$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
|
|
a_{n}(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)}...
|
|
... = y_{2}, \quad y'(x_{0}) = y_{1}, \quad y(x_{0}) = y_{0}
|
|
\end{array} \right. $" loading="lazy">
|
|
</div><i>
|
|
possui uma única solução <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1201.svg" alt="$y = f(x)$" loading="lazy"></span>, neste intervalo.
|
|
</i></div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P88" title="3P88">
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|
Agora estamos prontos para estabelecer as identidades mencionadas no início deste capítulo. Para isto, consideremos
|
|
primeiro o problema de valor inicial, definido em <!-- MATH
|
|
$I = \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1236.svg" alt="$I = \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>,
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\left\{ \begin{array}{l}
|
|
y'' - y = 0 \\
|
|
y'(0) = 0, \quad y(0) = 1.
|
|
\end{array} \right.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P89" title="3P89">
|
|
<img style="height: 6.51ex; vertical-align: -2.74ex; " src="img/img1237.svg" alt="$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
|
|
y'' - y = 0 \\
|
|
y'(0) = 0, \quad y(0) = 1.
|
|
\end{array} \right. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P90" title="3P90">
|
|
Notemos que a função
|
|
<!-- MATH
|
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\begin{displaymath}
|
|
y_{1} = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{-x} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P91" title="3P91">
|
|
<img style="height: 4.72ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1238.svg" alt="$\displaystyle y_{1} = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{-x} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P92" style="text-indent: 0 !important;" title="3P92">
|
|
é solução do PVI dado. Mas, do que vimos nos capítulos anteriores a respeito das funções trigonométricas hiperbólicas,
|
|
a função <!-- MATH
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|
$y_{2} = \cosh(x)$
|
|
-->
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|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1239.svg" alt="$y_{2} = \cosh(x)$" loading="lazy"></span>, satisfaz a equação diferencial, pois
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
(y_{2})'' - y_{2} = (\cosh(x))'' - \cosh(x) = \cosh(x) - \cosh(x) = 0,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P93" title="3P93">
|
|
<img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1240.svg" alt="$\displaystyle (y_{2})'' - y_{2} = (\cosh(x))'' - \cosh(x) = \cosh(x) - \cosh(x) = 0, $" loading="lazy">
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|
</div><p class=" unidade" id="3P94" style="text-indent: 0 !important;" title="3P94">
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para todo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> real e, além disso, <!-- MATH
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$y_{2} = \cosh(x)$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1239.svg" alt="$y_{2} = \cosh(x)$" loading="lazy"></span> satisfaz as duas condições iniciais,
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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y_{2}(0) = \cosh(0) = 1, \qquad \text{e} \qquad y_{2}'(0) = {\mathrm{senh}}(0) = 0,
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\end{displaymath}
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-->
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</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P95" title="3P95">
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<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1241.svg" alt="$\displaystyle y_{2}(0) = \cosh(0) = 1,$" loading="lazy"> e<img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.63ex; " src="img/img1242.svg" alt="$\displaystyle \qquad y_{2}'(0) = {\mathrm{senh}}(0) = 0, $" loading="lazy">
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</div><p class=" unidade" id="3P96" style="text-indent: 0 !important;" title="3P96">
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donde temos que <!-- MATH
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$y_{2} = \cosh(x)$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1239.svg" alt="$y_{2} = \cosh(x)$" loading="lazy"></span> é também uma solução do PVI. Mas o Teorema de Picard, garante que a solução deste
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PVI é única e, portanto, as duas soluções coincidem para todo <!-- MATH
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$x \in \mathbb{R}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, isto é,
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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\cosh(x) = y_{2} = y_{1} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2},
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|
\end{displaymath}
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|
-->
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</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P97" title="3P97">
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<img style="height: 4.72ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1243.svg" alt="$\displaystyle \cosh(x) = y_{2} = y_{1} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}, $" loading="lazy">
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|
</div><p class=" unidade" id="3P98" style="text-indent: 0 !important;" title="3P98">
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qualquer que seja <!-- MATH
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$x \in \mathbb{R}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P99" title="3P99">
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Para a segunda fórmula em (<a href="#idexpo">3.1</a>), consideremos outro problema de valor inicial, também definido em <!-- MATH
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$I = \mathbb{R}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1236.svg" alt="$I = \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>,
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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\left\{ \begin{array}{l}
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y'' - y = 0 \\
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y'(0) = 1, \quad y(0) = 0.
|
|
\end{array} \right.
|
|
\end{displaymath}
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|
-->
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|
</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P100" title="3P100">
|
|
<img style="height: 6.51ex; vertical-align: -2.74ex; " src="img/img1244.svg" alt="$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
|
|
y'' - y = 0 \\
|
|
y'(0) = 1, \quad y(0) = 0.
|
|
\end{array} \right. $" loading="lazy">
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|
</div>
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<p class=" unidade" id="3P101" title="3P101">
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Observe que, comparando com o PVI anterior, apenas trocamos as condições iniciais. Nestes termos, a função
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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y_{1} = \frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{-x} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2},
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|
\end{displaymath}
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|
-->
|
|
</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P102" title="3P102">
|
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<img style="height: 4.72ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1245.svg" alt="$\displaystyle y_{1} = \frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{-x} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P103" style="text-indent: 0 !important;" title="3P103">
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|
é solução deste novo PVI. Entretanto, do que vimos nos capítulos anteriores, a função <!-- MATH
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|
$y_{2} = {\mathrm{senh}}(x)$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1246.svg" alt="$y_{2} = {\mathrm{senh}}(x)$" loading="lazy"></span> também
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satisfaz a equação diferencial,
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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(y_{2})'' - y_{2} = ({\mathrm{senh}}(x))'' - {\mathrm{senh}}(x) = {\mathrm{senh}}(x) - {\mathrm{senh}}(x) = 0,
|
|
\end{displaymath}
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|
-->
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|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P104" title="3P104">
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<img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1247.svg" alt="$\displaystyle (y_{2})'' - y_{2} = ({\mathrm{senh}}(x))'' - {\mathrm{senh}}(x) = {\mathrm{senh}}(x) - {\mathrm{senh}}(x) = 0, $" loading="lazy">
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|
</div><p class=" unidade" id="3P105" style="text-indent: 0 !important;" title="3P105">
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para todo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> real e as duas condições inicias,
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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|
y_{2}(0) = {\mathrm{senh}}(0) = 0, \qquad \text{e} \qquad y_{2}'(0) = \cosh(0) = 1,
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|
\end{displaymath}
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|
-->
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|
</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P106" title="3P106">
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<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1248.svg" alt="$\displaystyle y_{2}(0) = {\mathrm{senh}}(0) = 0,$" loading="lazy"> e<img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.63ex; " src="img/img1249.svg" alt="$\displaystyle \qquad y_{2}'(0) = \cosh(0) = 1, $" loading="lazy">
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</div><p class=" unidade" id="3P107" style="text-indent: 0 !important;" title="3P107">
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e, dessa forma, <!-- MATH
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$y_{2} = {\mathrm{senh}}(x)$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1246.svg" alt="$y_{2} = {\mathrm{senh}}(x)$" loading="lazy"></span> também é solução do PVI, para todo <!-- MATH
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$x \in \mathbb{R}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Do Teorema de Picard, segue que as
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duas soluções coincidem para todo <!-- MATH
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$x \in \mathbb{R}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, isto é,
|
|
<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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{\mathrm{senh}}(x) = y_{2} = y_{1} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2},
|
|
\end{displaymath}
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|
-->
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|
</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P108" title="3P108">
|
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<img style="height: 4.72ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1250.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}(x) = y_{2} = y_{1} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P109" style="text-indent: 0 !important;" title="3P109">
|
|
para todo <!-- MATH
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$x \in \mathbb{R}$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
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</p>
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<a id="secforlog"></a>
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:::
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## 3.3 As fórmulas logarítmicas {#SECTION00730000000000000000}
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::: {.raw_html}
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<p class=" unidade" id="3P110" title="3P110">
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Esta seção é dedicada à obtenção das igualdades logarítmicas em (<a href="#idlog">3.2</a>), além das igualdades correspondentes às
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outras quatro funções trigonométricas hiperbólicas inversas.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P111" title="3P111">
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Dados <!-- MATH
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|
$x, y \in \mathbb{R}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.04ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1251.svg" alt="$x, y \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> de forma que <!-- MATH
|
|
$y = {\mathrm{senh}}^{-1} x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.51ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1252.svg" alt="$y = {\mathrm{senh}}^{-1} x$" loading="lazy"></span>, já sabemos que é válida a relação
|
|
<!-- MATH
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\begin{displaymath}
|
|
x = {\mathrm{senh}}y = \frac{e^{y} - e^{-y}}{2}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P112" title="3P112">
|
|
<img style="height: 4.72ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1253.svg" alt="$\displaystyle x = {\mathrm{senh}}y = \frac{e^{y} - e^{-y}}{2}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P113" title="3P113">
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Vamos isolar <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img71.svg" alt="$y$" loading="lazy"></span> no segundo membro e obter uma expressão para <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img71.svg" alt="$y$" loading="lazy"></span> em termos da variável independente <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span>. A igualdade
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|
anterior, nos leva a
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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|
2x = e^{y} - e^{-y}.
|
|
\end{displaymath}
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|
-->
|
|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P114" title="3P114">
|
|
<img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1254.svg" alt="$\displaystyle 2x = e^{y} - e^{-y}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
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<p class=" unidade" id="3P115" title="3P115">
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|
Multiplicando ambos os membros por <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1255.svg" alt="$e^{y}$" loading="lazy"></span> e reorganizando os termos temos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
(e^{y})^{2} - 2xe^{y} - 1 = 0,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P116" title="3P116">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1256.svg" alt="$\displaystyle (e^{y})^{2} - 2xe^{y} - 1 = 0, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P117" style="text-indent: 0 !important;" title="3P117">
|
|
que é uma equação quadrática na expressão <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1255.svg" alt="$e^{y}$" loading="lazy"></span>. As soluções desta equação quadrática, são dadas por
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{y} = \frac{2x \pm \sqrt{4x^{2} + 4} }{2} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P118" title="3P118">
|
|
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1257.svg" alt="$\displaystyle e^{y} = \frac{2x \pm \sqrt{4x^{2} + 4} }{2} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1}.$" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P119" title="3P119">
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|
Temos que descartar uma das soluções porque o lado esquerdo da igualdade acima é sempre positivo e o termo <!-- MATH
|
|
$x -
|
|
\sqrt{x^{2}+1}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.38ex; vertical-align: -0.31ex; " src="img/img1258.svg" alt="$x -
|
|
\sqrt{x^{2}+1}$" loading="lazy"></span> é sempre negativo já que <!-- MATH
|
|
$\sqrt{x^{2}+1} > x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.38ex; vertical-align: -0.31ex; " src="img/img1259.svg" alt="$\sqrt{x^{2}+1} > x$" loading="lazy"></span>. Tomando então a solução positiva temos <!-- MATH
|
|
$e^{y} = x +
|
|
\sqrt{x^{2} + 1}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.38ex; vertical-align: -0.31ex; " src="img/img1260.svg" alt="$e^{y} = x +
|
|
\sqrt{x^{2} + 1}$" loading="lazy"></span> e aplicando logaritmo (natural) em ambos os membros,
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
{\mathrm{senh}}^{-1} x = y = \ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}),
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P120" title="3P120">
|
|
<img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1261.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}^{-1} x = y = \ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}), $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P121" style="text-indent: 0 !important;" title="3P121">
|
|
para todo <!-- MATH
|
|
$x \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P122" title="3P122">
|
|
Para o cosseno hiperbólico inverso, consideramos <!-- MATH
|
|
$y = \cosh^{-1} x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.51ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1262.svg" alt="$y = \cosh^{-1} x$" loading="lazy"></span> e a relação inversa <!-- MATH
|
|
$x = \cosh y$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1263.svg" alt="$x = \cosh y$" loading="lazy"></span>, válida para
|
|
todos <span class="MATH"><img style="height: 1.94ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img1264.svg" alt="$x \geq 1$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1265.svg" alt="$y \geq 0$" loading="lazy"></span>. Como antes, tomemos a identidade
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
x = \cosh y = \frac{e^{y} + e^{-y}}{2},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P123" title="3P123">
|
|
<img style="height: 4.72ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1266.svg" alt="$\displaystyle x = \cosh y = \frac{e^{y} + e^{-y}}{2}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P124" style="text-indent: 0 !important;" title="3P124">
|
|
e vamos isolar <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img71.svg" alt="$y$" loading="lazy"></span> no segundo membro. De forma análoga ao caso anterior, multiplicamos os dois membros por <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1267.svg" alt="$2e^{y}$" loading="lazy"></span>,
|
|
reorganizamos os termos e chegamos a
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
(e^{y})^{2} - 2xe^{y} + 1 = 0,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P125" title="3P125">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1268.svg" alt="$\displaystyle (e^{y})^{2} - 2xe^{y} + 1 = 0, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P126" style="text-indent: 0 !important;" title="3P126">
|
|
e resolvendo esta equação quadrática em termos de <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1255.svg" alt="$e^{y}$" loading="lazy"></span> temos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{y} = \frac{2x \pm \sqrt{4x^{2} - 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^{2}-1}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P127" title="3P127">
|
|
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1269.svg" alt="$\displaystyle e^{y} = \frac{2x \pm \sqrt{4x^{2} - 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^{2}-1}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P128" title="3P128">
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|
Observamos agora que os dois termos a que se refere o segundo membro são positivos e, portanto, não há impossibilidades
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|
matemáticas para aplicar o logaritmo. Entretanto lembremos que <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1265.svg" alt="$y \geq 0$" loading="lazy"></span> e isto siginifica que <!-- MATH
|
|
$e^{y} \geq 1$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.95ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img1270.svg" alt="$e^{y} \geq 1$" loading="lazy"></span>. Mas
|
|
para <span class="MATH"><img style="height: 1.94ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img1264.svg" alt="$x \geq 1$" loading="lazy"></span> temos que
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
x = 1+\sqrt{(x-1)^{2}} = 1+\sqrt{x^{2}-2x+1} \leq 1+\sqrt{x^{2}-2+1} = 1+\sqrt{x^{2}-1},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P129" title="3P129">
|
|
<img style="height: 4.07ex; vertical-align: -1.22ex; " src="img/img1271.svg" alt="$\displaystyle x = 1+\sqrt{(x-1)^{2}} = 1+\sqrt{x^{2}-2x+1} \leq 1+\sqrt{x^{2}-2+1} = 1+\sqrt{x^{2}-1}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P130" style="text-indent: 0 !important;" title="3P130">
|
|
e desta forma <!-- MATH
|
|
$x - \sqrt{x^{2}-1} \leq 1$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.46ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img1272.svg" alt="$x - \sqrt{x^{2}-1} \leq 1$" loading="lazy"></span>.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P131" title="3P131">
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Descartando esta inconsistência, tomamos <!-- MATH
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$e^{y} = x + \sqrt{x^{2}-1}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.38ex; vertical-align: -0.31ex; " src="img/img1273.svg" alt="$e^{y} = x + \sqrt{x^{2}-1}$" loading="lazy"></span> e aplicando o logaritmo em ambos os membros, temos
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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\cosh^{-1} x = y = \ln(x + \sqrt{x^{2}-1}).
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\end{displaymath}
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-->
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</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P132" title="3P132">
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<img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1274.svg" alt="$\displaystyle \cosh^{-1} x = y = \ln(x + \sqrt{x^{2}-1}). $" loading="lazy">
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</div>
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<p class=" unidade" id="3P133" title="3P133">
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Já provamos as duas fórmulas indicadas no início deste capítulo. Contudo, vamos completar o trabalho e obter as
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fórmulas em termos do logaritmo para as demais funções trigonométricas hiperbólicas.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P134" title="3P134">
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Consideremos <!-- MATH
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$y = {\mathrm {tgh}}^{-1} x$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.59ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1275.svg" alt="$y = {\mathrm {tgh}}^{-1} x$" loading="lazy"></span> e a relação inversa
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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x = {\mathrm {tgh}}y = \frac{e^{y} - e^{-y}}{e^{y} + e^{-y}},
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\end{displaymath}
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-->
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</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P135" title="3P135">
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<img style="height: 4.90ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1276.svg" alt="$\displaystyle x = {\mathrm {tgh}}y = \frac{e^{y} - e^{-y}}{e^{y} + e^{-y}}, $" loading="lazy">
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</div><p class=" unidade" id="3P136" style="text-indent: 0 !important;" title="3P136">
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válida para <!-- MATH
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$x \in (-1,1)$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1277.svg" alt="$x \in (-1,1)$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
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$y \in \mathbb{R}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.04ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1278.svg" alt="$y \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Organizando os termos temos
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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xe^{y} + xe^{-y} = e^{y} - e^{-y},
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|
\end{displaymath}
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-->
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|
</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P137" title="3P137">
|
|
<img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1279.svg" alt="$\displaystyle xe^{y} + xe^{-y} = e^{y} - e^{-y}, $" loading="lazy">
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|
</div><p class=" unidade" id="3P138" style="text-indent: 0 !important;" title="3P138">
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|
e multiplicando ambos os membros por <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1255.svg" alt="$e^{y}$" loading="lazy"></span> e reorganizando em forma de equação quadrática, chegamos a
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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(1-x)(e^{y})^{2} - (1+x) = 0,
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|
\end{displaymath}
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|
-->
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|
</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P139" title="3P139">
|
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<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1280.svg" alt="$\displaystyle (1-x)(e^{y})^{2} - (1+x) = 0, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P140" style="text-indent: 0 !important;" title="3P140">
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|
que resolvida em termos de <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1255.svg" alt="$e^{y}$" loading="lazy"></span> fornece
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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|
e^{y} = \pm \sqrt{ \tfrac{1+x}{1-x} } = \pm \left( \tfrac{1+x}{1-x} \right)^{\frac{1}{2}}.
|
|
\end{displaymath}
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|
-->
|
|
</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P141" title="3P141">
|
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<img style="height: 4.08ex; vertical-align: -1.28ex; " src="img/img1281.svg" alt="$\displaystyle e^{y} = \pm \sqrt{ \tfrac{1+x}{1-x} } = \pm \left( \tfrac{1+x}{1-x} \right)^{\frac{1}{2}}. $" loading="lazy">
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</div>
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<p class=" unidade" id="3P142" title="3P142">
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Como o primeiro membro é sempre positivo, então descartamos a solução negativa. Observemos também que como <!-- MATH
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$x \in
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(-1,1)$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1277.svg" alt="$x \in (-1,1)$" loading="lazy"></span> então a fração dentro da raiz quadrada é sempre positiva, o que não acarreta mais inconsistências. Aplicando
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|
então o logaritmo, temos que
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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|
{\mathrm {tgh}}^{-1} x = y = \ln \left( \tfrac{1+x}{1-x} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln \left( \tfrac{1+x}{1-x} \right),
|
|
\end{displaymath}
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|
-->
|
|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P143" title="3P143">
|
|
<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1282.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tgh}}^{-1} x = y = \ln \left( \tfrac{1+x}{1-x} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln \left( \tfrac{1+x}{1-x} \right), $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P144" style="text-indent: 0 !important;" title="3P144">
|
|
para todo <!-- MATH
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|
$x \in (-1,1)$
|
|
-->
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|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1277.svg" alt="$x \in (-1,1)$" loading="lazy"></span>.
|
|
</p>
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<p class=" unidade" id="3P145" title="3P145">
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Agora a cotangente hiperbólica inversa. Tomamos <!-- MATH
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|
$y = {\mathrm{ctgh}}^{-1} x$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.59ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1283.svg" alt="$y = {\mathrm{ctgh}}^{-1} x$" loading="lazy"></span>, para todo <!-- MATH
|
|
$x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$
|
|
-->
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|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1284.svg" alt="$x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$" loading="lazy"></span>, com
|
|
<!-- MATH
|
|
$y \in \mathbb{R}-\{0\}$
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|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1285.svg" alt="$y \in \mathbb{R}-\{0\}$" loading="lazy"></span> e então
|
|
<!-- MATH
|
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\begin{displaymath}
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|
x = {\mathrm{ctgh}}y = \frac{e^{y} + e^{-y}}{e^{y} - e^{-y}}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P146" title="3P146">
|
|
<img style="height: 4.90ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1286.svg" alt="$\displaystyle x = {\mathrm{ctgh}}y = \frac{e^{y} + e^{-y}}{e^{y} - e^{-y}}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
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|
|
|
<p class=" unidade" id="3P147" title="3P147">
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|
Como no caso da tangente hiperbólica, reorganizamos os termos e multiplicamos por <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1255.svg" alt="$e^{y}$" loading="lazy"></span> ambos os membros e chegamos a
|
|
<!-- MATH
|
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\begin{displaymath}
|
|
(x-1)(e^{y})^{2} - (x+1) = 0,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P148" title="3P148">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1287.svg" alt="$\displaystyle (x-1)(e^{y})^{2} - (x+1) = 0, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P149" style="text-indent: 0 !important;" title="3P149">
|
|
e resolvendo esta equação quadrática em <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1255.svg" alt="$e^{y}$" loading="lazy"></span> temos
|
|
<!-- MATH
|
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\begin{displaymath}
|
|
e^{y} = \pm \sqrt{ \tfrac{x+1}{x-1} } = \pm \left( \tfrac{x+1}{x-1} \right)^{\frac{1}{2}}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P150" title="3P150">
|
|
<img style="height: 4.08ex; vertical-align: -1.28ex; " src="img/img1288.svg" alt="$\displaystyle e^{y} = \pm \sqrt{ \tfrac{x+1}{x-1} } = \pm \left( \tfrac{x+1}{x-1} \right)^{\frac{1}{2}}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P151" title="3P151">
|
|
Note que a fração dentro da raiz quadrada é sempre positiva para <!-- MATH
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$x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$
|
|
-->
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|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1284.svg" alt="$x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$" loading="lazy"></span>. De fato, o
|
|
numerador e o denominador são ambos negativos no intervalo <!-- MATH
|
|
$(-\infty,-1)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1289.svg" alt="$(-\infty,-1)$" loading="lazy"></span> e são ambos positivos no intervalo
|
|
<!-- MATH
|
|
$(1,\infty)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1290.svg" alt="$(1,\infty)$" loading="lazy"></span>. Vamos descartar a solução negativa, pois o lado esquerdo da igualdade é sempre positivo. Assim, tomando a
|
|
solução positiva e aplicando logaritmo em ambos os membros, vem
|
|
<!-- MATH
|
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\begin{displaymath}
|
|
{\mathrm{ctgh}}^{-1} x = y = \ln \left( \tfrac{x+1}{x-1} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln \left( \tfrac{x+1}{x-1} \right).
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P152" title="3P152">
|
|
<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1291.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{ctgh}}^{-1} x = y = \ln \left( \tfrac{x+1}{x-1} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln \left( \tfrac{x+1}{x-1} \right). $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P153" title="3P153">
|
|
Para a secante hiperbólica inversa, fazendo <!-- MATH
|
|
$y = {\mathrm{sech}}^{-1} x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.51ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1292.svg" alt="$y = {\mathrm{sech}}^{-1} x$" loading="lazy"></span>, para todo <!-- MATH
|
|
$x \in (0,1]$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1293.svg" alt="$x \in (0,1]$" loading="lazy"></span>, com <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1265.svg" alt="$y \geq 0$" loading="lazy"></span>, temos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
x = {\mathrm{sech}}y = \frac{2}{e^{y} + e^{-y}}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P154" title="3P154">
|
|
<img style="height: 4.69ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1294.svg" alt="$\displaystyle x = {\mathrm{sech}}y = \frac{2}{e^{y} + e^{-y}}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P155" title="3P155">
|
|
Após reorganização dos termos e multiplicação por <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1255.svg" alt="$e^{y}$" loading="lazy"></span>, obtemos a equação quadrática
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
x(e^{y})^{2} - 2e^{y} + x = 0,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P156" title="3P156">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1295.svg" alt="$\displaystyle x(e^{y})^{2} - 2e^{y} + x = 0, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P157" style="text-indent: 0 !important;" title="3P157">
|
|
que resolvida em termos de <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1255.svg" alt="$e^{y}$" loading="lazy"></span> nos traz
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{y} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4x^{2}} }{2x} = \frac{1 \pm \sqrt{1-x^{2}} }{x}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P158" title="3P158">
|
|
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1296.svg" alt="$\displaystyle e^{y} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4x^{2}} }{2x} = \frac{1 \pm \sqrt{1-x^{2}} }{x}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P159" title="3P159">
|
|
Notemos que para <!-- MATH
|
|
$x \in (0,1]$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1293.svg" alt="$x \in (0,1]$" loading="lazy"></span> ocorre <!-- MATH
|
|
$1-x^{2} \geq 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.31ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img1297.svg" alt="$1-x^{2} \geq 0$" loading="lazy"></span> e, portanto, não temos problemas com a raiz quadrada. Entretanto,
|
|
para <!-- MATH
|
|
$x \in (0,1]$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1293.svg" alt="$x \in (0,1]$" loading="lazy"></span> temos <!-- MATH
|
|
$(1-x) \geq 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1298.svg" alt="$(1-x) \geq 0$" loading="lazy"></span> e então
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
1-x = \sqrt{(1-x)^{2}} = \sqrt{(1-x)(1-x)} \leq \sqrt{(1-x)(1+x)} = \sqrt{1-x^{2}},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P160" title="3P160">
|
|
<img style="height: 4.07ex; vertical-align: -1.22ex; " src="img/img1299.svg" alt="$\displaystyle 1-x = \sqrt{(1-x)^{2}} = \sqrt{(1-x)(1-x)} \leq \sqrt{(1-x)(1+x)} = \sqrt{1-x^{2}}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P161" style="text-indent: 0 !important;" title="3P161">
|
|
donde temos que <!-- MATH
|
|
$1 - \sqrt{1-x^{2}} \leq x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.46ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img1300.svg" alt="$1 - \sqrt{1-x^{2}} \leq x$" loading="lazy"></span> e, portanto, <!-- MATH
|
|
$\frac{1 - \sqrt{1-x^{2}} }{x} \leq 1$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 3.22ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1301.svg" alt="$\frac{1 - \sqrt{1-x^{2}} }{x} \leq 1$" loading="lazy"></span>. Mas isto é inconsistente
|
|
com o primeiro membro <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1255.svg" alt="$e^{y}$" loading="lazy"></span>, que é maior ou igual a 1, já que <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1265.svg" alt="$y \geq 0$" loading="lazy"></span>. Só não seria inconsistente caso os dois
|
|
termos fossem iguais a 1, isto é <!-- MATH
|
|
$e^{y} = 1 = \frac{1 - \sqrt{1-x^{2}} }{x}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 3.22ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1302.svg" alt="$e^{y} = 1 = \frac{1 - \sqrt{1-x^{2}} }{x}$" loading="lazy"></span>, que somente ocorre se <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1303.svg" alt="$y = 0$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img1304.svg" alt="$x = 1$" loading="lazy"></span>.
|
|
Mas a igualdade <!-- MATH
|
|
$e^{y} = \frac{1 + \sqrt{1-x^{2}} }{x}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 3.22ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1305.svg" alt="$e^{y} = \frac{1 + \sqrt{1-x^{2}} }{x}$" loading="lazy"></span> também se verifica para <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1303.svg" alt="$y = 0$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img1304.svg" alt="$x = 1$" loading="lazy"></span> e, portanto, podemos
|
|
descartar totalmente a solução <!-- MATH
|
|
$e^{y} = \frac{1-\sqrt{1-x^{2}} }{x}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 3.22ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1306.svg" alt="$e^{y} = \frac{1-\sqrt{1-x^{2}} }{x}$" loading="lazy"></span>.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P162" title="3P162">
|
|
Tomando então a solução que não apresenta inconsistências, tomamos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{y} = \frac{1 + \sqrt{1-x^{2}} }{x},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P163" title="3P163">
|
|
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1307.svg" alt="$\displaystyle e^{y} = \frac{1 + \sqrt{1-x^{2}} }{x}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P164" style="text-indent: 0 !important;" title="3P164">
|
|
e aplicando o logaritmo, temos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
{\mathrm{sech}}^{-1} x = y = \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} \right).
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P165" title="3P165">
|
|
<img style="height: 6.51ex; vertical-align: -2.74ex; " src="img/img1308.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{sech}}^{-1} x = y = \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} \right). $" loading="lazy">
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</div>
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<p class=" unidade" id="3P166" title="3P166">
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|
Finalmente, considerando <!-- MATH
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$y = {\mathrm{csch}}^{-1} x$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.51ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1309.svg" alt="$y = {\mathrm{csch}}^{-1} x$" loading="lazy"></span> e a relação inversa
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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x = {\mathrm{csch}}y = \frac{2}{e^{y} - e^{-y}},
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\end{displaymath}
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|
-->
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|
</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P167" title="3P167">
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<img style="height: 4.69ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1310.svg" alt="$\displaystyle x = {\mathrm{csch}}y = \frac{2}{e^{y} - e^{-y}}, $" loading="lazy">
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</div><p class=" unidade" id="3P168" style="text-indent: 0 !important;" title="3P168">
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|
válida para todos <!-- MATH
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$x \in \mathbb{R}-\{0\}$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1311.svg" alt="$x \in \mathbb{R}-\{0\}$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
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|
$y \in \mathbb{R}-\{0\}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1285.svg" alt="$y \in \mathbb{R}-\{0\}$" loading="lazy"></span>. Procedendo como no caso da secante, obtemos a equação quadrática
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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x(e^{y})^{2} - 2e^{y} - x = 0,
|
|
\end{displaymath}
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|
-->
|
|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P169" title="3P169">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1312.svg" alt="$\displaystyle x(e^{y})^{2} - 2e^{y} - x = 0, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P170" style="text-indent: 0 !important;" title="3P170">
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|
que resolvida em <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1255.svg" alt="$e^{y}$" loading="lazy"></span>, nos fornece
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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e^{y} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4x^{2}} }{2x} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + x^{2}} }{x}.
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|
\end{displaymath}
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|
-->
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|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P171" title="3P171">
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|
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1313.svg" alt="$\displaystyle e^{y} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4x^{2}} }{2x} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + x^{2}} }{x}. $" loading="lazy">
|
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</div>
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<p class=" unidade" id="3P172" title="3P172">
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Notemos que como antes, queremos que o membro da direita seja positivo, pois o da esquerda o é. O termo
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<!-- MATH
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$\sqrt{1+x^{2}}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.38ex; vertical-align: -0.31ex; " src="img/img1314.svg" alt="$\sqrt{1+x^{2}}$" loading="lazy"></span> é sempre maior que 1. O numerador assume portanto valores positivos considerando <!-- MATH
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|
$1 + \sqrt{1+x^{2}}$
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|
-->
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|
<span class="MATH"><img style="height: 2.38ex; vertical-align: -0.31ex; " src="img/img1315.svg" alt="$1 + \sqrt{1+x^{2}}$" loading="lazy"></span>,
|
|
e valores negativos considerando <!-- MATH
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$1 - \sqrt{1+x^{2}}$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.38ex; vertical-align: -0.31ex; " src="img/img1316.svg" alt="$1 - \sqrt{1+x^{2}}$" loading="lazy"></span>. Mas como <!-- MATH
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|
$x \in \mathbb{R}-\{0\}$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1311.svg" alt="$x \in \mathbb{R}-\{0\}$" loading="lazy"></span> temos que o denominador também assume
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|
valores positivos e valores negativos. Então se <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img1317.svg" alt="$x < 0$" loading="lazy"></span>, devemos considerar a solução
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|
<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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|
e^{y} = \frac{1 - \sqrt{1 + x^{2}} }{x} = \frac{1}{x} - \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x} > 0,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P173" title="3P173">
|
|
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1318.svg" alt="$\displaystyle e^{y} = \frac{1 - \sqrt{1 + x^{2}} }{x} = \frac{1}{x} - \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x} > 0, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P174" style="text-indent: 0 !important;" title="3P174">
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|
e se <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img637.svg" alt="$x>0$" loading="lazy"></span>, devemos considerar a solução
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|
<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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|
e^{y} = \frac{1 + \sqrt{1 + x^{2}} }{x} = \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x} > 0.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P175" title="3P175">
|
|
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1319.svg" alt="$\displaystyle e^{y} = \frac{1 + \sqrt{1 + x^{2}} }{x} = \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x} > 0. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
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|
<p class=" unidade" id="3P176" title="3P176">
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|
Podemos ainda obter uma única expressão válida para os dois casos. Observe que se <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img637.svg" alt="$x>0$" loading="lazy"></span> podemos escrever
|
|
<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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e^{y} = \frac{1}{x} + \frac{ \sqrt{1 + x^{2}} }{x} = \frac{1}{x} + \frac{ \sqrt{1 + x^{2}} }{|x|},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P177" title="3P177">
|
|
<img style="height: 5.57ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1320.svg" alt="$\displaystyle e^{y} = \frac{1}{x} + \frac{ \sqrt{1 + x^{2}} }{x} = \frac{1}{x} + \frac{ \sqrt{1 + x^{2}} }{\vert x\vert}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P178" style="text-indent: 0 !important;" title="3P178">
|
|
e se <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img1317.svg" alt="$x < 0$" loading="lazy"></span>, podemos escrever
|
|
<!-- MATH
|
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\begin{displaymath}
|
|
e^{y} = \frac{1}{x} - \frac{ \sqrt{1 + x^{2}} }{x} = \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{-x} = \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{|x|}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P179" title="3P179">
|
|
<img style="height: 5.57ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1321.svg" alt="$\displaystyle e^{y} = \frac{1}{x} - \frac{ \sqrt{1 + x^{2}} }{x} = \frac{1}{x} ...
|
|
...c{\sqrt{1 + x^{2}}}{-x} = \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\vert x\vert}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P180" title="3P180">
|
|
Assim, para qualquer <!-- MATH
|
|
$x \in \mathbb{R}-\{0\}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1311.svg" alt="$x \in \mathbb{R}-\{0\}$" loading="lazy"></span>, escrevemos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{y} = \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}} }{|x|},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P181" title="3P181">
|
|
<img style="height: 5.57ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1322.svg" alt="$\displaystyle e^{y} = \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}} }{\vert x\vert}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P182" style="text-indent: 0 !important;" title="3P182">
|
|
e aplicando o logaritmo, temos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
{\mathrm{csch}}^{-1} x = y = \ln \left( \tfrac{1}{x} + \tfrac{\sqrt{1 + x^{2}} }{|x|} \right),
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P183" title="3P183">
|
|
<img style="height: 3.98ex; vertical-align: -1.47ex; " src="img/img1323.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{csch}}^{-1} x = y = \ln \left( \tfrac{1}{x} + \tfrac{\sqrt{1 + x^{2}} }{\vert x\vert} \right), $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P184" style="text-indent: 0 !important;" title="3P184">
|
|
que é válida para todo <!-- MATH
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|
$x \in \mathbb{R}^{*}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.75ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1324.svg" alt="$x \in \mathbb{R}^{*}$" loading="lazy"></span>.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P185" title="3P185">
|
|
A tabela abaixo reúne as fórmulas desta seção.
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|
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</p>
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|
<div class="CENTER"><a id="3995"></a>
|
|
<table>
|
|
<caption><strong>Tabela 3.1:</strong>
|
|
Fórmulas logarítmicas para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas.</caption>
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<tbody><tr><td>
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<div class="CENTER">
|
|
<table class="PAD BORDER">
|
|
<tbody><tr><td class="LEFT">função</td>
|
|
<td class="CENTER">domínio</td>
|
|
<td class="CENTER">igualdade logarítmica</td>
|
|
</tr>
|
|
<tr><td class="LEFT"><!-- MATH
|
|
${\mathrm{senh}}^{-1} x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.14ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1325.svg" alt="${\mathrm{senh}}^{-1} x$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="CENTER"><!-- MATH
|
|
$\mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="CENTER"><!-- MATH
|
|
$\ln(x + \sqrt{x^{2} + 1})$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.70ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1326.svg" alt="$\ln(x + \sqrt{x^{2} + 1})$" loading="lazy"></span> <br>
|
|
<br></td>
|
|
</tr>
|
|
<tr><td class="LEFT"><!-- MATH
|
|
$\cosh^{-1} x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.14ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1327.svg" alt="$\cosh^{-1} x$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="CENTER"><!-- MATH
|
|
$[1,\infty)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img547.svg" alt="$[1,\infty)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="CENTER"><!-- MATH
|
|
$\ln(x + \sqrt{x^{2}-1})$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.70ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1328.svg" alt="$\ln(x + \sqrt{x^{2}-1})$" loading="lazy"></span> <br>
|
|
<br></td>
|
|
</tr>
|
|
<tr><td class="LEFT"><!-- MATH
|
|
${\mathrm {tgh}}^{-1} x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.59ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1329.svg" alt="${\mathrm {tgh}}^{-1} x$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img614.svg" alt="$(-1,1)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="CENTER"><!-- MATH
|
|
$\frac{1}{2} \ln \left( \tfrac{1+x}{1-x} \right)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.94ex; vertical-align: -0.95ex; " src="img/img1330.svg" alt="$\frac{1}{2} \ln \left( \tfrac{1+x}{1-x} \right)$" loading="lazy"></span> <br>
|
|
<br></td>
|
|
</tr>
|
|
<tr><td class="LEFT"><!-- MATH
|
|
${\mathrm{ctgh}}^{-1} x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.59ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1331.svg" alt="${\mathrm{ctgh}}^{-1} x$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="CENTER"> <!-- MATH
|
|
$\mathbb{R}- [-1,1]$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1332.svg" alt="$\mathbb{R}- [-1,1]$" loading="lazy"></span> </td>
|
|
<td class="CENTER"><!-- MATH
|
|
$\frac{1}{2} \ln \left( \tfrac{x+1}{x-1} \right)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.94ex; vertical-align: -0.95ex; " src="img/img1333.svg" alt="$\frac{1}{2} \ln \left( \tfrac{x+1}{x-1} \right)$" loading="lazy"></span> <br>
|
|
<br></td>
|
|
</tr>
|
|
<tr><td class="LEFT"><!-- MATH
|
|
${\mathrm{sech}}^{-1} x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.14ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1334.svg" alt="${\mathrm{sech}}^{-1} x$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img887.svg" alt="$(0,1]$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="CENTER"><!-- MATH
|
|
$\ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} \right)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 3.98ex; vertical-align: -1.47ex; " src="img/img1335.svg" alt="$\ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} \right)$" loading="lazy"></span> <br>
|
|
<br></td>
|
|
</tr>
|
|
<tr><td class="LEFT"><!-- MATH
|
|
${\mathrm{csch}}^{-1} x$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.14ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1336.svg" alt="${\mathrm{csch}}^{-1} x$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="CENTER"><!-- MATH
|
|
$\mathbb{R}-\{0\}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1337.svg" alt="$\mathbb{R}-\{0\}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="CENTER"><!-- MATH
|
|
$\ln \left( \tfrac{1}{x} + \tfrac{\sqrt{1 + x^{2}} }{|x|} \right)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 3.98ex; vertical-align: -1.47ex; " src="img/img1338.svg" alt="$\ln \left( \tfrac{1}{x} + \tfrac{\sqrt{1 + x^{2}} }{\vert x\vert} \right)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
</tr>
|
|
</tbody></table>
|
|
<a id="tabdfhi"></a>
|
|
</div></td></tr>
|
|
</tbody></table>
|
|
</div>
|
|
<br>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P186" title="3P186">
|
|
Note que as fórmulas de derivação das funções trigonométricas hiperbólicas inversas, foram obtidas na seção
|
|
<a href="/trigonometria-hiperbolica/funcoes-trigonometricas-hiperbolicas#secderhipinv">2.8</a> e resumidas na tabela <a href="/trigonometria-hiperbolica/funcoes-trigonometricas-hiperbolicas#tabderhipinv">2.4</a>. Naquela seção foi utilizado o método da diferenciação
|
|
implícita. As fórmulas de derivação da tabela <a href="/trigonometria-hiperbolica/funcoes-trigonometricas-hiperbolicas#tabderhipinv">2.4</a> podem também ser obtidas derivando diretamente as
|
|
expressões logarítmicas da tabela <a href="#tabdfhi">3.1</a>. Deixamos os detalhes para o leitor.
|
|
</p>
|
|
|
|
:::
|
|
|
|
## 3.4 Extensão às variáveis complexas {#SECTION00740000000000000000}
|
|
|
|
::: {.raw_html}
|
|
<p class=" unidade" id="3P187" title="3P187">
|
|
Identidades similares das identidades (<a href="#idexpo">3.1</a>) são conhecidas para as funções trigonométricas circulares. Mas
|
|
isto exigirá o uso de números complexos. Além disso, modelos matemáticos que representam fenômenos físicos são
|
|
constantemente usados para estudar e conhecer esses fenômenos — e em várias situações — a representação desses fenômenos
|
|
exige a utilização de números complexos juntamente com funções trigonométricas. Em virtude disso, apresentaremos nesta
|
|
seção como são definidas as funções trigonométricas circulares e hiperbólicas de uma variável complexa.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P188" title="3P188">
|
|
Usando as séries de potências das funções trigonométricas, desenvolvidas na seção anterior, vamos construir as funções
|
|
trigonométricas de variáveis complexas. Na seção <a href="#secspot">3.1</a>, vimos que
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|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P189" title="3P189"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1339.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}x$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1340.svg" alt="$\displaystyle = x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \frac{1}{9!} x^{9} - \frac{1}{11!} x^{11} + \cdots,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1341.svg" alt="$\displaystyle \cos x$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.56ex; vertical-align: -1.59ex; " src="img/img1342.svg" alt="$\displaystyle = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} - \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{8!} x^{8} - \frac{1}{10!} x^{10} + \cdots,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1343.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}x$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1344.svg" alt="$\displaystyle = x + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{7!} x^{7} + \frac{1}{9!} x^{9} + \frac{1}{11!} x^{11} + \cdots,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1345.svg" alt="$\displaystyle \cosh x$" loading="lazy"></span></td>
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<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.56ex; vertical-align: -1.59ex; " src="img/img1346.svg" alt="$\displaystyle = 1 + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{8!} x^{8} + \frac{1}{10!} x^{10} + \cdots,$" loading="lazy"></span></td>
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<td class="eqno" style="text-align:right">
|
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</td></tr>
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</tbody></table></div>
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<p class=" unidade" id="3P190" style="text-indent: 0 !important;" title="3P190">
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para todo <!-- MATH
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$x \in \mathbb{R}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P191" title="3P191">
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Observe que o lado direito destas igualdades faz sentido se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> for um número complexo, desde que a série seja
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convergente para este número complexo. Isto nos sugere que a igualdade possa ser utilizada para definir as funções
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trigonométricas seno e cosseno para os números complexos que tornam a série convergente. Nestes termos, se <!-- MATH
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$z \in \mathbb{C}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1347.svg" alt="$z \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span>,
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então definimos
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</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P192" title="3P192"><table>
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<tbody><tr>
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<td style="text-align:center; vertical-align: middle;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1348.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}z$" loading="lazy"></span>
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<span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1349.svg" alt="$\displaystyle = z - \frac{1}{3!} z^{3} + \frac{1}{5!} z^{5} - \frac{1}{7!} z^{7} + \frac{1}{9!} z^{9} - \frac{1}{11!} z^{11} + \cdots,$" loading="lazy"></span></td>
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<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
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<a id="senz">(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">12</span>)</a></td></tr>
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|
<tr>
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<td style="text-align:center; vertical-align: middle;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1350.svg" alt="$\displaystyle \cos z$" loading="lazy"></span>
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 4.56ex; vertical-align: -1.59ex; " src="img/img1351.svg" alt="$\displaystyle = 1 - \frac{1}{2!} z^{2} + \frac{1}{4!} z^{4} - \frac{1}{6!} z^{6} + \frac{1}{8!} z^{8} - \frac{1}{10!} z^{10} +
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|
\cdots,$" loading="lazy"></span></td>
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|
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
|
|
<a id="cosz">(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">13</span>)</a></td></tr>
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|
<tr>
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<td style="text-align:center; vertical-align: middle;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1352.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}z$" loading="lazy"></span>
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1353.svg" alt="$\displaystyle = z + \frac{1}{3!} z^{3} + \frac{1}{5!} z^{5} + \frac{1}{7!} z^{7} + \frac{1}{9!} z^{9} + \frac{1}{11!} z^{11} + \cdots,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
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|
<a id="senhz">(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">14</span>)</a></td></tr>
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|
<tr>
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<td style="text-align:center; vertical-align: middle;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1354.svg" alt="$\displaystyle \cosh z$" loading="lazy"></span>
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 4.56ex; vertical-align: -1.59ex; " src="img/img1355.svg" alt="$\displaystyle = 1 - \frac{1}{2!} z^{2} + \frac{1}{4!} z^{4} + \frac{1}{6!} z^{6} + \frac{1}{8!} z^{8} + \frac{1}{10!} z^{10} +
|
|
\cdots,$" loading="lazy"></span></td>
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|
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
|
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<a id="coshz">(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">15</span>)</a></td></tr>
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</tbody></table></div>
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<p class=" unidade" id="3P193" style="text-indent: 0 !important;" title="3P193">
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desde que as séries convirjam.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P194" title="3P194">
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Precisamos determinar os valores <!-- MATH
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$z \in \mathbb{C}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1347.svg" alt="$z \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span> que tornam estas séries convergentes. Para isto, recorremos ao teste da
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razão (Critério de D'Alembert), para garantir a convergência de séries de potências de variável complexa. A
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demonstração deste teorema pode ser encontrada em algum texto de Variáveis complexas. Recomendamos [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#ZillVC">11</a>, Zill].
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</p>
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<div id="3Teo9" title="3Teo9" class="unidade"><a id="DAlembert"><b>Teorema <span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">9</span></b></a> (Teste da razão)
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<i>Se <!-- MATH
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$\{z_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1356.svg" alt="$\{z_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$" loading="lazy"></span> é uma sequência de números complexos e
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</i><!-- MATH
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\begin{displaymath}
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\lim_{n \to \infty} \left| \frac{z_{n+1}}{z_{n}} \right| = L < 1,
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\end{displaymath}
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-->
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P195" title="3P195">
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<img style="height: 5.24ex; vertical-align: -2.10ex; " src="img/img1357.svg" alt="$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\vert \frac{z_{n+1}}{z_{n}} \right\vert = L < 1, $" loading="lazy">
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</div><p class=" unidade" id="3P196" style="text-indent: 0 !important;" title="3P196"><i>
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então a série <!-- MATH
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$\sum z_{n}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1358.svg" alt="$\sum z_{n}$" loading="lazy"></span> é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
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</i></p></div>
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<p class=" unidade" id="3P197" title="3P197">
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A série de potências (<a href="#senz">3.12</a>) converge qualquer que seja <!-- MATH
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$z \in \mathbb{C}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1347.svg" alt="$z \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span>, pois
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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\lim_{n \to \infty} \left| - \frac{\frac{1}{(2n+1)!} z^{2n+1}}{\frac{1}{(2n-1)!} z^{2n-1}} \right|
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=\lim_{n \to \infty} \left| \frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} \frac{z^{2n+1}}{z^{2n-1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n+1)2n} |z^{2}| = 0 < 1,
|
|
\end{displaymath}
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|
-->
|
|
</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P198" title="3P198">
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<img style="height: 6.84ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1359.svg" alt="$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\vert - \frac{\frac{1}{(2n+1)!} z^{2n+1}...
|
|
...\right\vert = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n+1)2n} \vert z^{2}\vert = 0 < 1, $" loading="lazy">
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</div><p class=" unidade" id="3P199" style="text-indent: 0 !important;" title="3P199">
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para qualquer <!-- MATH
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$z \in \mathbb{C}$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1347.svg" alt="$z \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span>. Analogamente para as séries de potências em (<a href="#cosz">3.13</a>), (<a href="#senhz">3.14</a>) e (<a href="#coshz">3.15</a>).
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P200" title="3P200">
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Naturalmente as definições (<a href="#senz">3.12</a>)-(<a href="#coshz">3.15</a>) não são muito cômodas para trabalharmos. Vamos então tentar
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modificar estas expressões para redefinir seno e cosseno de números complexos em termos de funções reais de variável
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real. Independente de modificarmos estas expressões, os membros na direita destas igualdades são números complexos e
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então o que esperamos é que possamos reescrever a série de potências como sendo um número complexo mais simples de ser
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manipulado, dado na forma tradicional <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1360.svg" alt="$a + bi$" loading="lazy"></span> com <!-- MATH
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|
$a, b \in \mathbb{R}$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1361.svg" alt="$a, b \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P201" title="3P201">
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Comecemos então com a identidade (<a href="#senz">3.12</a>), colocando <!-- MATH
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$z = x + yi$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1362.svg" alt="$z = x + yi$" loading="lazy"></span>, com <!-- MATH
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|
$x, y \in \mathbb{R}$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.04ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1251.svg" alt="$x, y \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Temos então
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</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P202" title="3P202"><a id="eqseno"></a><!-- MATH
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\begin{equation}
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|
{\mathrm {sen}}(x+yi) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} (x+yi)^{2n+1}.
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|
\end{equation}
|
|
-->
|
|
<table>
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1363.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}(x+yi) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} (x+yi)^{2n+1}.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
|
|
(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">16</span>)
|
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</td></tr>
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|
</tbody></table>
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</div>
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<p class=" unidade" id="3P203" title="3P203">
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|
Usando a fórmula da expansão binomial para o termo <!-- MATH
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$(x+yi)^{2n+1}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1364.svg" alt="$(x+yi)^{2n+1}$" loading="lazy"></span>, podemos reescrever (<a href="#eqseno">3.16</a>) como
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|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P204" title="3P204"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1365.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}(x+yi)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1366.svg" alt="$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} (x+yi)^{2n+1}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1367.svg" alt="$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(2n+1)!}{r!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1368.svg" alt="$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{r!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r}.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
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|
|
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<p class=" unidade" id="3P205" title="3P205">
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O próximo lema será útil para trabalhar com o somatório duplo do segundo membro desta última igualdade.
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</p>
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<div id="3Teo10" title="3Teo10" class="unidade"><b>Lema <span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">10</span></b>
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|
<i>Para qualquer <!-- MATH
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|
$m \in \mathbb{N}$
|
|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1369.svg" alt="$m \in \mathbb{N}$" loading="lazy"></span>,
|
|
</i>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P206" title="3P206"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1370.svg" alt="$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{2n+1}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.16ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1371.svg" alt="$\displaystyle \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.04ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1372.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} {\mathrm {sen}}(x) + \frac{1}{(m+1)!} (yi)^{m+1} \cos(x)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1373.svg" alt="$\displaystyle \qquad \qquad - \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m+2)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m+2}.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
</div>
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|
|
|
|
<div><i>Prova</i>.
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|
Tomando
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|
<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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|
\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P207" title="3P207">
|
|
<img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1374.svg" alt="$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P208" style="text-indent: 0 !important;" title="3P208">
|
|
vamos separar o caso <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1375.svg" alt="$n = 0$" loading="lazy"></span> do somatório externo e depois os casos <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1376.svg" alt="$r = 0$" loading="lazy"></span> do somatório interno. Desta forma, para
|
|
qualquer que seja <!-- MATH
|
|
$m \in \mathbb{N}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1369.svg" alt="$m \in \mathbb{N}$" loading="lazy"></span>, obtemos
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P209" title="3P209"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1377.svg" alt="$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1378.svg" alt="$\displaystyle \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 0.19ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1379.svg" alt="$\displaystyle %
|
|
$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1380.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} x (yi)^{m} + \frac{1}{(m+1)!} (yi)^{m+1} + \sum_{n...
|
|
...infty} \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.04ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1381.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} x (yi)^{m} + \frac{1}{(m+1)!} (yi)^{m+1}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.89ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1382.svg" alt="$\displaystyle \qquad + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{(-1)^{n}}{m!(2n+1)!} x^...
|
|
...sum_{r=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m} \right)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.49ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1383.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} x (yi)^{m} + \frac{1}{(m+1)!} (yi)^{m+1} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{m!(2n+1)!} x^{2n+1} (yi)^{m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.89ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1384.svg" alt="$\displaystyle \qquad + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{r=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.67ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1385.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} \left( x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} x^{2n+1} \right) + \frac{1}{(m+1)!} (yi)^{m+1}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.89ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1384.svg" alt="$\displaystyle \qquad + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{r=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.89ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1386.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} {\mathrm {sen}}(x) + \frac{1}{(m+1)!} (yi...
|
|
...nfty} \sum_{r=1}^{2n+1}
|
|
\frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m}.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P210" title="3P210">
|
|
Separando novamente os temos em <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img1387.svg" alt="$r = 1$" loading="lazy"></span> do somatório interno, temos
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P211" title="3P211"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1377.svg" alt="$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1378.svg" alt="$\displaystyle \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 0.19ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1379.svg" alt="$\displaystyle %
|
|
$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.89ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1388.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} {\mathrm {sen}}(x) + \frac{1}{(m+1)!} (yi...
|
|
...infty} \sum_{r=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.04ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1389.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} {\mathrm {sen}}(x) + \frac{1}{(m+1)!} (yi)^{m+1}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.89ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1390.svg" alt="$\displaystyle \qquad + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{(-1)^{n}}{(m+1)!(2n)!} ...
|
|
...\sum_{r=2}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m}\right)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.49ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1391.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} {\mathrm {sen}}(x) + \frac{1}{(m+1)!} (yi)^{m+1} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(m+1)!(2n)!} x^{2n} (yi)^{m+1}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.89ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1392.svg" alt="$\displaystyle \qquad + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{r=2}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.67ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1393.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} {\mathrm {sen}}(x) + \frac{1}{(m+1)!} (yi)^{m+1} \left( 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n} \right)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.89ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1392.svg" alt="$\displaystyle \qquad + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{r=2}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.04ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1372.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} {\mathrm {sen}}(x) + \frac{1}{(m+1)!} (yi)^{m+1} \cos(x)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1394.svg" alt="$\displaystyle \qquad - \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=2}^{2n+3} \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+3)!} x^{2n-r+3} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.04ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1372.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} {\mathrm {sen}}(x) + \frac{1}{(m+1)!} (yi)^{m+1} \cos(x)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1395.svg" alt="$\displaystyle \qquad - \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+m+2)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m+2},$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P212" style="text-indent: 0 !important;" title="3P212">
|
|
exatamente como desejado.
|
|
<span style="float: right"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img193.svg" alt="$\qedsymbol$" loading="lazy"></span>
|
|
</p></div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P213" title="3P213">
|
|
Usando agora repetidamente este lema temos que
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P214" title="3P214"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right; vertical-align: middle;"><span class="MATH">sen</span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1397.svg" alt="$\displaystyle (x+yi) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{r!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1398.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}(x) + (yi)\cos(x) - \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+2)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1}(yi)^{r+2}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1399.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}(x) + (yi)\cos(x) - \frac{1}{2!} (yi)^{2} {\mathrm {sen}}(x) - \frac{1}{3!} (yi)^{3} \cos(x)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1400.svg" alt="$\displaystyle \qquad \qquad + \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+4)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+4}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1401.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}(x) + (yi)\cos(x) - \frac{1}{2!} (yi)^{2} {\math...
|
|
...s(x) + \frac{1}{4!} (yi)^{4} {\mathrm {sen}}(x) + \frac{1}{5!} (yi)^{5} \cos(x)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1402.svg" alt="$\displaystyle \qquad \qquad + \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+6)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+6}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1401.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}(x) + (yi)\cos(x) - \frac{1}{2!} (yi)^{2} {\math...
|
|
...s(x) + \frac{1}{4!} (yi)^{4} {\mathrm {sen}}(x) + \frac{1}{5!} (yi)^{5} \cos(x)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1403.svg" alt="$\displaystyle \qquad \qquad - \frac{1}{6!} (yi)^{6} {\mathrm {sen}}(x) - \frac{...
|
|
...} \sum_{r=0}^{2n+1} \frac{(-1)^{n}}{(r+8)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+8}, %
|
|
$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P215" style="text-indent: 0 !important;" title="3P215">
|
|
e assim sucessivamente. Desta forma, obtemos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
{\mathrm {sen}}(x+yi) = {\mathrm {sen}}(x) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}(yi)^{2n}
|
|
+ \cos(x) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} (yi)^{2n+1},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P216" title="3P216">
|
|
<img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1404.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}(x+yi) = {\mathrm {sen}}(x) \sum_{n=0}^{\infty} \f...
|
|
...(yi)^{2n}
|
|
+ \cos(x) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} (yi)^{2n+1}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P217" style="text-indent: 0 !important;" title="3P217">
|
|
e usando o fato de que <!-- MATH
|
|
$(yi)^{2n} = y^{2n}i^{2n} = (-1)^{n} y^{2n}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1405.svg" alt="$(yi)^{2n} = y^{2n}i^{2n} = (-1)^{n} y^{2n}$" loading="lazy"></span> e que <!-- MATH
|
|
$(yi)^{2n+1} = y^{2n+1}i^{2n+1} = (-1)^{n} y^{2n+1} i$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1406.svg" alt="$(yi)^{2n+1} = y^{2n+1}i^{2n+1} = (-1)^{n} y^{2n+1} i$" loading="lazy"></span>, então temos que
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P218" title="3P218"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1365.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}(x+yi)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1407.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}(x) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}(yi)^{2n} + \cos(x) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} (yi)^{2n+1}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1408.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}(x) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}(-...
|
|
...y^{2n} + \cos(x) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} (-1)^{n}y^{2n+1}i$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1409.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}(x) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}y^{2n} + i \cos(x) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}y^{2n+1}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1410.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}(x) \cosh(y) + i \cos(x) {\mathrm{senh}}(y).$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P219" title="3P219">
|
|
Temos portanto uma definição alternativa e mais elegante para a definição do seno de um número complexo <!-- MATH
|
|
$z = x + yi$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1362.svg" alt="$z = x + yi$" loading="lazy"></span>.
|
|
Definição esta que será também útil para os nossos propósitos. Não estamos interessados em repetir o procedimento
|
|
anterior, mas ele pode ser aplicado também às funções cosseno, senho hiperbólico e cosseno hiperbólico para obter
|
|
expressões mais simples. Como não repetiremos o processo anterior apenas enunciaremos as expressões finais na próxima definição.
|
|
</p>
|
|
<div><b>Definição <span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">11</span></b>
|
|
Dado <!-- MATH
|
|
$z = u + iv \in \mathbb{C}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1411.svg" alt="$z = u + iv \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span>, os números complexos seno de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1412.svg" alt="$z$" loading="lazy"></span>, cosseno de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1412.svg" alt="$z$" loading="lazy"></span>, seno hiperbólico de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1412.svg" alt="$z$" loading="lazy"></span> e cosseno
|
|
hiperbólico de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1412.svg" alt="$z$" loading="lazy"></span>, são dados respectivamente por,
|
|
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P220" title="3P220"><table>
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:center; vertical-align: middle;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1348.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}z$" loading="lazy"></span>
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1413.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}(u+iv) = {\mathrm {sen}}u \cosh v + i{\mathrm{senh}}v \cos u,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
|
|
<a id="defsinz">(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">17</span>)</a></td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:center; vertical-align: middle;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1350.svg" alt="$\displaystyle \cos z$" loading="lazy"></span>
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1414.svg" alt="$\displaystyle = \cos(u+iv) = \cos u \cosh v - i{\mathrm {sen}}u {\mathrm{senh}}v,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
|
|
<a id="defcosz">(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">18</span>)</a></td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:center; vertical-align: middle;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1352.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}z$" loading="lazy"></span>
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1415.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm{senh}}(u+iv) = {\mathrm{senh}}u \cos v + i{\mathrm {sen}}v \cosh u,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right; vertical-align: middle;">
|
|
<a id="defsenhz">(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">19</span>)</a></td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:center; vertical-align: middle;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1354.svg" alt="$\displaystyle \cosh z$" loading="lazy"></span>
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1416.svg" alt="$\displaystyle = \cosh(u+iv) = \cosh u \cos v + i{\mathrm{senh}}u {\mathrm {sen}}v.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
<a id="defcoshz">(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">20</span>)</a></td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P221" title="3P221">
|
|
Vamos analisar um pouco mais estas funções e verificar que elas possuem propriedades similares às funções
|
|
trigonométricas com argumentos reais. É natural esperar por isto, pois extensões não devem desorganizar o que já estava
|
|
“funcionando”. Comecemos com os casos circulares.
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|
</p>
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|
<p class=" unidade" id="3P222" title="3P222">
|
|
Vamos determinar as raízes das funções seno e cosseno. Queremos então determinar os valores de <!-- MATH
|
|
$z = u + iv \in \mathbb{C}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1411.svg" alt="$z = u + iv \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span> para
|
|
os quais <!-- MATH
|
|
${\mathrm {sen}}z = 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1417.svg" alt="${\mathrm {sen}}z = 0$" loading="lazy"></span>. Nestes termos queremos determinar os valores (reais) de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$" loading="lazy"></span> tais que
|
|
<!-- MATH
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|
\begin{displaymath}
|
|
{\mathrm {sen}}z = {\mathrm {sen}}u \cosh v + i {\mathrm{senh}}v \cos u = 0.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P223" title="3P223">
|
|
<img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1418.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}z = {\mathrm {sen}}u \cosh v + i {\mathrm{senh}}v \cos u = 0. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P224" title="3P224">
|
|
Da igualdade de números complexos temos que
|
|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P225" title="3P225"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1419.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}u \cosh v = 0,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1420.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}v \cos u = 0.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P226" title="3P226">
|
|
Da primeira equação, como <!-- MATH
|
|
$\cosh v \geq 1$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.94ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img1421.svg" alt="$\cosh v \geq 1$" loading="lazy"></span> para todo <!-- MATH
|
|
$v \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1422.svg" alt="$v \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, então resta que <!-- MATH
|
|
${\mathrm {sen}}u = 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img117.svg" alt="${\mathrm {sen}}u = 0$" loading="lazy"></span>. Temos assim que <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img216.svg" alt="$u = k \pi$" loading="lazy"></span> para qualquer <!-- MATH
|
|
$k \in \mathbb{Z}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>. Com estes valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> na segunda equação temos que <!-- MATH
|
|
$\cos u = \pm 1$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1423.svg" alt="$\cos u = \pm 1$" loading="lazy"></span> e então resta
|
|
que <!-- MATH
|
|
${\mathrm{senh}}v = 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1424.svg" alt="${\mathrm{senh}}v = 0$" loading="lazy"></span> donde obtemos <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1425.svg" alt="$v = 0$" loading="lazy"></span>. Assim,
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
{\mathrm {sen}}z = 0 \qquad \text{se e somente se} \qquad z = u+iv = k\pi,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P227" title="3P227">
|
|
<img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1426.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}z = 0$" loading="lazy"> se e somente se<img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1427.svg" alt="$\displaystyle \qquad z = u+iv = k\pi, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P228" style="text-indent: 0 !important;" title="3P228">
|
|
para qualquer <!-- MATH
|
|
$k \in \mathbb{Z}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>, exatamente como no caso real.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P229" title="3P229">
|
|
Analogamente para determinar os valores de <!-- MATH
|
|
$z = u + iv \in \mathbb{C}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1411.svg" alt="$z = u + iv \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span> tais que <!-- MATH
|
|
$\cos z = 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1428.svg" alt="$\cos z = 0$" loading="lazy"></span>, temos que encontrar os valores
|
|
reais de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$" loading="lazy"></span> tais que
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\cos z = \cos u \cosh v - i {\mathrm {sen}}u {\mathrm{senh}}v = 0,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P230" title="3P230">
|
|
<img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1429.svg" alt="$\displaystyle \cos z = \cos u \cosh v - i {\mathrm {sen}}u {\mathrm{senh}}v = 0, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P231" style="text-indent: 0 !important;" title="3P231">
|
|
e da igualdade de números complexos
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P232" title="3P232"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1430.svg" alt="$\displaystyle \cos u \cosh v = 0,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1431.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}u {\mathrm{senh}}v = 0.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P233" title="3P233">
|
|
Como <!-- MATH
|
|
$\cosh v \geq 1$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.94ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img1421.svg" alt="$\cosh v \geq 1$" loading="lazy"></span> para todo <!-- MATH
|
|
$v \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1422.svg" alt="$v \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, da primeira equação resta que <!-- MATH
|
|
$\cos u = 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img131.svg" alt="$\cos u = 0$" loading="lazy"></span> e então <!-- MATH
|
|
$u = \frac{\pi}{2} + k
|
|
\pi$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img222.svg" alt="$u = \frac{\pi}{2} + k\pi$" loading="lazy"></span> para qualquer <!-- MATH
|
|
$k \in \mathbb{Z}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>. Como <!-- MATH
|
|
${\mathrm {sen}}u = \pm 1$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1432.svg" alt="${\mathrm {sen}}u = \pm 1$" loading="lazy"></span>, substituindo na segunda equação vem <!-- MATH
|
|
${\mathrm{senh}}v = 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1424.svg" alt="${\mathrm{senh}}v = 0$" loading="lazy"></span> e, portanto, <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1425.svg" alt="$v = 0$" loading="lazy"></span>. Assim,
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\cos z = 0 \qquad \text{se e somente se} \qquad z = u+iv = \frac{\pi}{2} + k\pi,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P234" title="3P234">
|
|
<img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1433.svg" alt="$\displaystyle \cos z = 0$" loading="lazy"> se e somente se<img style="height: 4.03ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1434.svg" alt="$\displaystyle \qquad z = u+iv = \frac{\pi}{2} + k\pi, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P235" style="text-indent: 0 !important;" title="3P235">
|
|
para qualquer <!-- MATH
|
|
$k \in \mathbb{Z}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>, também como no caso real.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P236" title="3P236">
|
|
Dessa forma, as demais funções trigonométricas circulares com argumentos complexos são definidas, em termos destas duas,
|
|
como no caso de variável real, respeitando o domínio de definição. São portanto,
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P237" title="3P237"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1435.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}z$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.06ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1436.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm {sen}}z}{\cos z}$" loading="lazy"> para todo<img style="height: 4.03ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1437.svg" alt="$\displaystyle \quad z \neq \frac{\pi}{2} + k \pi \quad (k \in \mathbb{Z}),$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1438.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {ctg}}z$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.06ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1439.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\cos z}{{\mathrm {sen}}z}$" loading="lazy"> para todo<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1440.svg" alt="$\displaystyle \quad z \neq k \pi \quad (k \in \mathbb{Z}),$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1441.svg" alt="$\displaystyle \sec z$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1442.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{\cos z}$" loading="lazy"> para todo<img style="height: 4.03ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1437.svg" alt="$\displaystyle \quad z \neq \frac{\pi}{2} + k \pi \quad (k \in \mathbb{Z}),$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1443.svg" alt="$\displaystyle \csc z$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1444.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{{\mathrm {sen}}z}$" loading="lazy"> para todo<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1445.svg" alt="$\displaystyle \quad z \neq k \pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P238" title="3P238">
|
|
Podemos facilmente verificar, pelas igualdades (<a href="#defsinz">3.17</a>) e (<a href="#defcosz">3.18</a>), a validade para o caso complexo de
|
|
identidades conhecidas para o caso real, tais como
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P239" title="3P239"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1446.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}^{2}z + \cos^{2}z = 1,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1447.svg" alt="$\displaystyle \cos(z+\pi) = -\cos z$" loading="lazy"> e<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1448.svg" alt="$\displaystyle \qquad {\mathrm {sen}}(z+\pi) = -{\mathrm {sen}}z,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1449.svg" alt="$\displaystyle \cos(-z) = \cos z$" loading="lazy"> e<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1450.svg" alt="$\displaystyle \qquad {\mathrm {sen}}(-z) = -{\mathrm {sen}}z,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.61ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1451.svg" alt="$\displaystyle 1+{\mathrm {tg}}^{2}z = \sec^{2}z$" loading="lazy"> e<img style="height: 2.61ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1452.svg" alt="$\displaystyle \qquad 1+{\mathrm {ctg}}^{2}z = \csc^{2}z,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P240" style="text-indent: 0 !important;" title="3P240">
|
|
dentre muitas outras.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P241" title="3P241">
|
|
Uma consequência direta da definição das funções seno e cosseno por série de potência é que estas funções são
|
|
analíticas no domínio de convergência da série, isto é, no plano complexo todo. Sendo assim, estas funções satisfazem
|
|
as condições de Cauchy-Riemann em todo o plano complexo e isto nos dá uma forma rápida para determinar as derivadas
|
|
destas duas funções. Para um estudo mais aprofundado sobre funções analíticas e as condições de Cauchy-Riemann pode-se
|
|
consultar algum texto sobre variáveis complexas. Recomendamos [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#ZillVC">11</a>, Zill].
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P242" title="3P242">
|
|
Por hora basta saber que se <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1453.svg" alt="$z = u+iv$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
|
|
$f(z) = g(u,v)+ih(u,v)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1454.svg" alt="$f(z) = g(u,v)+ih(u,v)$" loading="lazy"></span> é uma função analítica em uma região do plano
|
|
complexo, então
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
f'(z) = \frac{\partial g}{\partial u} + i \frac{\partial h}{\partial u} = \frac{\partial h}{\partial v} - i \frac{\partial g}{\partial v},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P243" title="3P243">
|
|
<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1455.svg" alt="$\displaystyle f'(z) = \frac{\partial g}{\partial u} + i \frac{\partial h}{\partial u} = \frac{\partial h}{\partial v} - i \frac{\partial g}{\partial v}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P244" style="text-indent: 0 !important;" title="3P244">
|
|
para todo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1412.svg" alt="$z$" loading="lazy"></span> nesta região.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P245" title="3P245">
|
|
Considerando <!-- MATH
|
|
$f(z) = {\mathrm {sen}}z = g(u,v) + i h(u,v)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1456.svg" alt="$f(z) = {\mathrm {sen}}z = g(u,v) + i h(u,v)$" loading="lazy"></span>, temos <!-- MATH
|
|
$g(u,v) = {\mathrm {sen}}u \cosh v$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1457.svg" alt="$g(u,v) = {\mathrm {sen}}u \cosh v$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
|
|
$h(u,v) = {\mathrm{senh}}v \cos u$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1458.svg" alt="$h(u,v) = {\mathrm{senh}}v \cos u$" loading="lazy"></span> e então
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P246" title="3P246"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1459.svg" alt="$\displaystyle f'(z) = ({\mathrm {sen}}z)'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1460.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\partial g}{\partial u} + i \frac{\partial h}{\partial u}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1461.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\partial}{\partial u} ({\mathrm {sen}}u \cosh v) + i \frac{\partial}{\partial u}({\mathrm{senh}}v \cos u)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1462.svg" alt="$\displaystyle = \cos u \cosh v - i {\mathrm{senh}}v {\mathrm {sen}}u = \cos z.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P247" title="3P247">
|
|
Também, se <!-- MATH
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|
$f(z) = \cos z = g(u,v) + i h(u,v)$
|
|
-->
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|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1463.svg" alt="$f(z) = \cos z = g(u,v) + i h(u,v)$" loading="lazy"></span> então <!-- MATH
|
|
$g(u,v) = \cos u \cosh v$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1464.svg" alt="$g(u,v) = \cos u \cosh v$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
|
|
$h(u,v) = -{\mathrm {sen}}u {\mathrm{senh}}v$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1465.svg" alt="$h(u,v) = -{\mathrm {sen}}u {\mathrm{senh}}v$" loading="lazy"></span> e, dessa
|
|
forma,
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P248" title="3P248"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1466.svg" alt="$\displaystyle f'(z) = (\cos z)'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1460.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\partial g}{\partial u} + i \frac{\partial h}{\partial u}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1467.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\partial}{\partial u} (\cos u \cosh v) + i \frac{\partial}{\partial u}(- {\mathrm {sen}}u {\mathrm{senh}}v)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1468.svg" alt="$\displaystyle = -{\mathrm {sen}}u \cosh v - i {\mathrm{senh}}v \cos u = - {\mathrm {sen}}z.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P249" title="3P249">
|
|
As derivadas das funções seno e cosseno de variável complexa são então respectivamente o cosseno e o oposto do seno,
|
|
exatamente como no caso real. Já que as regras de derivação para funções complexas são as mesmas para funções reais,
|
|
isto é,
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P250" title="3P250"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1469.svg" alt="$\displaystyle (f(z)+g(z))'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1470.svg" alt="$\displaystyle = f'(z) + g'(z),$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1471.svg" alt="$\displaystyle (f(z) \cdot g(z))'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1472.svg" alt="$\displaystyle = f'(z) \cdot g(z) + f(z) \cdot g'(z),$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 5.49ex; vertical-align: -2.10ex; " src="img/img1473.svg" alt="$\displaystyle \left( \frac{f(z)}{g(z)} \right)'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.20ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1474.svg" alt="$\displaystyle = \frac{f'(z) \cdot g(z) - f(z) \cdot g'(z)}{(g(z))^{2}},$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P251" style="text-indent: 0 !important;" title="3P251">
|
|
então as derivadas das demais funções trigonométricas circulares, são também iguais às derivadas obtidas no caso real.
|
|
São portanto
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P252" title="3P252"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1475.svg" alt="$\displaystyle ({\mathrm {tg}}z)'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.16ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1476.svg" alt="$\displaystyle = \sec^{2}z,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1477.svg" alt="$\displaystyle ({\mathrm {ctg}}z)'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1478.svg" alt="$\displaystyle = -\csc^{2}z,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1479.svg" alt="$\displaystyle (\sec z)'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1480.svg" alt="$\displaystyle = \sec z {\mathrm {tg}}z,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1481.svg" alt="$\displaystyle (\csc z)'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.90ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1482.svg" alt="$\displaystyle = -\csc z {\mathrm {ctg}}z,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P253" style="text-indent: 0 !important;" title="3P253">
|
|
respeitados os domínios de definição.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P254" title="3P254">
|
|
Além disso, as identidades obtidas <!-- MATH
|
|
$\cos(iu) = \cosh u$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1483.svg" alt="$\cos(iu) = \cosh u$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
|
|
${\mathrm {sen}}(iu) = i {\mathrm{senh}}u$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1484.svg" alt="${\mathrm {sen}}(iu) = i {\mathrm{senh}}u$" loading="lazy"></span> permitem estabelecer uma
|
|
correspondência entre as funções trigonométricas circulares e as suas respectivas hiperbólicas. As correspondências das
|
|
demais funções trigonométricas ficam
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P255" title="3P255"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1485.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}(ui)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.16ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1486.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm {sen}}(ui)}{\cos(ui)} = \frac{i{\mathrm{senh}}u}{\cosh u} = i{\mathrm {tgh}}u$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1487.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {ctg}}(ui)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.16ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1488.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\cos(ui)}{{\mathrm {sen}}(ui)} = \frac{\cosh u}{i{\mathrm{senh}}u} = \frac{-i\cosh u}{{\mathrm{senh}}u} = -i{\mathrm{ctgh}}u$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1489.svg" alt="$\displaystyle \sec(ui)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.04ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1490.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{\cos(ui)} = \frac{1}{\cosh u} = {\mathrm{sech}}u$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1491.svg" alt="$\displaystyle \csc(ui)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.04ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1492.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{{\mathrm {sen}}(ui)} = \frac{1}{i{\mathrm{senh}}u} = \frac{-i}{{\mathrm{senh}}u} = -i {\mathrm{csch}}u.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P256" title="3P256">
|
|
Vamos estudar outras propriedades das funções trigonométricas hiperbólicas de variável complexa. Comecemos pelas raízes
|
|
destas funções. Queremos determinar os números complexos <!-- MATH
|
|
$z = u+iv \in \mathbb{C}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1411.svg" alt="$z = u + iv \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span> tais que <!-- MATH
|
|
${\mathrm{senh}}z = 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1493.svg" alt="${\mathrm{senh}}z = 0$" loading="lazy"></span>. Nestes termos
|
|
devemos encontrar números reais <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$" loading="lazy"></span> tais que
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
{\mathrm{senh}}z = {\mathrm{senh}}u \cos v + i{\mathrm {sen}}v \cosh u = 0,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P257" title="3P257">
|
|
<img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1494.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}z = {\mathrm{senh}}u \cos v + i{\mathrm {sen}}v \cosh u = 0, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P258" style="text-indent: 0 !important;" title="3P258">
|
|
e da igualdade de complexos, <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$" loading="lazy"></span> devem satisfazer
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P259" title="3P259"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1495.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}u \cos v = 0,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1496.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}v \cosh u = 0.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P260" title="3P260">
|
|
Da segunda equação, como <!-- MATH
|
|
$\cosh u \geq 1$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.94ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img1497.svg" alt="$\cosh u \geq 1$" loading="lazy"></span> para todo <!-- MATH
|
|
$u \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, então devemos ter <!-- MATH
|
|
${\mathrm {sen}}v = 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1498.svg" alt="${\mathrm {sen}}v = 0$" loading="lazy"></span> e, portanto, <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1499.svg" alt="$v = k\pi$" loading="lazy"></span>
|
|
para <!-- MATH
|
|
$k \in \mathbb{Z}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>. Com estes valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$" loading="lazy"></span> na primeira equação, resta que <!-- MATH
|
|
${\mathrm{senh}}u = 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1500.svg" alt="${\mathrm{senh}}u = 0$" loading="lazy"></span> e então <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img239.svg" alt="$u = 0$" loading="lazy"></span>. Temos assim que
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
{\mathrm{senh}}z = 0 \qquad \text{se e somente se} \qquad z = ik\pi,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P261" title="3P261">
|
|
<img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1501.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}z = 0$" loading="lazy"> se e somente se<img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1502.svg" alt="$\displaystyle \qquad z = ik\pi, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P262" style="text-indent: 0 !important;" title="3P262">
|
|
para <!-- MATH
|
|
$k \in \mathbb{Z}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>. Observe que estas raízes são complexas e que a única destas raízes que é real, é <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1503.svg" alt="$z = 0$" loading="lazy"></span>, que coincide
|
|
com a única raiz real da função seno hiperbólico a argumento real.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P263" title="3P263">
|
|
Agora vamos determinar <!-- MATH
|
|
$z = u+iv \in \mathbb{C}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1411.svg" alt="$z = u + iv \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span> tal que <!-- MATH
|
|
$\cosh z = 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1504.svg" alt="$\cosh z = 0$" loading="lazy"></span>. Da identidade (<a href="#defcoshz">3.20</a>), queremos determinar os
|
|
valores reais de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$" loading="lazy"></span> que satisfazem
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P264" title="3P264"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1505.svg" alt="$\displaystyle \cosh u \cos v = 0,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1506.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{senh}}u {\mathrm {sen}}v = 0.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P265" title="3P265">
|
|
Como <!-- MATH
|
|
$\cosh u \geq 1$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.94ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img1497.svg" alt="$\cosh u \geq 1$" loading="lazy"></span> então da primeira equação segue que <!-- MATH
|
|
$\cos v = 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1507.svg" alt="$\cos v = 0$" loading="lazy"></span> e, portanto, <!-- MATH
|
|
$v = \frac{\pi}{2} + k\pi$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1508.svg" alt="$v = \frac{\pi}{2} + k\pi$" loading="lazy"></span> para <!-- MATH
|
|
$k
|
|
\in \mathbb{Z}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>. Com estes valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$" loading="lazy"></span> na segunda equação temos que <!-- MATH
|
|
${\mathrm{senh}}u = 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1500.svg" alt="${\mathrm{senh}}u = 0$" loading="lazy"></span> e então <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img239.svg" alt="$u = 0$" loading="lazy"></span>. Segue que
|
|
<!-- MATH
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|
\begin{displaymath}
|
|
\cosh z = 0 \qquad \text{se e somente se} \qquad z = i(\tfrac{\pi}{2}+k\pi),
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P266" title="3P266">
|
|
<img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1509.svg" alt="$\displaystyle \cosh z = 0$" loading="lazy"> se e somente se<img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1510.svg" alt="$\displaystyle \qquad z = i(\tfrac{\pi}{2}+k\pi), $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P267" style="text-indent: 0 !important;" title="3P267">
|
|
para <!-- MATH
|
|
$k \in \mathbb{Z}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>. Dentre estas raízes complexas não existe nenhuma raiz real, o que ratifica a não existência de números
|
|
reais <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> tais que <!-- MATH
|
|
$\cosh x = 0$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1511.svg" alt="$\cosh x = 0$" loading="lazy"></span>.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P268" title="3P268">
|
|
As demais funções trigonométricas hiperbólicas de variáveis complexas são definidas em termos de seno e cosseno como no
|
|
caso real, restritas ao domínio de definição. Isto é,
|
|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P269" title="3P269"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1512.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tgh}}z$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1513.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm{senh}}z}{\cosh z}$" loading="lazy"> para todo<img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1514.svg" alt="$\displaystyle \quad z \neq i(\tfrac{\pi}{2}+k\pi) \quad (k \in \mathbb{Z}),$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1515.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{ctgh}}z$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1516.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\cosh z}{{\mathrm{senh}}z}$" loading="lazy"> para todo<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1517.svg" alt="$\displaystyle \quad z \neq ik\pi \quad (k \in \mathbb{Z}),$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1518.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{sech}}z$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1519.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{\cosh z}$" loading="lazy"> para todo<img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1514.svg" alt="$\displaystyle \quad z \neq i(\tfrac{\pi}{2}+k\pi) \quad (k \in \mathbb{Z}),$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1520.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm{csch}}z$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img1521.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{{\mathrm{senh}}z}$" loading="lazy"> para todo<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1522.svg" alt="$\displaystyle \quad z \neq ik\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P270" title="3P270">
|
|
As definições de seno e cosseno hiperbólicos em termos de séries de potências, convergentes em todo o plano complexo,
|
|
nos diz que estas funções são analíticas em todo o plano complexo e então podemos determinar facilmente as derivadas
|
|
destas funções. Considerando que <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1453.svg" alt="$z = u+iv$" loading="lazy"></span> e que <!-- MATH
|
|
$f(z) = {\mathrm{senh}}z = g(u,v) + i h(u,v)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1523.svg" alt="$f(z) = {\mathrm{senh}}z = g(u,v) + i h(u,v)$" loading="lazy"></span> temos
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P271" title="3P271"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1524.svg" alt="$\displaystyle f'(z) = ({\mathrm{senh}}z)'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1460.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\partial g}{\partial u} + i \frac{\partial h}{\partial u}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1525.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\partial}{\partial u}({\mathrm{senh}}u \cos v) + i\frac{\partial}{\partial u}({\mathrm {sen}}v \cosh u)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1526.svg" alt="$\displaystyle = \cosh u \cos v + i{\mathrm {sen}}v {\mathrm{senh}}u = \cosh z,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P272" style="text-indent: 0 !important;" title="3P272">
|
|
exatamente como no caso de variáveis reais.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P273" title="3P273">
|
|
Analogamente, para a função <!-- MATH
|
|
$f(z) = \cosh z = g(u,v) + ih(u,v)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1527.svg" alt="$f(z) = \cosh z = g(u,v) + ih(u,v)$" loading="lazy"></span>, temos
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P274" title="3P274"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1528.svg" alt="$\displaystyle f'(z) = (\cosh z)'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1460.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\partial g}{\partial u} + i \frac{\partial h}{\partial u}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1529.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\partial}{\partial u}(\cosh u \cos v) + i\frac{\partial}{\partial u}({\mathrm{senh}}u {\mathrm {sen}}v)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1530.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm{senh}}u \cos v + i\cosh u {\mathrm {sen}}v = {\mathrm{senh}}z,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P275" style="text-indent: 0 !important;" title="3P275">
|
|
também como no caso real. Considerando ainda que a regra de derivação para o quociente de funções de variáveis
|
|
complexas é idêntica à regra de derivação para o quociente de funções de variáveis reais, então temos que
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P276" title="3P276"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1531.svg" alt="$\displaystyle ({\mathrm {tgh}}z)'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.16ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1532.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm{sech}}^{2} z,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1533.svg" alt="$\displaystyle ({\mathrm{ctgh}}z)'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1534.svg" alt="$\displaystyle = -{\mathrm{csch}}z,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1535.svg" alt="$\displaystyle ({\mathrm{sech}}z)'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1536.svg" alt="$\displaystyle = -{\mathrm{sech}}z {\mathrm {tgh}}z,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1537.svg" alt="$\displaystyle ({\mathrm{csch}}z)'$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1538.svg" alt="$\displaystyle = -{\mathrm{csch}}z {\mathrm{ctgh}}z,$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P277" style="text-indent: 0 !important;" title="3P277">
|
|
com a devida restrição do domínio de definição. São as mesmas fórmulas de derivação que as funções trigonométricas
|
|
hiperbólicas de variáveis reais.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P278" title="3P278">
|
|
Podem ainda ser definidas as funções trigonométricas circulares e hiperbólicas inversas a argumentos complexos. Não
|
|
vamos nos estender neste aspecto, em virtude de que o caso complexo não é o foco do nosso interesse. Além disso,
|
|
entraríamos no campo das funções multivalentes, isto é, funções <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1539.svg" alt="$f(z)$" loading="lazy"></span> que assumem mais de um valor para cada <!-- MATH
|
|
$z \in
|
|
\mathbb{C}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1347.svg" alt="$z \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span>. Esta categoria de funções foge do conceito de função de um curso de Cálculo Diferencial e Integral.
|
|
</p>
|
|
|
|
:::
|
|
|
|
## 3.5 Fórmulas exponenciais para funções trigonométricas circulares {#SECTION00750000000000000000}
|
|
|
|
::: {.raw_html}
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P279" title="3P279">
|
|
Nesta seção, obteremos fórmulas exponenciais similares às identidades em (<a href="#idexpo">3.1</a>) para as funções trigonométricas
|
|
circulares. Mais precisamente, provaremos que
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P280" title="3P280"><a id="idexpocirc"></a><!-- MATH
|
|
\begin{equation}
|
|
{\mathrm {sen}}x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \qquad \text{e} \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}.
|
|
\end{equation}
|
|
-->
|
|
<table>
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 4.89ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1540.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$" loading="lazy"> e<img style="height: 4.89ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1541.svg" alt="$\displaystyle \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
(<span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">21</span>)</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P281" title="3P281">
|
|
Observe que o lado direito destas igualdades envolve a função exponencial de variável complexa. Precisamos definir a
|
|
função exponencial de variável complexa e o faremos como na seção anterior onde definimos as funções trigonométricas
|
|
de variáveis complexas. A expansão em série de potências da função <!-- MATH
|
|
$f(x) = e^{x}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1147.svg" alt="$f(x) = e^{x}$" loading="lazy"></span>, para <!-- MATH
|
|
$x \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1151.svg" alt="$x \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, é
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{6!} x^{6} + \cdots.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P282" title="3P282">
|
|
<img style="height: 4.56ex; vertical-align: -1.59ex; " src="img/img1542.svg" alt="$\displaystyle e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{6!} x^{6} + \cdots. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P283" title="3P283">
|
|
Mas a série de potências do lado direito da igualdade faz sentido se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> for um número complexo que torne a série
|
|
convergente. Definimos então por esta série de potências a função exponencial de variável complexa dada por
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{z} = 1 + z + \frac{1}{2!} z^{2} + \frac{1}{3!} z^{3} + \frac{1}{4!} z^{4} + \frac{1}{5!} z^{5} + \frac{1}{6!} z^{6} + \cdots,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P284" title="3P284">
|
|
<img style="height: 4.56ex; vertical-align: -1.59ex; " src="img/img1543.svg" alt="$\displaystyle e^{z} = 1 + z + \frac{1}{2!} z^{2} + \frac{1}{3!} z^{3} + \frac{1}{4!} z^{4} + \frac{1}{5!} z^{5} + \frac{1}{6!} z^{6} + \cdots, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P285" style="text-indent: 0 !important;" title="3P285">
|
|
para todo <!-- MATH
|
|
$z \in \mathbb{C}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1347.svg" alt="$z \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span> tal que a série seja convergente.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P286" title="3P286">
|
|
De acordo com o teste da razão (Teorema <a href="#DAlembert">3.9</a>), esta série de potências é convergente em todo o plano
|
|
complexo, já que
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{(n+1)!}z^{n+1}}{\frac{1}{n!}z^{n}} \right|
|
|
= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n!}{(n+1)!} \frac{z^{n+1}}{z^{n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n+1)} |z| = 0 < 1,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P287" title="3P287">
|
|
<img style="height: 6.68ex; vertical-align: -2.74ex; " src="img/img1544.svg" alt="$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\vert \frac{\frac{1}{(n+1)!}z^{n+1}}{\fr...
|
|
...z^{n}} \right\vert = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n+1)} \vert z\vert = 0 < 1, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P288" style="text-indent: 0 !important;" title="3P288">
|
|
para qualquer <!-- MATH
|
|
$z \in \mathbb{C}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1347.svg" alt="$z \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span>.
|
|
</p>
|
|
<p class=" unidade" id="3P289" title="3P289">
|
|
Esta série é importante, porém, dificulta o trabalho com a função <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1545.svg" alt="$e^{z}$" loading="lazy"></span>. Como de costume, vamos reescrever esta série
|
|
em termos mais agradáveis. Mais precisamente, já que o lado direito da série de potências é um número complexo,
|
|
esperamos poder escrever este número complexo na tradicional forma algébrica <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1360.svg" alt="$a + bi$" loading="lazy"></span> com <!-- MATH
|
|
$a,b \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1361.svg" alt="$a, b \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
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|
</p>
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<p class=" unidade" id="3P290" title="3P290">
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Tomando então <!-- MATH
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$z = x + yi$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1362.svg" alt="$z = x + yi$" loading="lazy"></span> com <!-- MATH
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|
$x, y \in \mathbb{R}$
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-->
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|
<span class="MATH"><img style="height: 2.04ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1251.svg" alt="$x, y \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, aplicando a expansão binomial, podemos reescrever a função
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|
exponencial na forma
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</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P291" title="3P291"><table class="equation">
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|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1546.svg" alt="$\displaystyle e^{x + yi}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1547.svg" alt="$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} (x+yi)^{n}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.55ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1548.svg" alt="$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{r=0}^{n} \frac{n!}{r!(n-...
|
|
...)^{r}
|
|
= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{r!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r}.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
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<p class=" unidade" id="3P292" title="3P292">
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O lema a seguir nos ajudará a trabalhar com o somatório duplo do segundo membro desta última igualdade.
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</p>
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<div id="3Teo12" title="3Teo12" class="unidade"><b>Lema <span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">12</span></b>
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|
<i>Para qualquer <!-- MATH
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|
$m \in \mathbb{N}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1369.svg" alt="$m \in \mathbb{N}$" loading="lazy"></span>,
|
|
</i><!-- MATH
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\begin{displaymath}
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\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{(r+m)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+m}
|
|
= e^{x}\frac{1}{m!}(yi)^{m} + \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{(r+m+1)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+m+1}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P293" title="3P293">
|
|
<img style="height: 6.55ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1549.svg" alt="$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{(r+m)!(n-r)!} x^{n-r}...
|
|
...m_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{(r+m+1)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+m+1}. $" loading="lazy">
|
|
</div></div>
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<div><i>Prova</i>.
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Dado qualquer <!-- MATH
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$m \in \mathbb{N}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1369.svg" alt="$m \in \mathbb{N}$" loading="lazy"></span> e começando com
|
|
<!-- MATH
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|
\begin{displaymath}
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|
\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{(r+m)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+m},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P294" title="3P294">
|
|
<img style="height: 6.55ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1550.svg" alt="$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{(r+m)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+m}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P295" style="text-indent: 0 !important;" title="3P295">
|
|
vamos separar o caso <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1375.svg" alt="$n = 0$" loading="lazy"></span> do somatório externo e depois os casos <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1376.svg" alt="$r = 0$" loading="lazy"></span> do somatório interno. Desta forma, para
|
|
qualquer que seja <!-- MATH
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$m \in \mathbb{N}$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1369.svg" alt="$m \in \mathbb{N}$" loading="lazy"></span>, obtemos
|
|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P296" title="3P296"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 6.55ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1551.svg" alt="$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.04ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img1552.svg" alt="$\displaystyle \frac{1}{(r+m)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 0.19ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1379.svg" alt="$\displaystyle %
|
|
$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.55ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1553.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} x^{0} (yi)^{m} + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{(r+m)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.67ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1554.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{m!n...
|
|
...{n} (yi)^{m}
|
|
+ \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{(r+m)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+m} \right)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.53ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1555.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{m!n!} x^{n...
|
|
...
|
|
+ \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{(r+m)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.67ex; vertical-align: -2.90ex; " src="img/img1556.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} \left( 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n...
|
|
...
|
|
+ \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{(r+m)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.91ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1557.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} e^{x} + \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=1}^{n+1} \frac{1}{(r+m)!(n+1-r)!} x^{n+1-r} (yi)^{r+m}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.55ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1558.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{m!} (yi)^{m} e^{x} + \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{(r+m+1)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+m+1},$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P297" style="text-indent: 0 !important;" title="3P297">
|
|
como desejado.
|
|
<span style="float: right"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img193.svg" alt="$\qedsymbol$" loading="lazy">
|
|
</span></p>
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P298" title="3P298">
|
|
Usando agora repetidamente este lema, temos que
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P299" title="3P299"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1546.svg" alt="$\displaystyle e^{x + yi}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.55ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1559.svg" alt="$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{r!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.55ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1560.svg" alt="$\displaystyle = e^{x} + \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{(r+1)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+1}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.55ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1561.svg" alt="$\displaystyle = e^{x} + e^{x} (yi) + \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{(r+2)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+2}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.55ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1562.svg" alt="$\displaystyle = e^{x} + e^{x} (yi) + e^{x} \frac{1}{2!} (yi)^{2} + \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{(r+3)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+3}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.55ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1563.svg" alt="$\displaystyle = e^{x} + e^{x} (yi) + e^{x} \frac{1}{2!} (yi)^{2} + e^{x} \frac{...
|
|
...
|
|
+ \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{(r+4)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+4}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.55ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1564.svg" alt="$\displaystyle = e^{x} + e^{x} (yi) + e^{x} \frac{1}{2!} (yi)^{2} + e^{x} \frac{...
|
|
...um_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{(r+5)!(n-r)!} x^{n-r} (yi)^{r+5}, %
|
|
$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
<p class=" unidade" id="3P300" style="text-indent: 0 !important;" title="3P300">
|
|
e assim sucessivamente. Desta forma, obtemos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{x+yi} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{x} \frac{1}{n!} (yi)^{n} = e^{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} (yi)^{n},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P301" title="3P301">
|
|
<img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1565.svg" alt="$\displaystyle e^{x+yi} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{x} \frac{1}{n!} (yi)^{n} = e^{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} (yi)^{n}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P302" style="text-indent: 0 !important;" title="3P302">
|
|
e usando o fato de que quando <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1566.svg" alt="$n = 2r$" loading="lazy"></span> é par, temos que
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
(yi)^{n} = (yi)^{2r} = y^{2r} i^{2r} = (-1)^{r} y^{2r},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P303" title="3P303">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1567.svg" alt="$\displaystyle (yi)^{n} = (yi)^{2r} = y^{2r} i^{2r} = (-1)^{r} y^{2r}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P304" style="text-indent: 0 !important;" title="3P304">
|
|
e quando <span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1568.svg" alt="$n = 2r+1$" loading="lazy"></span> é impar,
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
(yi)^{n} = (yi)^{2r+1} = y^{2r+1} i^{2r+1} = (-1)^{r} y^{2r+1}i,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P305" title="3P305">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1569.svg" alt="$\displaystyle (yi)^{n} = (yi)^{2r+1} = y^{2r+1} i^{2r+1} = (-1)^{r} y^{2r+1}i, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P306" style="text-indent: 0 !important;" title="3P306">
|
|
então podemos separar o último somatório nas suas parcelas com <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span> par e com <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1118.svg" alt="$n$" loading="lazy"></span> ímpar e obtemos
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P307" title="3P307"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.13ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1546.svg" alt="$\displaystyle e^{x + yi}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.50ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1570.svg" alt="$\displaystyle = e^{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} (yi)^{n}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.68ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1571.svg" alt="$\displaystyle = e^{x} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} (yi)^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!} (yi)^{2n+1} \right)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.68ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1572.svg" alt="$\displaystyle = e^{x} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}(-1)^{n}y^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}(-1)^{n}y^{2n+1}i \right)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 6.68ex; vertical-align: -2.91ex; " src="img/img1573.svg" alt="$\displaystyle = e^{x} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}(-1)^{n}y^{2n} + i\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}(-1)^{n}y^{2n+1} \right)$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td> </td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1574.svg" alt="$\displaystyle = e^{x} \left( \cos(y) + i{\mathrm {sen}}(y) \right).$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P308" title="3P308">
|
|
Formalmente, temos então uma definição alternativa para a exponencial de um número complexo sem o uso explícito das
|
|
séries de potência.
|
|
</p>
|
|
<div><b>Definição <span class="arabic">3</span>.<span class="arabic">13</span></b>
|
|
Dado <!-- MATH
|
|
$z = x + yi \in \mathbb{C}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img1575.svg" alt="$z = x + yi \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span>, definimos a exponencial de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1412.svg" alt="$z$" loading="lazy"></span>, como sendo o número complexo representado por
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.02ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1576.svg" alt="$e^{x+yi}$" loading="lazy"></span> e dado por
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{x+yi} = e^{x} \left( \cos(y) + i{\mathrm {sen}}(y) \right) = e^{x}\cos(y) + ie^{x}{\mathrm {sen}}(y).
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P309" title="3P309">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1577.svg" alt="$\displaystyle e^{x+yi} = e^{x} \left( \cos(y) + i{\mathrm {sen}}(y) \right) = e^{x}\cos(y) + ie^{x}{\mathrm {sen}}(y). $" loading="lazy">
|
|
</div></div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P310" title="3P310">
|
|
Agora estamos prontos para obter as identidades em (<a href="#idexpocirc">3.21</a>). Dado <!-- MATH
|
|
$u \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, temos desta última definição
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que
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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e^{iu} = \cos u + i {\mathrm {sen}}u,
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\end{displaymath}
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-->
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|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P311" title="3P311">
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|
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1578.svg" alt="$\displaystyle e^{iu} = \cos u + i {\mathrm {sen}}u, $" loading="lazy">
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|
</div><p class=" unidade" id="3P312" title="3P312">
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e também
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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e^{-iu} = \cos(-u) + i{\mathrm {sen}}(-u) = \cos u - i{\mathrm {sen}}u.
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|
\end{displaymath}
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|
-->
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|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P313" style="text-indent: 0 !important;" title="3P313">
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<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1579.svg" alt="$\displaystyle e^{-iu} = \cos(-u) + i{\mathrm {sen}}(-u) = \cos u - i{\mathrm {sen}}u. $" loading="lazy">
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|
</div>
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<p class=" unidade" id="3P314" title="3P314">
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Somando estas duas últimas igualdades, temos
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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e^{iu} + e^{-iu} = 2\cos u,
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|
\end{displaymath}
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|
-->
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|
</p>
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|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P315" title="3P315">
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<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1580.svg" alt="$\displaystyle e^{iu} + e^{-iu} = 2\cos u, $" loading="lazy">
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|
</div><p class=" unidade" id="3P316" style="text-indent: 0 !important;" title="3P316">
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e subtraindo a segunda da primeira, temos
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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e^{iu} - e^{-iu} = 2i{\mathrm {sen}}u.
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|
\end{displaymath}
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|
-->
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|
</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P317" title="3P317">
|
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<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1581.svg" alt="$\displaystyle e^{iu} - e^{-iu} = 2i{\mathrm {sen}}u. $" loading="lazy">
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|
</div>
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<p class=" unidade" id="3P318" title="3P318">
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Segue portanto que
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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\cos u = \frac{e^{iu} + e^{-iu}}{2}, \qquad \text{e} \qquad {\mathrm {sen}}u = \frac{e^{iu} - e^{-iu}}{2i}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P319" title="3P319">
|
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<img style="height: 4.89ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1582.svg" alt="$\displaystyle \cos u = \frac{e^{iu} + e^{-iu}}{2},$" loading="lazy"> e<img style="height: 4.89ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1583.svg" alt="$\displaystyle \qquad {\mathrm {sen}}u = \frac{e^{iu} - e^{-iu}}{2i}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
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|
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<p class=" unidade" id="3P320" title="3P320">
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|
Estas duas igualdades são as identidades exponenciais para as funções trigonométricas circulares e são válidas para
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valores reais de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>. Obviamente combinando estas duas fórmulas, podemos deduzir fórmulas exponenciais para as outras
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funções trigonométricas circulares. São elas
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</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P321" title="3P321"><table class="equation">
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<tbody><tr>
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<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1584.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}u$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.06ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1585.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u} = \frac{e^{iu} - e^{-iu}}{2i} \cdot \frac{2}{e^{iu} + e^{-iu}} = \frac{ie^{-iu} - ie^{iu}}{e^{iu} + e^{-iu}},$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
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|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1586.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {ctg}}u$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.06ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1587.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\cos u}{{\mathrm {sen}}u} = \frac{e^{iu} + e^{-iu}}{2} \cdot \frac{2i}{e^{iu} - e^{-iu}} = \frac{ie^{iu} + ie^{-iu}}{e^{iu} - e^{-iu}},$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1588.svg" alt="$\displaystyle \sec u$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.69ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1589.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{\cos u} = \frac{2}{e^{iu} + e^{-iu}},$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
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|
<td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1590.svg" alt="$\displaystyle \csc u$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.69ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1591.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{{\mathrm {sen}}u} = \frac{2i}{e^{iu} - e^{-iu}},$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
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<p class=" unidade" id="3P322" style="text-indent: 0 !important;" title="3P322">
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|
respeitados os domínios de definição das funções.
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</p>
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:::
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## 3.6 Fórmulas logarítmicas para as funções trigonométricas circulares inversas {#SECTION00760000000000000000}
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::: {.raw_html}
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<p class=" unidade" id="3P323" title="3P323">
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Podemos também, como no caso hiperbólico, escrever as funções inversas das funções trigonométricas circulares em termos
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do logaritmo. Isto porque a função logaritmo de um número complexo, <span class="MATH"><img style="height: 1.21ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1592.svg" alt="$\ln z$" loading="lazy"></span> é a função inversa da exponencial <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1545.svg" alt="$e^{z}$" loading="lazy"></span>,
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|
com uma certa restrição no logaritmo. Para conhecer mais sobre esta restrição, recomendamos [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#ZillVC">11</a>, Zill]. Por
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hora, é suficiente saber que <!-- MATH
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|
$\ln e^{(a+ib)} = (a+ib)$
|
|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.64ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1593.svg" alt="$\ln e^{(a+ib)} = (a+ib)$" loading="lazy"></span>, para <!-- MATH
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|
$a \in \mathbb{R}$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img284.svg" alt="$a \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
|
|
$b \in (-\pi,\pi]$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1594.svg" alt="$b \in (-\pi,\pi]$" loading="lazy"></span>.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P324" title="3P324">
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Também temos que lembrar que a conhecida “fórmula de Bháskara” continua válida para resolver equações quadráticas
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que envolvem coeficientes complexos. Mais precisamente, se <!-- MATH
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$az^{2}+bz+c = 0$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.20ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1595.svg" alt="$az^{2}+bz+c = 0$" loading="lazy"></span> é uma equação com <!-- MATH
|
|
$a, b, c \in \mathbb{C}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img1596.svg" alt="$a, b, c \in \mathbb{C}$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img939.svg" alt="$a \neq 0$" loading="lazy"></span>, então as soluções desta equação são dadas por
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<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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z = \frac{-b + \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.
|
|
\end{displaymath}
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|
-->
|
|
</p>
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<div class="mathdisplay unidade" id="3P325" title="3P325">
|
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<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1597.svg" alt="$\displaystyle z = \frac{-b + \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P326" title="3P326">
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|
Note que não usamos o sinal <span class="MATH"><img style="height: 1.60ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1598.svg" alt="$\pm$" loading="lazy"></span>, porque a função raiz quadrada (potência meio) para números complexos é bivalente,
|
|
isto é, assume dois valores, que são simétricos com relação à origem e isto substitui o sinal <span class="MATH"><img style="height: 1.60ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1598.svg" alt="$\pm$" loading="lazy"></span>. Veja
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[<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#ZillVC">11</a>, Zill] ou outro texto sobre números complexos para um estudo mais completo sobre raízes de um número
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complexo.
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</p>
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<p class=" unidade" id="3P327" title="3P327">
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|
Considerando <!-- MATH
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$w = {\mathrm {sen}}^{-1} u$
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|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img458.svg" alt="$w = {\mathrm {sen}}^{-1}u$" loading="lazy"></span>, para <!-- MATH
|
|
$u \in [-1,1]$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img423.svg" alt="$u \in [-1,1]$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
|
|
$w \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img424.svg" alt="$w \in
|
|
[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></span>, então temos a relação
|
|
<!-- MATH
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\begin{displaymath}
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|
u = {\mathrm {sen}}w = \frac{e^{iw} - e^{-iw}}{2i},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P328" title="3P328">
|
|
<img style="height: 4.89ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1599.svg" alt="$\displaystyle u = {\mathrm {sen}}w = \frac{e^{iw} - e^{-iw}}{2i}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P329" style="text-indent: 0 !important;" title="3P329">
|
|
e multiplicando esta igualdade por <span class="MATH"><img style="height: 2.02ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1600.svg" alt="$2i e^{iw}$" loading="lazy"></span> e, organizando os termos, temos
|
|
<!-- MATH
|
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\begin{displaymath}
|
|
(e^{iw})^{2} - 2iue^{iw} - 1 = 0.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P330" title="3P330">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1601.svg" alt="$\displaystyle (e^{iw})^{2} - 2iue^{iw} - 1 = 0. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P331" title="3P331">
|
|
Resolvendo esta equação quadrática, em termos de <span class="MATH"><img style="height: 2.02ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1602.svg" alt="$e^{iw}$" loading="lazy"></span>, segue que
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{iw} = \frac{2ui + \sqrt{-4u^{2} + 4}}{2} = ui + \sqrt{1-u^{2}}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P332" title="3P332">
|
|
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1603.svg" alt="$\displaystyle e^{iw} = \frac{2ui + \sqrt{-4u^{2} + 4}}{2} = ui + \sqrt{1-u^{2}}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P333" title="3P333">
|
|
Como <!-- MATH
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|
$u \in [-1,1]$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img423.svg" alt="$u \in [-1,1]$" loading="lazy"></span> a raiz do segundo membro é um número real. Levando em conta que <!-- MATH
|
|
$w \in
|
|
[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img424.svg" alt="$w \in
|
|
[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></span> então aplicando o logaritmo em ambos os membros, obtemos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
iw = \ln e^{iw} = \ln(ui + \sqrt{1-u^{2}}),
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P334" title="3P334">
|
|
<img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1604.svg" alt="$\displaystyle iw = \ln e^{iw} = \ln(ui + \sqrt{1-u^{2}}), $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P335" style="text-indent: 0 !important;" title="3P335">
|
|
e multiplicando tudo por <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1605.svg" alt="$-i$" loading="lazy"></span>, segue que
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
{\mathrm {sen}}^{-1} u = w = -i \ln(ui + \sqrt{1-u^{2}}).
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P336" title="3P336">
|
|
<img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1606.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}^{-1} u = w = -i \ln(ui + \sqrt{1-u^{2}}). $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P337" title="3P337">
|
|
Para <!-- MATH
|
|
$w = \cos^{-1} u$
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|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img467.svg" alt="$w = \cos^{-1} u$" loading="lazy"></span>, vale a relação <!-- MATH
|
|
$u = \cos w = \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 3.09ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1607.svg" alt="$u = \cos w = \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}$" loading="lazy"></span>, com <!-- MATH
|
|
$u \in [-1,1]$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img423.svg" alt="$u \in [-1,1]$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
|
|
$w \in [0,\pi]$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img564.svg" alt="$w \in [0,\pi]$" loading="lazy"></span>.
|
|
Procedendo como anteriormente, multiplicamos esta relação por 2 e por <span class="MATH"><img style="height: 2.02ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1602.svg" alt="$e^{iw}$" loading="lazy"></span>. Obtemos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
2ue^{iw} = (e^{iw})^{2} + 1,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P338" title="3P338">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1608.svg" alt="$\displaystyle 2ue^{iw} = (e^{iw})^{2} + 1, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P339" style="text-indent: 0 !important;" title="3P339">
|
|
e resolvendo a equação quadrática
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
(e^{iw})^{2} - 2ue^{iw} + 1 = 0
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P340" title="3P340">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1609.svg" alt="$\displaystyle (e^{iw})^{2} - 2ue^{iw} + 1 = 0 $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P341" style="text-indent: 0 !important;" title="3P341">
|
|
em <span class="MATH"><img style="height: 2.02ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1602.svg" alt="$e^{iw}$" loading="lazy"></span>, temos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{iw} = \frac{2u + \sqrt{4u^{2} - 4}}{2} = u + \sqrt{u^{2} - 1}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P342" title="3P342">
|
|
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1610.svg" alt="$\displaystyle e^{iw} = \frac{2u + \sqrt{4u^{2} - 4}}{2} = u + \sqrt{u^{2} - 1}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P343" title="3P343">
|
|
Esta solução envolve a raiz quadrada de um número que é real e negativo, já que <!-- MATH
|
|
$u \in [-1,1]$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img423.svg" alt="$u \in [-1,1]$" loading="lazy"></span>. Escrevemos então
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{iw} = u + i\sqrt{1-u^{2}},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P344" title="3P344">
|
|
<img style="height: 2.80ex; vertical-align: -0.41ex; " src="img/img1611.svg" alt="$\displaystyle e^{iw} = u + i\sqrt{1-u^{2}}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P345" style="text-indent: 0 !important;" title="3P345">
|
|
e agora aplicando o logaritmo em ambos os membros, vem
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
iw = \ln (u + i\sqrt{1-u^{2}}),
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P346" title="3P346">
|
|
<img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1612.svg" alt="$\displaystyle iw = \ln (u + i\sqrt{1-u^{2}}), $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P347" style="text-indent: 0 !important;" title="3P347">
|
|
já que <!-- MATH
|
|
$w \in [0,\pi]$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img564.svg" alt="$w \in [0,\pi]$" loading="lazy"></span>. Multiplicando a igualdade por <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1605.svg" alt="$-i$" loading="lazy"></span> obtemos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\cos^{-1} u = w = -i \ln (u + i\sqrt{1-u^{2}}).
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P348" title="3P348">
|
|
<img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1613.svg" alt="$\displaystyle \cos^{-1} u = w = -i \ln (u + i\sqrt{1-u^{2}}). $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P349" title="3P349">
|
|
Considerando agora <!-- MATH
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|
$w = {\mathrm {tg}}^{-1} u$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1614.svg" alt="$w = {\mathrm {tg}}^{-1} u$" loading="lazy"></span>, válida para todo <!-- MATH
|
|
$u \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
|
|
$w \in (-\pi,\pi)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1615.svg" alt="$w \in (-\pi,\pi)$" loading="lazy"></span>, temos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
u = {\mathrm {tg}}w = \frac{ie^{-iw} - ie^{iw}}{e^{iw} + e^{-iw}}
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P350" title="3P350">
|
|
<img style="height: 5.06ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1616.svg" alt="$\displaystyle u = {\mathrm {tg}}w = \frac{ie^{-iw} - ie^{iw}}{e^{iw} + e^{-iw}} $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P351" style="text-indent: 0 !important;" title="3P351">
|
|
donde
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|
<!-- MATH
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\begin{displaymath}
|
|
ue^{iw} + ue^{-iw} = ie^{-iw} - ie^{iw}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P352" title="3P352">
|
|
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1617.svg" alt="$\displaystyle ue^{iw} + ue^{-iw} = ie^{-iw} - ie^{iw}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P353" title="3P353">
|
|
Multiplicando por <span class="MATH"><img style="height: 2.02ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1602.svg" alt="$e^{iw}$" loading="lazy"></span> e organizando os termos temos a equação quadrática
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P354" title="3P354"><table class="equation">
|
|
<tbody><tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1618.svg" alt="$\displaystyle u(e^{iw})^{2} + u = i - i(e^{iw})^{2}$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
<tr>
|
|
<td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1619.svg" alt="$\displaystyle (i+u)(e^{iw})^{2} - (i-u) = 0.$" loading="lazy"></span></td>
|
|
<td class="eqno" style="text-align:right">
|
|
</td></tr>
|
|
</tbody></table></div>
|
|
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P355" title="3P355">
|
|
Resolvendo em <span class="MATH"><img style="height: 2.02ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1602.svg" alt="$e^{iw}$" loading="lazy"></span> obtemos,
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{iw} = \sqrt{\tfrac{i-u}{i+u}} = \left( \tfrac{i-u}{i+u} \right)^{\frac{1}{2}},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P356" title="3P356">
|
|
<img style="height: 4.08ex; vertical-align: -1.28ex; " src="img/img1620.svg" alt="$\displaystyle e^{iw} = \sqrt{\tfrac{i-u}{i+u}} = \left( \tfrac{i-u}{i+u} \right)^{\frac{1}{2}}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P357" style="text-indent: 0 !important;" title="3P357">
|
|
e aplicando logaritmo em ambos os membros, já que <!-- MATH
|
|
$w \in (-\pi,\pi)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1615.svg" alt="$w \in (-\pi,\pi)$" loading="lazy"></span>, temos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
iw = \ln (e^{iw}) = \ln\left( \tfrac{i-u}{i+u} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln \left( \tfrac{i-u}{i+u} \right),
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P358" title="3P358">
|
|
<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1621.svg" alt="$\displaystyle iw = \ln (e^{iw}) = \ln\left( \tfrac{i-u}{i+u} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln \left( \tfrac{i-u}{i+u} \right), $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P359" style="text-indent: 0 !important;" title="3P359">
|
|
e multiplicando a igualdade por <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1605.svg" alt="$-i$" loading="lazy"></span>, temos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
w = \frac{-i}{2} \ln \left( \tfrac{i-u}{i+u} \right) = \frac{i}{2} \ln \left( \tfrac{i+u}{i-u} \right).
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P360" title="3P360">
|
|
<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1622.svg" alt="$\displaystyle w = \frac{-i}{2} \ln \left( \tfrac{i-u}{i+u} \right) = \frac{i}{2} \ln \left( \tfrac{i+u}{i-u} \right). $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P361" title="3P361">
|
|
Analogamente para a cotangente inversa, temos <!-- MATH
|
|
$w = {\mathrm {ctg}}^{-1} u$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img1623.svg" alt="$w = {\mathrm {ctg}}^{-1} u$" loading="lazy"></span>, para todo <!-- MATH
|
|
$w \in (0,\pi)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img565.svg" alt="$w \in (0,\pi)$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
|
|
$u \in \mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> e vale a relação
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
u = {\mathrm {ctg}}w = \frac{ie^{iw} + ie^{-iw}}{e^{iw} - e^{-iw}}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P362" title="3P362">
|
|
<img style="height: 5.06ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img1624.svg" alt="$\displaystyle u = {\mathrm {ctg}}w = \frac{ie^{iw} + ie^{-iw}}{e^{iw} - e^{-iw}}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P363" title="3P363">
|
|
Procedendo como no caso da tangente, chegamos a equação quadrática
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
(u-i)(e^{iw})^{2} - (u+i) = 0,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P364" title="3P364">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1625.svg" alt="$\displaystyle (u-i)(e^{iw})^{2} - (u+i) = 0, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P365" style="text-indent: 0 !important;" title="3P365">
|
|
que resolvida nos fornece,
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{iw} = \sqrt{\tfrac{u+i}{u-i}} = \left( \tfrac{u+i}{u-i} \right)^{\frac{1}{2}},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P366" title="3P366">
|
|
<img style="height: 4.08ex; vertical-align: -1.28ex; " src="img/img1626.svg" alt="$\displaystyle e^{iw} = \sqrt{\tfrac{u+i}{u-i}} = \left( \tfrac{u+i}{u-i} \right)^{\frac{1}{2}}, $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P367" title="3P367">
|
|
Aplicando o logaritmo e multiplicando o resultado por <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1605.svg" alt="$-i$" loading="lazy"></span>, chegamos a
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
{\mathrm {ctg}}^{-1} u = w = -i \ln \left( \tfrac{u+i}{u-i} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{-i}{2} \ln \left( \tfrac{u+i}{u-i} \right) = \frac{i}{2} \ln \left( \tfrac{u-i}{u+i} \right) .
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P368" title="3P368">
|
|
<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1627.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {ctg}}^{-1} u = w = -i \ln \left( \tfrac{u+i}{u-i} \righ...
|
|
...( \tfrac{u+i}{u-i} \right) = \frac{i}{2} \ln \left( \tfrac{u-i}{u+i} \right) . $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P369" title="3P369">
|
|
Considerando agora <!-- MATH
|
|
$w = \sec^{-1} u$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1628.svg" alt="$w = \sec^{-1} u$" loading="lazy"></span>, para todo <!-- MATH
|
|
$u \in [1,\infty)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1075.svg" alt="$u \in [1,\infty)$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
|
|
$w \in [0,\frac{\pi}{2})$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1629.svg" alt="$w \in [0,\frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span>. Tomamos a relação <!-- MATH
|
|
$u =
|
|
\sec w = \frac{2}{e^{iw} + e^{-iw}}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 3.05ex; vertical-align: -1.06ex; " src="img/img1630.svg" alt="$u =
|
|
\sec w = \frac{2}{e^{iw} + e^{-iw}}$" loading="lazy"></span> e obtemos,
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
ue^{iw} + ue^{-iw} = 2.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P370" title="3P370">
|
|
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1631.svg" alt="$\displaystyle ue^{iw} + ue^{-iw} = 2. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P371" title="3P371">
|
|
Multiplicando a equação por <span class="MATH"><img style="height: 2.02ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1602.svg" alt="$e^{iw}$" loading="lazy"></span> e reorganizando os termos obtemos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
u(e^{iw})^{2} - 2e^{iw} + u = 0,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P372" title="3P372">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1632.svg" alt="$\displaystyle u(e^{iw})^{2} - 2e^{iw} + u = 0, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P373" style="text-indent: 0 !important;" title="3P373">
|
|
que resolvida em <span class="MATH"><img style="height: 2.02ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1602.svg" alt="$e^{iw}$" loading="lazy"></span> nos leva a
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{iw} = \frac{2 + \sqrt{4 - 4u^{2}}}{2u} = \frac{1+\sqrt{1-u^{2}}}{u}.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P374" title="3P374">
|
|
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1633.svg" alt="$\displaystyle e^{iw} = \frac{2 + \sqrt{4 - 4u^{2}}}{2u} = \frac{1+\sqrt{1-u^{2}}}{u}. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P375" title="3P375">
|
|
A raiz quadrada do segundo membro tem no radicando um número real negativo, já que <!-- MATH
|
|
$u \in [1,\infty)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1075.svg" alt="$u \in [1,\infty)$" loading="lazy"></span>. Escrevemos então
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{iw} = \frac{1+i\sqrt{u^{2}-1}}{u},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P376" title="3P376">
|
|
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1634.svg" alt="$\displaystyle e^{iw} = \frac{1+i\sqrt{u^{2}-1}}{u}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P377" style="text-indent: 0 !important;" title="3P377">
|
|
e temos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
iw = \ln(e^{iw}) = \ln \left( \tfrac{1+i\sqrt{u^{2}-1}}{u} \right),
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P378" title="3P378">
|
|
<img style="height: 3.98ex; vertical-align: -1.47ex; " src="img/img1635.svg" alt="$\displaystyle iw = \ln(e^{iw}) = \ln \left( \tfrac{1+i\sqrt{u^{2}-1}}{u} \right), $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P379" style="text-indent: 0 !important;" title="3P379">
|
|
ou ainda,
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
w = -i \ln \left( \tfrac{1+i\sqrt{u^{2}-1}}{u} \right).
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P380" title="3P380">
|
|
<img style="height: 3.98ex; vertical-align: -1.47ex; " src="img/img1636.svg" alt="$\displaystyle w = -i \ln \left( \tfrac{1+i\sqrt{u^{2}-1}}{u} \right). $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P381" title="3P381">
|
|
Finalmente, para <!-- MATH
|
|
$w = \csc^{-1} u$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img1637.svg" alt="$w = \csc^{-1} u$" loading="lazy"></span>, fazendo <!-- MATH
|
|
$u = \csc w = \frac{2i}{e^{iw} - e^{-iw}}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 3.05ex; vertical-align: -1.06ex; " src="img/img1638.svg" alt="$u = \csc w = \frac{2i}{e^{iw} - e^{-iw}}$" loading="lazy"></span> para todo <!-- MATH
|
|
$u \in [1, \infty)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1075.svg" alt="$u \in [1,\infty)$" loading="lazy"></span> e
|
|
<!-- MATH
|
|
$w \in (0, \frac{\pi}{2}]$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img1639.svg" alt="$w \in (0, \frac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></span>. Temos então
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
ue^{iw} - ue^{-iw} = 2i,
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P382" title="3P382">
|
|
<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1640.svg" alt="$\displaystyle ue^{iw} - ue^{-iw} = 2i, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P383" style="text-indent: 0 !important;" title="3P383">
|
|
e então
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
u(e^{iw})^{2} -2ie^{iw} - u = 0.
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P384" title="3P384">
|
|
<img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1641.svg" alt="$\displaystyle u(e^{iw})^{2} -2ie^{iw} - u = 0. $" loading="lazy">
|
|
</div>
|
|
|
|
<p class=" unidade" id="3P385" title="3P385">
|
|
Resolvendo em <span class="MATH"><img style="height: 2.02ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1602.svg" alt="$e^{iw}$" loading="lazy"></span>, vem
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
e^{iw} = \frac{2i + \sqrt{-4 + 4u^{2}}}{2u} = \frac{i + \sqrt{u^{2}-1}}{u},
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P386" title="3P386">
|
|
<img style="height: 5.04ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img1642.svg" alt="$\displaystyle e^{iw} = \frac{2i + \sqrt{-4 + 4u^{2}}}{2u} = \frac{i + \sqrt{u^{2}-1}}{u}, $" loading="lazy">
|
|
</div><p class=" unidade" id="3P387" style="text-indent: 0 !important;" title="3P387">
|
|
e aplicando o logaritmo e uma multiplicação por <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img1605.svg" alt="$-i$" loading="lazy"></span>, temos
|
|
<!-- MATH
|
|
\begin{displaymath}
|
|
\csc^{-1} u = w = -i \ln \left(\tfrac{i + \sqrt{u^{2}-1}}{u} \right).
|
|
\end{displaymath}
|
|
-->
|
|
</p>
|
|
<div class="mathdisplay unidade" id="3P388" title="3P388">
|
|
<img style="height: 3.98ex; vertical-align: -1.47ex; " src="img/img1643.svg" alt="$\displaystyle \csc^{-1} u = w = -i \ln \left(\tfrac{i + \sqrt{u^{2}-1}}{u} \right). $" loading="lazy">
|
|
</div>
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<p class=" unidade" id="3P389" title="3P389">
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Organizando as fórmulas logarítmicas, temos a tabela abaixo.
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</p>
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<div class="CENTER"><a id="5383"></a>
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<table>
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<caption><strong>Tabela 3.2:</strong>
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Fórmulas logarítmicas para as funções trigonométricas circulares inversas.</caption>
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<tbody><tr><td>
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<div class="CENTER">
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<table class="PAD BORDER">
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<tbody><tr><td class="CENTER">função</td>
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<td class="CENTER">domínio</td>
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<td class="CENTER">fórmula logarítmica</td>
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</tr>
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<tr><td class="CENTER"><!-- MATH
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${\mathrm {sen}}^{-1} u$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img428.svg" alt="${\mathrm {sen}}^{-1}u$" loading="lazy"></span></td>
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|
<td class="CENTER"> <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img280.svg" alt="$[-1,1]$" loading="lazy"></span> </td>
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<td class="CENTER"><!-- MATH
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$-i \ln(ui + \sqrt{1-u^{2}})$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.70ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1644.svg" alt="$-i \ln(ui + \sqrt{1-u^{2}})$" loading="lazy"></span> <br>
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<br></td>
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|
</tr>
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<tr><td class="CENTER"><!-- MATH
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|
$\cos^{-1} u$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img521.svg" alt="$\cos^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
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|
<td class="CENTER"> <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img280.svg" alt="$[-1,1]$" loading="lazy"></span> </td>
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<td class="CENTER"><!-- MATH
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|
$-i \ln (u + i\sqrt{1-u^{2}})$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.70ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img1645.svg" alt="$-i \ln (u + i\sqrt{1-u^{2}})$" loading="lazy"></span> <br>
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<br></td>
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|
</tr>
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<tr><td class="CENTER"><!-- MATH
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${\mathrm {tg}}^{-1} u$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img522.svg" alt="${\mathrm {tg}}^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
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<td class="CENTER"> <!-- MATH
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|
$\mathbb{R}$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span> </td>
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<td class="CENTER"><!-- MATH
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|
$\frac{i}{2} \ln \left( \tfrac{i+u}{i-u} \right)$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.94ex; vertical-align: -0.95ex; " src="img/img1646.svg" alt="$\frac{i}{2} \ln \left( \tfrac{i+u}{i-u} \right)$" loading="lazy"></span> <br>
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|
<br></td>
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|
</tr>
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<tr><td class="CENTER"><!-- MATH
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|
${\mathrm {ctg}}^{-1} u$
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|
-->
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|
<span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img523.svg" alt="${\mathrm {ctg}}^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
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|
<td class="CENTER"> <!-- MATH
|
|
$\mathbb{R}$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span> </td>
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|
<td class="CENTER"><!-- MATH
|
|
$\frac{i}{2} \ln \left( \tfrac{u-i}{u+i} \right)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.94ex; vertical-align: -0.95ex; " src="img/img1647.svg" alt="$\frac{i}{2} \ln \left( \tfrac{u-i}{u+i} \right)$" loading="lazy"></span> <br>
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|
<br></td>
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|
</tr>
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<tr><td class="CENTER"><!-- MATH
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|
$\sec^{-1} u$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img524.svg" alt="$\sec^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
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<td class="CENTER"> <!-- MATH
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|
$[1,\infty)$
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|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img547.svg" alt="$[1,\infty)$" loading="lazy"></span> </td>
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<td class="CENTER"><!-- MATH
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|
$-i \ln \left( \tfrac{1+i\sqrt{u^{2}-1}}{u} \right)$
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-->
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|
<span class="MATH"><img style="height: 3.98ex; vertical-align: -1.47ex; " src="img/img1648.svg" alt="$-i \ln \left( \tfrac{1+i\sqrt{u^{2}-1}}{u} \right)$" loading="lazy"></span> <br>
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|
<br></td>
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|
</tr>
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<tr><td class="CENTER"><!-- MATH
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|
$\csc^{-1} u$
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-->
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<span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img525.svg" alt="$\csc^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
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|
<td class="CENTER"> <!-- MATH
|
|
$[1,\infty)$
|
|
-->
|
|
<span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img547.svg" alt="$[1,\infty)$" loading="lazy"></span> </td>
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<td class="CENTER"><!-- MATH
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|
$-i \ln \left(\tfrac{i + \sqrt{u^{2}-1}}{u} \right)$
|
|
-->
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<span class="MATH"><img style="height: 3.98ex; vertical-align: -1.47ex; " src="img/img1649.svg" alt="$-i \ln \left(\tfrac{i + \sqrt{u^{2}-1}}{u} \right)$" loading="lazy"></span></td>
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</tr>
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|
</tbody></table>
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</div></td></tr>
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</tbody></table>
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</div>
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:::
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```{=html}
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</div>
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