# Capítulo 1​: Funções trigonométricas circulares​ {.unnumbered}

```{=html}

<div id="conteudo-capitulo">


    
    <p class=" unidade" id="1P1" title="1P1">
        Neste capítulo, vamos revisar os aspectos da trigonometria circular. Definiremos as funções trigonométricas circulares e estudaremos suas principais propriedades e identidades. Evidenciaremos alguns limites, os gráficos para cada uma dessas funções e deduziremos as derivadas para elas. Finalmente, definiremos as funções trigonométricas inversas e estudaremos também alguns limites, os gráficos e as derivadas das funções inversas. 
        </p>

    
```

## 1.1 A trigonometria circular {#SECTION00510000000000000000}


            
```{=html}

            <p class=" unidade" id="1P2" title="1P2">
            A trigonometria surgiu do estudo das medidas de um triângulo retângulo. A palavra trigonometria significa, em grego, medidas dos lados do triângulo. Dado um triângulo retângulo, marca-se um dos ângulos não reto e as relações trigonométricas atribuídas a esse ângulo são as seis razões possíveis envolvendo as medidas da hipotenusa, do cateto oposto (ao ângulo marcado) e do cateto adjacente (ao ângulo marcado). 
            </p>
            <a id="135"></a>
                <div id="1I1" title="1I1" class="interativo unidade">
                    <div class="controles_interatividade">
                    
                    <a href="/interativo/fig1-1.html" target="_blank" class="btn_abrirInterativo">Ver maior</a><span class="barra"> | </span><span class="referencia" onclick="alert('A referência é: 1I1.')">Referência</span>
                    
                    </div>
                    
                    <iframe id="fig1-1" class="graficos" loading="lazy" src="/interativo/fig1-1.html"></iframe>
                </div>
```
::: {.raw_html}
            
            <p class=" unidade" id="1P3" title="1P3">
            Observando o triângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img12.svg" alt="$OPA$" loading="lazy"></span> da figura anterior e sendo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img13.svg" alt="$\alpha$" loading="lazy"></span> o ângulo <span class="MATH"><img style="height: 2.26ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img14.svg" alt="$P\hat{O}A$" loading="lazy"></span>, temos as seis relações trigonométricas associadas a este ângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img13.svg" alt="$\alpha$" loading="lazy"></span>, dadas por
            </p>



            <div class="mathdisplay unidade" id="1P4" title="1P4"><table class="equation">
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img15.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}\alpha$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.94ex; vertical-align: -1.98ex; " src="img/img16.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{PA}{OA},$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img17.svg" alt="$\displaystyle \cos \alpha$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.95ex; vertical-align: -1.98ex; " src="img/img18.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{OP}{OA},$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img19.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}\alpha$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.99ex; vertical-align: -2.02ex; " src="img/img20.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{PA}{OP},$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img21.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {ctg}}\alpha$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.95ex; vertical-align: -1.98ex; " src="img/img22.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{cateto oposto}} = \frac{OP}{PA},$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img23.svg" alt="$\displaystyle \sec \alpha$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.99ex; vertical-align: -2.02ex; " src="img/img24.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{OA}{OP},$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img25.svg" alt="$\displaystyle \csc \alpha$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.95ex; vertical-align: -1.98ex; " src="img/img26.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto oposto}} = \frac{OA}{PA},$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            </tbody></table>
            </div>
        


            <p class=" unidade" id="1P5" style="text-indent: 0px !important;" title="1P5">
            e chamadas respectivamente de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img13.svg" alt="$\alpha$" loading="lazy"></span>. É comum ainda representar a cossecante do ângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img13.svg" alt="$\alpha$" loading="lazy"></span> por <!-- MATH
             ${\mathrm{cossec}}\alpha$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img27.svg" alt="${\mathrm{cossec}}\alpha$" loading="lazy"></span> e a tangente de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img13.svg" alt="$\alpha$" loading="lazy"></span> por <!-- MATH
             $\tan \alpha$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img28.svg" alt="$\tan \alpha$" loading="lazy"></span>. A notação <!-- MATH
             $\tan \alpha$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img28.svg" alt="$\tan \alpha$" loading="lazy"></span> é a notação padrão para a tangente no sistema de medida estadunidense e, por isso, muitas calculadoras usam essa notação.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P6" title="1P6">
            Podemos pensar que à medida que o ângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img13.svg" alt="$\alpha$" loading="lazy"></span> varia, variam também as razões entre os lados desse triângulo e, consequentemente, variam as relações trigonométricas associadas ao ângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img13.svg" alt="$\alpha$" loading="lazy"></span>. Dessa forma, podemos pensar que as relações trigonométricas são dadas em função do ângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img13.svg" alt="$\alpha$" loading="lazy"></span>.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P7" title="1P7">
            Observemos que é imediato dessas definições que
            </p>



            <div class="mathdisplay unidade" id="1P8" title="1P8"><table class="equation">
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img19.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}\alpha$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.06ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img29.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm {sen}}\alpha}{\cos \alpha},$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img21.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {ctg}}\alpha$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.00ex; vertical-align: -2.03ex; " src="img/img30.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{{\mathrm {tg}}\alpha} = \frac{\cos \alpha}{{\mathrm {sen}}\alpha},$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img23.svg" alt="$\displaystyle \sec \alpha$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img31.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm {tg}}\alpha}{{\mathrm {sen}}\alpha} = \frac{1}{\cos \alpha},$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img25.svg" alt="$\displaystyle \csc \alpha$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img32.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm {ctg}}\alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{{\mathrm {sen}}\alpha}.$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            </tbody></table></div>


            
            
            <p class=" unidade" id="1P9" title="1P9">
            Queremos então construir as funções trigonométricas, que a cada ângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img13.svg" alt="$\alpha$" loading="lazy"></span> associam o seno, o cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img13.svg" alt="$\alpha$" loading="lazy"></span>. Temos alguns problemas nesse sentido. Primeiro quando pensamos em função, pensamos em domínio, imagem, gráfico da função entre outras propriedades. Um dos problemas é que o sistema cartesiano, utilizado para representar graficamente uma função, possui uma escala de medida baseada no comprimento. Por outro lado, um ângulo é tradicionalmente medido em graus. Precisamos utilizar um sistema de medida de ângulos compatível com o sistema cartesiano. Além disso, a trigonometria em um triângulo retângulo somente pode levar em conta ângulos de amplitude entre 0 e 90 graus (exluindo-se esses dois) e, no caso de funções, queremos estender ao máximo o domínio de definição, pretendendo, inclusive, calcular o valor das seis razões trigonométricas quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img13.svg" alt="$\alpha$" loading="lazy"></span> possui uma medida negativa.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P10" title="1P10">
            Vamos construir então o aparato compatível para o desenvolvimento dos nossos estudos.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P11" title="1P11">
            A trigonometria circular é construída sobre uma circunferência unitária, isto é, de raio 1, centrada na origem, cuja equação é <!-- MATH
             $x^{2} + y^{2} = 1$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.42ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img33.svg" alt="$x^{2} + y^{2} = 1$" loading="lazy"></span>. Essa circunferência é chamada de circunferência trigonométrica<a name="182"></a>, ou círculo trigonométrico<a name="183"></a>.
            </p>

:::
```{=html} 
            <a id="186"></a>
                <div id="1I2" title="1I2" class="interativo unidade">
                    <div class="controles_interatividade">
                    
                        <a href="/interativo/fig1-2.html" target="_blank" class="btn_abrirInterativo">Ver maior</a><span class="barra"> | </span><span class="referencia" onclick="alert('A referência é: 1I2.')">Referência</span>
                    
                    </div>
                    
                    <iframe id="fig1-2" class="graficos" loading="lazy" src="/interativo/fig1-2.html"></iframe>
                    </div>
```

::: {.raw_html}
            <p class=" unidade" id="1P12" title="1P12">
            Nessa circunferência, convencionamos que:
            
            </p><table width="90%" style="margin-top: 30px; margin-bottom: 30px;;">
            <tbody><tr><td align="right" valign="top">-</td><td valign="top">&nbsp;O ponto <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img34.svg" alt="$V=(1,0)$" loading="lazy"></span> é a origem de quaisquer arcos a serem marcados na circunferência.
            </td></tr>
            <tr><td align="right" valign="top">-</td><td valign="top">&nbsp;A cada ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> da circunferência, correspondem um arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span> e um ângulo associado <span class="MATH"><img style="height: 2.26ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img37.svg" alt="$V\hat{O}A$" loading="lazy">,</span> marcado no sentido anti-horário, ao qual é atribuída uma medida positiva.
            </td></tr>
            <tr><td align="right" valign="top">-</td><td valign="top">&nbsp;A cada ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> da circunferência, correspondem também um arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span> e um ângulo associado <span class="MATH"><img style="height: 2.26ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img37.svg" alt="$V\hat{O}A$" loading="lazy">,</span> marcado no sentido horário, ao qual é atribuída uma medida negativa.
            </td></tr></tbody></table>
            <p></p>
            <p class=" unidade" id="1P13" title="1P13">
            A medida <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img13.svg" alt="$\alpha$" loading="lazy"></span> que atribuiremos a esse ângulo é baseada em algum dos sistemas de medidas de ângulos conhecidos. São três os sistemas de medidas de ângulo mais difundidos: graus, grados e radianos.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P14" title="1P14">
            O sistema grado<a name="192"></a> é o menos utilizado e consiste em dividir a circunferência trigonométrica em 400 partes iguais, cada fração chamada de 1 grado. É um sistema baseado em escala decimal. Os eixos coordenados dividem portanto a circunferência em 4 partes cada uma com medida 100 grados.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P15" title="1P15">
            O sistema grau<a name="193"></a> é bastante conhecido dos estudantes de ensino médio e fundamental. Consiste em dividir a circunferência trigonométrica em 360 partes iguais, cada uma dessas partes chamada de 1 grau. Os eixos coordenados dividem então a circunferência em 4 partes iguais de medida 90 graus cada uma.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P16" title="1P16">
            Relata-se que o sistema grau surgiu por volta de 4000 a.C. com os egípcios. Eles desejavam construir um calendário e, para isso, criaram um círculo com marcas onde poderiam contar os dias do ano. Quando um ano se passasse, a contagem deveria voltar ao ponto de partida, para o início de uma nova contagem. Naquela época, acreditavam que o Sol é que girava em torno da Terra e acreditavam que esta volta completa durava 360 dias. Então construíram uma circunferência dividida em 360 partes iguais e a cada dia que se passava, o marcador avançava <!-- MATH
             $\frac{1}{360}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.85ex; vertical-align: -0.86ex; " src="img/img38.svg" alt="$\frac{1}{360}$" loading="lazy"></span> da circunferência.
            Algumas destas informações foram atualizadas com o tempo. Hoje sabe-se com mais precisão o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa em torno do Sol, mas a divisão da circunferência em 360 partes iguais já havia sido consolidada.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P17" title="1P17">
            O sistema radiano<a name="196"></a> é o mais adequado para o nosso estudo. Como sabemos, o comprimento de uma
            circunferência é calculado por <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img39.svg" alt="$2\pi r$" loading="lazy"></span>, sendo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img40.svg" alt="$r$" loading="lazy"></span> o raio da circunferência. Isto significa que a circunferência trigonométrica possui comprimento igual a <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img41.svg" alt="$2\pi$" loading="lazy"></span>. Os eixos coordenados dividem portanto essa circunferência em 4 arcos, de comprimento <!-- MATH
             $\frac{\pi}{2}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img42.svg" alt="$\frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span> cada um. A cada ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> da circunferência, a medida do arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span> será exatamente a medida do seu comprimento, considerada negativa, se o arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span> estiver marcado no sentido horário.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P18" title="1P18">
            Dessa forma, a cada ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> sobre a circunferência está associado um arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span> e para este arco, um ângulo de medida positiva e um ângulo de medida negativa. Queremos agora a partir de uma medida, positiva ou negativa, determinar um ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> cujo arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span> e cujo ângulo <span class="MATH"><img style="height: 2.26ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img37.svg" alt="$V\hat{O}A$" loading="lazy"></span> estejam associados a esta medida.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P19" title="1P19">
            A cada número real <!-- MATH
             $0 \leq u < 2\pi$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.94ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img43.svg" alt="$0 \leq u < 2\pi$" loading="lazy"></span> está associado um ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> da circunferência de forma que o arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span>, marcado no sentido anti-horário, mede <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> unidades de comprimento. A partir do número real <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img41.svg" alt="$2\pi$" loading="lazy"></span>, digamos <!-- MATH
             $u \in [2\pi, 4\pi)$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img44.svg" alt="$u \in [2\pi, 4\pi)$" loading="lazy"></span>, ainda podemos marcar o ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> na circunferência, no sentido anti-horário, porém, o comprimento do arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span> é <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img45.svg" alt="$(u-2\pi)$" loading="lazy"></span>.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P20" title="1P20">
            Convencionamos então que a cada número real <span class="MATH"><img style="height: 1.94ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img46.svg" alt="$u \geq 0$" loading="lazy"></span> está associado um ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> da circunferência, de forma que o comprimento do arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span>, marcado no sentido anti-horário, mede <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img47.svg" alt="$(u-2k\pi)$" loading="lazy"></span> para algum <!-- MATH
             $k \in \mathbb{Z}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span> com <span class="MATH"><img style="height: 1.94ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img49.svg" alt="$k \geq 0$" loading="lazy"></span>. Mais precisamente, <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img50.svg" alt="$k$" loading="lazy"></span> satisfaz <!-- MATH
             $2k\pi \leq u < 2(k+1)\pi$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img51.svg" alt="$2k\pi \leq u < 2(k+1)\pi$" loading="lazy"></span>. Em outras palavras, a medida do arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span> é igual a <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> descontando-se <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img50.svg" alt="$k$" loading="lazy"></span> voltas completas na circunferência.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P21" title="1P21">
            Admitindo convenções similares para a marcação de arcos no sentido horário, temos que a cada número real negativo, <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img52.svg" alt="$u < 0$" loading="lazy"></span> corresponde um único ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img53.svg" alt="$B$" loading="lazy"></span> na circunferência de forma que o arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img54.svg" alt="$VB$" loading="lazy"></span> mede <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img47.svg" alt="$(u-2k\pi)$" loading="lazy"></span> para algum <!-- MATH
             $k \in \mathbb{Z}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span> com <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img55.svg" alt="$k<0$" loading="lazy"></span>. Em outras palavras, a medida do arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img54.svg" alt="$VB$" loading="lazy"></span> é igual a <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> adicionando-se <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img56.svg" alt="$(-k)$" loading="lazy"></span> voltas completas na circunferência.
            
             </p>
            
            <div class="CENTER"><a id="202"></a>
            <table id="1I3" title="1I3">
            <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.3:</strong>
            Ângulos positivo e negativo.</caption>
            <tbody><tr><td>
            <div class="CENTER">
            <img src="img/./angposneg.png" alt="Image angposneg" loading="lazy"> </div></td></tr>
            </tbody></table>
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P22" title="1P22">
            Dessa forma, temos que a cada <!-- MATH
             $u \in \mathbb{R}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, também chamado ângulo radiano <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, corresponde um ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> na circunferência de modo que o arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span> mede <!-- MATH
             $(|u|+2k\pi)$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img58.svg" alt="$(\vert u\vert+2k\pi)$" loading="lazy"></span> para <!-- MATH
             $k \in \mathbb{Z}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span> que satisfaz <!-- MATH
             $2k\pi \leq u < 2(k+1)\pi$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img51.svg" alt="$2k\pi \leq u < 2(k+1)\pi$" loading="lazy"></span>. Desse ponto em diante, escreveremos simplesmente que o ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span>, ou que o arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span>, está associado ao ângulo radiano <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, ou ainda que o arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span> ou o ângulo <span class="MATH"><img style="height: 2.26ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img37.svg" alt="$V\hat{O}A$" loading="lazy"></span> mede <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> radianos.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P23" title="1P23">
            Note que, se <!-- MATH
             $u \in [0,2\pi]$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img59.svg" alt="$u \in [0,2\pi]$" loading="lazy"></span> então a área do setor circular <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img60.svg" alt="$OVA$" loading="lazy"></span> é igual a <!-- MATH
             $\frac{u}{2}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img61.svg" alt="$\frac{u}{2}$" loading="lazy"></span> unidades de área. Dado um ângulo radiano <!-- MATH
             $u \in \mathbb{R}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, seja <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> o ponto sobre a circunferência tal que <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img62.svg" alt="$AV$" loading="lazy"></span> tem medida <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>. O ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> possui, no sistema cartesiano prefixado, duas coordenadas <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img63.svg" alt="$A=(a,b)$" loading="lazy"></span>. O seno de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span><a name="207"></a> é definido como sendo a ordenada do
            ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span>, isto é,
             </p>
            <!-- MATH
             \begin{displaymath}
            {\mathrm {sen}}u = \text{ordenada de }A = b,
            \end{displaymath}
             -->
            

            <div class="mathdisplay unidade" id="1P24" title="1P24">
            <img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img64.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}u =$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;ordenada de&nbsp;<img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img65.svg" alt="$\displaystyle A = b, $" loading="lazy">
            </div>
            e o cosseno<a name="209"></a> de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> é definido como sendo a absissa do ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span>, isto é,
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P25" title="1P25">
            <img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img66.svg" alt="$\displaystyle \cos u =$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;absissa de&nbsp;<img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img67.svg" alt="$\displaystyle A = a. $" loading="lazy">
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P26" title="1P26">
            Outra forma de ver isto, é traçarmos pelo ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> a perpendicular <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img68.svg" alt="$AP$" loading="lazy"></span> ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> e a perpendicular <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img70.svg" alt="$AQ$" loading="lazy"></span> ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img71.svg" alt="$y$" loading="lazy"></span>. O seno do ângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> é então o comprimento do segmento orientado <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img72.svg" alt="$OQ$" loading="lazy"></span> (ou <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img73.svg" alt="$PA$" loading="lazy"></span>) com relação ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img71.svg" alt="$y$" loading="lazy"></span>. Se o segmento tiver sentido contrário ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img71.svg" alt="$y$" loading="lazy"></span>, entenderemos seu comprimento como negativo. O cosseno do ângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> é igual ao comprimento do segmento orientado <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img74.svg" alt="$OP$" loading="lazy"></span> (ou <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img75.svg" alt="$QA$" loading="lazy"></span>) com relação ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span>. Se o segmento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img74.svg" alt="$OP$" loading="lazy"></span> estiver orientado contrariamente ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> entenderemos o comprimento como sendo negativo.
            </p>
:::

```{=html} 
            <a id="213"></a>
                <div id="1I4" title="1I4" class="interativo unidade">
                    <div class="controles_interatividade">
                    
                    <a href="/interativo/fig1-4.html" target="_blank" class="btn_abrirInterativo">Ver maior</a><span class="barra"> | </span><span class="referencia" onclick="alert('A referência é: 1I4.')">Referência</span>
                    
                    </div>
                    
                    <iframe id="fig1-4" class="graficos" loading="lazy" src="/interativo/fig1-4.html"></iframe>
                    </div>
```

::: {.raw_html}
            
            <p class=" unidade" id="1P27" title="1P27">
            Outras quatro razões trigonométricas chamadas respectivamente de tangente, cotangente, secante e cossecante, são definidas por <a name="215"></a> <a name="216"></a> <a name="217"></a> <a name="218"></a>
            </p><!-- MATH
             \begin{displaymath}
            {\mathrm  {tg}}u = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u}, \qquad {\mathrm {ctg}}u = \frac{\cos u}{{\mathrm {sen}}u}, \qquad
               \sec u = \frac{1}{\cos u} \qquad \text{e} \qquad \csc u = \frac{1}{{\mathrm {sen}}u}. 
            \end{displaymath}
             -->
            


            <div class="mathdisplay unidade" id="1P28" title="1P28">
            <img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img76.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}u = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u}, \qquad {\mathrm {ctg}}u = \frac{\cos u}{{\mathrm {sen}}u}, \qquad
            \sec u = \frac{1}{\cos u}$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img77.svg" alt="$\displaystyle \qquad \csc u = \frac{1}{{\mathrm {sen}}u}. $" loading="lazy">
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P29" title="1P29">
            Naturalmente, a observação destas razões no triângulo retângulo, acarreta que as razões sejam sempre números positivos. A definição sobre a circunferência trigonométrica estende estes conceitos. Mas também traz alguns problemas. Por exemplo, a abscissa ou a ordenada do ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> podem ser nulas, o que acarreta seno ou cosseno de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> igual a zero. Algumas das razões acima não estarão definidas nesses casos.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P30" title="1P30">
            Dados dois ângulos radianos, de medidas <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img78.svg" alt="$-u$" loading="lazy"></span>, consideremos os pontos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.81ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img79.svg" alt="$A'$" loading="lazy"></span> sobre a circunferência,
            associados aos ângulos radianos <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img78.svg" alt="$-u$" loading="lazy"></span> respectivamente. Os pontos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.81ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img79.svg" alt="$A'$" loading="lazy"></span> estão sobre a circunferência e são simétricos um do outro em relação ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span>.
            </p>

:::

```{=html} 
            <a id="230"></a>
                <div id="1I5" title="1I5" class="interativo unidade">
                    <div class="controles_interatividade">
                    
                    <a href="/interativo/fig1-5.html" target="_blank" class="btn_abrirInterativo">Ver maior</a><span class="barra"> | </span><span class="referencia" onclick="alert('A referência é: 1I5.')">Referência</span>
                    
                    </div>
                    
                    <iframe id="fig1-5" class="graficos" loading="lazy" src="/interativo/fig1-5.html"></iframe>
                    </div>
```

::: {.raw_html}
            
            <p class=" unidade" id="1P31" title="1P31">
            Logo,
            </p>



            <div class="mathdisplay unidade" id="1P32" title="1P32"><table class="equation">
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH">abscissa de&nbsp;<img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img80.svg" alt="$\displaystyle A$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img81.svg" alt="$\displaystyle =$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;abscissa de&nbsp;<img style="height: 1.92ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img82.svg" alt="$\displaystyle A',$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH">ordenada de&nbsp;<img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img80.svg" alt="$\displaystyle A$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img83.svg" alt="$\displaystyle = -($" loading="lazy">ordenada de&nbsp;<img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img84.svg" alt="$\displaystyle A'),$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            </tbody></table></div>
            
            <p class=" unidade" id="1P33" style="text-indent: 0px !important;" title="1P33">ou ainda,</p>
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P34" title="1P34"><table class="equation">
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img85.svg" alt="$\displaystyle \cos u$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img81.svg" alt="$\displaystyle =$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;abscissa de&nbsp;<img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img80.svg" alt="$\displaystyle A$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img81.svg" alt="$\displaystyle =$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;abscissa de&nbsp;<img style="height: 1.92ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img86.svg" alt="$\displaystyle A'$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img87.svg" alt="$\displaystyle = \cos(-u)$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            </tbody>
    </table>
    </div>
           <span style="text-align: left !important;"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img88.svg" alt="$\displaystyle e$" loading="lazy"></span></td>
           
     <div class="mathdisplay unidade" id="1P34-" title="1P34-">
    <table class="equation">
    <tbody>
            <tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img89.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img81.svg" alt="$\displaystyle =$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;ordenada de&nbsp;<img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img80.svg" alt="$\displaystyle A$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img83.svg" alt="$\displaystyle = -($" loading="lazy">ordenada de&nbsp;<img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img90.svg" alt="$\displaystyle A')$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img91.svg" alt="$\displaystyle = -{\mathrm {sen}}(-u).$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            </tbody></table></div>
            
            
            <p class=" unidade" id="1P35" title="1P35">
            Temos então as igualdades
            </p>
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P36" title="1P36"><table>
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:right; width:45%;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img92.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}(-u)$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img93.svg" alt="$\displaystyle = -{\mathrm {sen}}u,$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            <a id="senimpar">(<span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">1</span>)</a></td></tr>
            <tr>
            <td style="text-align:right; width:45%;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img94.svg" alt="$\displaystyle \cos(-u)$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img95.svg" alt="$\displaystyle = \cos u.$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            <a id="cospar">(<span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">2</span>)</a></td></tr>
            </tbody></table></div>
            
            
            <p class=" unidade" id="1P37" title="1P37">
            Note que as coordenadas do ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> são então <!-- MATH
             $A = (\cos u, {\mathrm {sen}}u)$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img96.svg" alt="$A = (\cos u, {\mathrm {sen}}u)$" loading="lazy"></span> e, como o ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> está sobre a circunferência, suas coordenadas devem satisfazer a equação da circunferência <!-- MATH
             $x^{2} + y^{2} = 1$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.42ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img33.svg" alt="$x^{2} + y^{2} = 1$" loading="lazy"></span>. Temos então
            </p>
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P38" title="1P38"><a id="idfundcirc"></a><!-- MATH
             \begin{equation}
            \cos^{2}u + {\mathrm {sen}}^{2} u = (\cos u)^{2} + ({\mathrm {sen}}u)^{2} = 1,
            \end{equation}
             -->
            <table >
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img97.svg" alt="$\displaystyle \cos^{2}u + {\mathrm {sen}}^{2} u = (\cos u)^{2} + ({\mathrm {sen}}u)^{2} = 1,$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            (<span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">3</span>)</td></tr>
            </tbody></table></div>
            <p class=" unidade" id="1P39" style="text-indent: 0px !important;" title="1P39">
            que é conhecida como a relação fundamental da trigonometria (circular)<a name="257"></a>.
            
            </p><p class=" unidade" id="1P40" title="1P40">
            Assim como no caso de seno e cosseno, podemos também fazer uma visualização geométrica das outras quatro funções trigonométricas.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P41" title="1P41">
            Consideremos, no círculo trigonométrico, a reta <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img40.svg" alt="$r$" loading="lazy"></span> paralela ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img71.svg" alt="$y$" loading="lazy"></span> e que passa pelo ponto <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img34.svg" alt="$V=(1,0)$" loading="lazy"></span> e a reta <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$" loading="lazy"></span> paralela ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> e que passa pelo ponto <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img99.svg" alt="$W = (0,1)$" loading="lazy"></span>. São duas retas tangentes à circunferência
            trigonométrica. Dado um ângulo radiano <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> representado pelo arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span>, prolongamos o segmento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img100.svg" alt="$OA$" loading="lazy"></span> até que ele
            intercepte as retas <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img40.svg" alt="$r$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$" loading="lazy"></span> respectivamente nos pontos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img101.svg" alt="$M$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img8.svg" alt="$N$" loading="lazy"></span>. A tangente do ângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> é o comprimento do
            segmento orientado <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img102.svg" alt="$VM$" loading="lazy"></span> com relação ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img71.svg" alt="$y$" loading="lazy"></span>. A cotangente de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> é igual ao comprimento do segmento orientado <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img103.svg" alt="$WN$" loading="lazy"></span>, com relação ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span>.
            </p>
:::

```{=html} 

            <a id="260"></a>
                <div id="1I6" title="1I6" class="interativo unidade">
                    <div class="controles_interatividade">
                    
                    <a href="/interativo/fig1-6.html" target="_blank" class="btn_abrirInterativo">Ver maior</a><span class="barra"> | </span><span class="referencia" onclick="alert('A referência é: 1I6.')">Referência</span>
                    
                    </div>
                    
                    <iframe id="fig1-6" class="graficos" loading="lazy" src="/interativo/fig1-6.html"></iframe>
                </div>
```

::: {.raw_html}
            
            <p class=" unidade" id="1P42" title="1P42">
            Nestes termos, notemos que os triângulos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img104.svg" alt="$OAP$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img105.svg" alt="$OVM$" loading="lazy"></span> são semelhantes e, portanto,
             </p><!-- MATH
             \begin{displaymath}
            VM = \frac{VM}{OV} = \frac{AP}{OP} = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u} = {\mathrm  {tg}}u.
            \end{displaymath}
             -->
            


            <div class="mathdisplay unidade" id="1P43" title="1P43">
            <img style="height: 4.54ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img106.svg" alt="$\displaystyle VM = \frac{VM}{OV} = \frac{AP}{OP} = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u} = {\mathrm {tg}}u. $" loading="lazy">
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P44" title="1P44">
            Também o triângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img107.svg" alt="$ONW$" loading="lazy"></span> é semelhante ao triângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img104.svg" alt="$OAP$" loading="lazy"></span> e, dessa semelhança, temos que
             </p><!-- MATH
             \begin{displaymath}
            WN = \frac{WN}{WO} = \frac{OP}{PA} = \frac{\cos u}{{\mathrm {sen}}u} = {\mathrm {ctg}}u,
            \end{displaymath}
             -->
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P45" title="1P45">
            <img style="height: 4.54ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img108.svg" alt="$\displaystyle WN = \frac{WN}{WO} = \frac{OP}{PA} = \frac{\cos u}{{\mathrm {sen}}u} = {\mathrm {ctg}}u, $" loading="lazy">
            </div><p class=" unidade" id="1P46" style="text-indent: 0px !important;" title="1P46">
            e isso significa que as coordenadas de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img101.svg" alt="$M$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img8.svg" alt="$N$" loading="lazy"></span> são <!-- MATH
             $M = (1, {\mathrm  {tg}}u)$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img109.svg" alt="$M = (1, {\mathrm {tg}}u)$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
             $N = ({\mathrm {ctg}}u, 1)$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img110.svg" alt="$N = ({\mathrm {ctg}}u, 1)$" loading="lazy"></span>.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P47" title="1P47">
            Note que se <!-- MATH
             $u = \frac{\pi}{2} \pm k\pi$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img111.svg" alt="$u = \frac{\pi}{2} \pm k\pi$" loading="lazy"></span> para <!-- MATH
             $k \in \mathbb{Z}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>, então o ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> coincidirá com <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img112.svg" alt="$(0,1)$" loading="lazy"></span> ou <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img113.svg" alt="$(0,-1)$" loading="lazy"></span> e então o prolongamento do segmento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img100.svg" alt="$OA$" loading="lazy"></span> não intercepta a reta <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img40.svg" alt="$r$" loading="lazy"></span> e nesses casos, não está definida a tangente de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>. Isso pode também ser observado na expressão <!-- MATH
             ${\mathrm  {tg}}u = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.47ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img114.svg" alt="${\mathrm {tg}}u = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u}$" loading="lazy"></span>, pois nos pontos mencionados, temos um denominador nulo. O mesmo ocorre com <!-- MATH
             ${\mathrm {ctg}}u$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img115.svg" alt="${\mathrm {ctg}}u$" loading="lazy"></span> nos casos em que <!-- MATH
             $u = \pm k\pi$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img116.svg" alt="$u = \pm k\pi$" loading="lazy"></span>, pois nesses pontos, <!-- MATH
             ${\mathrm {sen}}u = 0$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img117.svg" alt="${\mathrm {sen}}u = 0$" loading="lazy"></span>.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P48" title="1P48">
            Considerando ainda o ângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, determinado pelo arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span>, traçamos pelo ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> a reta <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img118.svg" alt="$s$" loading="lazy"></span>, tangente a
            circunferência trigonométrica que passa pelo ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span>. Essa reta corta os eixos <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img71.svg" alt="$y$" loading="lazy"></span> nos pontos que chamaremos, respectivamente <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img119.svg" alt="$X$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img120.svg" alt="$Y$" loading="lazy"></span>. A secante do ângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> (denotada por <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img121.svg" alt="$\sec u$" loading="lazy"></span>) é igual ao comprimento do segmento orientado <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img122.svg" alt="$OX$" loading="lazy"></span>, com relação ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> e a cossecante de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> (denotada por <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img123.svg" alt="$\csc u$" loading="lazy"></span>) é igual ao comprimento do segmento orientado <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img124.svg" alt="$OY$" loading="lazy"></span>, com relação ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img71.svg" alt="$y$" loading="lazy"></span>.
            </p>



            <div class="CENTER"><a id="280"></a>
            <table id="1I7" title="1I7">
            <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.7:</strong>
            Secante e cossecante de um ângulo.</caption>
            <tbody><tr><td>
            <div class="CENTER">
            <img src="img/./angseccsc.png" alt="Image angseccsc" loading="lazy"> </div></td></tr>
            </tbody></table>
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P49" title="1P49">
            Vemos na figura anterior, que os triângulos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img104.svg" alt="$OAP$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img125.svg" alt="$OAY$" loading="lazy"></span> são semelhantes e dessa semelhança vem
             </p><!-- MATH
             \begin{displaymath}
            OY = \frac{OY}{OA} = \frac{AO}{AP} = \frac{1}{{\mathrm {sen}}u} = \csc u.
            \end{displaymath}
             -->
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P50" title="1P50">
            <img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img126.svg" alt="$\displaystyle OY = \frac{OY}{OA} = \frac{AO}{AP} = \frac{1}{{\mathrm {sen}}u} = \csc u. $" loading="lazy">
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P51" title="1P51">
            Também os triângulos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img104.svg" alt="$OAP$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img127.svg" alt="$OAX$" loading="lazy"></span> são semelhantes e, portanto,
             </p><!-- MATH
             \begin{displaymath}
            OX = \frac{OX}{OA} = \frac{OA}{OP} = \frac{1}{\cos u} = \sec u,
            \end{displaymath}
             -->
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P52" title="1P52">
            <img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img128.svg" alt="$\displaystyle OX = \frac{OX}{OA} = \frac{OA}{OP} = \frac{1}{\cos u} = \sec u, $" loading="lazy">
            </div>
            e isso significa que as coordenadas dos pontos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img119.svg" alt="$X$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img120.svg" alt="$Y$" loading="lazy"></span> são, <!-- MATH
             $X = (\sec u, 0)$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img129.svg" alt="$X = (\sec u, 0)$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
             $Y = (0, \csc u)$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img130.svg" alt="$Y = (0, \csc u)$" loading="lazy"></span>.
            <p class=" unidade" id="1P53" title="1P53"></p>
            <p class=" unidade" id="1P54" title="1P54">
            Note ainda que se <!-- MATH
             $u = \frac{\pi}{2} \pm k\pi$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img111.svg" alt="$u = \frac{\pi}{2} \pm k\pi$" loading="lazy"></span> para <!-- MATH
             $k \in \mathbb{Z}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>, então como antes, <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> coincidirá com <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img112.svg" alt="$(0,1)$" loading="lazy"></span> ou
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img113.svg" alt="$(0,-1)$" loading="lazy"></span> e a reta tangente à circunferência que passa por <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> será paralela ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> e não existirá a secante de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>. Lembre-se que nestes pontos <!-- MATH
             $\cos u = 0$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img131.svg" alt="$\cos u = 0$" loading="lazy"></span>. Também se <!-- MATH
             $u = \pm k\pi$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img116.svg" alt="$u = \pm k\pi$" loading="lazy"></span>, não existirá <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img123.svg" alt="$\csc u$" loading="lazy"></span> pelo mesmo motivo. Nesses pontos <!-- MATH
             ${\mathrm {sen}}u = 0$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img117.svg" alt="${\mathrm {sen}}u = 0$" loading="lazy"></span>.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P55" title="1P55">
            O que queremos agora é deduzir as fórmulas de soma de arcos para o seno e o cosseno. Consideremos dois ângulos radianos <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$" loading="lazy"></span>. O ângulo radiano <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> fica determinado pelo arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img62.svg" alt="$AV$" loading="lazy"></span> e o ângulo radiano <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$" loading="lazy"></span> fica denotado pelo arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img54.svg" alt="$VB$" loading="lazy"></span>.
            </p>
            <div class="CENTER"><a id="298"></a>
            <table id="1I8" title="1I8">
            <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.8:</strong>
            Ângulos <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$" loading="lazy"></span>.</caption>
            <tbody><tr><td>
            <div class="CENTER">
            <img src="img/./anguv.png" alt="Image anguv" loading="lazy"> </div></td></tr>
            </tbody></table>
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P56" title="1P56">
            Baixamos pelo ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img53.svg" alt="$B$" loading="lazy"></span> a perpendicular ao segmento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img132.svg" alt="$OV$" loading="lazy"></span>. Essa perpendicular cruza o eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> em um ponto que
            chamaremos de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$" loading="lazy"></span>. Vamos rotacionar o ângulo <span class="MATH"><img style="height: 2.26ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img134.svg" alt="$V\hat{O}B$" loading="lazy"></span> de forma que o segmento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img132.svg" alt="$OV$" loading="lazy"></span> coincida com o segmento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img100.svg" alt="$OA$" loading="lazy"></span>.
            Temos então esquema da figura <a href="#figangrep">1.9</a>.
            </p>
            <div class="CENTER"><a id="figangrep"></a><a id="304"></a>
            <table id="1I9" title="1I9">
            <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.9:</strong>
            Ângulos <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$" loading="lazy"></span> reposicionados.</caption>
            <tbody><tr><td>
            <div class="CENTER">
            <img src="img/./anguv2.png" alt="Image anguv2" loading="lazy"> </div></td></tr>
            </tbody></table>
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P57" title="1P57">
            Nesses termos, o arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img54.svg" alt="$VB$" loading="lazy"></span> está agora ascociado ao ângulo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img135.svg" alt="$(u+v)$" loading="lazy"></span>. Lembremos também que o novo triângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img136.svg" alt="$OBC$" loading="lazy"></span> é retângulo em <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$" loading="lazy"></span> e ainda valem as relações
             </p><!-- MATH
             \begin{displaymath}
            {\mathrm {sen}}v = CB \qquad \text{e} \qquad  \cos v = OC.
            \end{displaymath}
             -->
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P58" title="1P58">
            <img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img137.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}v = CB$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img138.svg" alt="$\displaystyle \qquad \cos v = OC. $" loading="lazy">
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P59" title="1P59">
            Pelo ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img53.svg" alt="$B$" loading="lazy"></span> baixamos a perpendicular ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> que cruza esse eixo no ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img4.svg" alt="$P$" loading="lazy"></span>. Pelo ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img35.svg" alt="$A$" loading="lazy"></span> também baixamos a perpendicular ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> que cruza esse eixo no ponto <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img6.svg" alt="$Q$" loading="lazy"></span>. Pelo ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img133.svg" alt="$C$" loading="lazy"></span>, baixamos a perpendicular ao segmento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img139.svg" alt="$BP$" loading="lazy"></span>, que cruza esse segmento em um ponto que chamaremos de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img101.svg" alt="$M$" loading="lazy"></span> e a perpendicular ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> que cruza esse eixo em um ponto que chamaremos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img5.svg" alt="$R$" loading="lazy"></span>.
             </p>
            
            <div class="CENTER"><a id="310"></a>
            <table id="1I10" title="1I10">
            <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.10:</strong>
            Relações nos ângulos <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$" loading="lazy"></span>.</caption>
            <tbody><tr><td>
            <div class="CENTER">
            <img src="img/./anguv3.png" alt="Image anguv3" loading="lazy"> </div></td></tr>
            </tbody></table>
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P60" title="1P60">
            Temos então
            </p><!-- MATH
             \begin{displaymath}
            {\mathrm {sen}}(u+v) = PB \qquad \text{e} \qquad  \cos(u+v) = OP,
            \end{displaymath}
             -->
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P61" title="1P61">
            <img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img140.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}(u+v) = PB$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img141.svg" alt="$\displaystyle \qquad \cos(u+v) = OP, $" loading="lazy">
            </div><p class=" unidade" id="1P62" style="text-indent: 0px !important;" title="1P62">
            e também,
            </p><!-- MATH
             \begin{displaymath}
            {\mathrm {sen}}u = QA \qquad \text{e} \qquad  \cos u = OQ.
            \end{displaymath}
             -->
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P63" title="1P63">
            <img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img142.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}u = QA$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img143.svg" alt="$\displaystyle \qquad \cos u = OQ. $" loading="lazy">
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P64" title="1P64">
            Com base na figura, vemos que os triângulos retângulos <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img144.svg" alt="$OQA$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img145.svg" alt="$ORC$" loading="lazy"></span> são semelhantes e, portanto, valem as igualdades
             </p><!-- MATH
             \begin{displaymath}
            \frac{OR}{OC} = \frac{OQ}{OA} = OQ, \qquad \text{e} \qquad \frac{RC}{OC} = \frac{QA}{OA} = QA.
            \end{displaymath}
             -->
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P65" title="1P65">
            <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img146.svg" alt="$\displaystyle \frac{OR}{OC} = \frac{OQ}{OA} = OQ,$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img147.svg" alt="$\displaystyle \qquad \frac{RC}{OC} = \frac{QA}{OA} = QA. $" loading="lazy">
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P66" title="1P66">
            Notemos agora que o triângulo retângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img148.svg" alt="$CMB$" loading="lazy"></span> é também semelhante ao triângulo retângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img145.svg" alt="$ORC$" loading="lazy"></span>. Para mostrar isso, mostraremos que o ângulo <span class="MATH"><img style="height: 2.26ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img149.svg" alt="$R\hat{O}C$" loading="lazy"></span> tem a mesma medida do ângulo <span class="MATH"><img style="height: 2.26ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img150.svg" alt="$C\hat{B}M$" loading="lazy"></span>. De fato, o segmento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img151.svg" alt="$CM$" loading="lazy"></span> é paralelo ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> e então os ângulos alternos internos <span class="MATH"><img style="height: 2.26ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img149.svg" alt="$R\hat{O}C$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.26ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img152.svg" alt="$M\hat{C}O$" loading="lazy"></span> possuem a mesma medida.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P67" title="1P67">
            Então,
            </p><!-- MATH
             \begin{displaymath}
            M\hat{C}O + M\hat{C}B = 90^{\circ} = M\hat{C}B + C\hat{B}M,
            \end{displaymath}
             -->
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P68" title="1P68">
            <img style="height: 2.44ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img153.svg" alt="$\displaystyle M\hat{C}O + M\hat{C}B = 90^{\circ} = M\hat{C}B + C\hat{B}M, $" loading="lazy">
            </div><p class=" unidade" id="1P69" style="text-indent: 0px !important;" title="1P69">
            e, portanto,
            </p><!-- MATH
             \begin{displaymath}
            R\hat{O}C = M\hat{C}O = C\hat{B}M,
            \end{displaymath}
             -->
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P70" title="1P70">
            <img style="height: 2.26ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img154.svg" alt="$\displaystyle R\hat{O}C = M\hat{C}O = C\hat{B}M, $" loading="lazy">
            </div>
            <p class=" unidade" id="1P71" style="text-indent: 0px !important;" title="1P71">
            donde os triângulos retângulos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img148.svg" alt="$CMB$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img145.svg" alt="$ORC$" loading="lazy"></span> são semelhantes. Levando em conta a primeira semelhança (entre <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img145.svg" alt="$ORC$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img144.svg" alt="$OQA$" loading="lazy"></span>), são semelhantes os triângulos retângulos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img148.svg" alt="$CMB$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img144.svg" alt="$OQA$" loading="lazy"></span>. Dessa última semelhança e, sabendo que <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img155.svg" alt="$OA = 1$" loading="lazy"></span>, temos
             </p><!-- MATH
             \begin{displaymath}
            \frac{MC}{CB} = \frac{QA}{OA} = QA \qquad \text{e} \qquad \frac{MB}{CB} = \frac{BM}{BC} = \frac{OQ}{OA} = OQ.
            \end{displaymath}
             -->
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P72" title="1P72">
            <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img156.svg" alt="$\displaystyle \frac{MC}{CB} = \frac{QA}{OA} = QA$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img157.svg" alt="$\displaystyle \qquad \frac{MB}{CB} = \frac{BM}{BC} = \frac{OQ}{OA} = OQ. $" loading="lazy">
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P73" title="1P73">
            Segue disto que
            </p>
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P74" title="1P74"><table >
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:right; width: 45%;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img158.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}(u+v)$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img159.svg" alt="$\displaystyle = PB = PM + MB$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img160.svg" alt="$\displaystyle = RC + MB$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img161.svg" alt="$\displaystyle = \frac{RC}{OC} \cdot OC + \frac{MB}{CB} \cdot CB$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img162.svg" alt="$\displaystyle = QA \cdot OC + OQ \cdot CB$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
         </td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img163.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}u \cos v + {\mathrm {sen}}v \cos u,$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            <a id="addarcsen">(<span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">4</span>)</a></td></tr>
            </tbody></table></div>
            <p class=" unidade" id="1P75" style="text-indent: 0px !important;" title="1P75">
            e também,
            </p>
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P76" title="1P76"><table>
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:right; width: 45%;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img164.svg" alt="$\displaystyle \cos(u+v)$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img165.svg" alt="$\displaystyle = OP = OR - PR$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.82ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img166.svg" alt="$\displaystyle = OR - MC$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img167.svg" alt="$\displaystyle = \frac{OR}{OC} \cdot OC - \frac{MC}{CB} \cdot CB$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img168.svg" alt="$\displaystyle = OQ \cdot OC - QA \cdot BC$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
         </td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img169.svg" alt="$\displaystyle = \cos u \cos v - {\mathrm {sen}}u {\mathrm {sen}}v.$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            <a id="addarccos">(<span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">5</span>)</a></td></tr>
            </tbody></table></div>
            
            
            <p class=" unidade" id="1P77" title="1P77">
            As fórmulas, (<a href="#addarcsen">1.4</a>) e  (<a href="#addarccos">1.5</a>), juntamente com as fórmulas (<a href="#senimpar">1.1</a>), (<a href="#cospar">1.2</a>) e (<a href="#idfundcirc">1.3</a>) são as cinco principais fórmulas da trigonometria circular. Com essas fórmulas, podemos obter outras fórmulas conhecidas, tais como as fórmulas de duplicação de arcos,
            </p>
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P78" title="1P78"><table class="equation">
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img170.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}(2u)$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img171.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}(u+u)$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img172.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}u \cos u + {\mathrm {sen}}u \cos u$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
     
         <tr>
     <td>&nbsp;</td><td style="text-align:left;"> <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img173.svg" alt="$\displaystyle = 2 {\mathrm {sen}}u \cos u$" loading="lazy"></span></td> <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
         
        </tbody>
    </table>
    </div>
     
           <span class="MATH">e</span>
    <div class="mathdisplay unidade" id="1P78-" title="1P78-"><table class="equation">
            <tbody>
         
            <tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img174.svg" alt="$\displaystyle \cos(2u)$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img175.svg" alt="$\displaystyle = \cos(u+u)$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img176.svg" alt="$\displaystyle = \cos u \cos u - {\mathrm {sen}}u {\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img177.svg" alt="$\displaystyle = \cos^{2} u - {\mathrm {sen}}^{2} u$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            </tbody></table></div>
            <p class=" unidade" id="1P79" style="text-indent: 0px !important;" title="1P79">
            e as fórmulas de diferença de arcos,
            </p>
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P80" title="1P80"><table class="equation">
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img178.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}(u-v)$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img179.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}u \cos(-v) + {\mathrm {sen}}(-v) \cos u$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img180.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}u \cos v - {\mathrm {sen}}v \cos u$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
           
    </tbody>
    </table>
    </div>
    
    <span style="text-align: left;" class="MATH">e</span></td>
          
     <div class="mathdisplay unidade" id="1P80-" title="1P80-"><table class="equation">
            <tbody>
            <tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img181.svg" alt="$\displaystyle \cos(u-v)$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img182.svg" alt="$\displaystyle = \cos u \cos(-v) - {\mathrm {sen}}(-v) {\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img183.svg" alt="$\displaystyle = \cos u \cos v + {\mathrm {sen}}v {\mathrm {sen}}u.$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            </tbody></table></div>
            
            
            <p class=" unidade" id="1P81" title="1P81">
            Ainda como exemplo, vamos obter outras identidades trigonométricas. São de fácil demonstração e somente estamos
            explicitando por motivos de referência futura. Para ser mais preciso, essas identidades serão úteis na seção
            <a href="#secdercircinv">1.7</a>.
            </p>
            
            <div class="unidade" id="1Teo1" title="1Teo1"><a id="propidsectg"><b>Proposição  <span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">1</span></b></a> &nbsp; 
            <i>Valem as seguintes identidades trigonométricas circulares
            </i><table width="90%">
            <tbody><tr><td align="right" valign="top"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img184.svg" alt="$(i)$" loading="lazy"></span></td><td valign="top">&nbsp;Para todos <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img2.svg" alt="$v$" loading="lazy"></span> tais que <!-- MATH
             $u,v,(u+v) \in \mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2} + k \pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img185.svg" alt="$u,v,(u+v) \in \mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2} + k \pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>,
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P82" title="1P82"><a id="idtgadd"></a><!-- MATH
             \begin{equation}
            {\mathrm  {tg}}(u+v) = \frac{{\mathrm  {tg}}u + {\mathrm  {tg}}v}{1- {\mathrm  {tg}}u {\mathrm  {tg}}v}.
            \end{equation}
             -->
            <table >
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 4.77ex; vertical-align: -2.03ex; " src="img/img186.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}(u+v) = \frac{{\mathrm {tg}}u + {\mathrm {tg}}v}{1- {\mathrm {tg}}u {\mathrm {tg}}v}.$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            (<span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">6</span>)</td></tr>
            </tbody></table></div>
            
            </td></tr>
            <tr><td align="right" valign="top"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img187.svg" alt="$(ii)$" loading="lazy"></span></td><td valign="top">&nbsp;Para todo <!-- MATH
             $u \in \mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img188.svg" alt="$u \in \mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>,
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P83" title="1P83"><a id="idtgsec"></a><!-- MATH
             \begin{equation}
            1 + {\mathrm  {tg}}^{2} u = \sec^{2} u.
            \end{equation}
             -->
            <table >
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.61ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img189.svg" alt="$\displaystyle 1 + {\mathrm {tg}}^{2} u = \sec^{2} u.$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            (<span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">7</span>)</td></tr>
            </tbody></table></div>
            
            </td></tr>
            <tr><td align="right" valign="top"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img190.svg" alt="$(iii)$" loading="lazy"></span></td><td valign="top">&nbsp;Para todo <!-- MATH
             $u \in \mathbb{R}-\{k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img191.svg" alt="$u \in \mathbb{R}-\{k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>,
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P84" title="1P84"><a id="idctgcsc"></a><!-- MATH
             \begin{equation}
            {\mathrm {ctg}}^{2} u + 1 = \csc^{2} u.
            \end{equation}
             -->
            <table >
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:center;"><span class="MATH"><img style="height: 2.61ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img192.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {ctg}}^{2} u + 1 = \csc^{2} u.$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            (<span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">8</span>)</td></tr>
            </tbody></table></div>
            </td></tr></tbody></table></div>
            
            <div><i>Prova</i>.
            
            Para <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img184.svg" alt="$(i)$" loading="lazy"></span>, temos
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P85" title="1P85"><table class="equation">
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img194.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}(u+v)$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.16ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img195.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm {sen}}(u+v)}{\cos(u+v)}$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.46ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img196.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm {sen}}u \cos v + {\mathrm {sen}}v \cos u}{\cos u \cos v - {\mathrm {sen}}u {\mathrm {sen}}v}$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.03ex; vertical-align: -2.30ex; " src="img/img197.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm {sen}}u \cos v + {\mathrm {sen}}v \cos u}{\cos u \cos v (1 - \frac{{\mathrm {sen}}u {\mathrm {sen}}v}{\cos u \cos v}) }$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.44ex; vertical-align: -2.30ex; " src="img/img198.svg" alt="$\displaystyle = \left( \frac{{\mathrm {sen}}u \cos v + {\mathrm {sen}}v \cos u}...
            ...\frac{1}{(1 - \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u} \frac{{\mathrm {sen}}v}{\cos v})}$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.04ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img199.svg" alt="$\displaystyle = \left( \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u} + \frac{{\mathrm {sen}}v}{\cos v} \right) \frac{1}{(1 - {\mathrm {tg}}u {\mathrm {tg}}v)}$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.04ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img200.svg" alt="$\displaystyle = \left( {\mathrm {tg}}u + {\mathrm {tg}}v \right) \frac{1}{(1 - {\mathrm {tg}}u {\mathrm {tg}}v)}$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.77ex; vertical-align: -2.03ex; " src="img/img201.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm {tg}}u + {\mathrm {tg}}v}{1- {\mathrm {tg}}u {\mathrm {tg}}v}.$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            </tbody></table></div>
            <p class=" unidade" id="1P86" title="1P86">
            As demonstrações de <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img187.svg" alt="$(ii)$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img190.svg" alt="$(iii)$" loading="lazy"></span> são mais rápidas. De fato,
             </p>
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P87" title="1P87"><table class="equation">
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.16ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img202.svg" alt="$\displaystyle \sec^{2} u$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img203.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{\cos^{2} u}$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img204.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\cos^{2}u + {\mathrm {sen}}^{2}u}{\cos^{2} u}$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.61ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img205.svg" alt="$\displaystyle = 1 + {\mathrm {tg}}^{2} u$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
       
    </tbody>
    </table>
    </div>
    
       <span style="text-align: left;" class="MATH">e</span>
    
       <div class="mathdisplay unidade" id="1P87-" title="1P87-"><table class="equation">
            <tbody>
            <tr>
            <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.16ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img206.svg" alt="$\displaystyle \csc^{2} u$" loading="lazy"></span></td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img207.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1}{{\mathrm {sen}}^{2} u}$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img208.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\cos^{2}u + {\mathrm {sen}}^{2}u}{{\mathrm {sen}}^{2} u}$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            <tr>
            <td>&nbsp;</td>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.61ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img209.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {ctg}}^{2} u + 1$" loading="lazy"></span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            </tbody></table>
    </div>
            <table style="margin: 0px !important;">
            <tbody><tr>
            <td style="text-align:left;"><span class="MATH"> e essa demonstração está concluída.</span></td>
            <td class="eqno" style="text-align:right">
                <img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img193.svg" alt="$\qedsymbol$" loading="lazy">&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
            </tbody></table></div>
           
           
    
:::

## 1.2 Funções trigonométricas circulares {#SECTION00520000000000000000}

:::{.raw_html}

                <p class=" unidade" id="1P88" title="1P88">
                Nesta seção, vamos estudar os aspectos principais das funções trigonométricas circulares. Será conveniente que o leitor possua conhecimentos conceituais sobre domínio, imagem, gráfico e também limites de funções.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P89" title="1P89">
                Admitindo que <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> é uma variável real, podemos considerar as funções que a cada valor de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> associam o seno, o
                cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, quando existirem. Olhemos uma por uma essas
                funções.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P90" title="1P90">
                Para cada valor real de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, a função <a name="445"></a>
                 </p>

              
                <div class="mathdisplay unidade" id="1P91" title="1P91">
                <!-- MATH
                 \begin{eqnarray*}
                f : \mathbb{R}& \to & \mathbb{R}\\
                u & \mapsto & w = f(u) = {\mathrm {sen}}u
                \end{eqnarray*}
                 -->

                <table cellpadding="0" align="CENTER" width="100%">
                <tbody><tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img210.svg" alt="$\displaystyle f : \mathbb{R}$" loading="lazy"></td>
                <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img211.svg" alt="$\displaystyle \to$" loading="lazy"></td>
                <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img212.svg" alt="$\displaystyle \mathbb{R}$" loading="lazy"></td>
                <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
                &nbsp;</td></tr>
                <tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img213.svg" alt="$\displaystyle u$" loading="lazy"></td>
                <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img214.svg" alt="$\displaystyle \mapsto$" loading="lazy"></td>
                <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img215.svg" alt="$\displaystyle w = f(u) = {\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></td>
                <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
                &nbsp;</td></tr>
                </tbody></table></div>
                            <p class=" unidade" id="1P92" style="text-indent: 0px !important;" title="1P92">
                associa o seno do ângulo (radiano) <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>. Da seção anterior, temos que esta função assume 0 para os valores <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img216.svg" alt="$u = k \pi$" loading="lazy"></span>, para qualquer <!-- MATH
                 $k \in \mathbb{Z}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>. Também essa função é limitada, assumindo no máximo 1 e no mínimo -1. É uma função periódica de período <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img41.svg" alt="$2\pi$" loading="lazy"></span>. O seu gráfico é como na figura abaixo.
                </p>
                <div class="CENTER"><a id="figfsin"></a><a id="450"></a>
                <table id="1I11" title="1I11">
                <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.11:</strong>
                Gráfico da função seno circular.</caption>
                <tbody><tr><td>
                <div class="CENTER">
                <img src="img/./fsin.png" alt="Image fsin" loading="lazy"> </div></td></tr>
                </tbody></table>
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P93" title="1P93">
                Notemos que é uma função contínua (mostraremos isto detalhadamente na próxima seção), não injetora e nem sobrejetora de <!-- MATH
                 $\mathbb{R}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
                 $\mathbb{R}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Também o comportamento oscilatório para os infinitos, faz com que não existam os limites de <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img218.svg" alt="$f(u)$" loading="lazy"></span> quando <!-- MATH
                 $u \to \pm \infty$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.60ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img219.svg" alt="$u \to \pm \infty$" loading="lazy"></span>.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P94" title="1P94">
                A função cosseno <a name="453"></a> se comporta de forma similar. Basta notar que <!-- MATH
                 $\cos(u-\frac{\pi}{2}) = {\mathrm {sen}}u$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img220.svg" alt="$\cos(u-\frac{\pi}{2}) = {\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span>, isto é, a função cosseno é apenas um deslocamento horizontal da função seno. Dessa forma, a função <!-- MATH
                 $w = f(u) = \cos u$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img221.svg" alt="$w = f(u) = \cos u$" loading="lazy"></span>, definida em <!-- MATH
                 $\mathbb{R}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span> é também uma função contínua, periódica de período <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img41.svg" alt="$2\pi$" loading="lazy"></span>, que assume máximo 1 e mínimo -1. Os zeros dessa função (os pontos onde a função intercepta o eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span>) são <!-- MATH
                 $u = \frac{\pi}{2} + k\pi$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img222.svg" alt="$u = \frac{\pi}{2} + k\pi$" loading="lazy"></span> para qualquer <!-- MATH
                 $k \in \mathbb{Z}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>. O gráfico fica como na figura abaixo.
                </p>
                <div class="CENTER"><a id="figfcos"></a><a id="460"></a>
                <table id="1I12" title="1I12">
                <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.12:</strong>
                Gráfico da função cosseno circular.</caption>
                <tbody><tr><td>
                <div class="CENTER">
                <img src="img/./fcos.png" alt="Image fcos" loading="lazy"> </div></td></tr>
                </tbody></table>
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P95" title="1P95">
                Não é uma função injetora e nem sobrejetora de <!-- MATH
                 $\mathbb{R}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
                 $\mathbb{R}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P96" title="1P96">
                Para a função tangente<a name="463"></a>, lembremos que <!-- MATH
                 $f(u) = {\mathrm  {tg}}u = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.52ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img223.svg" alt="$f(u) = {\mathrm {tg}}u = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u}$" loading="lazy"></span> e então por se
                tratar de uma razão, precisamos nos preocupar com os valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> que anulam o denominador. Tais pontos não estarão
                no domínio de definição de <!-- MATH
                 $f(u) = {\mathrm  {tg}}u$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img224.svg" alt="$f(u) = {\mathrm {tg}}u$" loading="lazy"></span>. Os valores para os quais <!-- MATH
                 $\cos u = 0$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img131.svg" alt="$\cos u = 0$" loading="lazy"></span>, são <!-- MATH
                 $u = \frac{\pi}{2} + k\pi$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img222.svg" alt="$u = \frac{\pi}{2} + k\pi$" loading="lazy"></span>, com
                <!-- MATH
                 $k \in \mathbb{Z}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>. O domínio da função tangente é então <!-- MATH
                 $\mathbb{R}- \{\frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img225.svg" alt="$\mathbb{R}- \{\frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P97" title="1P97">
                Como seno e cosseno são funções periódicas em <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img41.svg" alt="$2\pi$" loading="lazy"></span>, então a função tangente também será periódica. O que ocorre é que
                o período da fração diminui para <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $" loading="lazy"></span> pelo jogo de sinal entre numerador e denominador. De fato, as funções seno e
                cosseno em módulo são periódicas de período <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $" loading="lazy"></span>.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P98" title="1P98">
                Vamos analizar os limites (laterais) nos pontos onde a função tangente não está definida. São os pontos <!-- MATH
                 $u =
                \frac{\pi}{2} + k\pi$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img222.svg" alt="$u = \frac{\pi}{2} + k\pi$" loading="lazy"></span>. Pela periodicidade da função, basta analizar os limites em um destes pontose a análise valerá
                para os demais. Vamos considerar, por simplicidade, <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img226.svg" alt="$k = 0$" loading="lazy"></span>. Então se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> se aproxima de <!-- MATH
                 $\frac{\pi}{2}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img42.svg" alt="$\frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span> teremos o
                denominador <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img227.svg" alt="$\cos u$" loading="lazy"></span> indo para <span class="MATH">0</span>, e o numerador <!-- MATH
                 ${\mathrm {sen}}u$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img228.svg" alt="${\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span> indo para 1 e, portanto, a razão vai para o infinito. Resta o
                estudo do sinal. Se <!-- MATH
                 $u \to \frac{\pi}{2}^{+}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.74ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img229.svg" alt="$u \to \frac{\pi}{2}^{+}$" loading="lazy"></span> então os valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> são ligeiramente maiores que <!-- MATH
                 $\frac{\pi}{2}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img42.svg" alt="$\frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span>.
                Neste caso, o seno será positivo e o cosseno negativo e, portanto,
                </p><!-- MATH
                 \begin{displaymath}
                \lim_{u \to \frac{\pi}{2}^{+}} {\mathrm  {tg}}u = -\infty.
                \end{displaymath}
                 -->
                
                <div class="mathdisplay unidade" id="1P99" title="1P99">
                <img style="height: 3.97ex; vertical-align: -2.66ex; " src="img/img230.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to \frac{\pi}{2}^{+}} {\mathrm {tg}}u = -\infty. $" loading="lazy">
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P100" title="1P100">
                Quando <!-- MATH
                 $u \to \frac{\pi}{2}^{-}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.74ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img231.svg" alt="$u \to \frac{\pi}{2}^{-}$" loading="lazy"></span> então os valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> serão menores que <!-- MATH
                 $\frac{\pi}{2}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img42.svg" alt="$\frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span> e, neste caso, seno e
                cosseno serão positivos e, portanto,
                </p>
                <!-- MATH
                 \begin{displaymath}
                \lim_{u \to \frac{\pi}{2}^{-}} {\mathrm  {tg}}u = \infty.
                \end{displaymath}
                 -->
                
                <div class="mathdisplay unidade" id="1P101" title="1P101">
                <img style="height: 3.73ex; vertical-align: -2.66ex; " src="img/img232.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to \frac{\pi}{2}^{-}} {\mathrm {tg}}u = \infty. $" loading="lazy">
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P102" title="1P102">
                Estendendo esta análise para os outros valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img50.svg" alt="$k$" loading="lazy"></span>, temos para todo <!-- MATH
                 $k \in \mathbb{Z}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>,
                 </p>
                <!-- MATH
                 \begin{displaymath}
                \lim_{u \to (\frac{\pi}{2}+k\pi)^{+}} {\mathrm  {tg}}u = - \infty \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to (\frac{\pi}{2}+k\pi)^{-}} {\mathrm  {tg}}u = \infty.
                \end{displaymath}
                 -->
                
                <div class="mathdisplay unidade" id="1P103" title="1P103">
                <img style="height: 3.77ex; vertical-align: -2.46ex; " src="img/img233.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to (\frac{\pi}{2}+k\pi)^{+}} {\mathrm {tg}}u = - \infty$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 3.53ex; vertical-align: -2.46ex; " src="img/img234.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to (\frac{\pi}{2}+k\pi)^{-}} {\mathrm {tg}}u = \infty.$" loading="lazy">
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P104" title="1P104">
                Por se tratar de um quociente de duas funções, a função tangente será uma função contínua nos pontos em que o
                denominador não se anulae cruzará o eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> nos pontos em que o numerador se anular, isto é, para <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img216.svg" alt="$u = k \pi$" loading="lazy"></span> com <!-- MATH
                 $k
                \in \mathbb{Z}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>. Seu gráfico é como na figura abaixo.
                </p>
                <div class="CENTER"><a id="499"></a>
                <table id="1I13" title="1I13">
                <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.13:</strong>
                Gráfico da função tangente circular.</caption>
                <tbody><tr><td>
                <div class="CENTER">
                <img src="img/./ftg.png" alt="Image ftg" loading="lazy"> </div></td></tr>
                </tbody></table>
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P105" title="1P105">
                É uma função ímpar. Não é injetora, mas é sobrejetora de <!-- MATH
                 $\mathbb{R}- \{\frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img225.svg" alt="$\mathbb{R}- \{\frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
                 $\mathbb{R}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Observe
                atentamente que se analisada em apenas um dos intervalos de amplitude <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $" loading="lazy"></span>, da forma
                <!-- MATH
                 $(k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2})$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img235.svg" alt="$(k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span> então torna-se uma função crescente e injetiva e, portanto, bijetiva.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P106" title="1P106">
                A análise da função <a name="507"></a> <!-- MATH
                 $f(u) = {\mathrm {ctg}}u = \frac{\cos u}{{\mathrm {sen}}u}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.52ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img236.svg" alt="$f(u) = {\mathrm {ctg}}u = \frac{\cos u}{{\mathrm {sen}}u}$" loading="lazy"></span> é feita da mesma forma que a
                função tangente. Por se tratar de um quociente, o domínio de definição consiste dos valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> para os quais <!-- MATH
                 ${\mathrm {sen}}
                u \neq 0$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img237.svg" alt="${\mathrm {sen}}
                u \neq 0$" loading="lazy"></span>. A função seno se anula nos pontos <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img216.svg" alt="$u = k \pi$" loading="lazy"></span> para <!-- MATH
                 $k \in \mathbb{Z}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>. Desta forma, o domínio da função cotangente é
                o conjunto <!-- MATH
                 $\mathbb{R}- \{ k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img238.svg" alt="$\mathbb{R}- \{ k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>. Também esta função se anula nos pontos em que o numerador <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img227.svg" alt="$\cos u$" loading="lazy"></span> se anula,
                isto é, em <!-- MATH
                 $u = \frac{\pi}{2} + k\pi$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img222.svg" alt="$u = \frac{\pi}{2} + k\pi$" loading="lazy"></span> para todo <!-- MATH
                 $k \in \mathbb{Z}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P107" title="1P107">
                É também uma função periódica de período <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $" loading="lazy"></span>. Vamos analisar os limites nos pontos onde esta função não está
                definida, isto é, nos pontos onde o denominador se anula. Pela periodicidade, basta analizar os limites em um destes
                pontos e esta análise valerá para os demais. Consideremos então por simplicidade o caso em que <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img226.svg" alt="$k = 0$" loading="lazy"></span>, isto é, o ponto
                <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img239.svg" alt="$u = 0$" loading="lazy"></span>. Quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> se aproxima de <span class="MATH">0</span> o denominador <!-- MATH
                 ${\mathrm {sen}}u$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img228.svg" alt="${\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span> se aproxima de <span class="MATH">0</span> também e o numerado se aproxima de 1.
                A fração vai portanto para o infinito. Resta o estudo de sinais.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P108" title="1P108">
                Quando <!-- MATH
                 $u \to 0^{+}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.88ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img240.svg" alt="$u \to 0^{+}$" loading="lazy"></span>, então <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> é positivo; e tanto seno quanto cosseno são positivos, resultando
                 </p><!-- MATH
                 \begin{displaymath}
                \lim_{u \to 0^{+}} {\mathrm {ctg}}u = \infty,
                \end{displaymath}
                 -->
                
                <div class="mathdisplay unidade" id="1P109" title="1P109">
                <img style="height: 2.90ex; vertical-align: -1.82ex; " src="img/img241.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to 0^{+}} {\mathrm {ctg}}u = \infty, $" loading="lazy">
                </div><p class=" unidade" id="1P110" style="text-indent: 0px !important;" title="1P110">
                e quando <!-- MATH
                 $u \to 0^{-}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.88ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img242.svg" alt="$u \to 0^{-}$" loading="lazy"></span> então o seno será negativo e o cosseno positivo, neste caso
                </p><!-- MATH
                 \begin{displaymath}
                \lim_{u \to 0^{-}} {\mathrm {ctg}}u = -\infty.
                \end{displaymath}
                 -->
                
                <div class="mathdisplay unidade" id="1P111" title="1P111">
                <img style="height: 3.14ex; vertical-align: -1.82ex; " src="img/img243.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to 0^{-}} {\mathrm {ctg}}u = -\infty. $" loading="lazy">
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P112" title="1P112">
                Transmitindo estes fatos para os demais pontos onde a função não está definida, temos que
                </p><!-- MATH
                 \begin{displaymath}
                \lim_{u \to (k\pi)^{+}} {\mathrm {ctg}}u = \infty \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to (k\pi)^{-}} {\mathrm {ctg}}u = -\infty,
                \end{displaymath}
                 -->
                
                <div class="mathdisplay unidade" id="1P113" title="1P113">
                <img style="height: 3.31ex; vertical-align: -2.23ex; " src="img/img244.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to (k\pi)^{+}} {\mathrm {ctg}}u = \infty$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 3.55ex; vertical-align: -2.23ex; " src="img/img245.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to (k\pi)^{-}} {\mathrm {ctg}}u = -\infty, $" loading="lazy">
                </div><p class=" unidade" style="text-indent: 0px !important;" id="1P114" title="1P114">
                para qualquer <!-- MATH
                 $k \in \mathbb{Z}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img48.svg" alt="$k \in \mathbb{Z}$" loading="lazy"></span>.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P115" title="1P115">
                O gráfico então é a curva da figura abaixo.
                </p>
                <div class="CENTER"><a id="521"></a>
                <table id="1I14" title="1I14">
                <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.14:</strong>
                Gráfico da função cotangente circular.</caption>
                <tbody><tr><td>
                <div class="CENTER">
                <img src="img/./fctg.png" alt="Image fctg" loading="lazy"> </div></td></tr>
                </tbody></table>
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P116" title="1P116">
                É uma função ímpar, sobrejetora mas não injetora de <!-- MATH
                 $\mathbb{R}- \{ k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img238.svg" alt="$\mathbb{R}- \{ k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
                 $\mathbb{R}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Se analisada por partes,
                isto é, em apenas um dos intervalos de amplitude <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $" loading="lazy"></span> da forma <!-- MATH
                 $(k\pi, (k+1)\pi)$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img246.svg" alt="$(k\pi, (k+1)\pi)$" loading="lazy"></span>, então temos injetividade (e
                portanto bijetividade) em qualquer um destes intervalos.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P117" title="1P117">
                Agora a função <a name="523"></a> <!-- MATH
                 $f(u) = \sec u$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img247.svg" alt="$f(u) = \sec u$" loading="lazy"></span>. Usando a identidade <!-- MATH
                 $\sec u = \frac{1}{\cos u}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img248.svg" alt="$\sec u = \frac{1}{\cos u}$" loading="lazy"></span>, vemos que o
                domínio desta função fica caracterizado pelo conjunto <!-- MATH
                 $\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img225.svg" alt="$\mathbb{R}- \{\frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>, dos pontos tais que o
                denominador não se anule. É uma função que nunca se anula, pois o numerador é fixo e não nulo. Note que o denominador
                assume todos os valores reais entre <span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img249.svg" alt="$-1$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img250.svg" alt="$1$" loading="lazy"></span> (inclusive estes dois). Isto significa que a fração poderá resultar em
                qualquer um dos valores maiores que <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img250.svg" alt="$1$" loading="lazy"></span> ou menores que <span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img249.svg" alt="$-1$" loading="lazy"></span> (inclusive estes dois). O conjunto imagem então é o
                conjunto <!-- MATH
                 $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img251.svg" alt="$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span>.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P118" title="1P118">
                Vamos verificar o comportamento da função nas proximidades dos pontos onde não estiver definida. Sendo o denominador
                uma função periódica de período <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img41.svg" alt="$2\pi$" loading="lazy"></span> e o numerador constante, então o quociente é também uma função periódica de
                período <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img41.svg" alt="$2\pi$" loading="lazy"></span>. Por este motivo, olhemos para o intervalo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img252.svg" alt="$[0,2\pi]$" loading="lazy"></span>; e usando a periodicidade deduzimos o
                comportamento da função para os demais pontos onde não estiver definida.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P119" title="1P119">
                Quando <!-- MATH
                 $u \to \frac{\pi}{2}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img253.svg" alt="$u \to \frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span> pela direita, os valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img227.svg" alt="$\cos u$" loading="lazy"></span> se aproximam de 0 negativamente e, portanto, <!-- MATH
                 $f(u) \to
                -\infty$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img254.svg" alt="$f(u) \to
                -\infty$" loading="lazy"></span>. Pela esquerda, os valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img227.svg" alt="$\cos u$" loading="lazy"></span> vão para 0 positivamente e, portanto, <!-- MATH
                 $f(u) \to \infty$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img255.svg" alt="$f(u) \to \infty$" loading="lazy"></span>. Resumindo,
                </p><!-- MATH
                 \begin{displaymath}
                \lim_{u \to (\frac{\pi}{2}+2k\pi)^{+}} \sec u
                 =-\infty \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to (\frac{\pi}{2}+2k\pi)^{-}} \sec u = \infty. 
                \end{displaymath}
                 -->
                
                <div class="mathdisplay unidade" id="1P120" title="1P120">
                <img style="height: 3.77ex; vertical-align: -2.46ex; " src="img/img256.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to (\frac{\pi}{2}+2k\pi)^{+}} \sec u
                =-\infty$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 3.53ex; vertical-align: -2.46ex; " src="img/img257.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to (\frac{\pi}{2}+2k\pi)^{-}} \sec u = \infty. $" loading="lazy">
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P121" title="1P121">
                Se <!-- MATH
                 $u \to \frac{3\pi}{2}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img258.svg" alt="$u \to \frac{3\pi}{2}$" loading="lazy"></span> pela direita, então <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img227.svg" alt="$\cos u$" loading="lazy"></span> se aproxima de 0 positivamente e, portanto, <!-- MATH
                 $f(u) \to \infty$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img255.svg" alt="$f(u) \to \infty$" loading="lazy"></span> e
                se <!-- MATH
                 $u \to \frac{3\pi}{2}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img258.svg" alt="$u \to \frac{3\pi}{2}$" loading="lazy"></span> pela esquerda, então <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img227.svg" alt="$\cos u$" loading="lazy"></span> se aproxima de 0 negativamente e, portanto, <!-- MATH
                 $f(u) \to -\infty$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img254.svg" alt="$f(u) \to
                -\infty$" loading="lazy"></span>.
                Isto é,
                </p><!-- MATH
                 \begin{displaymath}
                \lim_{u \to (\frac{3\pi}{2}+2k\pi)^{+}} \sec u
                 = \infty \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to (\frac{3\pi}{2}+2k\pi)^{-}} \sec u = -\infty. 
                \end{displaymath}
                 -->
                
                <div class="mathdisplay unidade" id="1P122" title="1P122">
                <img style="height: 3.80ex; vertical-align: -2.73ex; " src="img/img259.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to (\frac{3\pi}{2}+2k\pi)^{+}} \sec u
                = \infty$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 4.04ex; vertical-align: -2.73ex; " src="img/img260.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to (\frac{3\pi}{2}+2k\pi)^{-}} \sec u = -\infty. $" loading="lazy">
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P123" title="1P123">
                Note ainda que nos pontos <!-- MATH
                 $\{2k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img261.svg" alt="$\{2k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>, temos <!-- MATH
                 $\cos u = 1$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img262.svg" alt="$\cos u = 1$" loading="lazy"></span> e então, <!-- MATH
                 $\sec u = 1$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img263.svg" alt="$\sec u = 1$" loading="lazy"></span> nestes pontos. Nos pontos
                <!-- MATH
                 $\{(2k+1)\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img264.svg" alt="$\{(2k+1)\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span> temos <!-- MATH
                 $\cos u = -1$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img265.svg" alt="$\cos u = -1$" loading="lazy"></span> e então <!-- MATH
                 $\sec u = -1$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img266.svg" alt="$\sec u = -1$" loading="lazy"></span> nestes pontos. O gráfico desta função é mostrado
                na figura abaixo.
                </p>
                <div class="CENTER"><a id="550"></a>
                <table id="1I15" title="1I15">
                <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.15:</strong>
                Gráfico da função secante circular.</caption>
                <tbody><tr><td>
                <div class="CENTER">
                <img src="img/./fsec.png" alt="Image fsec" loading="lazy"> </div></td></tr>
                </tbody></table>
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P124" title="1P124">
                Note que não é uma função injetora, nem sobrejetora de <!-- MATH
                 $\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img225.svg" alt="$\mathbb{R}- \{\frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
                 $\mathbb{R}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P125" title="1P125">
                Finalmente para a função <a name="554"></a> <!-- MATH
                 $f(u) = \csc u$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img267.svg" alt="$f(u) = \csc u$" loading="lazy"></span>, levamos em conta que <!-- MATH
                 $\csc u = \frac{1}{{\mathrm {sen}}u}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img268.svg" alt="$\csc u = \frac{1}{{\mathrm {sen}}u}$" loading="lazy"></span> e
                analisamos este quociente. O domínio é o conjunto de pontos tais que o denominador não se anula, ou seja, o conjunto
                <!-- MATH
                 $\mathbb{R}- \{k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img238.svg" alt="$\mathbb{R}- \{ k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>. Também o denominador assume todos os valores (não nulos) entre <span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img249.svg" alt="$-1$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img250.svg" alt="$1$" loading="lazy"></span> e, portanto, a
                função <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img218.svg" alt="$f(u)$" loading="lazy"></span> assume todos os valores menores que <span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img249.svg" alt="$-1$" loading="lazy"></span> e maiores que <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img250.svg" alt="$1$" loading="lazy"></span>. O conjunto imagem é então o conjunto
                <!-- MATH
                 $(-\infty,-1] \cup [1, \infty)$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img251.svg" alt="$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span>.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P126" title="1P126">
                Trata-se de um quociente com denominador periódico e numerador constante e, portanto, essa função também é periódica, de
                período <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img41.svg" alt="$2\pi$" loading="lazy"></span>. Basta analizarmos o intervalo <!-- MATH
                 $[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img269.svg" alt="$[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$" loading="lazy"></span> e repetirmos o comportamento para os
                demais pontos, onde o denominador se anula.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P127" title="1P127">
                Quando <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img270.svg" alt="$u \to 0$" loading="lazy"></span> pela direita, então os valores de <!-- MATH
                 ${\mathrm {sen}}u$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img228.svg" alt="${\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span> se aproximam de 0 positivamente e então <!-- MATH
                 $f(u) = \csc u \to
                \infty$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img271.svg" alt="$f(u) = \csc u \to
                \infty$" loading="lazy"></span>. Se <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img270.svg" alt="$u \to 0$" loading="lazy"></span> pela esquerda, então os valores de <!-- MATH
                 ${\mathrm {sen}}u$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img228.svg" alt="${\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span> vão para 0 negativamente e então <!-- MATH
                 $f(u) \to -\infty$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img254.svg" alt="$f(u) \to
                -\infty$" loading="lazy"></span>.
                Resumindo isto, temos
                </p><!-- MATH
                 \begin{displaymath}
                \lim_{u \to 2k\pi^{+}} \csc u = \infty \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to 2k\pi^{-}} \csc u = -\infty.
                \end{displaymath}
                 -->
                
                <div class="mathdisplay unidade" id="1P128" title="1P128">
                <img style="height: 2.88ex; vertical-align: -1.80ex; " src="img/img272.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to 2k\pi^{+}} \csc u = \infty$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 3.12ex; vertical-align: -1.80ex; " src="img/img273.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to 2k\pi^{-}} \csc u = -\infty. $" loading="lazy">
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P129" title="1P129">
                Se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> se aproxima de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $" loading="lazy"></span> pela direita, então o denominador <!-- MATH
                 ${\mathrm {sen}}u$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img228.svg" alt="${\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span> se aproxima de 0 negativamente e então <!-- MATH
                 $f(u)
                \to -\infty$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img254.svg" alt="$f(u) \to
                -\infty$" loading="lazy"></span>. Se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> se aproxima de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $" loading="lazy"></span> pela esquerda, então o denominador se aproxima de 0 positivamente e, assim,
                <!-- MATH
                 $f(u) \to \infty$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img255.svg" alt="$f(u) \to \infty$" loading="lazy"></span>. Dessa forma, temos
                </p><!-- MATH
                 \begin{displaymath}
                \lim_{u \to (2k+1)\pi^{+}} \csc u = -\infty \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to (2k+1)\pi^{-}} \csc u = \infty.
                \end{displaymath}
                 -->
                
                <div class="mathdisplay unidade" id="1P130" title="1P130">
                <img style="height: 3.55ex; vertical-align: -2.23ex; " src="img/img274.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to (2k+1)\pi^{+}} \csc u = -\infty$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 3.31ex; vertical-align: -2.23ex; " src="img/img275.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to (2k+1)\pi^{-}} \csc u = \infty. $" loading="lazy">
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P131" title="1P131">
                Temos ainda que nos pontos <!-- MATH
                 $\{ \frac{\pi}{2} + 2k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img276.svg" alt="$\{ \frac{\pi}{2} + 2k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span> o denominador da fração assume o valor 1 e,
                portanto, <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$" loading="lazy"></span> é igual a 1 nestes pontos. Analogamente nos pontos <!-- MATH
                 $\{ \frac{3\pi}{2} + 2k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img278.svg" alt="$\{ \frac{3\pi}{2} + 2k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span> o
                denominador é igual a -1 e, portanto, a função <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$" loading="lazy"></span> assume o valor -1 nestes pontos. O gráfico de <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$" loading="lazy"></span> é representado na
                figura abaixo.
                </p>
                <div class="CENTER"><a id="573"></a>
                <table id="1I16" title="1I16">
                <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.16:</strong>
                Gráfico da função cossecante circular.</caption>
                <tbody><tr><td>
                <div class="CENTER">
                <img src="img/./fcossec.png" alt="Image fcossec" loading="lazy"> </div></td></tr>
                </tbody></table>
                </div>
                
                <p class=" unidade" id="1P132" title="1P132">
                Não é uma função injetora e nem sobrejetora de <!-- MATH
                 $\mathbb{R}- \{k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img238.svg" alt="$\mathbb{R}- \{ k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
                 $\mathbb{R}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
                </p>
                <p class=" unidade" id="1P133" title="1P133">
                <b>Nota</b>: Observe que a função seno é um deslocamento da função cosseno (e vice-versa) e por este motivo, os quocientes <!-- MATH
                 $\sec u =
                \frac{1}{\cos u}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img248.svg" alt="$\sec u = \frac{1}{\cos u}$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
                 $\csc u = \frac{1}{{\mathrm {sen}}u}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img268.svg" alt="$\csc u = \frac{1}{{\mathrm {sen}}u}$" loading="lazy"></span> são também deslocamentos um do outro. Compare isto nos limites que
                deduzimos e nos gráficos das duas funções.
                <!-- MATH
                 $\blacksquare$
                 -->
                <span style="float: right;" class="MATH"><img style="height: 1.61ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img279.svg" alt="$\blacksquare$" loading="lazy"></span>
                 </p>
                
                <p class=" unidade" id="1P134" title="1P134">
                Vamos resumir em uma tabela o domínio e a imagem de cada uma das funções trigonométricas.
                </p>
                
                <a id="590"></a>
                <table class="PAD  BORDER" id="1T1" title="1T1">
                <caption style="margin-top: 15px;"><strong>Tabela 1.1:</strong>
                Domínio e imagem das funções trigonométricas circulares</caption>
                <tbody><tr><td class="CENTER">função</td>
                <td class="CENTER">domínio</td>
                <td class="CENTER">imagem</td>
                </tr>
               
                <tr><td class="CENTER"><!-- MATH
                 ${\mathrm {sen}}u$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img228.svg" alt="${\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span></td>
                <td class="CENTER"><!-- MATH
                 $\mathbb{R}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span></td>
                <td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img280.svg" alt="$[-1,1]$" loading="lazy"></span></td>
                </tr>
                <tr><td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img227.svg" alt="$\cos u$" loading="lazy"></span></td>
                <td class="CENTER"><!-- MATH
                 $\mathbb{R}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span></td>
                <td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img280.svg" alt="$[-1,1]$" loading="lazy"></span></td>
                </tr>
                <tr><td class="CENTER"><!-- MATH
                 ${\mathrm  {tg}}u$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img281.svg" alt="${\mathrm {tg}}u$" loading="lazy"></span></td>
                <td class="CENTER"><!-- MATH
                 $\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img225.svg" alt="$\mathbb{R}- \{\frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span></td>
                <td class="CENTER"><!-- MATH
                 $\mathbb{R}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span></td>
                </tr>
                <tr><td class="CENTER"><!-- MATH
                 ${\mathrm {ctg}}u$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img115.svg" alt="${\mathrm {ctg}}u$" loading="lazy"></span></td>
                <td class="CENTER"><!-- MATH
                 $\mathbb{R}-\{k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img238.svg" alt="$\mathbb{R}- \{ k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span></td>
                <td class="CENTER"><!-- MATH
                 $\mathbb{R}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span></td>
                </tr>
                <tr><td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img121.svg" alt="$\sec u$" loading="lazy"></span></td>
                <td class="CENTER"><!-- MATH
                 $\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img225.svg" alt="$\mathbb{R}- \{\frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span></td>
                <td class="CENTER"><!-- MATH
                 $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img251.svg" alt="$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span></td>
                </tr>
                <tr><td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img123.svg" alt="$\csc u$" loading="lazy"></span></td>
                <td class="CENTER"><!-- MATH
                 $\mathbb{R}-\{k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img238.svg" alt="$\mathbb{R}- \{ k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span></td>
                <td class="CENTER"><!-- MATH
                 $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
                 -->
                <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img251.svg" alt="$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span></td>
                </tr>
              
             
                </tbody></table>
:::

```{=html}    
    
    <a id="seccftc"></a>

```

## 1.3 Continuidade das funções trigonométricas circulares {#SECTION00530000000000000000}

::: {.raw_html}
                    <p class=" unidade" id="1P135" title="1P135">
                    Nesta seção vamos mostrar que as funções trigonométricas circulares são contínuas nos seus domínios de definição. Mais
                    precisamente, queremos primeiro mostrar que
                    </p><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{u \to a} {\mathrm {sen}}u = {\mathrm {sen}}a \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to a} \cos u = \cos a,
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P136" title="1P136">
                    <img style="height: 2.69ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img282.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to a} {\mathrm {sen}}u = {\mathrm {sen}}a$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 2.69ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img283.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to a} \cos u = \cos a, $" loading="lazy">
                    </div><p class=" unidade" style="text-indent: 0px !important;" id="1P137" title="1P137">
                    para qualquer <!-- MATH
                     $a \in \mathbb{R}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img284.svg" alt="$a \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Para as outras quatro funções trigonométricas circulares, a continuidade seguirá da
                    continuidade destas duas funções e da propriedade de continuidade do quociente de funções contínuas.
                    </p>
                    <p class=" unidade" id="1P138" title="1P138">
                    Observando os gráficos destas duas funções nas figuras <a href="#figfsin">1.11</a> e <a href="#figfcos">1.12</a>, vemos que são gráficos formados
                    por linhas contínuas e, do ponto de vista gráfico, as funções são contínuas satisfazendo portanto os limites acima.
                    Todavia, precisamos ser mais rigorosos.
                    </p>
                    <p class=" unidade" id="1P139" title="1P139">
                    Vamos primeiro listar alguns resultados a respeito de limites que iremos utilizar nesta seção. Não vamos demonstrar
                    aqui estes resultados, pois está fora do nosso interesse principal. O leitor interessado nestas demonstrações pode
                    consultar [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Leithold">4</a>, Leithold].
                    </p>
                    
                    <div class="unidade" id="1Teo2" title="1Teo2"><a id="teopop"><b>Teorema  <span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">2</span></b></a> &nbsp; 
                    <i>Se <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img285.svg" alt="$g$" loading="lazy"></span> são funções cujos limites existem quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img286.svg" alt="$x \to a$" loading="lazy"></span>, então <br>
                    </i><dl class="COMPACT">
                    <dt>a)</dt>
                    <dd><!-- MATH
                     $\lim\limits_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} g(x)$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 3.27ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img287.svg" alt="$\lim\limits_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} g(x)$" loading="lazy"></span>,
                    </dd>
                    <dt>b)</dt>
                    <dd><!-- MATH
                     $\lim\limits_{x \to a} kf(x) = k\lim\limits_{x \to a} f(x)$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 3.27ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img288.svg" alt="$\lim\limits_{x \to a} kf(x) = k\lim\limits_{x \to a} f(x)$" loading="lazy"></span> para qualquer <!-- MATH
                     $k \in \mathbb{R}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img289.svg" alt="$k \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>,
                    </dd>
                    <dt>c)</dt>
                    <dd><!-- MATH
                     $\lim\limits_{x \to a} [f(x)g(x)] = \left(\lim\limits_{x \to a} f(x)\right)\left(\lim\limits_{x \to a} g(x) \right)$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 4.12ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img290.svg" alt="$\lim\limits_{x \to a} [f(x)g(x)] = \left(\lim\limits_{x \to a} f(x)\right)\left(\lim\limits_{x \to a} g(x) \right)$" loading="lazy"></span>,
                    </dd>
                    <dt>d)</dt>
                    <dd><!-- MATH
                     $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim\limits_{x \to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} g(x)}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 7.04ex; vertical-align: -3.05ex; " src="img/img291.svg" alt="$\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim\limits_{x \to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} g(x)}$" loading="lazy"></span>
                    desde que <!-- MATH
                     $\lim\limits_{x \to a} g(x) \neq 0$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 3.27ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img292.svg" alt="$\lim\limits_{x \to a} g(x) \neq 0$" loading="lazy"></span>.
                    </dd>
                    </dl></div>
                    
                    
                    <div class="unidade" id="1Teo3" title="1Teo3"><a id="sandwich"><b>Teorema  <span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">3</span></b></a> (Teorema do confronto, ou Teorema do sanduíche)  &nbsp; 
                    <i>Sejam <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$" loading="lazy"></span>, <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img285.svg" alt="$g$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img293.svg" alt="$h$" loading="lazy"></span> funções tais que <!-- MATH
                     $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img294.svg" alt="$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$" loading="lazy"></span> para todo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> em algum intervalo em torno de um ponto
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img295.svg" alt="$a$" loading="lazy"></span>, exceto possivelmente no ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img295.svg" alt="$a$" loading="lazy"></span>. Se
                    </i><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{x \to a} f(x) = L = \lim_{x \to a} h(x),
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P140" title="1P140">
                    <img style="height: 3.27ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img296.svg" alt="$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L = \lim_{x \to a} h(x), $" loading="lazy">
                    </div>
                    <i>
                    então
                    </i><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{x \to a} g(x) = L.
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P141" title="1P141">
                    <img style="height: 3.27ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img297.svg" alt="$\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = L. $" loading="lazy">
                    </div></div>
                    
                    <div class="unidade" id="1Teo4" title="1Teo4"><a id="teofgdif"><b>Teorema  <span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">4</span></b></a> &nbsp; 
                    <i>Se <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img285.svg" alt="$g$" loading="lazy"></span> são funções tais que <!-- MATH
                     $f(x) = g(x)$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img298.svg" alt="$f(x) = g(x)$" loading="lazy"></span> para todo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img69.svg" alt="$x$" loading="lazy"></span> em algum intervalo em torno de um ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img295.svg" alt="$a$" loading="lazy"></span>, exceto
                    possivelmente no ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img295.svg" alt="$a$" loading="lazy"></span>, então o limite de <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img299.svg" alt="$f(x)$" loading="lazy"></span> quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img286.svg" alt="$x \to a$" loading="lazy"></span> existe se e somente se existe o limite de <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img300.svg" alt="$g(x)$" loading="lazy"></span>
                    quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img286.svg" alt="$x \to a$" loading="lazy"></span>. Além disso,
                    </i><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x).
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P142" title="1P142">
                    <img style="height: 3.27ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img301.svg" alt="$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x). $" loading="lazy">
                    </div></div>
                    
                    <div class="unidade" id="1Teo5" title="1Teo5"><a id="teomudv"><b>Teorema  <span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">5</span></b></a> &nbsp; 
                    <i>O limite <!-- MATH
                     $\lim\limits_{x \to 0} f(x+a)$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 3.45ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img302.svg" alt="$\lim\limits_{x \to 0} f(x+a)$" loading="lazy"></span> existe, se e somente se, existe o limite <!-- MATH
                     $\lim\limits_{x \to a} f(x)$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 3.27ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img303.svg" alt="$\lim\limits_{x \to a} f(x)$" loading="lazy"></span>; e mais
                    ainda,
                    </i><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{x \to 0} f(x+a) = \lim_{x \to a} f(x).
                    \end{displaymath}
                     -->
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P143" title="1P143">
                    <img style="height: 3.45ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img304.svg" alt="$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x+a) = \lim_{x \to a} f(x). $" loading="lazy">
                    </div></div>
                    
                    <p class=" unidade" id="1P144" title="1P144">
                    Agora começamos o trabalho de provar a continuidade das funções seno e cosseno.
                    
                    </p>
                    
                    <div class="unidade" id="1Teo6" title="1Teo6"><a id="limfundsin"><b>Proposição  <span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">6</span></b></a> &nbsp; 
                    <i>O limite
                    </i><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{u \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}u}{u}
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P145" title="1P145">
                    <img style="height: 4.26ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img305.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} $" loading="lazy">
                    </div><i>
                    existe e é igual a 1.
                    </i></div>
                    
                    
                    <div><i>Prova</i>.
                    
                    Provaremos que os limites laterais existem e são iguais a 1. Consideremos primeiro o caso <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img306.svg" alt="$u>0$" loading="lazy"></span>; e podemos também
                    considerar que <!-- MATH
                     $u \in (0,\frac{\pi}{2})$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img307.svg" alt="$u \in (0,\frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span>. No círculo trigonométrico, construímos o arco <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img36.svg" alt="$VA$" loading="lazy"></span> de comprimento <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>. Então
                    o ângulo <span class="MATH"><img style="height: 2.26ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img308.svg" alt="$A\hat{O}V$" loading="lazy"></span> tem medida <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> radianos. Consideremos a reta <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$" loading="lazy"></span> de equação <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img309.svg" alt="$u=1$" loading="lazy"></span>, perpendicular ao eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>,
                    passando pelo ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img310.svg" alt="$V$" loading="lazy"></span>. Prolonguemos o segmento <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img100.svg" alt="$OA$" loading="lazy"></span> até interceptar a reta <span class="MATH"><img style="height: 1.52ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img98.svg" alt="$t$" loading="lazy"></span> em um ponto que designaremos por <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img4.svg" alt="$P$" loading="lazy"></span>.
                    Consideremos então o triângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img311.svg" alt="$AOV$" loading="lazy"></span>, o setor circular <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img311.svg" alt="$AOV$" loading="lazy"></span> e o triângulo retângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img312.svg" alt="$OVP$" loading="lazy"></span>.
                    
                    <div class="CENTER"><a id="650"></a>
                    <table id="1I17" title="1I17">
                    <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.17:</strong>
                    Visualização geométrica do limite.</caption>
                    <tbody><tr><td>
                    <div class="CENTER">
                    <img src="img/./limfund.png" alt="Image limfund" loading="lazy"> </div></td></tr>
                    </tbody></table>
                    </div>
                    
                    <p class=" unidade" id="1P146" title="1P146">
                    Vemos claramente que a área do triângulo retângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img312.svg" alt="$OVP$" loading="lazy"></span> é maior que a área do setor circular <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img311.svg" alt="$AOV$" loading="lazy"></span> que por sua vez é
                    maior que a área do triângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img311.svg" alt="$AOV$" loading="lazy"></span>. O triângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img312.svg" alt="$OVP$" loading="lazy"></span> tem base com medida 1 e altura com medida <!-- MATH
                     ${\mathrm  {tg}}u = \frac{{\mathrm {sen}}
                    u}{\cos u}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.47ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img114.svg" alt="${\mathrm {tg}}u = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u}$" loading="lazy"></span> e, portanto, a sua área é <!-- MATH
                     $\frac{{\mathrm {sen}}u}{2\cos u}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.47ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img313.svg" alt="$\frac{{\mathrm {sen}}u}{2\cos u}$" loading="lazy"></span>. O setor circular <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img311.svg" alt="$AOV$" loading="lazy"></span> tem área igual a <!-- MATH
                     $\frac{u}{2}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img61.svg" alt="$\frac{u}{2}$" loading="lazy"></span>. O
                    triângulo <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img311.svg" alt="$AOV$" loading="lazy"></span> tem base com medida 1 e altura com medida <!-- MATH
                     ${\mathrm {sen}}u$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img228.svg" alt="${\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span> e, portanto, área igual a <!-- MATH
                     $\frac{{\mathrm {sen}}u}{2}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img314.svg" alt="$\frac{{\mathrm {sen}}u}{2}$" loading="lazy"></span>. Nestes
                    termos
                    </p><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \frac{{\mathrm {sen}}u}{2} < \frac{u}{2} < \frac{{\mathrm {sen}}u}{2\cos u}.
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P147" title="1P147">
                    <img style="height: 4.06ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img315.svg" alt="$\displaystyle \frac{{\mathrm {sen}}u}{2} < \frac{u}{2} < \frac{{\mathrm {sen}}u}{2\cos u}. $" loading="lazy">
                    </div>
                    
                    <p class=" unidade" id="1P148" title="1P148">
                    Multiplicando tudo por 2 e dividindo por <!-- MATH
                     ${\mathrm {sen}}u$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img228.svg" alt="${\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span> (que é positivo), temos
                    <!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    1 < \frac{u}{{\mathrm {sen}}u} < \frac{1}{\cos u},
                    \end{displaymath}
                     -->
                    </p>
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P149" title="1P149">
                    <img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img316.svg" alt="$\displaystyle 1 < \frac{u}{{\mathrm {sen}}u} < \frac{1}{\cos u}, $" loading="lazy">
                    </div><p class=" unidade" style="text-indent: 0px !important;" id="1P150" title="1P150">
                    ou ainda
                    </p><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    1 > \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} > \cos u.
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P151" title="1P151">
                    <img style="height: 4.03ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img317.svg" alt="$\displaystyle 1 > \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} > \cos u. $" loading="lazy">
                    </div>
                    
                    <p class=" unidade" id="1P152" title="1P152">
                    Da primeira desigualdade, temos que <!-- MATH
                     ${\mathrm {sen}}u < u$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.33ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img318.svg" alt="${\mathrm {sen}}u < u$" loading="lazy"></span>. Substituindo <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> por <!-- MATH
                     $\frac{1}{2}u$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img319.svg" alt="$\frac{1}{2}u$" loading="lazy"></span> temos que <!-- MATH
                     ${\mathrm {sen}}(\frac{1}{2}u) <
                    \frac{1}{2}u$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img320.svg" alt="${\mathrm {sen}}(\frac{1}{2}u) <
                    \frac{1}{2}u$" loading="lazy"></span>. Assim,
                    </p>
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P153" title="1P153"><table class="equation">
                    <tbody><tr>
                    <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img321.svg" alt="$\displaystyle \frac{1-\cos u}{2}$" loading="lazy"></span></td>
                    <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.08ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img322.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1-\cos(\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}u)}{2}$" loading="lazy"></span></td>
                    <td class="eqno" style="text-align:right">
                    &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                    <tr>
                    <td>&nbsp;</td>
                    <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.08ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img323.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1-\cos^{2}(\frac{1}{2}u)+{\mathrm {sen}}^{2}(\frac{1}{2}u)}{2}$" loading="lazy"></span></td>
                    <td class="eqno" style="text-align:right">
                    &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                    <tr>
                    <td>&nbsp;</td>
                    <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.08ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img324.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm {sen}}^{2}(\frac{1}{2}u)+{\mathrm {sen}}^{2}(\frac{1}{2}u)}{2} = {\mathrm {sen}}^{2}(\tfrac{1}{2}u) < (\tfrac{1}{2}u)^{2}.$" loading="lazy"></span></td>
                    <td class="eqno" style="text-align:right">
                    &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                    </tbody></table></div>
                    
                    
                    <p class=" unidade" id="1P154" title="1P154">
                    Segue que <!-- MATH
                     $\frac{1-\cos u}{2} < (\tfrac{1}{2}u)^{2}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img325.svg" alt="$\frac{1-\cos u}{2} < (\tfrac{1}{2}u)^{2}$" loading="lazy"></span> e reorganizando os termos obtemos <!-- MATH
                     $\cos u > 1-\frac{1}{2}u^{2}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img326.svg" alt="$\cos u > 1-\frac{1}{2}u^{2}$" loading="lazy"></span>.
                    Logo
                    </p><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    1 > \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} > \cos u > 1-\frac{1}{2}u^{2}.
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P155" title="1P155">
                    <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img327.svg" alt="$\displaystyle 1 > \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} > \cos u > 1-\frac{1}{2}u^{2}. $" loading="lazy">
                    </div>
                    
                    <p class=" unidade" id="1P156" title="1P156">
                    Como o limite das funções 1 e <!-- MATH
                     $(1-\frac{1}{2}u^{2})$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img328.svg" alt="$(1-\frac{1}{2}u^{2})$" loading="lazy"></span> existem e são iguais a 1 quando <!-- MATH
                     $u \to 0^{+}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.88ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img240.svg" alt="$u \to 0^{+}$" loading="lazy"></span>, então segue do
                    Teorema do confronto (Teorema <a href="#sandwich">1.3</a>) que
                    </p><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{u \to 0^{+}} \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} = 1.
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P157" title="1P157">
                    <img style="height: 4.31ex; vertical-align: -1.82ex; " src="img/img329.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to 0^{+}} \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} = 1. $" loading="lazy">
                    </div>
                    
                    <p class=" unidade" id="1P158" title="1P158">
                    Agora, se <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img52.svg" alt="$u < 0$" loading="lazy"></span>, levando em conta que <!-- MATH
                     $\frac{{\mathrm {sen}}u}{u}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img330.svg" alt="$\frac{{\mathrm {sen}}u}{u}$" loading="lazy"></span> é uma função par, então o comportamento pela direita de zero é
                    o mesmo pela esquerda. Segue que
                    </p><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{u \to 0^{-}} \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} = 1,
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P159" title="1P159">
                    <img style="height: 4.31ex; vertical-align: -1.82ex; " src="img/img331.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to 0^{-}} \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} = 1,$" loading="lazy">
                    </div>
                    também e isso prova o limite desejado.
                    <span style="float: right"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img193.svg" alt="$\qedsymbol$" loading="lazy"></span>
                    </div>
                    <div class="unidade" id="1Teo7" title="1Teo7"><a id="teorema1-7"><b>Teorema  <span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">7</span></b></a> &nbsp; 
                    <i>As funções seno e cosseno são contínuas em <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img239.svg" alt="$u = 0$" loading="lazy"></span>, isto é,
                    </i><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{u \to 0} \cos u = 1 \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to 0} {\mathrm {sen}}u = 0.
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P160" title="1P160">
                    <img style="height: 3.33ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img332.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to 0} \cos u = 1$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 3.33ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img333.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to 0} {\mathrm {sen}}u = 0.$" loading="lazy">
                    </div></div>
                    
                    
                    <div><i>Prova</i>.
                    
                    Para o primeiro limite, supondo primeiro <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img306.svg" alt="$u>0$" loading="lazy"></span>, usamos a desigualdade
                    <!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    1 > \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} > \cos u > 1-\frac{1}{2}u^{2},
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P161" title="1P161">
                    <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img334.svg" alt="$\displaystyle 1 > \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} > \cos u > 1-\frac{1}{2}u^{2}, $" loading="lazy">
                    </div>
                    <p class=" unidade" id="1P162" style="text-indent: 0px !important;" title="1P162">
                    obtida na demonstração do teorema anterior; e o teorema do confronto garante que <!-- MATH
                     $\lim\limits_{u \to 0^{+}} \cos u =
                    1$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 3.37ex; vertical-align: -1.82ex; " src="img/img335.svg" alt="$\lim\limits_{u \to 0^{+}} \cos u =
                    1$" loading="lazy"></span>. Para <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img52.svg" alt="$u < 0$" loading="lazy"></span> lembremos que cosseno é uma função par e então o comportamento à esquerda de 0 é o mesmo comportamento
                    à direita de 0. Segue que
                    </p><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{u \to 0^{-}} \cos u = \lim_{u \to 0^{+}} \cos u = 1,
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P163" title="1P163">
                    <img style="height: 3.37ex; vertical-align: -1.82ex; " src="img/img336.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to 0^{-}} \cos u = \lim_{u \to 0^{+}} \cos u = 1, $" loading="lazy">
                    </div>
                    e isto prova o primeiro limite.
                    <p class=" unidade" id="1P164" title="1P164"></p>
                    <p class=" unidade" id="1P165" title="1P165">
                    Para provar o segundo limite, usaremos o item (c) do teorema <a href="#teopop">1.2</a>. Como os limites de <!-- MATH
                     $\frac{{\mathrm {sen}}u}{u}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img330.svg" alt="$\frac{{\mathrm {sen}}u}{u}$" loading="lazy"></span> e de
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> existem quando <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img270.svg" alt="$u \to 0$" loading="lazy"></span> então o limite do produto existe e
                     </p><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{u \to 0} u \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} = \lim_{u \to 0} u \cdot \lim_{u \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} = 0 \cdot 1 = 0.
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P166" title="1P166">
                    <img style="height: 4.26ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img337.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to 0} u \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} = \lim_{u \to 0} u \cdot \lim_{u \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}u}{u} = 0 \cdot 1 = 0. $" loading="lazy">
                    </div>
                    
                    <p class=" unidade" id="1P167" title="1P167">
                    Agora, como <!-- MATH
                     $\frac{u {\mathrm {sen}}u}{u} = {\mathrm {sen}}u$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img338.svg" alt="$\frac{u {\mathrm {sen}}u}{u} = {\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span> para todo <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img339.svg" alt="$u \neq 0$" loading="lazy"></span> então do teorema <a href="#teofgdif">1.4</a> segue que
                     </p><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{u \to 0} {\mathrm {sen}}u = \lim_{u \to 0} \frac{u {\mathrm {sen}}u}{u} = 0,
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P168" title="1P168">
                    <img style="height: 4.26ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img340.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to 0} {\mathrm {sen}}u = \lim_{u \to 0} \frac{u {\mathrm {sen}}u}{u} = 0, $" loading="lazy">
                    </div>
                    e isto finaliza esta demonstração.
                    <span style="float: right"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img193.svg" alt="$\qedsymbol$" loading="lazy"></span>
                    </div>
                    
                    
                    <div class="unidade" id="1Teo8" title="1Teo8"><a id="teorema1-8"><b>Teorema  <span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">8</span></b></a> &nbsp; 
                    <i>Para qualquer <!-- MATH
                     $a \in \mathbb{R}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img284.svg" alt="$a \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> tem-se
                    </i><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{u \to 0} \cos(u+a) = \cos a \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to 0} {\mathrm {sen}}(u+a) = {\mathrm {sen}}a.
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P169" title="1P169">
                    <img style="height: 3.45ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img341.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to 0} \cos(u+a) = \cos a$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 3.45ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img342.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to 0} {\mathrm {sen}}(u+a) = {\mathrm {sen}}a.$" loading="lazy">
                    </div></div>
                    
                    <div><i>Prova</i>.
                    
                    Usando a identidade trigonométrica para a soma de arcos do cosseno,
                    <!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \cos(u+a) = \cos u \cos a - {\mathrm {sen}}u {\mathrm {sen}}a,
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P170" title="1P170">
                    <img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img343.svg" alt="$\displaystyle \cos(u+a) = \cos u \cos a - {\mathrm {sen}}u {\mathrm {sen}}a, $" loading="lazy">
                    </div>
                    e como existem os limites de <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img227.svg" alt="$\cos u$" loading="lazy"></span> e de <!-- MATH
                     ${\mathrm {sen}}u$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img228.svg" alt="${\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span>, quando <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img270.svg" alt="$u \to 0$" loading="lazy"></span>, então existem os limites de <!-- MATH
                     $\cos u \cos a$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img344.svg" alt="$\cos u \cos a$" loading="lazy"></span> e de
                    <!-- MATH
                     ${\mathrm {sen}}u {\mathrm {sen}}a$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img345.svg" alt="${\mathrm {sen}}u {\mathrm {sen}}a$" loading="lazy"></span> e também existe o limite da soma destes dois termos, quando <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img270.svg" alt="$u \to 0$" loading="lazy"></span>. Segue que
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P171" title="1P171"><table class="equation">
                    <tbody><tr>
                    <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 3.45ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img346.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to 0} \cos(u+a)$" loading="lazy"></span></td>
                    <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 3.45ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img347.svg" alt="$\displaystyle = \lim_{u \to 0} (\cos u \cos a - {\mathrm {sen}}u {\mathrm {sen}}a)$" loading="lazy"></span></td>
                    <td class="eqno" style="text-align:right">
                    &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                    <tr>
                    <td>&nbsp;</td>
                    <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 3.45ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img348.svg" alt="$\displaystyle = \lim_{u \to 0} (\cos u \cos a) - \lim_{u \to 0} ({\mathrm {sen}}u {\mathrm {sen}}a)$" loading="lazy"></span></td>
                    <td class="eqno" style="text-align:right">
                    &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                    <tr>
                    <td>&nbsp;</td>
                    <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 3.45ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img349.svg" alt="$\displaystyle = (\cos a) \lim_{u \to 0} \cos u - ({\mathrm {sen}}a) \lim_{u \to 0} {\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span></td>
                    <td class="eqno" style="text-align:right">
                    &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                    <tr>
                    <td>&nbsp;</td>
                    <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img350.svg" alt="$\displaystyle = (\cos a) \cdot 1 - ({\mathrm {sen}}a) \cdot 0 = \cos a.$" loading="lazy"></span></td>
                    <td class="eqno" style="text-align:right">
                    &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                    </tbody></table></div>
                    
                    
                    <p class=" unidade" id="1P172" title="1P172">
                    Usando agora a identidade trigonométrica para a soma de arcos do seno e a existência dos limites de <!-- MATH
                     ${\mathrm {sen}}u \cos a$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img351.svg" alt="${\mathrm {sen}}u \cos a$" loading="lazy"></span> e
                    de <!-- MATH
                     ${\mathrm {sen}}a \cos u$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img352.svg" alt="${\mathrm {sen}}a \cos u$" loading="lazy"></span>, quando <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img270.svg" alt="$u \to 0$" loading="lazy"></span>, temos
                    </p>
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P173" title="1P173"><table class="equation">
                    <tbody><tr>
                    <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 3.45ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img353.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to 0} {\mathrm {sen}}(u+a)$" loading="lazy"></span></td>
                    <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 3.45ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img354.svg" alt="$\displaystyle = \lim_{u \to 0} ({\mathrm {sen}}u \cos a + {\mathrm {sen}}a \cos u)$" loading="lazy"></span></td>
                    <td class="eqno" style="text-align:right">
                    &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                    <tr>
                    <td>&nbsp;</td>
                    <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 3.45ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img355.svg" alt="$\displaystyle = \lim_{u \to 0} ({\mathrm {sen}}u \cos a) + \lim_{u \to 0} ({\mathrm {sen}}a \cos u)$" loading="lazy"></span></td>
                    <td class="eqno" style="text-align:right">
                    &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                    <tr>
                    <td>&nbsp;</td>
                    <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 3.45ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img356.svg" alt="$\displaystyle = (\cos a) \lim_{u \to 0} {\mathrm {sen}}u + ({\mathrm {sen}}a) \lim_{u \to 0} \cos u$" loading="lazy"></span></td>
                    <td class="eqno" style="text-align:right">
                    &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                    <tr>
                    <td>&nbsp;</td>
                    <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img357.svg" alt="$\displaystyle = (\cos a) \cdot 0 + ({\mathrm {sen}}a) \cdot 1 = {\mathrm {sen}}a,$" loading="lazy"></span></td>
                    <td class="eqno" style="text-align:right">
                    &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                    </tbody></table></div>
                    
                    e isso termina essa demonstração.
                    <span style="float: right"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img193.svg" alt="$\qedsymbol$" loading="lazy"></span>
                    </div>
                    <br />
                    <p class=" unidade" id="1P174" title="1P174">
                    Os limites indicados no início desta seção seguem agora imediatamente do teorema <a href="#teomudv">1.5</a> e deste último teorema.
                    </p>
                    
                    <div class="unidade" id="1Teo9" title="1Teo9"><a id="corolario"><b>Corolário  <span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">9</span></b></a> &nbsp; 
                    <i>As funções seno e cosseno são contínuas em qualquer ponto <!-- MATH
                     $a \in \mathbb{R}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img284.svg" alt="$a \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, isto é,
                    </i><!-- MATH
                     \begin{displaymath}
                    \lim_{u \to a} \cos u = \cos a \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to a} {\mathrm {sen}}u = {\mathrm {sen}}a.
                    \end{displaymath}
                     -->
                    
                    <div class="mathdisplay unidade" id="1P175" title="1P175">
                    <img style="height: 2.69ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img358.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to a} \cos u = \cos a$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 2.69ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img359.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to a} {\mathrm {sen}}u = {\mathrm {sen}}a.$" loading="lazy">
                    </div></div>
                    
                    <p class=" unidade" id="1P176" title="1P176">
                    Podemos agora analisar a continuidade das outras quatro funções trigonométricas circulares, já que estas são escritas
                    como um quociente em termos de seno e cosseno. Usando o item (d) do teorema <a href="#teopop">1.2</a>, podemos facilmente provar as
                    próximas afirmações.
                    </p>
                    <p class=" unidade" id="1P177" title="1P177">
                    As funções tangente, cotangente, secante e cossecante são contínuas nos seus domínios de definição. De outra forma,
                    </p>
                    <div class="CENTER">
                    <table class="PAD ">
                    <tbody><tr><td class="CENTER">&nbsp;</td>
                    <td class="LEFT"><!-- MATH
                     $\lim\limits_{u \to a} {\mathrm  {tg}}u = {\mathrm  {tg}}a$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.69ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img360.svg" alt="$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm {tg}}u = {\mathrm {tg}}a$" loading="lazy"></span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;desde que &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<!-- MATH
                     $a \notin \{\frac{\pi}{2}+k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img361.svg" alt="$a \notin \{\frac{\pi}{2}+k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>,</td>
                    </tr>
                    <tr><td class="CENTER">&nbsp;</td>
                    <td class="LEFT"><!-- MATH
                     $\lim\limits_{u \to a} {\mathrm {ctg}}u = {\mathrm {ctg}}a$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.69ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img362.svg" alt="$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm {ctg}}u = {\mathrm {ctg}}a$" loading="lazy"></span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;desde que &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<!-- MATH
                     $a \notin \{k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img363.svg" alt="$a \notin \{k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>,</td>
                    </tr>
                    <tr><td class="CENTER">&nbsp;</td>
                    <td class="LEFT"><!-- MATH
                     $\lim\limits_{u \to a} \sec u = \sec a$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.69ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img364.svg" alt="$\lim\limits_{u \to a} \sec u = \sec a$" loading="lazy"></span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;desde que &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<!-- MATH
                     $a \notin \{\frac{\pi}{2}+k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img361.svg" alt="$a \notin \{\frac{\pi}{2}+k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>,</td>
                    </tr>
                    <tr><td class="CENTER">&nbsp;</td>
                    <td class="LEFT"><!-- MATH
                     $\lim\limits_{u \to a} \csc u = \csc a$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.69ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img365.svg" alt="$\lim\limits_{u \to a} \csc u = \csc a$" loading="lazy"></span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;desde que &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<!-- MATH
                     $a \notin \{k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\}$
                     -->
                    <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img363.svg" alt="$a \notin \{k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>.</td>
                    </tr>
                    </tbody></table>
                    </div>
:::

```{=html} 

<a id="secdercirc"></a>
                    

```


## 1.4 Derivadas de funções trigonométricas circulares {#SECTION00540000000000000000}

::: {.raw_html}
                        
                        <p class=" unidade" id="1P178" title="1P178">
                        Nesta seção estamos interessados em obter as fórmulas de derivada para as seis funções trigonométricas circulares. Para
                        isto, usaremos a definição de derivada
                        </p><!-- MATH
                         \begin{displaymath}
                        \frac{d}{du} f(u) = f'(u) = \lim_{h \to 0} \frac{f(u+h) - f(u)}{h},
                        \end{displaymath}
                         -->
                        
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P179" title="1P179">
                        <img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img366.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} f(u) = f'(u) = \lim_{h \to 0} \frac{f(u+h) - f(u)}{h}, $" loading="lazy">
                        </div>
                        para obter as derivadas das funções seno e cosseno. Feito isto, usaremos a regra do quociente para determinar as
                        derivadas das outras quatro funções trigonométricas. Lembremos rapidamente da regra do quociente para derivadas. Se <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img277.svg" alt="$f$" loading="lazy"></span>
                        e <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img285.svg" alt="$g$" loading="lazy"></span> são funções deriváveis em um ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
                         $g(u) \neq 0$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img367.svg" alt="$g(u) \neq 0$" loading="lazy"></span>, então o quociente é derivável neste ponto <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>; e mais
                        ainda
                        <!-- MATH
                         \begin{displaymath}
                        \frac{d}{du} \left( \frac{f(u)}{g(u)} \right) = \frac{f'(u)g(u) - f(u)g'(u)}{[g(u)]^{2}}.
                        \end{displaymath}
                         -->
                        
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P180" title="1P180">
                        <img style="height: 5.24ex; vertical-align: -2.10ex; " src="img/img368.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} \left( \frac{f(u)}{g(u)} \right) = \frac{f'(u)g(u) - f(u)g'(u)}{[g(u)]^{2}}. $" loading="lazy">
                        </div>
                        
                        <p class=" unidade" id="1P181" title="1P181">
                        Primeiro precisamos estabelecer um limite necessário para a obtenção da derivada da função cosseno.
                        
                        </p>
                        
                        <div class="unidade" id="1Teo10" title="1Teo10"><a id="limfundcos"><b>Proposição  <span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">10</span></b></a> &nbsp; 
                        <i>O limite
                        </i><!-- MATH
                         \begin{displaymath}
                        \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h}
                        \end{displaymath}
                         -->
                        
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P182" title="1P182">
                        <img style="height: 4.75ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img369.svg" alt="$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h} $" loading="lazy">
                        </div><i>
                        existe e é igual a 0.
                        </i></div>
                        
                        
                        <div><i>Prova</i>.
                        
                        Podemos supor que <!-- MATH
                         $h \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img370.svg" alt="$h \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span>. Neste intevalo temos que <!-- MATH
                         $(1+\cos h) \neq 0$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img371.svg" alt="$(1+\cos h) \neq 0$" loading="lazy"></span> e então
                        
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P183" title="1P183"><table class="equation">
                        <tbody><tr>
                        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img372.svg" alt="$\displaystyle \frac{1 - \cos h}{h}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.16ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img373.svg" alt="$\displaystyle = \frac{(1 - \cos h)(1+\cos h)}{h(1+\cos h)}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.42ex; vertical-align: -2.07ex; " src="img/img374.svg" alt="$\displaystyle = \frac{1-\cos^{2}h}{h (1+\cos h)} = \frac{{\mathrm {sen}}^{2}h}{h(1+\cos h)} = \frac{{\mathrm {sen}}h}{h} \cdot \frac{{\mathrm {sen}}h}{1+\cos h}.$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        </tbody></table></div>
                        
                        
                        <p class=" unidade" id="1P184" title="1P184">
                        Como o limite da função <!-- MATH
                         $\frac{{\mathrm {sen}}h}{h}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img375.svg" alt="$\frac{{\mathrm {sen}}h}{h}$" loading="lazy"></span> existe (ver proposição <a href="#limfundsin">1.6</a>) e o limite da função <!-- MATH
                         $\frac{{\mathrm {sen}}
                        h}{1+\cos h}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.94ex; vertical-align: -0.95ex; " src="img/img376.svg" alt="$\frac{{\mathrm {sen}}
                        h}{1+\cos h}$" loading="lazy"></span> existe como função contínua de <!-- MATH
                         $h \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img370.svg" alt="$h \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span>, então do item (c) do teorema
                        <a href="#teopop">1.2</a>, temos
                        </p>
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P185" title="1P185"><table class="equation">
                        <tbody><tr>
                        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.75ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img369.svg" alt="$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h} $" loading="lazy"></span></td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.75ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img377.svg" alt="$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}h}{h} \cdot \frac{{\mathrm {sen}}h}{1+\cos h}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.24ex; vertical-align: -2.10ex; " src="img/img378.svg" alt="$\displaystyle = \left( \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}h}{h} \right) \cdot ...
                        ...\mathrm {sen}}h}{1+\cos h} \right)
                        = 1 \cdot \left( \tfrac{0}{1+1} \right) = 0,$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        </tbody></table></div>
                        
                        e isto termina esta demonstração.
                        <span style="float: right"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img193.svg" alt="$\qedsymbol$" loading="lazy"></span>
                        </div>
                        
                        <p class=" unidade" id="1P186" title="1P186">
                        Agora estamos prontos para obter as derivadas das funções trigonométricas. Comecemos com <a name="876"></a> <!-- MATH
                         $f(u) =
                        {\mathrm {sen}}u$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img379.svg" alt="$f(u) =
                        {\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span>, definida em toda a reta real. Aplicando a definição de derivada temos que
                        </p><!-- MATH
                         \begin{displaymath}
                        \frac{d}{du} {\mathrm {sen}}u = \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}(u+h)-{\mathrm {sen}}u}{h}
                        \end{displaymath}
                         -->
                        
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P187" title="1P187">
                        <img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img380.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm {sen}}u = \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}(u+h)-{\mathrm {sen}}u}{h} $" loading="lazy">
                        </div>
                        <p class=" unidade" style="text-indent: 0px !important;" id="1P188" title="1P188">
                        para todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> tal que o limite exista. Observe que para <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img239.svg" alt="$u = 0$" loading="lazy"></span> o limite existe e então a derivada da função seno
                        existe em pelo menos um ponto. Vamos provar que o limite existe para qualquer <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
                        </p>
                        <p class=" unidade" id="1P189" title="1P189">
                        Desta forma, para todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, temos
                        </p>
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P190" title="1P190"><table class="equation">
                        <tbody><tr>
                        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img381.svg" alt="$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}(u+h)-{\mathrm {sen}}u}{h}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.75ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img382.svg" alt="$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}u \cos h + {\mathrm {sen}}h \cos u - {\mathrm {sen}}u}{h}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.24ex; vertical-align: -2.10ex; " src="img/img383.svg" alt="$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left( {\mathrm {sen}}u \frac{\cos h - 1}{h} + \frac{{\mathrm {sen}}h}{h} \cos u \right).$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        </tbody></table></div>
                        
                        
                        <p class=" unidade" id="1P191" title="1P191">
                        As duas parcelas dentro do último limite, são funções cujo limite em <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img293.svg" alt="$h$" loading="lazy"></span> existe para todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> (ver proposições
                        <a href="#limfundsin">1.6</a> e <a href="#limfundcos">1.10</a>). Então
                        </p>
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P192" title="1P192"><table class="equation">
                        <tbody><tr>
                        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img381.svg" alt="$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}(u+h)-{\mathrm {sen}}u}{h}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.75ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img384.svg" alt="$\displaystyle = \lim_{h \to 0} {\mathrm {sen}}u \frac{\cos h - 1}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}h}{h} \cos u$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.24ex; vertical-align: -2.10ex; " src="img/img385.svg" alt="$\displaystyle = {\mathrm {sen}}u \left( \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} \right) + \cos u \left( \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}h}{h} \right)$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img386.svg" alt="$\displaystyle = 0 \cdot {\mathrm {sen}}u + 1 \cdot \cos u = \cos u.$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        </tbody></table></div>
                        
                        
                        <p class=" unidade" id="1P193" title="1P193">
                        Como o limite existe para todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, a função <!-- MATH
                         $f(u) = {\mathrm {sen}}u$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img379.svg" alt="$f(u) =
                        {\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span> é derivável em todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>; e, além disso,
                        </p><!-- MATH
                         \begin{displaymath}
                        \frac{d}{du} {\mathrm {sen}}u = \cos u.
                        \end{displaymath}
                         -->
                        
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P194" title="1P194">
                        <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img387.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm {sen}}u = \cos u. $" loading="lazy">
                        </div>
                        
                        <p class=" unidade" id="1P195" title="1P195">
                        Tomemos agora a função <a name="916"></a> <!-- MATH
                         $f(u) = \cos u$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img388.svg" alt="$f(u) = \cos u$" loading="lazy"></span>, definida em toda a reta real. Da definição de
                        derivada,
                        </p><!-- MATH
                         \begin{displaymath}
                        \frac{d}{du} \cos u = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(u+h) - \cos u}{h}
                        \end{displaymath}
                         -->
                        
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P196" title="1P196">
                        <img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img389.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} \cos u = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(u+h) - \cos u}{h} $" loading="lazy">
                        </div><p class=" unidade" style="text-indent: 0px !important;" id="1P197" title="1P197">
                        para todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> tal que o limite existe. Observe novamente que já provamos que este limite existe pelo menos para
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.68ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img239.svg" alt="$u = 0$" loading="lazy"></span>. Para <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, temos que
                        </p>
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P198" title="1P198"><table class="equation">
                        <tbody><tr>
                        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img390.svg" alt="$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cos(u+h) - \cos u}{h}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.75ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img391.svg" alt="$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\cos u \cos h - {\mathrm {sen}}u {\mathrm {sen}}h - \cos u}{h}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.24ex; vertical-align: -2.10ex; " src="img/img392.svg" alt="$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left( \cos u \frac{\cos h - 1}{h} - {\mathrm {sen}}u \frac{{\mathrm {sen}}h}{h} \right).$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        </tbody></table></div>
                        
                        
                        <p class=" unidade" id="1P199" title="1P199">
                        Novamente, as parcelas dentro do limite são funções tais que o limite existe em <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img293.svg" alt="$h$" loading="lazy"></span> para todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Assim,
                        </p>
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P200" title="1P200"><table class="equation">
                        <tbody><tr>
                        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.87ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img390.svg" alt="$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cos(u+h) - \cos u}{h}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.75ex; vertical-align: -1.78ex; " src="img/img393.svg" alt="$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \cos u \frac{\cos h - 1}{h} - \lim_{h \to 0} {\mathrm {sen}}u \frac{{\mathrm {sen}}h}{h}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 5.24ex; vertical-align: -2.10ex; " src="img/img394.svg" alt="$\displaystyle = \cos u \left( \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} \right) - {\mathrm {sen}}u \left( \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm {sen}}h}{h} \right)$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img395.svg" alt="$\displaystyle = 0 \cdot \cos u - 1 \cdot {\mathrm {sen}}u = - {\mathrm {sen}}u.$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        </tbody></table></div>
                        
                        
                        <p class=" unidade" id="1P201" title="1P201">
                        O limite existe, portanto, para todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> e, assim, segue que a função <!-- MATH
                         $f(u) = \cos u$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img388.svg" alt="$f(u) = \cos u$" loading="lazy"></span> é derivável em todo <!-- MATH
                         $u \in
                        \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>; e, além disso,
                        </p><!-- MATH
                         \begin{displaymath}
                        \frac{d}{du} \cos u = - {\mathrm {sen}}u.
                        \end{displaymath}
                         -->
                        
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P202" title="1P202">
                        <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img396.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} \cos u = - {\mathrm {sen}}u. $" loading="lazy">
                        </div>
                        
                        <p class=" unidade" id="1P203" title="1P203">
                        Conhecendo agora as derivadas de seno e cosseno, definidas em todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, vamos utilizar estas para determinar as
                        derivadas das outras quatro funções trigonométricas circulares, já que são escritas em termos de seno e cosseno.
                        </p>
                        <p class=" unidade" id="1P204" title="1P204">
                        Consideremos agora a função <a name="954"></a> <!-- MATH
                         $f(u) = {\mathrm  {tg}}u = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.52ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img223.svg" alt="$f(u) = {\mathrm {tg}}u = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u}$" loading="lazy"></span>, definida em <!-- MATH
                         $\mathbb{R}-
                        \{\frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img225.svg" alt="$\mathbb{R}- \{\frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>. Como <!-- MATH
                         ${\mathrm {sen}}u$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img228.svg" alt="${\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img227.svg" alt="$\cos u$" loading="lazy"></span> são diferenciáveis em todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, a derivada do
                        quociente <!-- MATH
                         ${\mathrm  {tg}}u = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.47ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img114.svg" alt="${\mathrm {tg}}u = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u}$" loading="lazy"></span> existe em todos os pontos onde <!-- MATH
                         $\cos u \neq 0$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img397.svg" alt="$\cos u \neq 0$" loading="lazy"></span>.
                        </p>
                        <p class=" unidade" id="1P205" title="1P205">
                        Dessa forma, para todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}- \{ \frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img188.svg" alt="$u \in \mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>, temos
                        </p>
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P206" title="1P206"><table class="equation">
                        <tbody><tr>
                        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img398.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm {tg}}u$" loading="lazy"></span></td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.71ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img399.svg" alt="$\displaystyle = \frac{d}{du} \left( \tfrac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u} \right) = \frac{({\mathrm {sen}}u)' \cos u - {\mathrm {sen}}u (\cos u)'}{\cos^{2} u}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.67ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img400.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\cos u \cos u - {\mathrm {sen}}u (-{\mathrm {sen}}u)}{\cos^{2} u}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img401.svg" alt="$\displaystyle = \frac{\cos^{2} u + {\mathrm {sen}}^{2} u}{\cos^{2} u} = \frac{1}{\cos^{2} u} = \sec^{2} u.$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        </tbody></table></div>
                        
                        
                        <p class=" unidade" id="1P207" title="1P207">
                        Portanto
                        </p><!-- MATH
                         \begin{displaymath}
                        \frac{d}{du} {\mathrm  {tg}}u = \sec^{2} u,
                        \end{displaymath}
                         -->
                        
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P208" title="1P208">
                        <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img402.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm {tg}}u = \sec^{2} u, $" loading="lazy">
                        </div>
                        <p class=" unidade" style="text-indent: 0px !important;" id="1P209" title="1P209">
                        para <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}- \{ \tfrac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img403.svg" alt="$u \in \mathbb{R}- \{ \tfrac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>.
                        </p>
                        <p class=" unidade" id="1P210" title="1P210">
                        Analogamente, para a função <a name="986"></a> <!-- MATH
                         $f(u) = {\mathrm {ctg}}u = \frac{\cos u}{{\mathrm {sen}}u}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.52ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img236.svg" alt="$f(u) = {\mathrm {ctg}}u = \frac{\cos u}{{\mathrm {sen}}u}$" loading="lazy"></span>, temos para todo <!-- MATH
                         $u \in
                        \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> tal que <!-- MATH
                         ${\mathrm {sen}}u \neq 0$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img237.svg" alt="${\mathrm {sen}}
                        u \neq 0$" loading="lazy"></span>,
                        </p>
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P211" title="1P211"><table class="equation">
                        <tbody><tr>
                        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img404.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm {ctg}}u$" loading="lazy"></span></td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.71ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img405.svg" alt="$\displaystyle = \frac{d}{du} \left( \tfrac{\cos u}{{\mathrm {sen}}u} \right) = ...
                        ...(\cos u)' {\mathrm {sen}}u - \cos u ({\mathrm {sen}}u)'}{{\mathrm {sen}}^{2} u}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.32ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img406.svg" alt="$\displaystyle = \frac{-{\mathrm {sen}}u {\mathrm {sen}}u - \cos u \cos u}{{\mathrm {sen}}^{2} u}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.92ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img407.svg" alt="$\displaystyle = \frac{-({\mathrm {sen}}^{2} u + \cos^{2} u)}{{\mathrm {sen}}^{2} u} = \frac{-1}{{\mathrm {sen}}^{2} u} = -\csc^{2} u.$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        </tbody></table></div>
                        
                        
                        <p class=" unidade" id="1P212" title="1P212">
                        Então,
                        </p><!-- MATH
                         \begin{displaymath}
                        \frac{d}{du} {\mathrm {ctg}}u = \csc^{2} u,
                        \end{displaymath}
                         -->
                        
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P213" title="1P213">
                        <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img408.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm {ctg}}u = \csc^{2} u, $" loading="lazy">
                        </div><p class=" unidade" style="text-indent: 0px !important;" id="1P214" title="1P214">
                        para todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}- \{ k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img191.svg" alt="$u \in \mathbb{R}-\{k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>.
                        </p>
                        <p class=" unidade" id="1P215" title="1P215">
                        Considerando agora a função <a name="1010"></a> <!-- MATH
                         $f(u) = \sec u = \frac{1}{\cos u}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img409.svg" alt="$f(u) = \sec u = \frac{1}{\cos u}$" loading="lazy"></span>, temos para todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> tal
                        que <!-- MATH
                         $\cos u \neq 0$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img397.svg" alt="$\cos u \neq 0$" loading="lazy"></span>,
                        </p>
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P216" title="1P216"><table class="equation">
                        <tbody><tr>
                        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img410.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} \sec u$" loading="lazy"></span></td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.71ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img411.svg" alt="$\displaystyle = \frac{d}{du} \left( \tfrac{1}{\cos u} \right) = \frac{(1)' \cos u - (-{\mathrm {sen}}u)}{\cos^{2}u}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img412.svg" alt="$\displaystyle = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos^{2}u} = \frac{{\mathrm {sen}}u}{\cos u} \cdot \frac{1}{\cos u} = {\mathrm {tg}}u \sec u.$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        </tbody></table></div>
                        
                        
                        <p class=" unidade" id="1P217" title="1P217">
                        Da mesma forma, para a função <a name="1029"></a> <!-- MATH
                         $f(u) = \csc u = \frac{1}{{\mathrm {sen}}u}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img413.svg" alt="$f(u) = \csc u = \frac{1}{{\mathrm {sen}}u}$" loading="lazy"></span>, temos que
                        </p>
                        <div class="mathdisplay unidade" id="1P218" title="1P218"><table class="equation">
                        <tbody><tr>
                        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img414.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} \csc u$" loading="lazy"></span></td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.71ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img415.svg" alt="$\displaystyle = \frac{d}{du} \left( \tfrac{1}{{\mathrm {sen}}u} \right) = \frac{(1)' {\mathrm {sen}}u - \cos u}{{\mathrm {sen}}^{2}u}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        <tr>
                        <td>&nbsp;</td>
                        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img416.svg" alt="$\displaystyle = -\frac{\cos u}{{\mathrm {sen}}^{2}u} = -\frac{\cos u}{{\mathrm {sen}}u} \cdot \frac{1}{{\mathrm {sen}}u} = -{\mathrm {ctg}}u \csc u,$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="eqno" style="text-align:right">
                        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
                        </tbody></table></div>
                        <p class=" unidade" style="text-indent: 0px !important;" id="1P219" title="1P219">
                        para todo <!-- MATH
                         $u \in \mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> tal que <!-- MATH
                         ${\mathrm {sen}}u \neq 0$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.06ex; vertical-align: -0.51ex; " src="img/img237.svg" alt="${\mathrm {sen}}
                        u \neq 0$" loading="lazy"></span>.
                        </p>
                        <p class=" unidade" id="1P220" title="1P220">
                        Vamos resumir as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas circulares em uma tabela.
                        </p>
                        
                        <div class="CENTER"><a id="1062"></a>
                        <table id="1T2" title="1T2">
                        <caption><strong>Tabela 1.2:</strong>
                        Derivadas das funções trigonométricas circulares.</caption>
                        <tbody><tr><td>
                        <div class="CENTER">
                        <table class="PAD  BORDER">
                        <tbody><tr><td class="LEFT">função</td>
                        <td class="CENTER">domínio</td>
                        <td class="CENTER">derivada</td>
                        </tr>
                        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
                         ${\mathrm {sen}}u$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img228.svg" alt="${\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="CENTER"><!-- MATH
                         $\mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img227.svg" alt="$\cos u$" loading="lazy"></span></td>
                        </tr>
                        <tr><td class="LEFT"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img227.svg" alt="$\cos u$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="CENTER"><!-- MATH
                         $\mathbb{R}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="CENTER"><!-- MATH
                         $-{\mathrm {sen}}u$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img417.svg" alt="$-{\mathrm {sen}}u$" loading="lazy"></span></td>
                        </tr>
                        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
                         ${\mathrm  {tg}}u$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img281.svg" alt="${\mathrm {tg}}u$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="CENTER">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<!-- MATH
                         $\mathbb{R}- \{ \frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img225.svg" alt="$\mathbb{R}- \{\frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
                        <td class="CENTER"><!-- MATH
                         $\sec^{2} u$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img418.svg" alt="$\sec^{2} u$" loading="lazy"></span></td>
                        </tr>
                        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
                         ${\mathrm {ctg}}u$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img115.svg" alt="${\mathrm {ctg}}u$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="CENTER"><!-- MATH
                         $\mathbb{R}- \{ k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img238.svg" alt="$\mathbb{R}- \{ k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="CENTER"><!-- MATH
                         $-\csc^{2} u$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.20ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img419.svg" alt="$-\csc^{2} u$" loading="lazy"></span></td>
                        </tr>
                        <tr><td class="LEFT"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img121.svg" alt="$\sec u$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="CENTER">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<!-- MATH
                         $\mathbb{R}- \{ \frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img225.svg" alt="$\mathbb{R}- \{\frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
                        <td class="CENTER"><!-- MATH
                         ${\mathrm  {tg}}u \sec u$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img420.svg" alt="${\mathrm {tg}}u \sec u$" loading="lazy"></span></td>
                        </tr>
                        <tr><td class="LEFT"><span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img123.svg" alt="$\csc u$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="CENTER"><!-- MATH
                         $\mathbb{R}- \{ k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img238.svg" alt="$\mathbb{R}- \{ k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span></td>
                        <td class="CENTER"><!-- MATH
                         $-{\mathrm {ctg}}u \csc u$
                         -->
                        <span class="MATH"><img style="height: 1.90ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img421.svg" alt="$-{\mathrm {ctg}}u \csc u$" loading="lazy"></span></td>
                        </tr>
                        </tbody></table>
                        </div></td></tr>
                        </tbody></table>
                        </div>
                        <br>

:::

```{=html} 

    <a id="secfcinv"></a>

```

## 1.5 As funções trigonométricas circulares inversas {#SECTION00550000000000000000}

::: {.raw_html}
        
        <p class=" unidade" id="1P221" title="1P221">
        Antes de começarmos, lembremos que nenhuma das funções trigonométricas circulares é bijetora dos seus domínios de
        definição em <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Sabemos também que somente as funções bijetoras possuem função inversa. O que precisamos então é
        restringir o domínio e/ou o contradomínio de tais funções, conforme o caso exigir, a fim de torná-las bijetoras e só
        então poderemos definir as funções inversas.
        </p>
        <p class=" unidade" id="1P222" title="1P222">
        Comecemos então pela função <a name="1066"></a> seno que não é injetora e nem sobrejetora de <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span> em
        <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Resolvemos o problema da sobrejetividade restringindo o contradomínio, tornando-o igual à imagem
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img280.svg" alt="$[-1,1]$" loading="lazy"></span>. O problema da injetividade é resolvido restringindo o domínio. Consideramos então o domínio como sendo
        <!-- MATH
         $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img422.svg" alt="$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></span>. A função seno é bijetora de <!-- MATH
         $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img422.svg" alt="$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></span> em <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img280.svg" alt="$[-1,1]$" loading="lazy"></span>. Podemos
        definir então a função inversa do seno, que a cada número real <!-- MATH
         $u \in [-1,1]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img423.svg" alt="$u \in [-1,1]$" loading="lazy"></span> associa o (único) número <!-- MATH
         $w \in
        [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img424.svg" alt="$w \in
        [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></span>, satisfazendo a relação <!-- MATH
         $u = {\mathrm {sen}}w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img425.svg" alt="$u = {\mathrm {sen}}w$" loading="lazy"></span>.
        </p>
        <p class=" unidade" id="1P223" title="1P223">
        Representamos a função inversa do seno por por <!-- MATH
         $w = f(u) = {\mathrm {sen}}^{-1}u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img426.svg" alt="$w = f(u) = {\mathrm {sen}}^{-1}u$" loading="lazy"></span>, ou <!-- MATH
         $w = {\mathrm{arcsen}}u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img427.svg" alt="$w = {\mathrm{arcsen}}u$" loading="lazy"></span>. Neste texto, vamos utilizar
        a primeira notação e muito cuidado para não confundir as expressões <!-- MATH
         ${\mathrm {sen}}^{-1}u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img428.svg" alt="${\mathrm {sen}}^{-1}u$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
         $({\mathrm {sen}}u)^{-1}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img429.svg" alt="$({\mathrm {sen}}u)^{-1}$" loading="lazy"></span>. A segunda
        expressão é o inverso multiplicativo do seno, ou seja <!-- MATH
         $({\mathrm {sen}}u)^{-1} = \frac{1}{{\mathrm {sen}}u} = \csc u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img430.svg" alt="$({\mathrm {sen}}u)^{-1} = \frac{1}{{\mathrm {sen}}u} = \csc u$" loading="lazy"></span>. Assim, temos
        definida a função
        </p>
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P224" title="1P224">
        <!-- MATH
         \begin{eqnarray*}
        f : [-1,1] & \to & [-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}] \\
        u & \mapsto & w = f(u) = {\mathrm {sen}}^{-1}u
        \end{eqnarray*}
         -->
        <table cellpadding="0" align="CENTER" width="100%">
        <tbody><tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img431.svg" alt="$\displaystyle f : [-1,1]$" loading="lazy"></td>
        <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img211.svg" alt="$\displaystyle \to$" loading="lazy"></td>
        <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img432.svg" alt="$\displaystyle [-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></td>
        <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
        &nbsp;</td></tr>
        <tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img213.svg" alt="$\displaystyle u$" loading="lazy"></td>
        <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img214.svg" alt="$\displaystyle \mapsto$" loading="lazy"></td>
        <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img433.svg" alt="$\displaystyle w = f(u) = {\mathrm {sen}}^{-1}u$" loading="lazy"></td>
        <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
        &nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
        <p class=" unidade" id="1P225" style="text-indent: 0px !important;" title="1P225">
        que deve satisfazer a relação <!-- MATH
         $u = {\mathrm {sen}}w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img425.svg" alt="$u = {\mathrm {sen}}w$" loading="lazy"></span>. Desta igualdade, vemos que quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> se aproxima de <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img250.svg" alt="$1$" loading="lazy"></span> (somente pela
        esquerda), devemos ter <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> se aproximando de <!-- MATH
         $\frac{\pi}{2}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img42.svg" alt="$\frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span> e quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> tender a <span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img249.svg" alt="$-1$" loading="lazy"></span> (somente pela direita), devemos
        ter <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> tendendo a <!-- MATH
         $-\frac{\pi}{2}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img435.svg" alt="$-\frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span>. Isto é,
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \lim_{u \to -1^{+}} {\mathrm {sen}}^{-1}u = -\frac{\pi}{2} \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to 1^{-}} {\mathrm {sen}}^{-1}u = \frac{\pi}{2}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P226" title="1P226">
        <img style="height: 4.41ex; vertical-align: -1.93ex; " src="img/img436.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to -1^{+}} {\mathrm {sen}}^{-1}u = -\frac{\pi}{2}$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 4.29ex; vertical-align: -1.81ex; " src="img/img437.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to 1^{-}} {\mathrm {sen}}^{-1}u = \frac{\pi}{2}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P227" title="1P227">
        Deve ser uma função crescente no intervalo de definição <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img280.svg" alt="$[-1,1]$" loading="lazy"></span>, já que da relação <!-- MATH
         $u = {\mathrm {sen}}w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img425.svg" alt="$u = {\mathrm {sen}}w$" loading="lazy"></span> vemos que conforme <!-- MATH
         $u
        \in [-1,1]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img423.svg" alt="$u \in [-1,1]$" loading="lazy"></span> cresce, o ângulo radiano <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> deve também crescer em <!-- MATH
         $-[\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img438.svg" alt="$-[\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></span>. Como é de se esperar
        de uma função inversa, são válidas as seguintes relações,
        </p>
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P228" title="1P228"><table class="equation">
        <tbody><tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img439.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}({\mathrm {sen}}^{-1} u)$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img440.svg" alt="$\displaystyle = u$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;para<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img441.svg" alt="$\displaystyle \quad u \in [-1,1]$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img442.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}^{-1}({\mathrm {sen}}u)$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img440.svg" alt="$\displaystyle = u$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;para<img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img443.svg" alt="$\displaystyle \quad u \in [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
        
        
        <p class=" unidade" id="1P229" title="1P229">
        O gráfico desta função, definida apenas no intervalo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img280.svg" alt="$[-1,1]$" loading="lazy"></span>, é dado por
        </p>
        <div class="CENTER"><a id="1123"></a>
        <table id="1I18" title="1I18">
        <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.18:</strong>
        Gráfico da função seno inverso.</caption>
        <tbody><tr><td>
        <div class="CENTER">
        <img src="img/./farcsin.png" alt="Image farcsin" loading="lazy"> </div></td></tr>
        </tbody></table>
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P230" title="1P230">
        Agora tomemos a função <a name="1125"></a> cosseno. Sabemos que a função cosseno, também não é injetora e
        nem sobrejetora de <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Colocando o contradomínio como sendo a imagem <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img280.svg" alt="$[-1,1]$" loading="lazy"></span> a tornamos sobrejetora.
        Colocando o domínio como sendo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img444.svg" alt="$[0,\pi]$" loading="lazy"></span> a tornamos injetora de <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img444.svg" alt="$[0,\pi]$" loading="lazy"></span> em <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img280.svg" alt="$[-1,1]$" loading="lazy"></span>. Definimos assim, a função
        inversa do cosseno, denotada por <!-- MATH
         $f(u) = \cos^{-1}u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img445.svg" alt="$f(u) = \cos^{-1}u$" loading="lazy"></span> (ou <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img446.svg" alt="$\arccos u$" loading="lazy"></span>), por
        </p>
         
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P231" title="1P231">
        <!-- MATH
         \begin{eqnarray*}
        f : [-1,1] & \to & [0,\pi] \\
        u & \mapsto & w = f(u) = \cos^{-1}u
        \end{eqnarray*}
         -->
        <table cellpadding="0" align="CENTER" width="100%">
        <tbody><tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img431.svg" alt="$\displaystyle f : [-1,1]$" loading="lazy"></td>
        <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img211.svg" alt="$\displaystyle \to$" loading="lazy"></td>
        <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img447.svg" alt="$\displaystyle [0,\pi]$" loading="lazy"></td>
        <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
        &nbsp;</td></tr>
        <tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img213.svg" alt="$\displaystyle u$" loading="lazy"></td>
        <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img214.svg" alt="$\displaystyle \mapsto$" loading="lazy"></td>
        <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img448.svg" alt="$\displaystyle w = f(u) = \cos^{-1}u$" loading="lazy"></td>
        <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
        &nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
        
        <p class=" unidade" id="1P232" style="text-indent: 0px !important;" title="1P232">
        que deve satisfazer <!-- MATH
         $u = \cos w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img449.svg" alt="$u = \cos w$" loading="lazy"></span>. Usando esta última igualdade, vemos que quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> estiver suficientemente próximo de
        <span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img249.svg" alt="$-1$" loading="lazy"></span> (somente pela direita) então <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> estará próximo de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $" loading="lazy"></span> e quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> estiver suficientemente próximo de <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img250.svg" alt="$1$" loading="lazy"></span>
        (somente pela esquerda), então <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> estará próximo de <span class="MATH">0</span>. Valem portanto os limites,
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \lim_{u \to -1^{+}} \cos^{-1}u = \pi \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to 1^{-}} \cos^{-1}u = 0.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P233" title="1P233">
        <img style="height: 3.96ex; vertical-align: -1.93ex; " src="img/img450.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to -1^{+}} \cos^{-1}u = \pi$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 3.84ex; vertical-align: -1.81ex; " src="img/img451.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to 1^{-}} \cos^{-1}u = 0. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P234" title="1P234">
        O gráfico desta função é dado por,
        </p>
        <div class="CENTER"><a id="1137"></a>
        <table id="1I19" title="1I19">
        <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.19:</strong>
        Gráfico da função cosseno inverso.</caption>
        <tbody><tr><td>
        <div class="CENTER">
        <img src="img/./farccos.png" alt="Image farccos" loading="lazy"> </div></td></tr>
        </tbody></table>
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P235" title="1P235">
        É uma função decrescente no intervalo de definição. Analogamente, as relações inversas são,
        </p>
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P236" title="1P236"><table class="equation">
        <tbody><tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img452.svg" alt="$\displaystyle \cos(\cos^{-1} u)$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img440.svg" alt="$\displaystyle = u$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;para<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img441.svg" alt="$\displaystyle \quad u \in [-1,1]$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img453.svg" alt="$\displaystyle \cos^{-1}(\cos u)$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img440.svg" alt="$\displaystyle = u$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;para<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img454.svg" alt="$\displaystyle \quad u \in [0,\pi].$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
        
        
        <p class=" unidade" id="1P237" title="1P237">
        Note que existe uma relação entre os gráficos das funções seno e cosseno inversas. Se tomarmos o gráfico da função seno
        inverso e aplicarmos uma reflexão em torno do eixo <span class="MATH"><img style="height: 1.56ex; vertical-align: -0.50ex; " src="img/img71.svg" alt="$y$" loading="lazy"></span> e um deslocamento de <!-- MATH
         $\frac{\pi}{2}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img42.svg" alt="$\frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span> unidades para cima,
        teremos o gráfico da função cosseno inverso. Esta relação é descrita pela igualdade <!-- MATH
         $\cos^{-1} u = \frac{\pi}{2} -
        {\mathrm {sen}}^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.75ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img455.svg" alt="$\cos^{-1} u = \frac{\pi}{2} -
        {\mathrm {sen}}^{-1} u$" loading="lazy"></span>.
        </p>
        <p class=" unidade" id="1P238" title="1P238">
        É fácil provar esta última igualdade usando que <!-- MATH
         $\cos w = - {\mathrm {sen}}(w - \frac{\pi}{2}) = {\mathrm {sen}}(\frac{\pi}{2} - w)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img456.svg" alt="$\cos w = - {\mathrm {sen}}(w - \frac{\pi}{2}) = {\mathrm {sen}}(\frac{\pi}{2} - w)$" loading="lazy"></span> é válido
        para todo <!-- MATH
         $w \in \mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img457.svg" alt="$w \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Vejamos os detalhes. Primeiro observemos que a função <!-- MATH
         $w = {\mathrm {sen}}^{-1}u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img458.svg" alt="$w = {\mathrm {sen}}^{-1}u$" loading="lazy"></span> é uma função ímpar, pois
        se <!-- MATH
         $w = {\mathrm {sen}}^{-1}(-u)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img459.svg" alt="$w = {\mathrm {sen}}^{-1}(-u)$" loading="lazy"></span>, então <!-- MATH
         ${\mathrm {sen}}w = -u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.59ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img460.svg" alt="${\mathrm {sen}}w = -u$" loading="lazy"></span> e, portanto, <!-- MATH
         $u = -{\mathrm {sen}}w = {\mathrm {sen}}(-w)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img461.svg" alt="$u = -{\mathrm {sen}}w = {\mathrm {sen}}(-w)$" loading="lazy"></span>, o que acarreta <!-- MATH
         $-w = {\mathrm {sen}}^{-1}u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.20ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img462.svg" alt="$-w = {\mathrm {sen}}^{-1}u$" loading="lazy"></span> e
        segue que <!-- MATH
         ${\mathrm {sen}}^{-1}(-u) = w = -{\mathrm {sen}}^{-1}u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img463.svg" alt="${\mathrm {sen}}^{-1}(-u) = w = -{\mathrm {sen}}^{-1}u$" loading="lazy"></span>. Agora vamos à igualdade de interesse. Se <!-- MATH
         $u = \cos w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img449.svg" alt="$u = \cos w$" loading="lazy"></span>, então temos que <!-- MATH
         $-u
        = -\cos w = {\mathrm {sen}}(w - \frac{\pi}{2})$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img464.svg" alt="$-u
        = -\cos w = {\mathrm {sen}}(w - \frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span>, donde <!-- MATH
         $w - \frac{\pi}{2} = {\mathrm {sen}}^{-1}(-u)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.75ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img465.svg" alt="$w - \frac{\pi}{2} = {\mathrm {sen}}^{-1}(-u)$" loading="lazy"></span> e, portanto, <!-- MATH
         $w = \frac{\pi}{2} +
        {\mathrm {sen}}^{-1}(-u) = \frac{\pi}{2} - {\mathrm {sen}}^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.75ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img466.svg" alt="$w = \frac{\pi}{2} +
        {\mathrm {sen}}^{-1}(-u) = \frac{\pi}{2} - {\mathrm {sen}}^{-1} u$" loading="lazy"></span>. Como também <!-- MATH
         $w = \cos^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img467.svg" alt="$w = \cos^{-1} u$" loading="lazy"></span> então <!-- MATH
         $\cos^{-1} u = \frac{\pi}{2} -
        {\mathrm {sen}}^{-1}u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.75ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img455.svg" alt="$\cos^{-1} u = \frac{\pi}{2} -
        {\mathrm {sen}}^{-1} u$" loading="lazy"></span>.
        </p>
        <p class=" unidade" id="1P239" title="1P239">
        Consideremos agora a função <a name="1176"></a> tangente, que é sobrejetora, porém não é injetora de <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>
        em <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Para resolver o problema da injetividade precisamos restringir somente o domínio desta função. Considerando
        então o domínio como sendo o intervalo <!-- MATH
         $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img468.svg" alt="$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span> temos a bijetividade da função tangente, de
        <!-- MATH
         $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img468.svg" alt="$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Definimos então a função inversa da tangente, denotada por <!-- MATH
         $f(u) =
        {\mathrm  {tg}}^{-1}u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img469.svg" alt="$f(u) =
        {\mathrm {tg}}^{-1}u$" loading="lazy"></span> (ou <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img470.svg" alt="$\arctan u$" loading="lazy"></span>), como
        </p>
         
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P240" title="1P240">
        <!-- MATH
         \begin{eqnarray*}
        f : \mathbb{R}& \to & (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}) \\
        u & \mapsto & w = f(u) = {\mathrm  {tg}}^{-1}u
        \end{eqnarray*}
         -->
        <table cellpadding="0" align="CENTER" width="100%">
        <tbody><tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img210.svg" alt="$\displaystyle f : \mathbb{R}$" loading="lazy"></td>
        <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img211.svg" alt="$\displaystyle \to$" loading="lazy"></td>
        <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img471.svg" alt="$\displaystyle (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})$" loading="lazy"></td>
        <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
        &nbsp;</td></tr>
        <tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img213.svg" alt="$\displaystyle u$" loading="lazy"></td>
        <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img214.svg" alt="$\displaystyle \mapsto$" loading="lazy"></td>
        <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img472.svg" alt="$\displaystyle w = f(u) = {\mathrm {tg}}^{-1}u$" loading="lazy"></td>
        <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
        &nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
       
        <p class=" unidade" id="1P241" style="text-indent: 0px !important;" title="1P241">
        de tal forma que vale a relação <!-- MATH
         ${\mathrm  {tg}}w = u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img473.svg" alt="${\mathrm {tg}}w = u$" loading="lazy"></span>. Esta relação mostra que quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> cresce indefinidamente então devemos
        ter <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> se aproximando de <!-- MATH
         $\frac{\pi}{2}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img42.svg" alt="$\frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span> e quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> cresce indefinidamente, com valores negativos, então <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> deve
        estar se aproximando de <!-- MATH
         $-\frac{\pi}{2}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img435.svg" alt="$-\frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span>. Isto se resume nos limites
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \lim_{u \to -\infty} {\mathrm  {tg}}^{-1} u = -\frac{\pi}{2} \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to \infty} {\mathrm  {tg}}^{-1} u = \frac{\pi}{2}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P242" title="1P242">
        <img style="height: 4.21ex; vertical-align: -1.73ex; " src="img/img474.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to -\infty} {\mathrm {tg}}^{-1} u = -\frac{\pi}{2}$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 4.09ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img475.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to \infty} {\mathrm {tg}}^{-1} u = \frac{\pi}{2}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P243" title="1P243">
        O gráfico desta função é dado por,
        </p>
        <div class="CENTER"><a id="1208"></a>
        <table id="1I20" title="1I20">
        <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.20:</strong>
        Gráfico da função tangente inversa.</caption>
        <tbody><tr><td>
        <div class="CENTER">
        <img src="img/./farctan.png" alt="Image farctan" loading="lazy"> </div></td></tr>
        </tbody></table>
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P244" title="1P244">
        É uma função monótona crescente e ímpar. As retas <!-- MATH
         $w = \pm \frac{\pi}{2}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img476.svg" alt="$w = \pm \frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span> são assíntotas horizontais desta função. Esta
        função desempenha um papel importante na matemática. Ela associa bijetivamente toda a reta real com um intervalo
        limitado. Valem as relações inversas,
        </p>
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P245" title="1P245"><table class="equation">
        <tbody><tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img477.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}({\mathrm {tg}}^{-1} u)$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img440.svg" alt="$\displaystyle = u$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;para<img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img478.svg" alt="$\displaystyle \quad u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img479.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}^{-1}({\mathrm {tg}}u)$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img440.svg" alt="$\displaystyle = u$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;para<img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img480.svg" alt="$\displaystyle \quad u \in (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}).$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
        
        
        <p class=" unidade" id="1P246" title="1P246">
        Agora a função <a name="1222"></a> cotangente. Vimos que a cotangente não é uma função injetora, mas é
        sobrejetora de <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. A restrição do domínio para o intervalo <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img481.svg" alt="$(0,\pi)$" loading="lazy"></span> faz da função cotangente, uma função
        bijetora de <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img481.svg" alt="$(0,\pi)$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Assim podemos definir a função cotangente inversa, denotada por <!-- MATH
         $f(u) = {\mathrm {ctg}}^{-1}u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img482.svg" alt="$f(u) = {\mathrm {ctg}}^{-1}u$" loading="lazy"></span> e
        dada por
        </p>
     
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P247" title="1P247">
        <!-- MATH
         \begin{eqnarray*}
        f : \mathbb{R}& \to & (0,\pi) \\
        u & \mapsto & w = f(u) = {\mathrm {ctg}}^{-1} u
        \end{eqnarray*}
         -->
        <table cellpadding="0" align="CENTER" width="100%">
        <tbody><tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img210.svg" alt="$\displaystyle f : \mathbb{R}$" loading="lazy"></td>
        <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img211.svg" alt="$\displaystyle \to$" loading="lazy"></td>
        <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img483.svg" alt="$\displaystyle (0,\pi)$" loading="lazy"></td>
        <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
        &nbsp;</td></tr>
        <tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img213.svg" alt="$\displaystyle u$" loading="lazy"></td>
        <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img214.svg" alt="$\displaystyle \mapsto$" loading="lazy"></td>
        <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img484.svg" alt="$\displaystyle w = f(u) = {\mathrm {ctg}}^{-1} u$" loading="lazy"></td>
        <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
        &nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
     
        <p class=" unidade" id="1P248" style="text-indent: 0px !important;" title="1P248">
        desde que valha a relação <!-- MATH
         $u = {\mathrm {ctg}}w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img485.svg" alt="$u = {\mathrm {ctg}}w$" loading="lazy"></span>. Esta relação mostra que se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> tende ao infinito, então <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> deve estar indo
        para <span class="MATH">0</span>; e se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> vai para o infinito negativo, então <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> deve estar indo para <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $" loading="lazy"></span>. Temos assim,
         </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \lim_{u \to -\infty} {\mathrm {ctg}}^{-1} u = \pi \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to \infty} {\mathrm {ctg}}^{-1} u = 0.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P249" title="1P249">
        <img style="height: 3.76ex; vertical-align: -1.73ex; " src="img/img486.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to -\infty} {\mathrm {ctg}}^{-1} u = \pi$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 3.63ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img487.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to \infty} {\mathrm {ctg}}^{-1} u = 0. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P250" title="1P250">
        O gráfico da função cotangente inversa é
        </p>
        <div class="CENTER"><a id="1234"></a>
        <table id="1I21" title="1I21">
        <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.21:</strong>
        Gráfico da função cotangente inversa.</caption>
        <tbody><tr><td>
        <div class="CENTER">
        <img src="img/./farcctg.png" alt="Image farcctg" loading="lazy"> </div></td></tr>
        </tbody></table>
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P251" title="1P251">
        Vemos que é uma função estritamente decrescente. Além disso, são válidas as relações inversas,
        </p>
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P252" title="1P252"><table class="equation">
        <tbody><tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img488.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {ctg}}({\mathrm {ctg}}^{-1} u)$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img440.svg" alt="$\displaystyle = u$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;para<img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img478.svg" alt="$\displaystyle \quad u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img489.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {ctg}}^{-1}({\mathrm {ctg}}u)$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img440.svg" alt="$\displaystyle = u$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;para<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img490.svg" alt="$\displaystyle \quad u \in (0,\pi).$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
        
        
        <p class=" unidade" id="1P253" title="1P253">
        Assim como no caso do cosseno inverso, existe uma relação entre os gráficos das funções tangente e cotangente inversas.
        Esta relação é semelhante àquela envolvendo seno e cosseno inversos. É <!-- MATH
         ${\mathrm {ctg}}^{-1} u = \frac{\pi}{2} - {\mathrm  {tg}}^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.75ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img491.svg" alt="${\mathrm {ctg}}^{-1} u = \frac{\pi}{2} - {\mathrm {tg}}^{-1} u$" loading="lazy"></span>.
        Também é fácil provar esta relação usando a igualdade <!-- MATH
         ${\mathrm {ctg}}w = - {\mathrm  {tg}}(w - \frac{\pi}{2})$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img492.svg" alt="${\mathrm {ctg}}w = - {\mathrm {tg}}(w - \frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span>, que é válida para todo <!-- MATH
         $w
        \in \mathbb{R}-\{k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img493.svg" alt="$w
        \in \mathbb{R}-\{k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>. Desta vez deixamos os detalhes por conta do leitor.
        </p>
        <p class=" unidade" id="1P254" title="1P254">
        Tomando a função <a name="1248"></a> secante, lembremos que ela não é injetora e nem sobrejetora de <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span> em
        <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. A imagem é o conjunto <!-- MATH
         $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img251.svg" alt="$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span> e então restringimos o contradomínio no conjunto imagem e
        tornamos a secante sobrejetora. Para a injetividade, escolhemos o conjunto <!-- MATH
         $[0,\pi] - \{\frac{\pi}{2}\} = [0,
        \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img494.svg" alt="$[0,\pi] - \{\frac{\pi}{2}\} = [0,
        \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]$" loading="lazy"></span>. Nestes termos a função secante, é bijetora de <!-- MATH
         $[0, \frac{\pi}{2}) \cup
        (\frac{\pi}{2},\pi]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img495.svg" alt="$[0, \frac{\pi}{2}) \cup
        (\frac{\pi}{2},\pi]$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
         $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img251.svg" alt="$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span>. Definimos então a função secante inversa, denotada por <!-- MATH
         $f(u) =
        \sec^{-1}u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img496.svg" alt="$f(u) =
        \sec^{-1}u$" loading="lazy"></span>, como
        </p>
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P255" title="1P255">
        <!-- MATH
         \begin{eqnarray*}
        f : (-\infty,-1] \cup [1,\infty) & \to & [0, \tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi] \\
        u & \mapsto & w = f(u) = \sec^{-1} u
        \end{eqnarray*}
         -->
        <table cellpadding="0" align="CENTER" width="100%">
        <tbody><tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img497.svg" alt="$\displaystyle f : (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></td>
        <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img211.svg" alt="$\displaystyle \to$" loading="lazy"></td>
        <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img498.svg" alt="$\displaystyle [0, \tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi]$" loading="lazy"></td>
        <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
        &nbsp;</td></tr>
        <tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img213.svg" alt="$\displaystyle u$" loading="lazy"></td>
        <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img214.svg" alt="$\displaystyle \mapsto$" loading="lazy"></td>
        <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img499.svg" alt="$\displaystyle w = f(u) = \sec^{-1} u$" loading="lazy"></td>
        <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
        &nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
        
        <p class=" unidade" id="1P256" style="text-indent: 0px !important;" title="1P256">
        desde que valha a relação <!-- MATH
         $\sec w = u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img500.svg" alt="$\sec w = u$" loading="lazy"></span>. Desta relação vemos pelo gráfico da função secante que quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> vai ao
        infinito positivamente ou negativamente então <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> deve estar se aproximando de <!-- MATH
         $\frac{\pi}{2}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img42.svg" alt="$\frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span>. Isto é,
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \lim_{u \to -\infty} \sec^{-1} u = \lim_{u \to \infty} \sec^{-1} u = \frac{\pi}{2}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P257" title="1P257">
        <img style="height: 4.21ex; vertical-align: -1.73ex; " src="img/img501.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to -\infty} \sec^{-1} u = \lim_{u \to \infty} \sec^{-1} u = \frac{\pi}{2}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P258" title="1P258">
        Também quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> se aproxima de <span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img249.svg" alt="$-1$" loading="lazy"></span> (somente pela esquerda), devemos ter <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> se aproximando de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img9.svg" alt="$\pi $" loading="lazy"></span> e quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>
        tende a <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img250.svg" alt="$1$" loading="lazy"></span> (somente pela direita) <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> deve estar indo para <span class="MATH">0</span>. Temos então os limites
         </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \lim_{u \to -1^{-}} \sec^{-1} u = \pi \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to 1^{+}} \sec^{-1} u = 0.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P259" title="1P259">
        <img style="height: 3.96ex; vertical-align: -1.93ex; " src="img/img502.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to -1^{-}} \sec^{-1} u = \pi$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 3.84ex; vertical-align: -1.81ex; " src="img/img503.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to 1^{+}} \sec^{-1} u = 0. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P260" title="1P260">
        O gráfico desta função é da forma,
        </p>
        <div class="CENTER"><a id="1282"></a>
        <table id="1I22" title="1I22">
        <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.22:</strong>
        Gráfico da função secante inversa.</caption>
        <tbody><tr><td>
        <div class="CENTER">
        <img src="img/./farcsec.png" alt="Image farcsec" loading="lazy"> </div></td></tr>
        </tbody></table>
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P261" title="1P261">
        Para esta função, valem as relações inversas,
        </p>
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P262" title="1P262"><table class="equation">
        <tbody><tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img504.svg" alt="$\displaystyle \sec(\sec^{-1} u)$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img440.svg" alt="$\displaystyle = u$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;para<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img505.svg" alt="$\displaystyle \quad u \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img506.svg" alt="$\displaystyle \sec^{-1}(\sec u)$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img440.svg" alt="$\displaystyle = u$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;para<img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img507.svg" alt="$\displaystyle \quad u \in [0, \tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi].$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
        
        
        <p class=" unidade" id="1P263" title="1P263">
        Finalmente, a função <a name="1294"></a> cossecante não é injetora nem sobrejetora de <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
        Restringimos então o contradomínio pela sua imagem, que é o conjunto <!-- MATH
         $(-\infty,-1] \cup [1, \infty)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img251.svg" alt="$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span>. Para acertar a
        injetividade, escolhemos a restrição do domínio ao conjunto <!-- MATH
         $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\} =
        [-\frac{\pi}{2},0) \cup (0,\frac{\pi}{2}]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img508.svg" alt="$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\} =
        [-\frac{\pi}{2},0) \cup (0,\frac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></span>. Assim a função cossecante se tornará bijetiva. Então definimos a função
        cossecante inversa, denotada por <!-- MATH
         $f(u) = \csc^{-1}u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img509.svg" alt="$f(u) = \csc^{-1}u$" loading="lazy"></span> e dada por
         </p>
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P264" title="1P264">
        <!-- MATH
         \begin{eqnarray*}
        f: (-\infty,-1] \cup [1, \infty) & \to & [-\tfrac{\pi}{2},0) \cup (0,\tfrac{\pi}{2}] \\
        u & \mapsto & w = f(u) =\csc^{-1} u
        \end{eqnarray*}
         -->
        <table cellpadding="0" align="CENTER" width="100%">
        <tbody><tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img497.svg" alt="$\displaystyle f : (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></td>
        <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img211.svg" alt="$\displaystyle \to$" loading="lazy"></td>
        <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img510.svg" alt="$\displaystyle [-\tfrac{\pi}{2},0) \cup (0,\tfrac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></td>
        <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
        &nbsp;</td></tr>
        <tr valign="MIDDLE"><td nowrap="" width="50%" align="RIGHT"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img213.svg" alt="$\displaystyle u$" loading="lazy"></td>
        <td width="10" align="CENTER" nowrap=""><img style="height: 0.97ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img214.svg" alt="$\displaystyle \mapsto$" loading="lazy"></td>
        <td align="LEFT" nowrap="" width="50%"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img511.svg" alt="$\displaystyle w = f(u) =\csc^{-1} u$" loading="lazy"></td>
        <td class="eqno" width="10" align="RIGHT">
        &nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
      
        <p class=" unidade" id="1P265" style="text-indent: 0px !important;" title="1P265">
        de tal forma que <!-- MATH
         $\csc w = u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img512.svg" alt="$\csc w = u$" loading="lazy"></span>. Desta relação, observando o gráfico da função cossecante, temos que quando <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> cresce
        indefinidamente (positivamente ou negativamente), os valores de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> devem estar se aproximando de <span class="MATH">0</span>. Por isto temos
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \lim_{u \to -\infty} \csc^{-1} u = \lim_{u \to \infty} \csc^{-1} u = 0.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P266" title="1P266">
        <img style="height: 3.76ex; vertical-align: -1.73ex; " src="img/img513.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to -\infty} \csc^{-1} u = \lim_{u \to \infty} \csc^{-1} u = 0. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P267" title="1P267">
        Também se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> se aproxima de <span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img249.svg" alt="$-1$" loading="lazy"></span> (somente pela esquerda), devemos ter <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> se aproximando de <!-- MATH
         $-\frac{\pi}{2}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img435.svg" alt="$-\frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span>. Da mesma
        forma, se <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> se aproxima de <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img250.svg" alt="$1$" loading="lazy"></span> (somente pela direita) então devemos ter <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> se aproximando de <!-- MATH
         $\frac{\pi}{2}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.45ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img42.svg" alt="$\frac{\pi}{2}$" loading="lazy"></span>. Assim,
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \lim_{u \to -1^{-}} \csc^{-1} u = -\frac{\pi}{2} \qquad \text{e} \qquad \lim_{u \to 1^{+}} \csc^{-1} u = \frac{\pi}{2}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P268" title="1P268">
        <img style="height: 4.41ex; vertical-align: -1.93ex; " src="img/img514.svg" alt="$\displaystyle \lim_{u \to -1^{-}} \csc^{-1} u = -\frac{\pi}{2}$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;e<img style="height: 4.29ex; vertical-align: -1.81ex; " src="img/img515.svg" alt="$\displaystyle \qquad \lim_{u \to 1^{+}} \csc^{-1} u = \frac{\pi}{2}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P269" title="1P269">
        O gráfico desta função é da forma,
        </p>
        <div class="CENTER"><a id="1330"></a>
        <table id="1I23" title="1I23">
        <caption class="BOTTOM"><strong>Figura 1.23:</strong>
        Gráfico da função cossecante inversa.</caption>
        <tbody><tr><td>
        <div class="CENTER">
        <img src="img/./farccsc.png" alt="Image farccsc" loading="lazy"> </div></td></tr>
        </tbody></table>
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P270" title="1P270">
        Para esta função, valem as relações inversas são,
        </p>
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P271" title="1P271"><table class="equation">
        <tbody><tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img516.svg" alt="$\displaystyle \csc(\csc^{-1} u)$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img440.svg" alt="$\displaystyle = u$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;para<img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img505.svg" alt="$\displaystyle \quad u \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.65ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img517.svg" alt="$\displaystyle \csc^{-1}(\csc u)$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img440.svg" alt="$\displaystyle = u$" loading="lazy">&nbsp; &nbsp;para<img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img518.svg" alt="$\displaystyle \quad u \in [-\tfrac{\pi}{2},0) \cup (0,\tfrac{\pi}{2}].$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
        
        
        <p class=" unidade" id="1P272" title="1P272">
        Novamente vemos a presença de uma relação entre os gráficos de secante e cossecante inversas. É novamente a igualdade
        <!-- MATH
         $\csc^{-1} u = \frac{\pi}{2} - \sec^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.75ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img519.svg" alt="$\csc^{-1} u = \frac{\pi}{2} - \sec^{-1} u$" loading="lazy"></span>. Podemos provar esta igualdade usando <!-- MATH
         $\csc w = \sec(\frac{\pi}{2}-w)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img520.svg" alt="$\csc w = \sec(\frac{\pi}{2}-w)$" loading="lazy"></span>,
        válida para <!-- MATH
         $w \in \mathbb{R}-\{k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img493.svg" alt="$w
        \in \mathbb{R}-\{k\pi; \, k \in \mathbb{Z}\}$" loading="lazy"></span>. Detalhes novamente por conta do leitor.
        </p>
        <p class=" unidade" id="1P273" title="1P273">
        Resumimos as funções trigonométricas circulares inversas, com seus respectivos domínios e imagens na próxima tabela.
        
        </p>
        
        <div class="CENTER"><a id="1378"></a>
        <table id="1T3" title="1T3">
        <caption><strong>Tabela 1.3:</strong>
        Domínio e imagem das funções trigonométricas circulares inversas</caption>
        <tbody><tr><td>
        <div class="CENTER">
        <table class="PAD  BORDER">
        <tbody><tr><td class="LEFT">função</td>
        <td class="CENTER">domínio</td>
        <td class="CENTER">imagem</td>
        </tr>
        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
         ${\mathrm {sen}}^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img428.svg" alt="${\mathrm {sen}}^{-1}u$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img280.svg" alt="$[-1,1]$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img422.svg" alt="$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></span></td>
        </tr>
        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
         $\cos^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img521.svg" alt="$\cos^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img280.svg" alt="$[-1,1]$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img444.svg" alt="$[0,\pi]$" loading="lazy"></span></td>
        </tr>
        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
         ${\mathrm  {tg}}^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img522.svg" alt="${\mathrm {tg}}^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img468.svg" alt="$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span></td>
        </tr>
        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
         ${\mathrm {ctg}}^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img523.svg" alt="${\mathrm {ctg}}^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img481.svg" alt="$(0,\pi)$" loading="lazy"></span></td>
        </tr>
        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
         $\sec^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img524.svg" alt="$\sec^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<!-- MATH
         $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img251.svg" alt="$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $[0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img495.svg" alt="$[0, \frac{\pi}{2}) \cup
        (\frac{\pi}{2},\pi]$" loading="lazy"></span></td>
        </tr>
        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
         $\csc^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img525.svg" alt="$\csc^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<!-- MATH
         $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img251.svg" alt="$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $[-\frac{\pi}{2},0) \cup (0,\frac{\pi}{2}]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img526.svg" alt="$[-\frac{\pi}{2},0) \cup (0,\frac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></span></td>
        </tr>
        </tbody></table>
        </div></td></tr>
        </tbody></table>
        </div>
        <br>

:::

## 1.6 Continuidade das funções trigonométricas circulares inversas {#SECTION00560000000000000000}

::: {.raw_html}
            
            <p class=" unidade" id="1P274" title="1P274">
            Antes de obtermos as derivadas das funções trigonométricas circulares inversas, vamos analisar a continuidade destas
            funções em todos os pontos de definição. Esta continuidade pode ser obtida em virtude da continuidade das funções
            trigonométricas circulares estabelecida na seção <a href="#seccftc">1.3</a>. Mais precisamente se <!-- MATH
             $I \subset \mathbb{R}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img527.svg" alt="$I \subset \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> é um intervalo e
            <!-- MATH
             $f: I \to J$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.91ex; vertical-align: -0.36ex; " src="img/img528.svg" alt="$f: I \to J$" loading="lazy"></span> é contínua em <span class="MATH"><img style="height: 1.65ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img529.svg" alt="$I$" loading="lazy"></span>, então <span class="MATH"><img style="height: 1.91ex; vertical-align: -0.36ex; " src="img/img530.svg" alt="$J$" loading="lazy"></span> é um intervalo e também
             </p><!-- MATH
             \begin{displaymath}
            \lim_{w \to b} f^{-1}(w) = f^{-1}(b)
            \end{displaymath}
             -->
            
            <div class="mathdisplay unidade" id="1P275" title="1P275">
            <img style="height: 3.78ex; vertical-align: -1.76ex; " src="img/img531.svg" alt="$\displaystyle \lim_{w \to b} f^{-1}(w) = f^{-1}(b) $" loading="lazy">
            </div>
            <p class=" unidade" id="1P276" title="1P276">
            para qualquer <span class="MATH"><img style="height: 1.91ex; vertical-align: -0.36ex; " src="img/img532.svg" alt="$b \in J$" loading="lazy"></span>. Isto é o que afirma o próximo teorema, que enunciaremos sem demonstração. A demonstração pode
            ser encontrada em [<a href="/trigonometria-hiperbolica/referencias#Lima">5</a>, Lima, pág 237].
            
            </p>
            
            <div class="unidade" id="1Teo11" title="1Teo11"><a id="teoinvcont"><b>Teorema  <span class="arabic">1</span>.<span class="arabic">11</span></b></a> &nbsp; 
            <i>Se <!-- MATH
             $I \subset \mathbb{R}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img527.svg" alt="$I \subset \mathbb{R}$" loading="lazy"></span> é um intervalo e <!-- MATH
             $f : I \to J$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.91ex; vertical-align: -0.36ex; " src="img/img528.svg" alt="$f: I \to J$" loading="lazy"></span> é uma função contínua em todo <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img533.svg" alt="$a \in I$" loading="lazy"></span> e que admite função inversa,
            então a função inversa <!-- MATH
             $f^{-1}: J \to I$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.29ex; vertical-align: -0.36ex; " src="img/img534.svg" alt="$f^{-1}: J \to I$" loading="lazy"></span> é também contínua em <!-- MATH
             $b = f(a) \in J$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img535.svg" alt="$b = f(a) \in J$" loading="lazy"></span>.
            </i></div>
            <br />
            <p class=" unidade" id="1P277" title="1P277">
            Este teorema se aplica às seis funções trigonométricas circulares inversas. As seis funções trigonométricas circulares
            são contínuas em seus respectivos domínios de definição. As restrições bijetivas são todas definidas em conjuntos que
            são intervalos e, portanto, as funções trigonométricas circulares inversas são contínuas nos seus intervalos de
            definição, respeitando a lateralidade dos extremos fechados em cada um destes intervalos.
            </p>
            <p class=" unidade" id="1P278" title="1P278">
            Resumindo, temos que,
            </p>
            <div class="CENTER">
            <table class="PAD " >
            <tbody><tr><td class="LEFT"><!-- MATH
             $\lim\limits_{u \to a} {\mathrm {sen}}^{-1} u = {\mathrm {sen}}^{-1} a$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 3.52ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img536.svg" alt="$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm {sen}}^{-1} u = {\mathrm {sen}}^{-1} a$" loading="lazy"></span>,</td>
            <td class="CENTER">para todo</td>
            <td class="LEFT"><!-- MATH
             $a \in [-1,1]$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img537.svg" alt="$a \in [-1,1]$" loading="lazy"></span>,</td>
            </tr>
            <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
             $\lim\limits_{u \to a} \cos^{-1} u = \cos^{-1} a$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 3.52ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img538.svg" alt="$\lim\limits_{u \to a} \cos^{-1} u = \cos^{-1} a$" loading="lazy"></span>,</td>
            <td class="CENTER">para todo</td>
            <td class="LEFT"><!-- MATH
             $a \in [-1,1]$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img537.svg" alt="$a \in [-1,1]$" loading="lazy"></span>,</td>
            </tr>
            <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
             $\lim\limits_{u \to a} {\mathrm  {tg}}^{-1} u = {\mathrm  {tg}}^{-1} a$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 3.52ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img539.svg" alt="$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm {tg}}^{-1} u = {\mathrm {tg}}^{-1} a$" loading="lazy"></span>,</td>
            <td class="CENTER">para todo</td>
            <td class="LEFT"><!-- MATH
             $a \in \mathbb{R}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img284.svg" alt="$a \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>,</td>
            </tr>
            <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
             $\lim\limits_{u \to a} {\mathrm {ctg}}^{-1} u = {\mathrm {ctg}}^{-1} a$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 3.52ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img540.svg" alt="$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm {ctg}}^{-1} u = {\mathrm {ctg}}^{-1} a$" loading="lazy"></span>,</td>
            <td class="CENTER">para todo</td>
            <td class="LEFT"><!-- MATH
             $a \in \mathbb{R}$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img284.svg" alt="$a \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>,</td>
            </tr>
            <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
             $\lim\limits_{u \to a} \sec^{-1} u = \sec^{-1} a$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 3.52ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img541.svg" alt="$\lim\limits_{u \to a} \sec^{-1} u = \sec^{-1} a$" loading="lazy"></span>,</td>
            <td class="CENTER">para todo</td>
            <td class="LEFT"><!-- MATH
             $a \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img542.svg" alt="$a \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span> e</td>
            </tr>
            <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
             $\lim\limits_{u \to a} \csc^{-1} u = \csc^{-1} a$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 3.52ex; vertical-align: -1.60ex; " src="img/img543.svg" alt="$\lim\limits_{u \to a} \csc^{-1} u = \csc^{-1} a$" loading="lazy"></span>,</td>
            <td class="CENTER">para todo</td>
            <td class="LEFT"><!-- MATH
             $a \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img542.svg" alt="$a \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span>.</td>
            </tr>
            </tbody></table>
            </div>
            
            <p class=" unidade" id="1P279" title="1P279">
            Note que o domínio de definição das funções arco secante e arco cossecante não são intervalos, mas sim uma união de
            dois intervalos. Estudados separadamente cada um destes intervalos, temos no caso da função arco secante que a função
            secante é contínua e bijetora de <!-- MATH
             $(\frac{\pi}{2},\pi]$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img544.svg" alt="$(\frac{\pi}{2},\pi]$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
             $(-\infty,-1]$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img545.svg" alt="$(-\infty,-1]$" loading="lazy"></span> e, portanto, o teorema <a href="#teoinvcont">1.11</a> se
            aplica a este intervalo. Novamente a função secante é contínua e bijetora de <!-- MATH
             $[0,\frac{\pi}{2})$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img546.svg" alt="$[0,\frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span> em <!-- MATH
             $[1,\infty)$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img547.svg" alt="$[1,\infty)$" loading="lazy"></span> e o
            teorema <a href="#teoinvcont">1.11</a> se aplica também a este intervalo. Segue que a função arco secante é contínua em ambos os
            intervalos <!-- MATH
             $(-\infty,-1]$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img545.svg" alt="$(-\infty,-1]$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
             $[1,\infty)$
             -->
            <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img547.svg" alt="$[1,\infty)$" loading="lazy"></span> e, portanto, contínua na união destes intervalos. Raciocínio similar para a
            função arco cossecante.
            
            </p>
            <br>
    

:::

```{=html}    
 <a id="secdercircinv"></a> 

```

## 1.7 Derivadas das funções trigonométricas circulares inversas {#SECTION00570000000000000000}

::: {.raw_html}
        
        <p class=" unidade" id="1P280" title="1P280">
        Estamos agora interessados nas derivadas das funções trigonométricas inversas. Para obter a derivada <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img548.svg" alt="$(f^{-1})'$" loading="lazy"></span> de uma
        função inversa <!-- MATH
         $y = f^{-1}(x)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img549.svg" alt="$y = f^{-1}(x)$" loading="lazy"></span>, tradicionalmente usamos diferenciação implícita na igualdade <!-- MATH
         $f(f^{-1}(x)) = x$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img550.svg" alt="$f(f^{-1}(x)) = x$" loading="lazy"></span>, ou
        equivalentemente, na igualdade <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img551.svg" alt="$f(y) = x$" loading="lazy"></span>.
        </p>
        <p class=" unidade" id="1P281" title="1P281">
        Comecemos com a função <!-- MATH
         $w = f(u) = {\mathrm {sen}}^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img426.svg" alt="$w = f(u) = {\mathrm {sen}}^{-1}u$" loading="lazy"></span> definida para todo <!-- MATH
         $u \in [-1,1]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img423.svg" alt="$u \in [-1,1]$" loading="lazy"></span>, com <!-- MATH
         $w \in
        [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img424.svg" alt="$w \in
        [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></span>. Sabemos que a diferenciação não pode ser estabelecida nos extremos do intervalo
        fechado e então vamos considerar, ainda bijetivamente, que <!-- MATH
         $u \in (-1,1)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img552.svg" alt="$u \in (-1,1)$" loading="lazy"></span> e <!-- MATH
         $w \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img553.svg" alt="$w \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span>.
        Para <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> nos intervalos citados, vale a relação <!-- MATH
         ${\mathrm {sen}}w =u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img554.svg" alt="${\mathrm {sen}}w =u$" loading="lazy"></span>. Ao derivarmos com respeito a <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, lembremos que <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span>
        é variável dependente de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span> e, portanto, devemos usar a regra da cadeia. Derivando então a relação <!-- MATH
         $u = {\mathrm {sen}}w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img425.svg" alt="$u = {\mathrm {sen}}w$" loading="lazy"></span>, com
        respeito a <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, temos
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        1 = \frac{d}{du} ({\mathrm {sen}}w) = \cos w \cdot \frac{dw}{du}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P282" title="1P282">
        <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img555.svg" alt="$\displaystyle 1 = \frac{d}{du} ({\mathrm {sen}}w) = \cos w \cdot \frac{dw}{du}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P283" title="1P283">
        Como queremos determinar <!-- MATH
         $w' = \frac{dw}{du}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img556.svg" alt="$w' = \frac{dw}{du}$" loading="lazy"></span> vamos então isolar este termo na última igualdade. Obtemos assim,
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \frac{dw}{du} = \frac{1}{\cos w}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P284" title="1P284">
        <img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img557.svg" alt="$\displaystyle \frac{dw}{du} = \frac{1}{\cos w}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P285" title="1P285">
        Obviamente, queremos também que essa derivada seja dada somente em termos de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, e não de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span>. Precisamos substituir a
        expressão <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img558.svg" alt="$\cos w$" loading="lazy"></span> do segundo membro, mas só conhecemos a relação <!-- MATH
         $u = {\mathrm {sen}}w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img425.svg" alt="$u = {\mathrm {sen}}w$" loading="lazy"></span>. Então usamos o fato de que <!-- MATH
         $\cos w > 0$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.69ex; vertical-align: -0.14ex; " src="img/img559.svg" alt="$\cos w > 0$" loading="lazy"></span>
        para <!-- MATH
         $w \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img553.svg" alt="$w \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span>, para escrever
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \cos w = \sqrt{\cos^{2} w} = \sqrt{1 - {\mathrm {sen}}^{2}w} = \sqrt{1 - u^{2}},
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P286" title="1P286">
        <img style="height: 2.80ex; vertical-align: -0.41ex; " src="img/img560.svg" alt="$\displaystyle \cos w = \sqrt{\cos^{2} w} = \sqrt{1 - {\mathrm {sen}}^{2}w} = \sqrt{1 - u^{2}}, $" loading="lazy">
        </div><p class=" unidade" id="1P287" style="text-indent: 0px !important;" title="1P287">
        e segue que
        <!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \frac{d}{du} {\mathrm {sen}}^{-1} u = \frac{dw}{du} = \frac{1}{\cos w} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}},
        \end{displaymath}
         -->
        
        </p><div class="mathdisplay unidade" id="1P288" title="1P288">
        <img style="height: 5.03ex; vertical-align: -2.06ex; " src="img/img561.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm {sen}}^{-1} u = \frac{dw}{du} = \frac{1}{\cos w} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}, $" loading="lazy">
        </div><p class=" unidade" id="1P289" style="text-indent: 0px !important;" title="1P289">
        para todo <!-- MATH
         $u \in (-1,1)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img552.svg" alt="$u \in (-1,1)$" loading="lazy"></span>. Note que a derivada não está definida para <span class="MATH"><img style="height: 1.83ex; vertical-align: -0.27ex; " src="img/img562.svg" alt="$u = -1$" loading="lazy"></span> e para <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.11ex; " src="img/img309.svg" alt="$u=1$" loading="lazy"></span>.
        </p>
        <p class=" unidade" id="1P290" title="1P290">
        Tomemos agora a função <!-- MATH
         $w = f(u) = \cos^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img563.svg" alt="$w = f(u) = \cos^{-1} u$" loading="lazy"></span>, definida para todo <!-- MATH
         $u \in [-1,1]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img423.svg" alt="$u \in [-1,1]$" loading="lazy"></span>, com <!-- MATH
         $w \in [0,\pi]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img564.svg" alt="$w \in [0,\pi]$" loading="lazy"></span>. A derivada
        será estabelecida então para <!-- MATH
         $u \in (-1,1)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img552.svg" alt="$u \in (-1,1)$" loading="lazy"></span> com <!-- MATH
         $w \in (0,\pi)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img565.svg" alt="$w \in (0,\pi)$" loading="lazy"></span>. Então derivamos a relação <!-- MATH
         $u = \cos w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img449.svg" alt="$u = \cos w$" loading="lazy"></span> implicitamente
        em relação à variável <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, obtendo
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        1 = \frac{d}{du}(\cos w) = -{\mathrm {sen}}w \cdot \frac{dw}{du},
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P291" title="1P291">
        <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img566.svg" alt="$\displaystyle 1 = \frac{d}{du}(\cos w) = -{\mathrm {sen}}w \cdot \frac{dw}{du}, $" loading="lazy">
        </div><p class=" unidade" id="1P292" style="text-indent: 0px !important;" title="1P292">
        e isolando o termo de interesse, temos
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \frac{dw}{du} = - \frac{1}{{\mathrm {sen}}w}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P293" title="1P293">
        <img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img567.svg" alt="$\displaystyle \frac{dw}{du} = - \frac{1}{{\mathrm {sen}}w}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P294" title="1P294">
        Novamente, vamos substituir a variável dependente <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span>, no segundo membro, pela variável independente. Lembremos que
        para <!-- MATH
         $w \in (0,\pi)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img565.svg" alt="$w \in (0,\pi)$" loading="lazy"></span> a função seno é positiva. Segue que
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        {\mathrm {sen}}w = \sqrt{{\mathrm {sen}}^{2} w} = \sqrt{1-\cos^{2}w} = \sqrt{1-u^{2}},
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P295" title="1P295">
        <img style="height: 2.80ex; vertical-align: -0.41ex; " src="img/img568.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {sen}}w = \sqrt{{\mathrm {sen}}^{2} w} = \sqrt{1-\cos^{2}w} = \sqrt{1-u^{2}}, $" loading="lazy">
        </div><p class=" unidade" id="1P296" style="text-indent: 0px !important;" title="1P296">
        e, portanto,
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \frac{d}{du} \cos^{-1} u = \frac{dw}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P297" title="1P297">
        <img style="height: 5.03ex; vertical-align: -2.06ex; " src="img/img569.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} \cos^{-1} u = \frac{dw}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P298" title="1P298">
        Tomando agora a função <!-- MATH
         $w = f(u) = {\mathrm  {tg}}^{-1}u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img570.svg" alt="$w = f(u) = {\mathrm {tg}}^{-1}u$" loading="lazy"></span>, definida para <!-- MATH
         $u \in \mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, assumindo valores <!-- MATH
         $w \in
        (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img553.svg" alt="$w \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span>. Para todo <!-- MATH
         $u \in \mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, temos a igualdade <!-- MATH
         $u = {\mathrm  {tg}}w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img571.svg" alt="$u = {\mathrm {tg}}w$" loading="lazy"></span> e então derivando em relação a
        <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, vem
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        1 = \frac{d}{du} {\mathrm  {tg}}w = \sec^{2} w \cdot \frac{dw}{du}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P299" title="1P299">
        <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img572.svg" alt="$\displaystyle 1 = \frac{d}{du} {\mathrm {tg}}w = \sec^{2} w \cdot \frac{dw}{du}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P300" title="1P300">
        Desta igualdade e da identidade (<a href="#idtgsec">1.9</a>) da proposição <a href="#propidsectg">1.1</a>, obtemos
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \frac{dw}{du} = \frac{1}{\sec^{2} w} = \frac{1}{1 + {\mathrm  {tg}}^{2}w} = \frac{1}{1+u^{2}},
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P301" title="1P301">
        <img style="height: 5.00ex; vertical-align: -2.03ex; " src="img/img573.svg" alt="$\displaystyle \frac{dw}{du} = \frac{1}{\sec^{2} w} = \frac{1}{1 + {\mathrm {tg}}^{2}w} = \frac{1}{1+u^{2}}, $" loading="lazy">
        </div><p class=" unidade" id="1P302" style="text-indent: 0px !important;" title="1P302">
        e desta forma,
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \frac{d}{du} {\mathrm  {tg}}^{-1} u = \frac{dw}{du} = \frac{1}{1+u^{2}},
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P303" title="1P303">
        <img style="height: 4.69ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img574.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm {tg}}^{-1} u = \frac{dw}{du} = \frac{1}{1+u^{2}}, $" loading="lazy">
        </div><p class=" unidade" id="1P304" style="text-indent: 0px !important;" title="1P304">
        para todo <!-- MATH
         $u \in \mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>. Note que o lado direito está bem definido para todo <!-- MATH
         $u \in \mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
        </p>
        <p class=" unidade" id="1P305" title="1P305">
        Agora consideremos <!-- MATH
         $w = f(u) = {\mathrm {ctg}}^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img575.svg" alt="$w = f(u) = {\mathrm {ctg}}^{-1} u$" loading="lazy"></span>. Esta função está definida para todo <!-- MATH
         $u \in \mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>, com valores <!-- MATH
         $w \in
        (0,\pi)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img565.svg" alt="$w \in (0,\pi)$" loading="lazy"></span>. Derivando então a igualdade <!-- MATH
         $u = {\mathrm {ctg}}w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img485.svg" alt="$u = {\mathrm {ctg}}w$" loading="lazy"></span> em relação a <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, temos
         </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        1 = \frac{d}{du} {\mathrm {ctg}}w = -csc^{2} w \cdot \frac{dw}{du},
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P306" title="1P306">
        <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img576.svg" alt="$\displaystyle 1 = \frac{d}{du} {\mathrm {ctg}}w = -csc^{2} w \cdot \frac{dw}{du}, $" loading="lazy">
        </div><p class=" unidade" id="1P307" style="text-indent: 0px !important;" title="1P307">
        donde temos
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \frac{dw}{du} = \frac{-1}{\csc^{2} w}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P308" title="1P308">
        <img style="height: 4.55ex; vertical-align: -1.57ex; " src="img/img577.svg" alt="$\displaystyle \frac{dw}{du} = \frac{-1}{\csc^{2} w}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P309" title="1P309">
        Usando agora a identidade (<a href="#idctgcsc">1.8</a>), da proposição <a href="#propidsectg">1.1</a>, temos
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \frac{dw}{du} = \frac{-1}{\csc^{2} w} = \frac{-1}{{\mathrm {ctg}}^{2}w + 1} = \frac{-1}{u^{2}+1},
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P310" title="1P310">
        <img style="height: 5.00ex; vertical-align: -2.03ex; " src="img/img578.svg" alt="$\displaystyle \frac{dw}{du} = \frac{-1}{\csc^{2} w} = \frac{-1}{{\mathrm {ctg}}^{2}w + 1} = \frac{-1}{u^{2}+1}, $" loading="lazy">
        </div><p class=" unidade" id="1P311" style="text-indent: 0px !important;" title="1P311">
        e obtemos a derivada
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \frac{d}{du} {\mathrm {ctg}}^{-1} u = -\frac{1}{1+u^{2}},
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P312" title="1P312">
        <img style="height: 4.69ex; vertical-align: -1.72ex; " src="img/img579.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm {ctg}}^{-1} u = -\frac{1}{1+u^{2}}, $" loading="lazy">
        </div><p class=" unidade" id="1P313" style="text-indent: 0px !important;" title="1P313">
        definida para todo <!-- MATH
         $u \in \mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.73ex; vertical-align: -0.18ex; " src="img/img57.svg" alt="$u \in \mathbb{R}$" loading="lazy"></span>.
        </p>
        <p class=" unidade" id="1P314" title="1P314">
        Seja agora <!-- MATH
         $w = f(u) = \sec^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img580.svg" alt="$w = f(u) = \sec^{-1} u$" loading="lazy"></span>, definida para todo <!-- MATH
         $u \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img581.svg" alt="$u \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span> com valores em <!-- MATH
         $w \in [0,
        \tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img582.svg" alt="$w \in [0,
        \tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi]$" loading="lazy"></span>. Para a diferenciação, vamos considerar bijetivamente que <!-- MATH
         $u \in
        (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img583.svg" alt="$u \in
        (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$" loading="lazy"></span> com valores em <!-- MATH
         $w \in (0, \tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img584.svg" alt="$w \in (0, \tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi)$" loading="lazy"></span>. Para qualquer <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>
        no intervalo de diferenciação, temos <!-- MATH
         $u = \sec w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img585.svg" alt="$u = \sec w$" loading="lazy"></span> e derivando esta igualdade em <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, obtemos
         </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        1 = \frac{d}{du} \sec w = {\mathrm  {tg}}w \sec w \cdot \frac{dw}{du},
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P315" title="1P315">
        <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img586.svg" alt="$\displaystyle 1 = \frac{d}{du} \sec w = {\mathrm {tg}}w \sec w \cdot \frac{dw}{du}, $" loading="lazy">
        </div><p class=" unidade" id="1P316" style="text-indent: 0px !important;" title="1P316">
        e isolando o termo de interesse, vem
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \frac{dw}{du} = \frac{1}{{\mathrm  {tg}}w \sec w}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P317" title="1P317">
        <img style="height: 5.00ex; vertical-align: -2.03ex; " src="img/img587.svg" alt="$\displaystyle \frac{dw}{du} = \frac{1}{{\mathrm {tg}}w \sec w}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P318" title="1P318">
        Usaremos novamente a igualdade (<a href="#idtgsec">1.7</a>) da proposição <a href="#propidsectg">1.1</a>. Extraindo a raiz quadrada em ambos os
        membros de (<a href="#idtgsec">1.7</a>), conseguimos
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        |{\mathrm  {tg}}w| = \sqrt{\sec^{2} w - 1}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P319" title="1P319">
        <img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img588.svg" alt="$\displaystyle \vert{\mathrm {tg}}w\vert = \sqrt{\sec^{2} w - 1}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P320" title="1P320">
        Como <!-- MATH
         $w \in (0, \tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img584.svg" alt="$w \in (0, \tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi)$" loading="lazy"></span> não podemos garantir que a tangente de <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img434.svg" alt="$w$" loading="lazy"></span> seja positiva,
        mas sim que <!-- MATH
         ${\mathrm  {tg}}w \sec w = \frac{{\mathrm {sen}}w}{\cos w} \cdot \frac{1}{\cos w}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img589.svg" alt="${\mathrm {tg}}w \sec w = \frac{{\mathrm {sen}}w}{\cos w} \cdot \frac{1}{\cos w}$" loading="lazy"></span> é positivo. Assim,
        </p>
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P321" title="1P321"><table class="equation">
        <tbody><tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img590.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {tg}}w \sec w$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img591.svg" alt="$\displaystyle = \vert{\mathrm {tg}}w \sec w\vert$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td>&nbsp;</td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img592.svg" alt="$\displaystyle = \vert{\mathrm {tg}}w\vert \vert\sec w\vert$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td>&nbsp;</td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img593.svg" alt="$\displaystyle = \vert\sec w\vert \sqrt{\sec^{2} w - 1} = \vert u\vert \sqrt{u^{2} - 1}.$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
        
        
        <p class=" unidade" id="1P322" title="1P322">
        Segue que
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \frac{d}{du} \sec^{-1} u = \frac{dw}{du} = \frac{1}{{\mathrm  {tg}}w \sec w} = \frac{1}{|u| \sqrt{u^{2} - 1}},
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P323" title="1P323">
        <img style="height: 5.35ex; vertical-align: -2.38ex; " src="img/img594.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} \sec^{-1} u = \frac{dw}{du} = \frac{1}{{\mathrm {tg}}w \sec w} = \frac{1}{\vert u\vert \sqrt{u^{2} - 1}}, $" loading="lazy">
        </div><p class=" unidade" id="1P324" style="text-indent: 0px !important;" title="1P324">
        para todo <!-- MATH
         $u \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img583.svg" alt="$u \in
        (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$" loading="lazy"></span>.
        </p>
        <p class=" unidade" id="1P325" title="1P325">
        <b>Nota</b>: Observe que para tornar a função secante uma função bijetiva, acabamos por escolher um intervalo do domínio onde a
        função torna-se bijetora. Esta escolha não é única. Outras escolhas também tornam a função secante bijetora. Alguns
        autores escolhem <!-- MATH
         $w \in [0, \tfrac{\pi}{2}) \cup [\pi, \tfrac{3\pi}{2})$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.81ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img595.svg" alt="$w \in [0, \tfrac{\pi}{2}) \cup [\pi, \tfrac{3\pi}{2})$" loading="lazy"></span>, pois esta escolha, além de outras
        implicações, tornará mais simples a fórmula de derivada, que será <!-- MATH
         $\frac{d}{du} \sec^{-1} u = \frac{1}{u \sqrt{u^{2} -
        1}}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 3.29ex; vertical-align: -1.31ex; " src="img/img596.svg" alt="$\frac{d}{du} \sec^{-1} u = \frac{1}{u \sqrt{u^{2} -
        1}}$" loading="lazy"></span>, já que neste intervalo, teríamos <!-- MATH
         $u = \sec w \geq 0$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.94ex; vertical-align: -0.38ex; " src="img/img597.svg" alt="$u = \sec w \geq 0$" loading="lazy"></span>, e não precisaríamos manter o módulo. O leitor poderá
        encontrar em alguns livros de Cálculo Diferencial e Integral esta última fórmula para a derivada da secante inversa.
        <!-- MATH
         $\blacksquare$
         -->
        <span style="float: right;" class="MATH"><img style="height: 1.61ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img279.svg" alt="$\blacksquare$" loading="lazy"></span>
         </p>
        
        <p class=" unidade" id="1P326" title="1P326">
        Para finalizar esta etapa, tomamos <!-- MATH
         $w = f(u) = \csc^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.55ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img598.svg" alt="$w = f(u) = \csc^{-1} u$" loading="lazy"></span>, que é definida para todo <!-- MATH
         $u \in (-\infty,-1] \cup [1,
        \infty)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img581.svg" alt="$u \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$" loading="lazy"></span> com <!-- MATH
         $w \in [-\tfrac{\pi}{2},0) \cup (0,\tfrac{\pi}{2}]$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img599.svg" alt="$w \in [-\tfrac{\pi}{2},0) \cup (0,\tfrac{\pi}{2}]$" loading="lazy"></span>. Descartando os extremos fechados de cada intervalo,
        derivamos <!-- MATH
         $u = \csc w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img600.svg" alt="$u = \csc w$" loading="lazy"></span> em relação a <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, obtendo
         </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        1 = \frac{d}{du} \csc w = -{\mathrm {ctg}}w \csc w \cdot \frac{dw}{du},
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P327" title="1P327">
        <img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img601.svg" alt="$\displaystyle 1 = \frac{d}{du} \csc w = -{\mathrm {ctg}}w \csc w \cdot \frac{dw}{du}, $" loading="lazy">
        </div><p class=" unidade" id="1P328" style="text-indent: 0px !important;" title="1P328">
        donde segue
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \frac{dw}{du} = - \frac{1}{{\mathrm {ctg}}w \csc w}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P329" title="1P329">
        <img style="height: 5.00ex; vertical-align: -2.03ex; " src="img/img602.svg" alt="$\displaystyle \frac{dw}{du} = - \frac{1}{{\mathrm {ctg}}w \csc w}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P330" title="1P330">
        Extraindo raiz quadrada em ambos os membros da igualdade (<a href="#idctgcsc">1.8</a>), da proposição <a href="#propidsectg">1.1</a>, conseguimos
        a identidade
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        |{\mathrm {ctg}}w| = \sqrt{\csc^{2} w - 1}.
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P331" title="1P331">
        <img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img603.svg" alt="$\displaystyle \vert{\mathrm {ctg}}w\vert = \sqrt{\csc^{2} w - 1}. $" loading="lazy">
        </div>
        
        <p class=" unidade" id="1P332" title="1P332">
        Agora como <!-- MATH
         $w \in (-\tfrac{\pi}{2},0) \cup (0,\tfrac{\pi}{2})$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img604.svg" alt="$w \in (-\tfrac{\pi}{2},0) \cup (0,\tfrac{\pi}{2})$" loading="lazy"></span> não podemos garantir que <!-- MATH
         ${\mathrm {ctg}}w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img605.svg" alt="${\mathrm {ctg}}w$" loading="lazy"></span> seja positiva, mas
        sabemos que <!-- MATH
         ${\mathrm {ctg}}w \csc w = \frac{\cos w}{{\mathrm {sen}}w} \cdot \frac{1}{{\mathrm {sen}}w}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.83ex; vertical-align: -0.85ex; " src="img/img606.svg" alt="${\mathrm {ctg}}w \csc w = \frac{\cos w}{{\mathrm {sen}}w} \cdot \frac{1}{{\mathrm {sen}}w}$" loading="lazy"></span> é positivo. Então
        </p>
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P333" title="1P333"><table class="equation">
        <tbody><tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 1.66ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img607.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {ctg}}w \csc w$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img608.svg" alt="$\displaystyle = \vert{\mathrm {ctg}}w \csc w\vert$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td>&nbsp;</td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img609.svg" alt="$\displaystyle = \vert{\mathrm {ctg}}w\vert \vert\csc w\vert$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td>&nbsp;</td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 3.01ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img610.svg" alt="$\displaystyle = \vert\csc w\vert\sqrt{\csc^{2} w - 1} = \vert u\vert \sqrt{u^{2}-1},$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
        <p class=" unidade" id="1P334" style="text-indent: 0px !important;" title="1P334">
        donde temos
        </p><!-- MATH
         \begin{displaymath}
        \frac{d}{du} \csc^{-1} u = \frac{dw}{du} = -\frac{1}{{\mathrm {ctg}}w \csc w} = -\frac{1}{|u| \sqrt{u^{2}-1}},
        \end{displaymath}
         -->
        
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P335" title="1P335">
        <img style="height: 5.35ex; vertical-align: -2.38ex; " src="img/img611.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} \csc^{-1} u = \frac{dw}{du} = -\frac{1}{{\mathrm {ctg}}w \csc w} = -\frac{1}{\vert u\vert \sqrt{u^{2}-1}}, $" loading="lazy">
        </div>
        para todo <!-- MATH
         $u \in (-\infty,-1) \cup (1, \infty)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img583.svg" alt="$u \in
        (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$" loading="lazy"></span>.
        <br />
        <p class=" unidade" id="1P336" title="1P336">
        <b>Nota</b>: Aqui ocorre o mesmo que o comentado na nota anterior. A escolha de <!-- MATH
         $w \in [-\tfrac{\pi}{2},0) \cup [\tfrac{\pi}{2},
        \pi)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img612.svg" alt="$w \in [-\tfrac{\pi}{2},0) \cup [\tfrac{\pi}{2},
        \pi)$" loading="lazy"></span>, tornará a fórmula de derivada mais simples. Será <!-- MATH
         $\frac{d}{du} \csc^{-1} u = \frac{-1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 3.29ex; vertical-align: -1.31ex; " src="img/img613.svg" alt="$\frac{d}{du} \csc^{-1} u = \frac{-1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$" loading="lazy"></span>, já
        que no intervalo mencionado temos <!-- MATH
         $u = \csc w$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.19ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img600.svg" alt="$u = \csc w$" loading="lazy"></span> sempre positivo. O leitor poderá encontrar em alguns livros de Cálculo
        Diferencial e Integral esta última fórmula para a derivada da cossecante inversa.
        <!-- MATH
         $\blacksquare$
         -->
        <span style="float: right;" class="MATH"><img style="height: 1.61ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img279.svg" alt="$\blacksquare$" loading="lazy"></span>
        </p>
        <p class=" unidade" id="1P337" title="1P337">
        Resumimos as derivadas das funções trigonométricas circulares inversas na próxima tabela.
        </p>
        <div class="CENTER"><a id="1659"></a>
        <table id="1T4" title="1T4">
        <caption><strong>Tabela 1.4:</strong>
        Derivadas das funções trigonométricas circulares inversas.</caption>
        <tbody><tr><td>
        <div class="CENTER">
        <table class="PAD  BORDER" >
        <tbody><tr><td class="LEFT">função</td>
        <td class="CENTER">domínio</td>
        <td class="CENTER">derivada</td>
        </tr>
        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
         ${\mathrm {sen}}^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img428.svg" alt="${\mathrm {sen}}^{-1}u$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img614.svg" alt="$(-1,1)$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 3.29ex; vertical-align: -1.31ex; " src="img/img615.svg" alt="$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$" loading="lazy"></span> <br>
        <br></td>
        </tr>
        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
         $\cos^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img521.svg" alt="$\cos^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img614.svg" alt="$(-1,1)$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $-\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 3.29ex; vertical-align: -1.31ex; " src="img/img616.svg" alt="$-\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$" loading="lazy"></span> <br>
        <br></td>
        </tr>
        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
         ${\mathrm  {tg}}^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img522.svg" alt="${\mathrm {tg}}^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $\frac{1}{1+u^{2}}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 3.05ex; vertical-align: -1.06ex; " src="img/img617.svg" alt="$\frac{1}{1+u^{2}}$" loading="lazy"></span> <br>
        <br></td>
        </tr>
        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
         ${\mathrm {ctg}}^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.50ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img523.svg" alt="${\mathrm {ctg}}^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $\mathbb{R}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 1.64ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img217.svg" alt="$\mathbb{R}$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $-\frac{1}{1+u^{2}}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 3.05ex; vertical-align: -1.06ex; " src="img/img618.svg" alt="$-\frac{1}{1+u^{2}}$" loading="lazy"></span> <br>
        <br></td>
        </tr>
        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
         $\sec^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img524.svg" alt="$\sec^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<!-- MATH
         $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img619.svg" alt="$(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$" loading="lazy"></span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $\frac{1}{|u| \sqrt{u^{2} - 1}}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 3.54ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img620.svg" alt="$\frac{1}{\vert u\vert \sqrt{u^{2} - 1}}$" loading="lazy"></span> <br>
        <br></td>
        </tr>
        <tr><td class="LEFT"><!-- MATH
         $\csc^{-1} u$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.05ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img525.svg" alt="$\csc^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="CENTER">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<!-- MATH
         $(-\infty,-1) \cup (1, \infty)$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 2.30ex; vertical-align: -0.62ex; " src="img/img619.svg" alt="$(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$" loading="lazy"></span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
        <td class="CENTER"><!-- MATH
         $-\frac{1}{|u| \sqrt{u^{2}-1}}$
         -->
        <span class="MATH"><img style="height: 3.54ex; vertical-align: -1.56ex; " src="img/img621.svg" alt="$-\frac{1}{\vert u\vert \sqrt{u^{2}-1}}$" loading="lazy"></span> <br>
        <br></td>
        </tr>
        </tbody></table>
        </div></td></tr>
        </tbody></table>
        </div>
        
        
        <p class=" unidade" id="1P338" title="1P338">
        Observe que as derivadas das inversas das co-funções diferem das derivadas das inversas das funções apenas pelo sinal.
        Isto é decorrência das relações mencionadas na seção anterior,
        </p>
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P339" title="1P339"><table class="equation">
        <tbody><tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.16ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img622.svg" alt="$\displaystyle \cos^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.85ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img623.svg" alt="$\displaystyle = \tfrac{\pi}{2} - {\mathrm {sen}}^{-1} u,$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.61ex; vertical-align: -0.58ex; " src="img/img624.svg" alt="$\displaystyle {\mathrm {ctg}}^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.85ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img625.svg" alt="$\displaystyle = \tfrac{\pi}{2} - {\mathrm {tg}}^{-1} u,$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 2.16ex; vertical-align: -0.13ex; " src="img/img626.svg" alt="$\displaystyle \csc^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 2.85ex; vertical-align: -0.83ex; " src="img/img627.svg" alt="$\displaystyle = \tfrac{\pi}{2} - \sec^{-1} u.$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
        
        
        <p class=" unidade" id="1P340" title="1P340">
        Derivando estas três igualdades em ambos os membros, com relação a <span class="MATH"><img style="height: 1.16ex; vertical-align: -0.10ex; " src="img/img1.svg" alt="$u$" loading="lazy"></span>, obtemos
        </p>
        <div class="mathdisplay unidade" id="1P341" title="1P341"><table class="equation">
        <tbody><tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img628.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} \cos^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img629.svg" alt="$\displaystyle = - \frac{d}{du} {\mathrm {sen}}^{-1} u,$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img630.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm {ctg}}^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img631.svg" alt="$\displaystyle = - \frac{d}{du} {\mathrm {tg}}^{-1} u,$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        <tr>
        <td style="text-align:right;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img632.svg" alt="$\displaystyle \frac{d}{du} \csc^{-1} u$" loading="lazy"></span></td>
        <td style="text-align:left;"><span class="MATH"><img style="height: 4.52ex; vertical-align: -1.55ex; " src="img/img633.svg" alt="$\displaystyle = - \frac{d}{du} \sec^{-1} u.$" loading="lazy"></span></td>
        <td class="eqno" style="text-align:right">
        &nbsp;&nbsp;&nbsp;</td></tr>
        </tbody></table></div>
    
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```{=html} 
    </div>
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