\n Alguns alunos acreditam que as funções trigonométricas, principalmente as hiperbólicas, existem apenas para complicar\n suas vidas. Uma ferramenta a mais para o professor acabar com suas noites de sono tranquilo. Infelizmente para os\n alunos e felizmente para a matemática, essas funções não são descartáveis. Neste capítulo, apresentaremos algumas\n situações onde são utilizadas as funções trigonométricas.\n
\n
\n Os livros de ensino fundamental e médio já apresentam algumas aplicações a respeito destas funções, tais como o cálculo\n da altura de obstáculos (torres, edifícios e montanhas), do raio da terra, da distância entre objetos, entre outras\n aplicações. São em geral situações onde podem ser utilizados argumentos geométricos com triângulos retângulos.\n
\n
\n As aplicações que iremos aqui apresentar, são um pouco mais complexas e exigirão a utilização de trigonometria no\n contexto das funções. Para uma melhor compreensão destas aplicações recomendamos ao leitor algum conhecimento de\n cálculo diferencial e integral, geometria, equações diferenciais e de conceitos físicos. De qualquer forma, em cada\n seção tentaremos apresentar, mesmo que sem demonstração, alguns dos resultados ou conceitos que desejamos utilizar.\n
\n\n:::\n\n## 4.1 Cálculo do número $\\pi$ {#SECTION00810000000000000000}\n \n::: {.raw_html}\n \n
\n O número “pi”, é conhecido da humanidade ainda antes de Cristo. É difícil dizer com precisão quando foi concebido,\n mas desde muito cedo, o homem percebeu que dividindo o comprimento de uma circunferência qualquer pelo seu diâmetro,\n resultava sempre um mesmo valor.\n
\n
\n O símbolo atual que designa o número “pi” é a letra grega , que foi utilizada pela primeira vez em 1706 por\n William Jones, mas só foi amplamente aceita quando usada por Euler em 1737. Fato este que não nos impedirá de usar a\n notação atual , mesmo para citações mais antigas.\n
\n
\n O primeiro matemático a investigar o número foi Arquimedes (287-212 a.C.). Ele efetivamente calculou uma\n aproximação para . Arquimedes construiu polígonos regulares inscritos e circunscritos em uma circunferência e\n calculou o perímetro destes polígonos. Quanto mais lados ele colocava no polígono, melhor a aproximação. Usando um\n polígono regular de 96 lados, Arquimedes afirmou que\n \n
\n
\n \n
\n ou seja, \n . A fração \n é uma das mais famosas aproximações para .\n Entretanto, um artifício do Cálculo Diferencial e Integral nos mostra que \n . Mais precisamente,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Arquimedes, assim como outros matemáticos de sua época, acreditava que fosse um número racional. No entanto, em 1761 o\n alemão Johann Lambert provou que é um número irracional. Isto significa que esse número, assim como todos os\n números irracionais, possui infinitas casas decimais que não apresentam comportamento periódico.\n
\n
\n Devido a este fato, vários matemáticos ficaram ocupados durante algum tempo para calcular o valor de com mais casas decimais corretas. O objetivo desta seção é mostrar como a função arco tangente pode ser utilizada para calcular\n casas decimais do número .\n
\n
\n Para iniciarmos, precisamos fazer algumas apresentações a respeito de séries geométricas e séries alternadas. É\n recomendado ao leitor alguma habilidade sobre sequências e séries. Para um estudo mais aprofundado sobre estas e outras\n séries recomendamos [8, Swokowski].\n \n
\n
Definição 4.1 \n Dada uma sequência geométrica infinita \n , a soma dos termos desta sequência é chamada de série\n geométrica. É uma expressão da forma\n \n \n
\n \n
\n \n
\n No caso de a soma infinita existir e ser igual a um número real , então dizemos que a série é convergente, ou\n ainda, convergente para . No caso em que a soma não existir então a série é dita divergente. Como casos\n particulares, observe que se então a soma é igual a e portanto convergente e se então a soma é\n \n e portanto divergente.\n
\n \n
Teorema 4.2 \n Uma série geométrica, \n , é convergente, se e somente se, . No caso de convergir, o valor desta\n soma é precisamente o número \n .\n
\n \n
Definição 4.3 \n Se \n é uma sequência infinita de termos positivos, então uma série alternada é uma soma da\n forma,\n \n \n
\n \n
\n \n \n
Teorema 4.4 \n Uma série alternada \n é convergente se os termos formam uma sequência positiva, decrescente,\n e que tende a zero.\n
\n \n
\n O leitor interessado nas demonstrações dos dois últimos teoremas, ou em alguns exemplos de séries alternadas e\n geométricas, pode consultar [8, Swokowski].\n
\n
\n Consideremos então que seja uma variável real que assume valores no intervalo . Então \n .\n Podemos assim, construir uma série geométrica com primeiro termo igual a 1 e razão \n , que de acordo com o teorema 4.2, é convergente para o número \n , já que \n .\n Temos então que,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.1)\n
\n
\n \n
\n
\n para qualquer \n . Observe que esta é uma série geométrica, mas também é uma série alternada. Podemos ainda\n dizer que esta série é uma série de potências de , uma vez que seus termos são potências da variável .\n
\n
\n Lembremos agora que a fração \n , vista como função de , é a derivada da função \n ,\n exatamente como vimos na seção (1.7). Em outras palavras,\n \n
\n
\n \n
\n e isto significa que,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Recorremos agora ao teorema que garante a integração de uma série de potências. A demonstração deste resultado também\n pode ser encontrada em [8, Swokowski].\n
\n \n
Teorema 4.5 \n Se uma função possui representação em série de potência de , isto é, \n e esta série\n for convergente em todo \n , então\n \n \n
\n \n
\n para todo \n . A convergência da nova série obtida pela integração dos termos, pode ser alterada se .\n
\n \n
\n Este teorema nos permite então determinar, por integração, a série da função arco tangente. Temos assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e, assim, obtemos a igualdade desejada para o nosso objetivo,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.2)
\n
\n \n
\n \n \n
\n Esta igualdade é válida para todo no intervalo . O ponto , deve ser avaliado novamente pois é um dos\n extremos do intervalo de convergência. Para ser mais preciso, a série geométrica (4.1) é divergente no ponto\n . Mas como o teorema 4.5 afirma que a convergência pode ser alterada nos extremos do intervalo,\n precisamos de uma nova investigação para nos certificarmos de que a série de interesse (4.2), tornou-se\n convergente em . Note que para , a série em (4.2) torna-se,\n \n
\n
\n \n
\n que é uma série alternada que satisfaz as condições do teorema 4.4 e portanto é convergente. A série\n (4.2) também converge se , mas como este valor de está fora do nosso interesse, deixaremos os\n detalhes para o leitor interessado.\n
\n
\n Segue que a igualdade (4.2) é válida também para e como sabemos que \n , então temos a fórmula,\n \n
\n
\n \n
\n ou, ainda,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.3)
\n
\n \n \n
\n Esta expressão, obtida por volta de 1670, é conhecida como fórmula de Gregory-Leibniz. O problema desta fórmula é que a\n convergência se dá de forma muito lenta, pois a série em (4.2) converge para no intervalo e\n como se pode ver, o ponto utilizado para obter a série está no extremo do intervalo. Quanto mais afastado do\n centro deste intervalo, mais lenta a convergência. Não vamos discutir aqui os chamados “níveis de convergência” e\n então para nós, convergência mais rápida significa obter mais casas decimais corretas com menos termos adicionados.\n
\n
\n Vamos exemplificar o uso desta fórmula calculando uma aproximação para usando as 30 primeiras parcelas da soma\n infinita.\n
\n \n \n
\n
Tabela 4.1:\n Aproximação de pela série de Gregory-Leibniz.
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
0
\n
\n
4,0000000
\n
\n
4,0000000
\n
\n
1
\n
\n
-1,3333333
\n
\n
2,6666667
\n
\n
2
\n
\n
0,8000000
\n
\n
3,4666667
\n
\n
3
\n
\n
-0,5714286
\n
\n
2,8952381
\n
\n
4
\n
\n
0,4444444
\n
\n
3,3396825
\n
\n
5
\n
\n
-0,3636364
\n
\n
2,9760461
\n
\n
6
\n
\n
0,3076923
\n
\n
3,2837384
\n
\n
7
\n
\n
-0,2666667
\n
\n
3,0170717
\n
\n
8
\n
\n
0,2352941
\n
\n
3,2523658
\n
\n
9
\n
\n
-0,2105263
\n
\n
3,0418395
\n
\n
10
\n
\n
0,1904762
\n
\n
3,2323157
\n
\n
11
\n
\n
-0,1739130
\n
\n
3,0584027
\n
\n
12
\n
\n
0,1600000
\n
\n
3,2184027
\n
\n
13
\n
\n
-0,1481481
\n
\n
3,0702546
\n
\n
14
\n
\n
0,1379310
\n
\n
3,2081856
\n
\n
15
\n
\n
-0,1290323
\n
\n
3,0791533
\n
\n
16
\n
\n
0,1212121
\n
\n
3,2003654
\n
\n
17
\n
\n
-0,1142857
\n
\n
3,0860797
\n
\n
18
\n
\n
0,1081081
\n
\n
3,1941878
\n
\n
19
\n
\n
-0,1025641
\n
\n
3,0916237
\n
\n
20
\n
\n
0,0975610
\n
\n
3,1891847
\n
\n
21
\n
\n
-0,0930233
\n
\n
3,0961614
\n
\n
22
\n
\n
0,0888889
\n
\n
3,1850503
\n
\n
23
\n
\n
-0,0851064
\n
\n
3,0999439
\n
\n
24
\n
\n
0,0816327
\n
\n
3,1815766
\n
\n
25
\n
\n
-0,0784314
\n
\n
3,1031452
\n
\n
26
\n
\n
0,0754717
\n
\n
3,1786169
\n
\n
27
\n
\n
-0,0727273
\n
\n
3,1058896
\n
\n
28
\n
\n
0,0701754
\n
\n
3,1760650
\n
\n
29
\n
\n
-0,0677966
\n
\n
3,1082684
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n \n
\n \n Note pela tabela acima, que a primeira casa decimal de , somente estabiliza-se quando já\n foram somados 25 termos. Serão necessários 300 termos da série para que a segunda casa decimal seja igual a 4 e 5000\n termos para obtermos a terceira casa decimal. Apesar disto, esta fórmula está longe de ser considerada inútil.\n
\n
\n Algum tempo mais tarde, John Machin descobriu que a fórmula (4.2) poderia ser usada para valores de \n menores do que 1, obtendo assim, convergências mais rápidas. O problema é que não podemos simplesmente substituir \n , ou \n em (4.2) pois não conhecemos \n ou\n \n . É necessário um argumento mais engenhoso.\n
\n
\n Machin usou a fórmula da soma de arcos para a tangente\n \n
\n
\n \n
\n e obteve a identidade\n \n
\n
\n \n
\n e com \n , escreveu\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.4)
\n
\n \n \n
\n Usando a fórmula da duplicação de arcos para a tangente, Machin calculou\n \n
\n Aplicando arco tangente em ambos os membros e reorganizando os termos obtém-se a fórmula\n \n
\n
\n \n
\n que em 1706 foi usada por Machin para calcular 100 casas decimais para .\n
\n
\n A ideia de Machin, de reescrever \n em somas de arco tangentes com argumentos menores, motivou outros\n matemáticos. A igualdade\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.5)
\n
\n
\n com , e inteiros, se mostrou útil nesta abordagem. Note que se , e são inteiros positivos, então\n o fato de a função arco tangente ser crescente obrigará os valores de \n e \n serem menores do\n que \n . Isto significa que \n e \n estarão mais próximos de 0 do que \n , o\n que torna a convergência mais rápida. Vamos primeiramente estabelecer qual a relação entre , e para que a\n identidade (4.5) tenha sentido.\n
\n
\n Aplicando a função tangente em ambos os membros de (4.5), temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e portanto, obtemos que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Desta igualdade, organizando os termos e somando em ambos os membros, vem\n \n
\n
\n \n
\n ou ainda\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.6)
\n
\n \n \n
\n A igualdade (4.6) estabelece portanto uma relação entre , e , para que a identidade\n (4.5) faça sentido. Como estamos interessados em desmembrar \n então faremos em\n (4.5) e (4.6), obtendo\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Basta então considerar e como sendo dois fatores inteiros do número 2. Escolhemos os fatores 1 e 2.\n Colocando e obtemos e e, substituindo em (4.5), temos a fórmula\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.7)
\n
\n
\n que foi obtida por Euler em 1738.\n
\n
\n Observe que podemos novamente repetir esta ideia para modificar as arco tangentes das frações \n ou\n \n por outra soma de arco tangentes com argumentos menores ainda, para fazer convergências mais rápidas.\n
\n
\n Este foi um método muito utilizado por matemáticos e várias fórmulas foram obtidas, conhecidas como fórmulas do tipo\n Machin. Algumas delas são:\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (Strassnitzky)
\n
\n
\n
\n
\n (Huton)
\n
\n
\n
\n
\n (Euler, em 1764)
\n
\n
\n
\n
\n (Klingenstierna)
\n
\n
\n
\n
\n (Gauss)
\n
\n
\n
\n
\n (Loney, em 1893)
\n
\n
\n
\n
\n (Sebah)
\n
\n
\n
\n
\n (Stormer, em 1896)
\n
\n
\n
\n
\n (Takano, em 1982)
\n
\n \n \n
\n A fórmula de Strassnitzky, é obtida a partir da fórmula de Euler, desmembrando o termo \n . Vamos\n ver os detalhes. Considerando \n e, portanto, , em (4.5) e (4.6),\n obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Escolhemos agora dois fatores de 10. Considerando os fatores 2 e 5 e colocando e , obtemos \n e . Temos portanto\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n A fórmula de Huton é obtida, também a partir da fórmula de Euler, desmembrando o termo \n .\n Considerando \n , isto é, e, substituindo em (4.5) e (4.6), temos\n \n
\n
\n \n
\n e escolhendo e temos e e com estes valores\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Levando em conta ainda que podemos considerar que os fatores, e , do número sejam inteiros negativos,\n e usando o fato de que arco tangente é uma função ímpar, isto é, \n ,\n conseguimos o cancelamento de termos em algumas substituições. Mais ainda, , e não precisam ser números\n inteiros, já que o desenvolvimento aplicado em (4.5) é válido para quaisquer argumentos reais no domínio\n da função arco tangente.\n
\n
\n Podemos verificar que\n \n
\n
\n \n
\n e que\n \n
\n
\n \n
\n e substituindo estas duas igualdades na fórmula de Huton, obtém-se\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Vamos comparar os resultados obtidos na tabela 4.1, calculando agora uma aproximação de pela série de\n Euler (4.7). Fazendo \n e \n em (4.2), temos\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n Então temos que,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Abaixo segue uma tabela de convergência para com os 15 primeiros termos desta última série.\n
\n \n \n
\n
Tabela 4.2:\n Aproximação de pela série de Euler.
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
0
\n
2,0000000000
\n
1,3333333333
\n
3,3333333333
\n
3,3333333333
\n
\n
1
\n
-0,1666666667
\n
-0,0493827160
\n
-0,2160493827
\n
3,1172839506
\n
\n
2
\n
0,0250000000
\n
0,0032921811
\n
0,0282921811
\n
3,1455761317
\n
\n
3
\n
-0,0044642857
\n
-0,0002612842
\n
-0,0047255699
\n
3,1408505618
\n
\n
4
\n
0,0008680556
\n
0,0000225801
\n
0,0008906357
\n
3,1417411974
\n
\n
5
\n
-0,0001775568
\n
-0,0000020527
\n
-0,0001796096
\n
3,1415615879
\n
\n
6
\n
0,0000375601
\n
0,0000001930
\n
0,0000377531
\n
3,1415993410
\n
\n
7
\n
-0,0000081380
\n
-0,0000000186
\n
-0,0000081566
\n
3,1415911844
\n
\n
8
\n
0,0000017952
\n
0,0000000018
\n
0,0000017970
\n
3,1415929813
\n
\n
9
\n
-0,0000004015
\n
-0,0000000002
\n
-0,0000004017
\n
3,1415925796
\n
\n
10
\n
0,0000000908
\n
0,0000000000
\n
0,0000000908
\n
3,1415926705
\n
\n
11
\n
-0,0000000207
\n
-0,0000000000
\n
-0,0000000207
\n
3,1415926497
\n
\n
12
\n
0,0000000048
\n
0,0000000000
\n
0,0000000048
\n
3,1415926545
\n
\n
13
\n
-0,0000000011
\n
-0,0000000000
\n
-0,0000000011
\n
3,1415926534
\n
\n
14
\n
0,0000000003
\n
0,0000000000
\n
0,0000000003
\n
3,1415926536
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Observe que esta série converge muito mais rápido do que a série (4.3). Com apenas 15\n termos somados, temos 9 casas decimais corretas de . Note ainda que na terceira coluna, os valores vão para zero\n mais rápido do que na segunda coluna. Como dissemos antes, isto ocorre pois a terceira coluna representa os valores da\n série arco tangente de \n e \n está mais próximo de 0 do que \n .\n
\n
\n Atualmente o trabalho de calcular é feito com o auxílio de supercomputadores, que trabalham por horas ou até dias\n para calcular trilhões de casas decimais. As fórmulas baseadas em arco tangente são bastante utilizadas por\n apresentarem apenas números racionais.\n
\n
\n A questão principal é por que calcular com trilhões de casas decimais? Sabe-se que umas poucas casas decimais\n resolvem todos os problemas práticos de engenharia, física ou matemática. Para ser mais preciso, 39 casas decimais\n permitem calcular a medida da circunferência do universo com erro menor do que o diâmetro de um átomo de hidrogênio.\n
\n
\n Uma aplicação prática é o teste de microprocessadores. Quando um computador ou um processador numérico é desenvolvido,\n é necessário saber até que ponto sua eficiência numérica é confiável, e nestes termos, nada melhor do que testá-lo a\n calcular um número já conhecido. Calcular dígitos de , já não é mais uma questão de conhecer este número, mas sim\n de comprovar o poder dos computadores.\n
\n
\n Para uma coleção maior de fórmulas envolvendo recomendamos [6, Sebah], [1, Eymard] e também\n [9, Weisstein]. Comentários e demonstrações sobre outras fórmulas para podem ser encontrados em\n [1, Eymard].\n
\n \n:::\n\n## 4.2 Cálculo de integrais {#SECTION00820000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n\n \n\n \n
\n Dentre as aplicações clássicas e imediatas do Cálculo Diferencial e Integral estão o cálculo de áreas de regiões e de\n comprimentos de curvas determinadas por funções. Estes cálculos em geral reduzem-se ao cálculo de integrais envolvendo\n tais funções. Entretanto, determinar certas integrais não é tarefa tão fácil. Existem várias regras de integração porém\n muitas funções não se enquadram nas técnicas tradicionais de integração.\n
\n
\n Dentre várias situações podemos citar como exemplo\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n (4.8)
\n
\n
\n para 0$\"> uma constante e no devido intervalo de definição das funções consideradas.\n
\n
\n A primeira integral aparece, por exemplo, no cálculo de áreas de regiões circulares. Mais precisamente, dado 0$\">, a\n área compreendida entre o eixo e o gráfico do semi-círculo \n , no intervalo \n , é calculada pela integral definida\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n
\n
Figura 4.1:\n Área sob a semicircunferência.
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n \n
\n A segunda integral em (4.8) aparece, por exemplo, no cálculo de comprimento de curvas. O comprimento da\n curva determinada pelo gráfico de uma função quadrática \n , para alguma constante \n , no intervalo\n \n , é dado por\n \n
\n
\n \n
\n sendo que \n tornou-se uma constante de ajuste.\n
\n
\n O aluno de um curso de Cálculo Diferencial e Integral, quando se depara com alguma das integrais em (4.8),\n recorre às fórmulas de integração prontas que geralmente figuram nas últimas páginas dos livros. Mas estas fórmulas não\n “caíram do céu”. Nesta seção vamos mostrar como as funções trigonométricas podem ajudar a determinar as integrais em\n (4.8). Não vamos nos preocupar com o intervalo e então faremos os cálculos considerando as\n integrais indefinidas.\n
\n
\n Para a primeira integral em (4.8), precisaremos antes o cálculo auxiliar da integral\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Usando as identidades\n
\n
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\n obtemos\n \n
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\n \n
\n e, também,\n \n
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\n Integrando temos\n
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\n \n \n
\n O leitor atento diria agora que esquecemos a constante de integração nas duas expressões acima. Por simplicidade,\n durante os cálculos omitiremos a constante de integração, que só será apresentada ao final para não perder\n definitivamente o rigor matemático. Agora vamos ao cálculo da primeira integral em (4.8). Considerando que\n \n , queremos determinar\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Fazendo a mudança de variáveis \n , temos que \n e, substituindo na integral, temos\n
\n
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\n \n \n
\n Lembremos agora que \n e então a substituição \n obriga (bijetivamente) \n . Neste intervalo temos \n 0$\"> e então\n
\n
\n
\n
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\n
\n \n \n
\n Voltando à variável original , temos que \n , ou ainda \n e, assim,\n
\n
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\n
\n
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\n
\n
\n \n \n
\n Obtemos então a fórmula de integração presente nos livros de Cálculo Diferencial e Integral\n \n
\n
\n \n
\n para alguma constante de integração .\n
\n
\n A segunda integral em (4.8) é obtida de forma análoga porém com funções trigonométricas hiperbólicas.\n Primeiro vamos determinar a integral\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Usando as identidades\n
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\n temos que\n
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\n e integrando\n
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\n \n \n
\n Vamos agora determinar a integral de interesse,\n \n
\n
\n \n
\n considerando \n e 0$\"> uma constante arbitrária. Fazendo a mudança de variáveis \n temos que\n \n e então temos\n
\n
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\n \n \n
\n Lembrando agora que a função seno hiperbólico é bijetiva de \n em \n e então a mudança de variável \n \n permite \n e como \n 0$\"> para qualquer \n , temos\n
\n
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\n e voltando à variável , temos \n , ou ainda \n e, assim,\n
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\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Neste caso, podemos escrever esta igualdade sem o uso explícito da função arco seno hiperbólico. Usando a identidade\n \n , obtida na seção 3.3, escrevemos\n \n
\n
\n \n
\n e, reorganizando os termos temos, finalmente\n \n
\n
\n \n
\n sendo que a constante de integração absorve o termo constante \n que desprezamos na\n reorganização dos termos.\n
\n
\n A fórmula de integração\n \n
\n
\n \n
\n válida para \n 0$\">, é obtida de maneira análoga pela substituição \n . Deixamos agora os detalhes\n para o leitor.\n
\n
\n Podemos ainda observar que em algumas situações, o cálculo da integral \n não é efetuado em\n coordenadas cartesianas. Como é sabido, as coordenadas cartesianas dificultam o cálculo de integrais em regiões\n circulares. Neste tipo de região é recomendado o uso de coordenadas polares. Mas a conversão de coordenadas cartesianas\n para polares (e vice-versa) faz uso das funções trigonométricas também.\n
\n \n:::\n\n## 4.3 A catenária {#SECTION00830000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Catenária é o nome da curva que descreve a trajetória de equilíbrio de um cabo flexível, de comprimento fixo e suspenso\n por duas hastes. O estudo desta curva desempenha um papel fundamental nos cursos de engenharia.\n
\n
\n Consideremos então um cabo flexível, sustentado por duas hastes, pelos pontos e . Fixemos um sistema coordenado\n cartesiano com o eixo no nível do solo e o eixo perpendicular ao solo passando pelo ponto mais baixo do cabo.\n O cabo descreve uma curva neste sistema coordenado. Denotemos por esta curva. Chamemos o ponto\n mais baixo da curva, que está sobre o eixo . Tomemos um ponto sobre esta curva e sem perda de\n generalidade, consideremos o ponto à direita de no sistema coordenado considerado, isto é, com 0$\">.\n
\n
\n Considerando a porção do cabo entre os pontos e , temos as forças , e , atuando\n sobre esta porção do cabo. é a força peso, que é decomposta nas componentes horizontal e vertical por\n \n
\n
\n \n
\n sendo que é o peso do cabo por unidade de comprimento e é o comprimento do cabo (da porção do cabo\n considerada). é a força de tração pela direita no ponto e é decomposta nas componentes horizontal\n e vertical por\n \n
\n
\n \n
\n sendo o módulo da tensão pela direita e o ângulo que o vetor tangencial faz com a horizontal.\n é a força de tração pela esquerda no ponto , dada por\n \n
\n
\n \n
\n sendo o módulo da tensão pela esquerda.\n
\n \n \n
\n
\n
Figura 4.2:\n Forças atuantes no cabo suspenso.
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n \n
\n O sistema está em equilíbrio, isto é,\n \n
\n
\n \n
\n e então\n \n
\n
\n \n
\n donde temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Agora, sabemos do cálculo diferencial e integral que a inclinação , do vetor tangente à curva em um ponto ,\n se relaciona com a curva por\n \n
\n
\n \n
\n donde temos que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Mas note que não é uma constante. é o comprimento da curva de a e isto dependerá da posição do\n ponto . Sabemos (do cálculo) que o comprimento desta curva pode ser calculado pela fórmula integral,\n \n
\n
\n \n
\n e, assim,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Para eliminar a integral do segundo membro, derivamos ambos os membros da igualdade e, usando o Teorema Fundamental do\n Cálculo, obtemos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.9)
\n
\n \n \n
\n A esta equação diferencial, juntamos as condições iniciais e . Com o intuito de encontrar\n , a função que descreve a curva catenária, vamos resolver esta equação diferencial. Fazendo e\n substituindo em (4.9), temos a equação diferencial de ordem 1,\n \n
\n
\n \n
\n que pode ser reescrita na forma\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Integrando em , obtemos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.10)
\n
\n
\n para alguma constante de integração que ainda será determinada. Para determinar a integral do primeiro membro,\n notemos que\n \n
\n
\n \n
\n e levando em conta que a fração \n é a derivada da função \n (em relação a ),\n segue que\n \n
\n
\n \n
\n para alguma constante .\n
\n
\n Substituindo a condição inicial \n , obtemos o valor da constante . Voltando para a variável ,\n e com , obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Aplicando a função seno hiperbólico em ambos os membros, temos\n \n
\n
\n \n
\n e integrando ambos os membros em relação a , vem\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Usando a condição inicial , conseguimos o valor da nova constante de integração \n .\n Segue portanto a função procurada\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Desta forma, obtemos que a curva catenária é descrita por um cosseno hiperbólico. O termo de translação\n \n pode ser manipulado mudando-se a origem do sistema coordenado fixado sobre a curva catenária. Os\n fatores \n e \n determinam a abertura da curva.\n
\n \n:::\n\n## 4.4 Série de Fourier {#SECTION00840000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n O objetivo desta seção é apresentar as séries de Fourier. Jean Baptiste Fourier (1768-1830) foi o primeiro matemático a\n investigar séries envolvendo senos e cossenos e, por isso, essas séries levam hoje o seu nome. Ele introduziu esse\n assunto em 1822 em seu livro Théorie Analytique de la Chaleur (Teoria analítica do calor).\n
\n
\n Consideremos uma barra de comprimento , com extremos em contato com um material de temperatura constante igual a\n zero. Se é a temperatura desta barra no ponto e no instante , é a distribuição inicial da\n temperatura da barra e o fluxo de calor na extremidade da barra é proporcional à temperatura da extremidade, então a\n função satisfaz as equações\n \n
\n
\n \n
\n sendo que \n , \n e \n .\n
\n
\n Esta é uma equação diferencial parcial, sujeita às condições de contorno e condições iniciais. Vamos resolver esta\n equação. O método que usaremos é conhecido como método das variáveis separáveis.\n
\n
\n Este método consiste em supor que a função possa ser expressa como um produto de duas funções, uma dependendo\n de e outra dependendo de , isto é, supomos que \n . Substituindo na equação\n diferencial parcial, temos\n \n
\n
\n \n
\n ou, ainda,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Observe que o membro da direita não depende de , enquanto o membro da esquerda não depende de . Isto sugere que\n na verdade ambos os membros não dependam nem de e nem de , isto é, são constantes. Fisicamente esta constante é\n negativa considerando que a taxa de variação da temperatura está diminuindo. Por uma questão de facilidade no\n desenvolvimento dos cálculos, esta constante negativa é escrita como , com \n 0$\">.\n
\n
\n Temos então\n \n
\n
\n e\n
\n ou ainda,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n Temos agora duas equações diferenciais ordinárias, lineares e homogêneas. As soluções são fáceis de serem obtidas e\n são, precisamente,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n para quaisquer coeficientes \n . Segue que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Os coeficientes , e poderão ser determinados ou estimados utilizando as condições iniciais e as condições de\n contorno. Aplicando as condições de contorno, e já descartando a função exponencial que nunca se anula, temos que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Vamos considerar que pois estamos interessados em uma solução não identicamente nula. Da primeira equação\n obtemos que \n e, substituindo isso na segunda equação, temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Mas como \n 0$\"> então \n e, por isso, também vamos impor que , pois caso contrário,\n isto é, se teríamos também e a função \n se tornaria identicamente nula, fazendo a solução\n identicamente nula. Como estamos interessados em soluções não nulas, vamos impor . Desta forma,\n resta que\n \n
\n
\n \n
\n donde\n \n
\n
\n \n
\n para qualquer \n . Já que o sinal do argumento no seno se transmite para o coeficiente , podemos considerar\n que \n . Sendo assim, para cada \n , temos uma solução\n \n
\n
\n \n
\n para certos coeficientes e , que já incorporaram também a constante .\n
\n
\n Pelo princípio da superposição de soluções para equações homogêneas, temos que a soma destas soluções é ainda uma\n solução. Segue que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Tudo o que precisamos agora é determinar os coeficientes e . Aplicando a condição inicial, temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.11)
\n
\n \n \n
\n Os coeficientes e procurados, são então coeficientes que satisfazem a identidade (4.11).\n Perguntamos então quais as hipóteses sobre para que a igualdade (4.11) se verifique para certos\n coeficientes e reais? Esta questão é respondida pelo teorema 4.7 enunciado mais adiante.\n Além disso, se a igualdade (4.11) se verificar, como são calculados os coeficientes e ? Esta\n questão será comentada agora.\n
\n
\n Para mostrar como são calculados estes coeficientes, precisamos estudar algumas propriedades a respeito do conjunto de\n funções\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Consideremos o conjunto \n , das funções contínuas e definidas no intervalo com\n valores em \n . Este conjunto munido da soma de funções\n \n
\n
\n \n
\n e do produto por escalar \n ,\n \n
\n
\n \n
\n é um espaço vetorial real. O funcional bilinear \n \n dado por\n \n
\n
\n \n
\n define um produto interno em \n . A respeito deste produto interno vemos que o conjunto \n é um\n conjunto de vetores ortogonais no espaço vetorial \n . Provaremos isto em forma de teorema.\n
\n é um conjunto de funções duas a duas ortogonais do espaço vetorial \n .\n
\n \n \n
Prova.\n \n Para quaisquer \n , temos que\n \n \n
\n \n
\n já que o integrando é uma função ímpar.\n
\n
\n Se então\n
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\n
\n pois a função seno se anula para argumentos múltiplos inteiros de . Da mesma forma, ainda para ,\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e isto termina a prova.\n \n
\n
\n \n
\n Em relação ao conjunto \n do teorema anterior, é importante provar que o produto interno de uma destas\n funções com ela mesma não se anula. Faremos isto agora pois precisaremos destes resultados mais tarde. Usando as\n fórmulas para as integrais de seno e cosseno quadrado, obtidas na seção 4.2, temos\n
\n
\n
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\n
\n desde que . Se então claramente\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Da mesma forma temos que\n
\n
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\n
\n
\n
\n desde que . O caso fica\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Vamos agora obter as expressões para os coeficientes e , admitindo que a função possa ser escrita na\n forma da série (4.11), ou ainda,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.12)
\n
\n \n \n
\n Primeiramente vamos obter . Integrando (4.12) em , de a , obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como o somatório acima converge uniformemente então podemos integrar termo a termo. Temos assim,\n
\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n já que as integrais trigonométricas do somatório se anulam. Temos portanto que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Para obter cada um dos demais termos , para \n , tomamos o produto interno de (4.12) com\n a respectiva função \n . Temos então\n
\n
\n
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\n
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\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n De acordo com os resultados do teorema 4.6, as integrais do último membro se anulam todas, exceto a integral\n em cossenos quando \n . Segue que\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto,\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Analogamente obtemos cada um dos coeficientes , tomando o produto interno de (4.12) com a respectiva\n função \n . Temos então que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n De acordo com os resultados obtidos no teorema 4.6, as integrais do último membro se anulam todas, exceto a\n integral em senos quando \n . Temos assim,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Segue que\n \n
\n
\n \n
\n para \n .\n
\n
\n Desta forma temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.13)
\n
\n
\n para\n \n
\n
\n \n
\n e\n \n
\n
\n 0), $\">\n
\n desde que admita representação na forma da série (4.11). O ajuste \n em é só para\n padronizar a expressão dos para todo \n .\n
\n
\n Os coeficientes e obtidos pelas expressões acima são chamados de coeficientes de Fourier da função .\n A série em (4.13) é chamada de série de Fourier de . Muito cuidado neste momento. A série do lado direito de\n (4.13) simplesmente é definida como sendo a série de Fourier da função . Não falamos nada a respeito da\n série de Fourier de convergir para , aliás, admitimos esta convergência para calcular os coeficientes. Isto\n significa que garantir a igualdade (4.13) é um pouco mais complicado do que parece.\n
\n
\n Apresentamos agora um teorema que garante esta convergência. A demonstração pode ser encontrada em [3, Iorio]\n ou [2, Guidorizzi].\n
\n \n
Teorema 4.7 \n Seja \n uma função contínua, com derivada segunda contínua por partes e tal que \n . Então a\n série de Fourier de converge uniformemente para em . Isto é,\n \n \n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n \n
\n A hipótese de que seja contínua é bastante forte. Na verdade, esta hipótese pode ser reduzida para uma hipótese de\n continuidade por partes. A hipótese de continuidade por partes da derivada segunda já garante isto. Neste caso, em cada\n ponto de continuidade de a série de Fourier de converge para e nos pontos de descontinuidade\n (descontinuidade tipo salto) a série de Fourier converge para o ponto médio dos limites laterais de . Este resultado\n pode ser encontrado também em [3, Iorio].\n
\n
\n Podemos também colocar o intervalo de interesse como sendo um intervalo da forma . Isto não é problema pois dada\n uma função definida no intervalo podemos construir uma extensão \n de a todo intervalo\n por\n \n
\n
\n \n
\n e os coeficientes e de ficam também reduzidos a\n \n
\n
\n \n
\n e\n \n
\n
\n \n
\n que são na verdade coeficientes para restritos ao intervalo .\n
\n
\n Embora a série de Taylor desempenha um papel fundamental para a matemática aplicada, a série de Fourier apresenta\n propriedades que a tornam mais adequada para certas aplicações. Dentre estas propriedades, um fato relevante é que os\n coeficientes da série de Taylor são os termos \n e então a função deve possuir derivadas\n de ordem contínuas no ponto . A série de Fourier não exige tanto. O teorema que apresentamos exige apenas\n derivada segunda contínua por partes.\n
\n
\n Além disso, a série de Taylor é uma série com boa aproximação para a função nas proximidades do ponto . Quanto\n mais afastado do ponto mais coeficientes serão necessários para uma aproximação satisfatória. Já a série de\n Fourier tem comportamento global. Isto significa que não é necessário aumentar o número de coeficientes quando se muda\n o ponto de interesse do intervalo .\n
\n
\n Uma aplicação prática do uso da série de Fourier é o armazenamento e transmissão de imagens. Consideremos que uma\n fotografia seja tirada em um telefone celular com câmera. A foto é composta de pontos coloridos. Supondo que a\n resolução da foto seja de \n , então a foto é um retângulo de 640 pontos de largura por 480 pontos de\n altura. São portanto 307.200 pontos coloridos, dispostos em 640 colunas e 480 linhas.\n
\n
\n Para gravar esta foto, no sistema VGA, são armazenados 3 bytes de informações para cada um destes pontos. Estes bytes\n correspondem às intensidades de vermelho, verde e azul de cada ponto. São então 921.600 bytes que devem ser gravados,\n isto sem contar outras informações, conhecidas como o cabeçalho da imagem. Cada byte armazena como informação um número\n inteiro de 0 a 255.\n
\n
\n Vamos agora ver como a série de Fourier pode ajudar a economizar espaço para gravar esta figura.\n
\n
\n Se olharmos para cada uma das 480 linhas que compõem a figura temos que cada linha possui 640 pontos. São 640 bytes\n armazenando as intensidades de vermelho, 640 armazenando as intensidades de verde e 640 as intensidades de azul, num\n total de 1.920 bytes para cada uma das 480 linhas da figura. Se traçarmos um gráfico destes 640 valores para a\n intensidade de vermelho, podemos construir uma função que representa estas intensidades.\n
\n
\n A função será portanto uma função constante em cada um dos 640 subintervalos no qual foi dividido o intervalo \n .\n
\n
\n
\n
Figura 4.3:\n Gráfico de uma cor de uma linha da figura.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n A função pode ainda ser reescalonada para que os valores estejam, digamos de 0 a 1, ao invéz de 0 a 255. O\n reescalonamento é para que os saltos da função sejam pequenos, diminuindo a oscilação da série de Fourier na passagem\n de um segmento a outro.\n
\n
\n Feito isto, montamos a série de Fourier desta função . A série de Fourier de dará uma boa aproximação para a\n função . Tudo o que precisamos armazenar agora são os coeficientes de Fourier desta série. Exemplificaremos o\n processo considerando 21 coeficientes, sendo eles , e para \n . Como estes\n coeficientes são números reais, então o armazenamento de cada um destes números ocupa 6 bytes, totalizando 126 bytes\n para os 21 coeficientes de Fourier.\n
\n
\n Desta forma, ao invés de gastar 640 bytes para armazenar as intensidades de vermelho, podemos usar apenas 126 bytes.\n Repetindo este processo para as intensidades de verde e de azul, temos o armazenamento de 378 bytes para cada linha da\n figura, no lugar dos 1.920 bytes tradicionais.\n
\n
\n Aplicando isto a todas as 480 linhas da figura, temos um gasto de 181.440 bytes ao invés dos 921.600 tradicionais. Uma\n compactação de mais de 80%. Levemos ainda em conta que podem ser armazenados mais do que os 21 coeficientes que\n citamos, ou menos. Gravando mais coeficientes implicará em uma maior qualidade da imagem, porém, menos economia de\n espaço e menos coeficientes implicarão menor qualidade, porém, maior economia de espaço. Pode-se ainda trabalhar com\n apenas os coeficientes da função seno ou somente com os coeficientes da função cosseno. O formato de imagens conhecido\n como JPG ou JPEG é um sistema de compressão e armazenamento de imagens baseado em uma série de cossenos.\n
\n
\n O espaço necessário para gravar uma figura já não é um grande problema. Os atuais discos rígidos e os cartões de\n memória para celulares e câmeras digitais já possuem uma capacidade de armazenamento bem expressiva, o que poderia até\n dispensar uma compactação da imagem. Mas a transmissão das imagens é ainda um problema.\n
\n
\n Celulares com tecnologia GSM transmitem dados a uma taxa máxima de 9.600bps, isto é, 9.600 bits por segundo e isto\n significa 1.200 bytes por segundo (1byte = 8bits). A tecnologia GPRS possui na prática uma taxa de transmissão de dados\n de até 40.200bps (em teoria até 171.200bps). A tecnologia EDGE transmite na prática até 384.000bps (em teoria até\n 473.600bps). A tecnologia 3G transmite até 7Mbps (Mega bits por segundo), isto é, 7.340.032 bits por segundo, ou\n 917.504 bytes por segundo.\n
\n
\n Uma imagem com 921.600 bytes necessita de 768 segundos, ou 12 minutos e 48 segundos para a transmissão via GSM. Já uma\n imagem de 181.440 bytes, compactada por série de Fourier, necessita de 152 segundos, ou 2 minutos e 32 segundos para a\n transmissão. Isto conseguindo a taxa máxima de transmissão. Independentemente da tecnologia utilizada ou da taxa de\n transmissão atingida, 921.600 bytes sempre necessitarão 5 vezes mais tempo para serem transmitidos do que 181.440\n bytes.\n
\n
\n A evolução das tecnologias de celulares ajuda na redução do tempo de transmissão. Na contramão desta evolução, a\n resolução das imagens também evolui. Resoluções maiores como \n ou \n , significam que as\n imagens possuem mais pontos e, consequentemente, exigem mais espaço para a gravação e mais tempo para a transmissão. A\n compactação continua sendo importante neste processo pois diminui o tamanho e o tempo de transmissão das imagens,\n quaisquer que sejam as tecnologias utilizadas para armazenamento e transmissão de dados.\n
\n\n:::\n\n## 4.5 Lançamento vertical e queda livre com resistência {#SECTION00850000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Nesta seção vamos estudar a velocidade de um objeto lançado verticalmente para cima, em determinado momento , a\n uma certa velocidade inicial . Quando este objeto atingir a altura máxima, ele começa a cair. Vamos também\n estudar esta velocidade de queda.\n
\n
\n Consideremos um sistema coordenado com apenas um eixo vertical, apontando para cima, cuja origem é o nível do solo.\n Designemos por o tempo, a posição (altura em relação ao solo) do objeto e a velocidade do objeto no\n instante .\n
\n
\n Supondo que este objeto seja então lançado para cima, ele está sujeito à ação da gravidade e também a uma força de\n atrito com o ar. Em geral, forças de atrito são consideradas como sendo proporcionais a uma potência da velocidade.\n Esta potência varia de acordo com a própria velocidade. Para problemas desta natureza a potência considerada é 2.\n
\n
\n A ação da gravidade resume-se na força peso , sendo a massa do objeto e a aceleração da gravidade. A\n força de atrito com o ar, é considerada como \n , sendo 0$\"> a constante de proporcionalidade que é\n dependente de alguns fatores como densidade do ar e a área da secção transversal frontal do objeto. O sinal negativo\n das duas forças é decorrente do fato que são contrárias ao referencial, isto é, ambas apontam para baixo.\n
\n
\n Para um corpo qualquer, a constante de proporcionalidade é dada por \n , sendo que é a\n densidade do ar, é a área da secção transversal frontal exposta ao ar e é um coeficiente que depende da\n forma do objeto. Embora a densidade do ar varie com a altura, para cálculos aproximados em baixa altitude, pode ser\n utilizado o valor ao nível do mar que é de \n .\n
\n
\n De acordo com a segunda lei de Newton, temos que , sendo a força resultante do sistema, que é a soma das\n duas forças consideradas. Temos assim,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n A aceleração por sua vez é igual à derivada da velocidade em função do tempo e então temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Esta é uma equação diferencial não linear, sujeita a uma condição inicial \n . Resolver esta equação nos\n fornece que é a velocidade do objeto em função do tempo. Vamos obter esta solução. Reescrevemos a equação\n diferencial na forma\n \n
\n
\n \n
\n ou, ainda,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Para simplificar, chamemos \n e integrando a equação anterior em , temos\n \n
\n
\n \n
\n para algum \n , constante de integração.\n
\n
\n A integral do primeiro membro pode ser determinada por\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n donde segue que\n \n
\n
\n \n
\n para alguma constante de integração . Usando a condição inicial \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Temos portanto que a velocidade é dada implicitamente por\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Aplicando tangente em ambos os membros e usando a identidade da soma de arcos para a tangente, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.14)
\n
\n
\n para qualquer t_{0}$\">.\n
\n
\n O movimento de ascendência do objeto é então dado em termos da função tangente. Sabemos que este movimento deve\n obrigatoriamente cessar na ausência de outras forças. Para ser mais preciso, observe que conforme cresce, a equação\n (4.14) nos diz que decresce. Como a função tangente vai para o infinito continuamente quando o argumento se\n aproxima de \n , então existe um tempo \n t_{0}$\"> de forma que o numerador de (4.14) se anula.\n
\n
\n Este tempo , é o tempo em que o objeto atinge a velocidade \n e começa o movimento de queda livre,\n de volta ao solo. Colocando \n , podemos facilmente verificar que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n A altura que o objeto atinge, antes de começar a cair, também pode ser determinada. Como sabemos, a\n velocidade do objeto, é dada em termos da sua posição pela igualdade\n \n
\n
\n \n
\n e portanto\n \n
\n
\n \n
\n para alguma constante de integração . Substituindo temos\n \n
\n
\n \n
\n e fazendo a mudança de variáveis \n , temos \n ,\n e assim\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Observe que nesta etapa, estamos considerando que \n . Nestes termos,\n \n
\n
\n \n
\n e lembrando que \n , temos que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Isto significa que \n e neste intervalo temos que \n 0$\">. Podemos portanto descartar o\n módulo no logaritmo. Segue que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n para alguma constante de integração . Para determinar a constante , usamos a condição inicial \n , que\n nos fornece \n . Temos assim, que\n a altura do objeto em um determinado tempo com \n , é dada por\n \n
\n
\n \n
\n sendo portanto a altura máxima que o objeto atinge\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Agora, vamos seguir o estudo quando t_{1}$\">. No instante , o objeto atinge a altura máxima e começa então o\n movimento de descida do objeto conhecido como movimento de queda livre. O problema da queda livre pode ser totalmente\n desvinculado do que esquematizamos até agora. Um objeto pode cair em queda livre sem ter sido necessariamente\n arremessado para cima. Um exemplo disto é um paraquedista que salta de um avião.\n
\n
\n A equação de descida do objeto é um pouco diferente pois agora a força de atrito age no mesmo sentido do referencial. A\n equação das forças é agora dada por\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto, a equação diferencial é dada por\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.15)
\n
\n
\n sujeita à condição inicial \n . No caso do corpo ser arremessado verticalmente para cima, temos que\n \n . Por uma questão de simplicidade substituímos o termo \n por \n .\n
\n
\n Temos portanto um problema de valor inicial\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Reescrevendo a equação diferencial obtemos\n \n
\n
\n \n
\n e integrando em , com a mudança de variáveis \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n De acordo com as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas (ver tabela 3.1)\n temos que a integral do último membro é igual a \n para \n , ou igual a \n se \n .\n
\n
\n Observemos que não há a possibilidade de que \n , em virtude de que a força de aceleração \n nunca se anula (a menos que não haja gravidade) e, portanto, o lado direito da igualdade (4.15) também nunca\n se anula.\n
\n
\n Resta que ou \n 1$\"> ou \n . Isto será uma decorrência da velocidade inicial de\n queda . Se \n \\frac{1}{\\lambda^{2}}$\"> então esta desigualdade se mantem para todo t_{1}$\"> e se \n então isto se mantem para todo t_{1}$\">.\n
\n
\n Para não sobrecarregar (ainda mais) o texto, vamos escolher uma das duas situações observadas acima. Para ficar\n consistente com início da seção, isto é, o arremesso vertical e o instante no qual \n ,\n escolhemos o caso em que \n . Assumindo esta condição, temos que \n e a\n solução da equação diferencial será dada implicitamente por\n \n
\n
\n \n
\n e voltando à variável ,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n A constante , calculada pela condição inicial \n , é\n \n
\n
\n \n
\n o que nos leva a\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Com o intuito de isolar a velocidade , reescrevemos a igualdade na forma\n \n
\n
\n \n
\n e aplicamos tangente hiperbólica em ambos os membros, obtendo\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n A velocidade de queda do objeto é dada portanto em termos da função tangente hiperbólica. Vamos analisar o\n comportamento da velocidade quando \n . Observe que na prática não podemos considerar \n ,\n porque certamente o objeto atinge o solo em um tempo finito. Mas esta análise nos trará boas ideias sobre a velocidade\n terminal, isto é, a velocidade aproximada com que o objeto atinge o solo.\n
\n
\n Lembremos que \n , quando \n (Ver seção 2.3). Assim, quando \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n donde \n . O sinal negativo decorre do fato de que a velocidade do objeto\n é um vetor que aponta em sentido contrário ao referencial escolhido.\n
\n
\n Supondo que o objeto em questão fosse um paraquedista com paraquedas aberto, temos que a velocidade terminal do\n paraquedista (em módulo) é \n , sendo\n o peso do paraquedista, a densidade do ar e a área do paraquedas.\n
\n
\n Vemos então que quanto maior for o peso do paraquedista, maior a velocidade terminal. Também, quanto maiores forem a\n área do paraquedas ou a densidade do ar, menor a velocidade terminal.\n
\n
\n Podemos também determinar o tempo que o objeto leva para atingir o solo novamente. Este tempo é exatamente o\n tempo em que \n . O problema momentâneo é que não temos ainda uma identidade para a posição do objeto,\n no momento de queda. Vamos determinar esta igualdade. Como feito anteriormente\n \n
\n
\n \n
\n para alguma constante de integração , que será determinada pela condição inicial \n a altura em que o\n objeto foi solto em queda livre no instante . No caso de o objeto ter sido arremessado verticalmente, então\n lembremos que esta condição será \n .\n
\n
\n Substituindo na equação integral, temos\n \n
\n
\n \n
\n e fazendo a mudança de variáveis \n , temos \n e, assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Substituindo a condição \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n e, assim,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Reorganizando temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e calculando o tempo , para que \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Para finalizar, observamos que se tivéssemos escolhido \n 1$\">, então a velocidade seria dada por\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e sabendo que \n quando \n , ainda teríamos \n \n quando \n .\n
\n \n:::\n\n## 4.6 O pêndulo simples {#SECTION00860000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Um pêndulo consiste de um objeto de massa preso a um suporte horizontal rígido por um fio de comprimento . O fio\n é considerado rígido, inextensível e com massa desprezível. Este objeto é solto de uma posição inicial, onde o fio faz\n um ângulo \n com a perpendicular e começa a oscilar em movimento de vai-e-vem. Vamos considerar que\n \n 0$\">.\n
\n
\n Uma vez solto o pêndulo, o ângulo que o fio faz com a perpendicular, varia com o tempo. Nestes termos \n é uma função da variável temporal , isto é, \n e, além disso, \n .\n A situação pode ser visualizada na figura 4.4.\n
\n
\n
\n
Figura 4.4:\n Pêndulo simples.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n O movimento do objeto se dá em um plano bidimensional e descreve neste plano uma trajetória circular. Fixemos um\n sistema coordenado bidimensional nas coordenadas tangencial e radial ao movimento circular. Isto é, um dos eixos é\n tangente à trajetória circular enquanto o outro eixo é normal (perpendicular) à trajetória circular.\n
\n
\n Sobre este objeto agem a força peso , a força de tensão com a haste e uma força de atrito\n (ou resistência do ar).\n
\n
\n A força peso é decomposta, em termos do ângulo que a haste faz com a vertical, nas componentes tangencial e radial como\n \n , sendo a massa do objeto e a aceleração gravitacional.\n
\n
\n A força de tensão com a haste é decomposta como \n sendo o módulo da força de tensão na componente\n radial. A primeira coordenada é nula pois não há força de tensão com a haste no sentido tangencial.\n
\n
\n Como a velocidade do pêndulo é pequena, a força de atrito é considerada como sendo proporcional à velocidade\n , isto é, \n , para uma constante de proporcionalidade 0$\">. O sinal negativo é consequência de que\n a força de atrito age no sentido contrário à velocidade. A segunda componente é nula pois a resistência não afeta o\n movimento radial. Na verdade, como a haste é considerada inextensível, não há movimento radial. A velocidade ainda deve\n ser dada em termos do deslocamento circular, isto é, \n .\n
\n
\n Como vimos na seção anterior, \n , em que é a densidade do ar, a área frontal do\n objeto e um coeficiente que depende da forma do objeto. Para objetos esféricos considera-se \n .\n
\n
\n De acordo com a segunda lei de Newton, temos \n , sendo que é a força resultante do sistema.\n A aceleração deve ser considerada somente na componente tangencial, em termos do deslocamento circular\n . Isto é, \n .\n
\n
\n Assim, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Igualando cada uma das componentes temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.16)
\n
\n
\n
\n
\n (4.17)
\n
\n
\n sendo que \n . Este sistema está sujeito às condições iniciais em , dadas por\n \n o ângulo inicial em que o pêndulo é solto e \n a velocidade inicial\n do pêndulo. Se o pêndulo for solto do repouso, então naturalmente \n .\n
\n
\n A equação (4.16) é uma equação diferencial não linear na variável \n . Garantir a existência\n de uma solução pode ser complicado e mais complicado ainda talvez seja encontrar esta solução. Modificações podem ser\n feitas na equação (4.16) a fim de facilitar a determinação de uma solução. Vamos estudar agora o caso em que a\n equação é liearizada, pois equações diferenciais lineares são mais fáceis de se obter solução. Vamos considerar então\n que o pêndulo oscile com variações pequenas do ângulo . O limite (ver proposição 1.6),\n \n
\n
\n \n
\n sugere que para valores pequenos do argumento , o numerador e o denominador são valores muito próximos. Podemos\n traduzir isto escrevendo \n para valores pequenos de . Para se ter uma ideia desta\n aproximação, o erro cometido ao aproximar \n por para um ângulo de \n , é menor que um\n milésimo.\n
\n
\n Nesta abordagem, o termo não linear \n é substituído por e a equação (4.16) torna-se\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.18)
\n
\n
\n que agora é uma equação diferencial linear. Esta equação diferencial possui soluções baseadas nas raízes da equação do\n segundo grau,\n \n
\n
\n \n
\n chamada de equação auxiliar. A respeito destas raízes, temos três casos a considerar.\n
\n
\n Caso 1. Se \n 0$\"> então a equação auxiliar possui duas raízes reais\n distintas\n \n
\n para e constantes a serem determinadas pelas condições iniciais \n e \n .\n
\n
\n Mas note que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e, portanto, o movimento angular do pêndulo decai a zero exponencialmente. Isto deve-se a um valor elevado da constante\n de proporcionalidade \n . Valor alto o suficiente para tornar \n 4m^{2}Lg$\">.\n Observemos que se a densidade , do meio em que o pêndulo estiver imerso for alta, então esta situação é atingida.\n
\n
\n Neste caso, se o pêndulo passar pela solução de equilíbrio \n , isto somente poderá ocorrer uma vez,\n exatamente no ponto\n \n
\n
\n \n
\n e somente se e possuírem sinais contrários.\n
\n
\n Caso 2. Se \n , então a única raiz real da equação auxiliar é,\n \n
\n
\n \n
\n e, neste caso, a solução de (4.18) é dada por\n \n
\n
\n \n
\n para e constantes que satisfarão as condições iniciais \n e \n .\n
\n
\n Observe que ainda temos que a solução vai para zero quando \n . Também a solução passa uma única vez pela\n solução de equilíbrio, exatamente em\n \n
\n
\n \n
\n também para e com sinais contrários (pois ).\n
\n
\n Caso 3. Se \n então as raízes da equação auxiliar são os\n números complexos conjugados\n \n
\n
\n \n
\n e então a solução da equação diferencial (4.18) toma a forma (que mais nos interessa)\n \n
\n
\n \n
\n com \n e e constantes que satisfazem as condições\n iniciais \n e \n .\n
\n
\n Observe que agora temos um movimento oscilatório. Mesmo assim, a presença da exponencial com potência negativa nos diz\n que o movimento tende a zero quando \n . Porém agora o valor da constante de proporcionalidade é pequeno.\n Para ser mais preciso, \n . Isto significa que a convergência para zero se dá de forma mais\n lenta, permitindo algum tempo de oscilação, antes do pêndulo parar. Esta parada ocorre na prática, mas teoricamente o\n pêndulo oscila para sempre com oscilação muito pequena.\n
\n
\n Para finalizar esta seção observe que a equação (4.17) não foi utilizada até agora. Em verdade ela é útil para\n calcular a força de tração , exercida pelo fio sobre o objeto, depois que tivermos determinado uma expressão para\n .\n
\n\n:::\n\n## 4.7 Sistema massa-mola {#SECTION00870000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Vamos considerar que uma mola extensível, de comprimento em repouso, esteja presa verticalmente a um suporte\n rígido. Prendemos então um objeto de massa à extremidade livre da mola. Isto provocará uma distensão da mola, para\n um ponto de equilíbrio, por unidades de comprimento.\n
\n
\n Parece natural que se deslocarmos a massa e a soltarmos, esta massa oscilará em movimento de sobe e desce. Queremos\n um modelo para determinar a sua posição com o tempo. Para equacionar o problema, fixemos um sistema coordenado (só\n precisaremos da componente vertical) cuja origem está no ponto que dista do suporte rígido e cresce no\n sentido do suporte.\n
\n
\n Designemos a posição do objeto no instante , ou mais precisamente, a posição da extremidade da mola no\n instante . Note então que a distância entre o objeto e o suporte rígido, no instante é\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n De acordo com o nosso referencial duas forças unidimensionais atuam sobre o objeto. A força peso e a força de\n tração da mola , ambas com mesma direção (vertical) e sentidos contrários.\n
\n
\n O peso , considerado negativo por estar em sentido contrário ao eixo fixado, é dado por . A força de\n tração é dada pela lei de Hooke. A lei de Hooke diz que a força de tração da mola é proporcional à distensão\n causada pela massa. Isto é, sendo 0$\"> a constante de proporcionalidade, conhecida como constante de\n elasticidade da mola, que depende do material que a mola é composta.\n
\n
\n Agora note que, como o sistema está em equilíbrio, a força resultante é nula. Isto é, \n , o que nos leva a\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Desloquemos a massa por uma quantidade e deixamos o sistema livre para se movimentar. Agora a força de tensão\n depende também da posição do corpo. Temos assim,\n \n
\n
\n \n
\n pois a distenção da mola agora é . De acordo com a segunda lei de Newton temos \n . Segue que\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto, a equação que descreve o movimento do corpo é\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como a aceleração é a derivada segunda do movimento , então a equação diferencial\n \n
\n
\n \n
\n modela o movimento da massa com o passar do tempo. Ainda temos as condições iniciais\n \n
\n
\n e\n
\n que siginificam respectivamente a posição inicial e a velocidade inicial (zero se o sistema é solto do repouso).\n
\n
\n Temos então o Problema de Valor Inicial,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.19)
\n
\n \n \n
\n Esta equação diferencial é uma equação linear homogênea de ordem 2. Podemos verificar que a função dada por\n \n
\n
\n \n
\n com \n e e são números reais quaisquer, é uma solução para a equação\n diferencial. Observe que o movimento é oscilatório em termos de senos e cossenos. As constantes e podem\n ser determinadas substituindo-se as duas condições \n e \n . Temos assim,\n \n
\n
\n \n
\n donde a solução é\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Observe que para conhecer esta equação completamente ainda é necessário conhecer e, para isso, precisamos do\n valor da constante da mola . Este valor pode ser determinado medindo-se o deslocamento causado pela massa ,\n pois como vimos , ou ainda, \n , onde é o peso do objeto (o módulo da força\n peso ).\n
\n
\n Este modelo pode ser complicado um pouco mais. Para ser mais preciso, este modelo é muito simples, pois supõe condições\n que na prática são irreais. As únicas forças consideradas são a força peso e a força de tração da mola e isto supõe a\n ausência de outras forças externas, como por exemplo, a resitência do ar. Este modelo precisa então de vácuo perfeito.\n Por este motivo, o sistema acima é dito sistema do movimento livre não amortecido.\n
\n
\n Um exemplo de complicação do problema é considerar que a mola “envelhece”. Em outras palavras, considerar que a\n constante da mola, seja variável com o tempo. Fisicamente isto significa que a mola perde suas propriedades\n iniciais de deformação com o passar do tempo.\n
\n
\n Poderíamos considerar a função de elasticidade da mola seja dada por \n com 0$\"> e \n 0$\">. Temos\n então uma equação diferencial dada por \n . Outra função de elasticidade da mola que\n poderíamos considerar é \n para 0$\"> e então a equação diferencial se torna \n .\n Em ambos os casos temos equações diferenciais de ordem 2 com coeficientes variáveis e isto dificulta muito a obtenção\n de uma solução analítica.\n
\n
\n Outra complicação que podemos causar, que não dificulta determinar uma solução, é considerar que o corpo oscile imerso\n em algum fluido, como ar, água, óleo, entre outros. Isto obrigará a consideração de alguma força externa de atrito\n agindo sobre o sistema.\n
\n
\n Em geral, uma força de atrito é considerada como sendo proporcional a uma potência da velocidade. Como a velocidade de\n oscilação da massa é relativamente pequena, em geral a potência considerada é 1, isto é, a força de atrito é\n proporcional à velocidade .\n
\n
\n Nestes termos, consideremos\n \n
\n
\n \n
\n para \n 0$\">. O sinal negativo é decorrência de que a força de amortecimento é contrária à velocidade. Assim, a\n força resultante é\n \n
\n
\n \n
\n e temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Lembrando que a aceleração é a derivada segunda da posição (\n ) e que a velocidade é a derivada primeira\n da posição (\n ), então vem a equação diferencial\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.20)
\n
\n
\n sujeita às condições iniciais \n (posição inicial) e \n (velocidade inicial).\n
\n
\n A solução desta equação agora depende agora das raízes da equação auxiliar quadrática,\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto, do comportamento de \n . Temos três casos a considerar.\n
\n
\n Caso 1. Se \n 0$\"> então podemos verificar que a função dada por\n \n
\n
\n \n
\n com\n \n
\n
\n e\n
\n é solução da equação diferencial (4.20) para quaisquer constantes reais e .\n
\n
\n Observe que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e isto garante que, independentemente das constantes e , ou da posição inicial e da velocidade inicial,\n a solução do sistema tende a zero exponencialmente quando \n . De outra forma,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Isto significa que o movimento do corpo tende a cessar exponencialmente. É uma consequência imediata de uma constante\n de amortecimento muito grande. Grande o suficiente para garantir que \n 0$\">. Neste caso\n dizemos que o sistema é super amortecido.\n
\n
\n Caso 2. Se \n então podemos verificar que a função\n \n
\n
\n \n
\n é solução da equação diferencial (4.20) para e constantes reais e \n \n a única raiz real da equação auxiliar.\n
\n
\n Note que ainda temos e, portanto, a solução ainda decai (exponencialmente) para zero quando \n . Este\n sistema é dito criticamente amortecido, pois ainda é amortecido, mas qualquer decréscimo na constante de amortecimento\n , o movimento se tornará oscilatório.\n
\n
\n Caso 3. Se \n então temos que a função\n \n
\n
\n \n
\n com \n , é solução da equação diferencial (4.20) para e\n constantes reais quaisquer. Observe que mesmo sendo um movimento oscilatório, o termo\n \n tende a zero quando \n . Isto significa que este movimento oscilatório ainda\n tende a diminuir e cessar com o tempo. Porém isto ocorrerá de forma mais lenta permitindo algum tempo de oscilação do\n corpo antes da parada.\n
\n
\n Este tempo de oscilação naturalmente depende de que é a constante de proporcionalidade da força de atrito.\n Quanto menor o valor de mais tempo de oscilação antes de o corpo parar. Esta parada ocorre na prática, mas\n lembremos que teoricamente a oscilação ocorre para todo .\n
\n Alguns alunos acreditam que as funções trigonométricas, principalmente as hiperbólicas, existem apenas para complicar\n suas vidas. Uma ferramenta a mais para o professor acabar com suas noites de sono tranquilo. Infelizmente para os\n alunos e felizmente para a matemática, essas funções não são descartáveis. Neste capítulo, apresentaremos algumas\n situações onde são utilizadas as funções trigonométricas.\n
\n
\n Os livros de ensino fundamental e médio já apresentam algumas aplicações a respeito destas funções, tais como o cálculo\n da altura de obstáculos (torres, edifícios e montanhas), do raio da terra, da distância entre objetos, entre outras\n aplicações. São em geral situações onde podem ser utilizados argumentos geométricos com triângulos retângulos.\n
\n
\n As aplicações que iremos aqui apresentar, são um pouco mais complexas e exigirão a utilização de trigonometria no\n contexto das funções. Para uma melhor compreensão destas aplicações recomendamos ao leitor algum conhecimento de\n cálculo diferencial e integral, geometria, equações diferenciais e de conceitos físicos. De qualquer forma, em cada\n seção tentaremos apresentar, mesmo que sem demonstração, alguns dos resultados ou conceitos que desejamos utilizar.\n
\n\n:::\n\n## 4.1 Cálculo do número $\\pi$ {#SECTION00810000000000000000}\n \n::: {.raw_html}\n \n
\n O número “pi”, é conhecido da humanidade ainda antes de Cristo. É difícil dizer com precisão quando foi concebido,\n mas desde muito cedo, o homem percebeu que dividindo o comprimento de uma circunferência qualquer pelo seu diâmetro,\n resultava sempre um mesmo valor.\n
\n
\n O símbolo atual que designa o número “pi” é a letra grega , que foi utilizada pela primeira vez em 1706 por\n William Jones, mas só foi amplamente aceita quando usada por Euler em 1737. Fato este que não nos impedirá de usar a\n notação atual , mesmo para citações mais antigas.\n
\n
\n O primeiro matemático a investigar o número foi Arquimedes (287-212 a.C.). Ele efetivamente calculou uma\n aproximação para . Arquimedes construiu polígonos regulares inscritos e circunscritos em uma circunferência e\n calculou o perímetro destes polígonos. Quanto mais lados ele colocava no polígono, melhor a aproximação. Usando um\n polígono regular de 96 lados, Arquimedes afirmou que\n \n
\n
\n \n
\n ou seja, \n . A fração \n é uma das mais famosas aproximações para .\n Entretanto, um artifício do Cálculo Diferencial e Integral nos mostra que \n . Mais precisamente,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Arquimedes, assim como outros matemáticos de sua época, acreditava que fosse um número racional. No entanto, em 1761 o\n alemão Johann Lambert provou que é um número irracional. Isto significa que esse número, assim como todos os\n números irracionais, possui infinitas casas decimais que não apresentam comportamento periódico.\n
\n
\n Devido a este fato, vários matemáticos ficaram ocupados durante algum tempo para calcular o valor de com mais casas decimais corretas. O objetivo desta seção é mostrar como a função arco tangente pode ser utilizada para calcular\n casas decimais do número .\n
\n
\n Para iniciarmos, precisamos fazer algumas apresentações a respeito de séries geométricas e séries alternadas. É\n recomendado ao leitor alguma habilidade sobre sequências e séries. Para um estudo mais aprofundado sobre estas e outras\n séries recomendamos [8, Swokowski].\n \n
\n
Definição 4.1 \n Dada uma sequência geométrica infinita \n , a soma dos termos desta sequência é chamada de série\n geométrica. É uma expressão da forma\n \n \n
\n \n
\n \n
\n No caso de a soma infinita existir e ser igual a um número real , então dizemos que a série é convergente, ou\n ainda, convergente para . No caso em que a soma não existir então a série é dita divergente. Como casos\n particulares, observe que se então a soma é igual a e portanto convergente e se então a soma é\n \n e portanto divergente.\n
\n \n
Teorema 4.2 \n Uma série geométrica, \n , é convergente, se e somente se, . No caso de convergir, o valor desta\n soma é precisamente o número \n .\n
\n \n
Definição 4.3 \n Se \n é uma sequência infinita de termos positivos, então uma série alternada é uma soma da\n forma,\n \n \n
\n \n
\n \n \n
Teorema 4.4 \n Uma série alternada \n é convergente se os termos formam uma sequência positiva, decrescente,\n e que tende a zero.\n
\n \n
\n O leitor interessado nas demonstrações dos dois últimos teoremas, ou em alguns exemplos de séries alternadas e\n geométricas, pode consultar [8, Swokowski].\n
\n
\n Consideremos então que seja uma variável real que assume valores no intervalo . Então \n .\n Podemos assim, construir uma série geométrica com primeiro termo igual a 1 e razão \n , que de acordo com o teorema 4.2, é convergente para o número \n , já que \n .\n Temos então que,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.1)\n
\n
\n \n
\n
\n para qualquer \n . Observe que esta é uma série geométrica, mas também é uma série alternada. Podemos ainda\n dizer que esta série é uma série de potências de , uma vez que seus termos são potências da variável .\n
\n
\n Lembremos agora que a fração \n , vista como função de , é a derivada da função \n ,\n exatamente como vimos na seção (1.7). Em outras palavras,\n \n
\n
\n \n
\n e isto significa que,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Recorremos agora ao teorema que garante a integração de uma série de potências. A demonstração deste resultado também\n pode ser encontrada em [8, Swokowski].\n
\n \n
Teorema 4.5 \n Se uma função possui representação em série de potência de , isto é, \n e esta série\n for convergente em todo \n , então\n \n \n
\n \n
\n para todo \n . A convergência da nova série obtida pela integração dos termos, pode ser alterada se .\n
\n \n
\n Este teorema nos permite então determinar, por integração, a série da função arco tangente. Temos assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e, assim, obtemos a igualdade desejada para o nosso objetivo,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.2)
\n
\n \n
\n \n \n
\n Esta igualdade é válida para todo no intervalo . O ponto , deve ser avaliado novamente pois é um dos\n extremos do intervalo de convergência. Para ser mais preciso, a série geométrica (4.1) é divergente no ponto\n . Mas como o teorema 4.5 afirma que a convergência pode ser alterada nos extremos do intervalo,\n precisamos de uma nova investigação para nos certificarmos de que a série de interesse (4.2), tornou-se\n convergente em . Note que para , a série em (4.2) torna-se,\n \n
\n
\n \n
\n que é uma série alternada que satisfaz as condições do teorema 4.4 e portanto é convergente. A série\n (4.2) também converge se , mas como este valor de está fora do nosso interesse, deixaremos os\n detalhes para o leitor interessado.\n
\n
\n Segue que a igualdade (4.2) é válida também para e como sabemos que \n , então temos a fórmula,\n \n
\n
\n \n
\n ou, ainda,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.3)
\n
\n \n \n
\n Esta expressão, obtida por volta de 1670, é conhecida como fórmula de Gregory-Leibniz. O problema desta fórmula é que a\n convergência se dá de forma muito lenta, pois a série em (4.2) converge para no intervalo e\n como se pode ver, o ponto utilizado para obter a série está no extremo do intervalo. Quanto mais afastado do\n centro deste intervalo, mais lenta a convergência. Não vamos discutir aqui os chamados “níveis de convergência” e\n então para nós, convergência mais rápida significa obter mais casas decimais corretas com menos termos adicionados.\n
\n
\n Vamos exemplificar o uso desta fórmula calculando uma aproximação para usando as 30 primeiras parcelas da soma\n infinita.\n
\n \n \n
\n
Tabela 4.1:\n Aproximação de pela série de Gregory-Leibniz.
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
0
\n
\n
4,0000000
\n
\n
4,0000000
\n
\n
1
\n
\n
-1,3333333
\n
\n
2,6666667
\n
\n
2
\n
\n
0,8000000
\n
\n
3,4666667
\n
\n
3
\n
\n
-0,5714286
\n
\n
2,8952381
\n
\n
4
\n
\n
0,4444444
\n
\n
3,3396825
\n
\n
5
\n
\n
-0,3636364
\n
\n
2,9760461
\n
\n
6
\n
\n
0,3076923
\n
\n
3,2837384
\n
\n
7
\n
\n
-0,2666667
\n
\n
3,0170717
\n
\n
8
\n
\n
0,2352941
\n
\n
3,2523658
\n
\n
9
\n
\n
-0,2105263
\n
\n
3,0418395
\n
\n
10
\n
\n
0,1904762
\n
\n
3,2323157
\n
\n
11
\n
\n
-0,1739130
\n
\n
3,0584027
\n
\n
12
\n
\n
0,1600000
\n
\n
3,2184027
\n
\n
13
\n
\n
-0,1481481
\n
\n
3,0702546
\n
\n
14
\n
\n
0,1379310
\n
\n
3,2081856
\n
\n
15
\n
\n
-0,1290323
\n
\n
3,0791533
\n
\n
16
\n
\n
0,1212121
\n
\n
3,2003654
\n
\n
17
\n
\n
-0,1142857
\n
\n
3,0860797
\n
\n
18
\n
\n
0,1081081
\n
\n
3,1941878
\n
\n
19
\n
\n
-0,1025641
\n
\n
3,0916237
\n
\n
20
\n
\n
0,0975610
\n
\n
3,1891847
\n
\n
21
\n
\n
-0,0930233
\n
\n
3,0961614
\n
\n
22
\n
\n
0,0888889
\n
\n
3,1850503
\n
\n
23
\n
\n
-0,0851064
\n
\n
3,0999439
\n
\n
24
\n
\n
0,0816327
\n
\n
3,1815766
\n
\n
25
\n
\n
-0,0784314
\n
\n
3,1031452
\n
\n
26
\n
\n
0,0754717
\n
\n
3,1786169
\n
\n
27
\n
\n
-0,0727273
\n
\n
3,1058896
\n
\n
28
\n
\n
0,0701754
\n
\n
3,1760650
\n
\n
29
\n
\n
-0,0677966
\n
\n
3,1082684
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n \n
\n \n Note pela tabela acima, que a primeira casa decimal de , somente estabiliza-se quando já\n foram somados 25 termos. Serão necessários 300 termos da série para que a segunda casa decimal seja igual a 4 e 5000\n termos para obtermos a terceira casa decimal. Apesar disto, esta fórmula está longe de ser considerada inútil.\n
\n
\n Algum tempo mais tarde, John Machin descobriu que a fórmula (4.2) poderia ser usada para valores de \n menores do que 1, obtendo assim, convergências mais rápidas. O problema é que não podemos simplesmente substituir \n , ou \n em (4.2) pois não conhecemos \n ou\n \n . É necessário um argumento mais engenhoso.\n
\n
\n Machin usou a fórmula da soma de arcos para a tangente\n \n
\n
\n \n
\n e obteve a identidade\n \n
\n
\n \n
\n e com \n , escreveu\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.4)
\n
\n \n \n
\n Usando a fórmula da duplicação de arcos para a tangente, Machin calculou\n \n
\n Aplicando arco tangente em ambos os membros e reorganizando os termos obtém-se a fórmula\n \n
\n
\n \n
\n que em 1706 foi usada por Machin para calcular 100 casas decimais para .\n
\n
\n A ideia de Machin, de reescrever \n em somas de arco tangentes com argumentos menores, motivou outros\n matemáticos. A igualdade\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.5)
\n
\n
\n com , e inteiros, se mostrou útil nesta abordagem. Note que se , e são inteiros positivos, então\n o fato de a função arco tangente ser crescente obrigará os valores de \n e \n serem menores do\n que \n . Isto significa que \n e \n estarão mais próximos de 0 do que \n , o\n que torna a convergência mais rápida. Vamos primeiramente estabelecer qual a relação entre , e para que a\n identidade (4.5) tenha sentido.\n
\n
\n Aplicando a função tangente em ambos os membros de (4.5), temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e portanto, obtemos que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Desta igualdade, organizando os termos e somando em ambos os membros, vem\n \n
\n
\n \n
\n ou ainda\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.6)
\n
\n \n \n
\n A igualdade (4.6) estabelece portanto uma relação entre , e , para que a identidade\n (4.5) faça sentido. Como estamos interessados em desmembrar \n então faremos em\n (4.5) e (4.6), obtendo\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Basta então considerar e como sendo dois fatores inteiros do número 2. Escolhemos os fatores 1 e 2.\n Colocando e obtemos e e, substituindo em (4.5), temos a fórmula\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.7)
\n
\n
\n que foi obtida por Euler em 1738.\n
\n
\n Observe que podemos novamente repetir esta ideia para modificar as arco tangentes das frações \n ou\n \n por outra soma de arco tangentes com argumentos menores ainda, para fazer convergências mais rápidas.\n
\n
\n Este foi um método muito utilizado por matemáticos e várias fórmulas foram obtidas, conhecidas como fórmulas do tipo\n Machin. Algumas delas são:\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (Strassnitzky)
\n
\n
\n
\n
\n (Huton)
\n
\n
\n
\n
\n (Euler, em 1764)
\n
\n
\n
\n
\n (Klingenstierna)
\n
\n
\n
\n
\n (Gauss)
\n
\n
\n
\n
\n (Loney, em 1893)
\n
\n
\n
\n
\n (Sebah)
\n
\n
\n
\n
\n (Stormer, em 1896)
\n
\n
\n
\n
\n (Takano, em 1982)
\n
\n \n \n
\n A fórmula de Strassnitzky, é obtida a partir da fórmula de Euler, desmembrando o termo \n . Vamos\n ver os detalhes. Considerando \n e, portanto, , em (4.5) e (4.6),\n obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Escolhemos agora dois fatores de 10. Considerando os fatores 2 e 5 e colocando e , obtemos \n e . Temos portanto\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n A fórmula de Huton é obtida, também a partir da fórmula de Euler, desmembrando o termo \n .\n Considerando \n , isto é, e, substituindo em (4.5) e (4.6), temos\n \n
\n
\n \n
\n e escolhendo e temos e e com estes valores\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Levando em conta ainda que podemos considerar que os fatores, e , do número sejam inteiros negativos,\n e usando o fato de que arco tangente é uma função ímpar, isto é, \n ,\n conseguimos o cancelamento de termos em algumas substituições. Mais ainda, , e não precisam ser números\n inteiros, já que o desenvolvimento aplicado em (4.5) é válido para quaisquer argumentos reais no domínio\n da função arco tangente.\n
\n
\n Podemos verificar que\n \n
\n
\n \n
\n e que\n \n
\n
\n \n
\n e substituindo estas duas igualdades na fórmula de Huton, obtém-se\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Vamos comparar os resultados obtidos na tabela 4.1, calculando agora uma aproximação de pela série de\n Euler (4.7). Fazendo \n e \n em (4.2), temos\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n Então temos que,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Abaixo segue uma tabela de convergência para com os 15 primeiros termos desta última série.\n
\n \n \n
\n
Tabela 4.2:\n Aproximação de pela série de Euler.
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
0
\n
2,0000000000
\n
1,3333333333
\n
3,3333333333
\n
3,3333333333
\n
\n
1
\n
-0,1666666667
\n
-0,0493827160
\n
-0,2160493827
\n
3,1172839506
\n
\n
2
\n
0,0250000000
\n
0,0032921811
\n
0,0282921811
\n
3,1455761317
\n
\n
3
\n
-0,0044642857
\n
-0,0002612842
\n
-0,0047255699
\n
3,1408505618
\n
\n
4
\n
0,0008680556
\n
0,0000225801
\n
0,0008906357
\n
3,1417411974
\n
\n
5
\n
-0,0001775568
\n
-0,0000020527
\n
-0,0001796096
\n
3,1415615879
\n
\n
6
\n
0,0000375601
\n
0,0000001930
\n
0,0000377531
\n
3,1415993410
\n
\n
7
\n
-0,0000081380
\n
-0,0000000186
\n
-0,0000081566
\n
3,1415911844
\n
\n
8
\n
0,0000017952
\n
0,0000000018
\n
0,0000017970
\n
3,1415929813
\n
\n
9
\n
-0,0000004015
\n
-0,0000000002
\n
-0,0000004017
\n
3,1415925796
\n
\n
10
\n
0,0000000908
\n
0,0000000000
\n
0,0000000908
\n
3,1415926705
\n
\n
11
\n
-0,0000000207
\n
-0,0000000000
\n
-0,0000000207
\n
3,1415926497
\n
\n
12
\n
0,0000000048
\n
0,0000000000
\n
0,0000000048
\n
3,1415926545
\n
\n
13
\n
-0,0000000011
\n
-0,0000000000
\n
-0,0000000011
\n
3,1415926534
\n
\n
14
\n
0,0000000003
\n
0,0000000000
\n
0,0000000003
\n
3,1415926536
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Observe que esta série converge muito mais rápido do que a série (4.3). Com apenas 15\n termos somados, temos 9 casas decimais corretas de . Note ainda que na terceira coluna, os valores vão para zero\n mais rápido do que na segunda coluna. Como dissemos antes, isto ocorre pois a terceira coluna representa os valores da\n série arco tangente de \n e \n está mais próximo de 0 do que \n .\n
\n
\n Atualmente o trabalho de calcular é feito com o auxílio de supercomputadores, que trabalham por horas ou até dias\n para calcular trilhões de casas decimais. As fórmulas baseadas em arco tangente são bastante utilizadas por\n apresentarem apenas números racionais.\n
\n
\n A questão principal é por que calcular com trilhões de casas decimais? Sabe-se que umas poucas casas decimais\n resolvem todos os problemas práticos de engenharia, física ou matemática. Para ser mais preciso, 39 casas decimais\n permitem calcular a medida da circunferência do universo com erro menor do que o diâmetro de um átomo de hidrogênio.\n
\n
\n Uma aplicação prática é o teste de microprocessadores. Quando um computador ou um processador numérico é desenvolvido,\n é necessário saber até que ponto sua eficiência numérica é confiável, e nestes termos, nada melhor do que testá-lo a\n calcular um número já conhecido. Calcular dígitos de , já não é mais uma questão de conhecer este número, mas sim\n de comprovar o poder dos computadores.\n
\n
\n Para uma coleção maior de fórmulas envolvendo recomendamos [6, Sebah], [1, Eymard] e também\n [9, Weisstein]. Comentários e demonstrações sobre outras fórmulas para podem ser encontrados em\n [1, Eymard].\n
\n \n:::\n\n## 4.2 Cálculo de integrais {#SECTION00820000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n\n \n\n \n
\n Dentre as aplicações clássicas e imediatas do Cálculo Diferencial e Integral estão o cálculo de áreas de regiões e de\n comprimentos de curvas determinadas por funções. Estes cálculos em geral reduzem-se ao cálculo de integrais envolvendo\n tais funções. Entretanto, determinar certas integrais não é tarefa tão fácil. Existem várias regras de integração porém\n muitas funções não se enquadram nas técnicas tradicionais de integração.\n
\n
\n Dentre várias situações podemos citar como exemplo\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n (4.8)
\n
\n
\n para 0$\"> uma constante e no devido intervalo de definição das funções consideradas.\n
\n
\n A primeira integral aparece, por exemplo, no cálculo de áreas de regiões circulares. Mais precisamente, dado 0$\">, a\n área compreendida entre o eixo e o gráfico do semi-círculo \n , no intervalo \n , é calculada pela integral definida\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n
\n
Figura 4.1:\n Área sob a semicircunferência.
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n \n
\n A segunda integral em (4.8) aparece, por exemplo, no cálculo de comprimento de curvas. O comprimento da\n curva determinada pelo gráfico de uma função quadrática \n , para alguma constante \n , no intervalo\n \n , é dado por\n \n
\n
\n \n
\n sendo que \n tornou-se uma constante de ajuste.\n
\n
\n O aluno de um curso de Cálculo Diferencial e Integral, quando se depara com alguma das integrais em (4.8),\n recorre às fórmulas de integração prontas que geralmente figuram nas últimas páginas dos livros. Mas estas fórmulas não\n “caíram do céu”. Nesta seção vamos mostrar como as funções trigonométricas podem ajudar a determinar as integrais em\n (4.8). Não vamos nos preocupar com o intervalo e então faremos os cálculos considerando as\n integrais indefinidas.\n
\n
\n Para a primeira integral em (4.8), precisaremos antes o cálculo auxiliar da integral\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Usando as identidades\n
\n
\n
\n
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\n
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\n
\n
\n
\n obtemos\n \n
\n
\n \n
\n e, também,\n \n
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\n \n
\n \n
\n Integrando temos\n
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\n
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\n
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\n
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\n \n \n
\n O leitor atento diria agora que esquecemos a constante de integração nas duas expressões acima. Por simplicidade,\n durante os cálculos omitiremos a constante de integração, que só será apresentada ao final para não perder\n definitivamente o rigor matemático. Agora vamos ao cálculo da primeira integral em (4.8). Considerando que\n \n , queremos determinar\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Fazendo a mudança de variáveis \n , temos que \n e, substituindo na integral, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Lembremos agora que \n e então a substituição \n obriga (bijetivamente) \n . Neste intervalo temos \n 0$\"> e então\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Voltando à variável original , temos que \n , ou ainda \n e, assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Obtemos então a fórmula de integração presente nos livros de Cálculo Diferencial e Integral\n \n
\n
\n \n
\n para alguma constante de integração .\n
\n
\n A segunda integral em (4.8) é obtida de forma análoga porém com funções trigonométricas hiperbólicas.\n Primeiro vamos determinar a integral\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Usando as identidades\n
\n
\n
\n
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\n temos que\n
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\n e integrando\n
\n
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\n
\n \n \n
\n Vamos agora determinar a integral de interesse,\n \n
\n
\n \n
\n considerando \n e 0$\"> uma constante arbitrária. Fazendo a mudança de variáveis \n temos que\n \n e então temos\n
\n
\n
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\n
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\n
\n
\n
\n \n \n
\n Lembrando agora que a função seno hiperbólico é bijetiva de \n em \n e então a mudança de variável \n \n permite \n e como \n 0$\"> para qualquer \n , temos\n
\n
\n
\n
\n
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\n
\n e voltando à variável , temos \n , ou ainda \n e, assim,\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Neste caso, podemos escrever esta igualdade sem o uso explícito da função arco seno hiperbólico. Usando a identidade\n \n , obtida na seção 3.3, escrevemos\n \n
\n
\n \n
\n e, reorganizando os termos temos, finalmente\n \n
\n
\n \n
\n sendo que a constante de integração absorve o termo constante \n que desprezamos na\n reorganização dos termos.\n
\n
\n A fórmula de integração\n \n
\n
\n \n
\n válida para \n 0$\">, é obtida de maneira análoga pela substituição \n . Deixamos agora os detalhes\n para o leitor.\n
\n
\n Podemos ainda observar que em algumas situações, o cálculo da integral \n não é efetuado em\n coordenadas cartesianas. Como é sabido, as coordenadas cartesianas dificultam o cálculo de integrais em regiões\n circulares. Neste tipo de região é recomendado o uso de coordenadas polares. Mas a conversão de coordenadas cartesianas\n para polares (e vice-versa) faz uso das funções trigonométricas também.\n
\n \n:::\n\n## 4.3 A catenária {#SECTION00830000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Catenária é o nome da curva que descreve a trajetória de equilíbrio de um cabo flexível, de comprimento fixo e suspenso\n por duas hastes. O estudo desta curva desempenha um papel fundamental nos cursos de engenharia.\n
\n
\n Consideremos então um cabo flexível, sustentado por duas hastes, pelos pontos e . Fixemos um sistema coordenado\n cartesiano com o eixo no nível do solo e o eixo perpendicular ao solo passando pelo ponto mais baixo do cabo.\n O cabo descreve uma curva neste sistema coordenado. Denotemos por esta curva. Chamemos o ponto\n mais baixo da curva, que está sobre o eixo . Tomemos um ponto sobre esta curva e sem perda de\n generalidade, consideremos o ponto à direita de no sistema coordenado considerado, isto é, com 0$\">.\n
\n
\n Considerando a porção do cabo entre os pontos e , temos as forças , e , atuando\n sobre esta porção do cabo. é a força peso, que é decomposta nas componentes horizontal e vertical por\n \n
\n
\n \n
\n sendo que é o peso do cabo por unidade de comprimento e é o comprimento do cabo (da porção do cabo\n considerada). é a força de tração pela direita no ponto e é decomposta nas componentes horizontal\n e vertical por\n \n
\n
\n \n
\n sendo o módulo da tensão pela direita e o ângulo que o vetor tangencial faz com a horizontal.\n é a força de tração pela esquerda no ponto , dada por\n \n
\n
\n \n
\n sendo o módulo da tensão pela esquerda.\n
\n \n \n
\n
\n
Figura 4.2:\n Forças atuantes no cabo suspenso.
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n \n
\n O sistema está em equilíbrio, isto é,\n \n
\n
\n \n
\n e então\n \n
\n
\n \n
\n donde temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Agora, sabemos do cálculo diferencial e integral que a inclinação , do vetor tangente à curva em um ponto ,\n se relaciona com a curva por\n \n
\n
\n \n
\n donde temos que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Mas note que não é uma constante. é o comprimento da curva de a e isto dependerá da posição do\n ponto . Sabemos (do cálculo) que o comprimento desta curva pode ser calculado pela fórmula integral,\n \n
\n
\n \n
\n e, assim,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Para eliminar a integral do segundo membro, derivamos ambos os membros da igualdade e, usando o Teorema Fundamental do\n Cálculo, obtemos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.9)
\n
\n \n \n
\n A esta equação diferencial, juntamos as condições iniciais e . Com o intuito de encontrar\n , a função que descreve a curva catenária, vamos resolver esta equação diferencial. Fazendo e\n substituindo em (4.9), temos a equação diferencial de ordem 1,\n \n
\n
\n \n
\n que pode ser reescrita na forma\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Integrando em , obtemos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.10)
\n
\n
\n para alguma constante de integração que ainda será determinada. Para determinar a integral do primeiro membro,\n notemos que\n \n
\n
\n \n
\n e levando em conta que a fração \n é a derivada da função \n (em relação a ),\n segue que\n \n
\n
\n \n
\n para alguma constante .\n
\n
\n Substituindo a condição inicial \n , obtemos o valor da constante . Voltando para a variável ,\n e com , obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Aplicando a função seno hiperbólico em ambos os membros, temos\n \n
\n
\n \n
\n e integrando ambos os membros em relação a , vem\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Usando a condição inicial , conseguimos o valor da nova constante de integração \n .\n Segue portanto a função procurada\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Desta forma, obtemos que a curva catenária é descrita por um cosseno hiperbólico. O termo de translação\n \n pode ser manipulado mudando-se a origem do sistema coordenado fixado sobre a curva catenária. Os\n fatores \n e \n determinam a abertura da curva.\n
\n \n:::\n\n## 4.4 Série de Fourier {#SECTION00840000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n O objetivo desta seção é apresentar as séries de Fourier. Jean Baptiste Fourier (1768-1830) foi o primeiro matemático a\n investigar séries envolvendo senos e cossenos e, por isso, essas séries levam hoje o seu nome. Ele introduziu esse\n assunto em 1822 em seu livro Théorie Analytique de la Chaleur (Teoria analítica do calor).\n
\n
\n Consideremos uma barra de comprimento , com extremos em contato com um material de temperatura constante igual a\n zero. Se é a temperatura desta barra no ponto e no instante , é a distribuição inicial da\n temperatura da barra e o fluxo de calor na extremidade da barra é proporcional à temperatura da extremidade, então a\n função satisfaz as equações\n \n
\n
\n \n
\n sendo que \n , \n e \n .\n
\n
\n Esta é uma equação diferencial parcial, sujeita às condições de contorno e condições iniciais. Vamos resolver esta\n equação. O método que usaremos é conhecido como método das variáveis separáveis.\n
\n
\n Este método consiste em supor que a função possa ser expressa como um produto de duas funções, uma dependendo\n de e outra dependendo de , isto é, supomos que \n . Substituindo na equação\n diferencial parcial, temos\n \n
\n
\n \n
\n ou, ainda,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Observe que o membro da direita não depende de , enquanto o membro da esquerda não depende de . Isto sugere que\n na verdade ambos os membros não dependam nem de e nem de , isto é, são constantes. Fisicamente esta constante é\n negativa considerando que a taxa de variação da temperatura está diminuindo. Por uma questão de facilidade no\n desenvolvimento dos cálculos, esta constante negativa é escrita como , com \n 0$\">.\n
\n
\n Temos então\n \n
\n
\n e\n
\n ou ainda,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n Temos agora duas equações diferenciais ordinárias, lineares e homogêneas. As soluções são fáceis de serem obtidas e\n são, precisamente,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n para quaisquer coeficientes \n . Segue que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Os coeficientes , e poderão ser determinados ou estimados utilizando as condições iniciais e as condições de\n contorno. Aplicando as condições de contorno, e já descartando a função exponencial que nunca se anula, temos que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Vamos considerar que pois estamos interessados em uma solução não identicamente nula. Da primeira equação\n obtemos que \n e, substituindo isso na segunda equação, temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Mas como \n 0$\"> então \n e, por isso, também vamos impor que , pois caso contrário,\n isto é, se teríamos também e a função \n se tornaria identicamente nula, fazendo a solução\n identicamente nula. Como estamos interessados em soluções não nulas, vamos impor . Desta forma,\n resta que\n \n
\n
\n \n
\n donde\n \n
\n
\n \n
\n para qualquer \n . Já que o sinal do argumento no seno se transmite para o coeficiente , podemos considerar\n que \n . Sendo assim, para cada \n , temos uma solução\n \n
\n
\n \n
\n para certos coeficientes e , que já incorporaram também a constante .\n
\n
\n Pelo princípio da superposição de soluções para equações homogêneas, temos que a soma destas soluções é ainda uma\n solução. Segue que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Tudo o que precisamos agora é determinar os coeficientes e . Aplicando a condição inicial, temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.11)
\n
\n \n \n
\n Os coeficientes e procurados, são então coeficientes que satisfazem a identidade (4.11).\n Perguntamos então quais as hipóteses sobre para que a igualdade (4.11) se verifique para certos\n coeficientes e reais? Esta questão é respondida pelo teorema 4.7 enunciado mais adiante.\n Além disso, se a igualdade (4.11) se verificar, como são calculados os coeficientes e ? Esta\n questão será comentada agora.\n
\n
\n Para mostrar como são calculados estes coeficientes, precisamos estudar algumas propriedades a respeito do conjunto de\n funções\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Consideremos o conjunto \n , das funções contínuas e definidas no intervalo com\n valores em \n . Este conjunto munido da soma de funções\n \n
\n
\n \n
\n e do produto por escalar \n ,\n \n
\n
\n \n
\n é um espaço vetorial real. O funcional bilinear \n \n dado por\n \n
\n
\n \n
\n define um produto interno em \n . A respeito deste produto interno vemos que o conjunto \n é um\n conjunto de vetores ortogonais no espaço vetorial \n . Provaremos isto em forma de teorema.\n
\n é um conjunto de funções duas a duas ortogonais do espaço vetorial \n .\n
\n \n \n
Prova.\n \n Para quaisquer \n , temos que\n \n \n
\n \n
\n já que o integrando é uma função ímpar.\n
\n
\n Se então\n
\n
\n
\n
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\n
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\n
\n
\n
\n
\n pois a função seno se anula para argumentos múltiplos inteiros de . Da mesma forma, ainda para ,\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e isto termina a prova.\n \n
\n
\n \n
\n Em relação ao conjunto \n do teorema anterior, é importante provar que o produto interno de uma destas\n funções com ela mesma não se anula. Faremos isto agora pois precisaremos destes resultados mais tarde. Usando as\n fórmulas para as integrais de seno e cosseno quadrado, obtidas na seção 4.2, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
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\n
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\n
\n
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\n
\n
\n desde que . Se então claramente\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Da mesma forma temos que\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n desde que . O caso fica\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Vamos agora obter as expressões para os coeficientes e , admitindo que a função possa ser escrita na\n forma da série (4.11), ou ainda,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.12)
\n
\n \n \n
\n Primeiramente vamos obter . Integrando (4.12) em , de a , obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como o somatório acima converge uniformemente então podemos integrar termo a termo. Temos assim,\n
\n
\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n já que as integrais trigonométricas do somatório se anulam. Temos portanto que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Para obter cada um dos demais termos , para \n , tomamos o produto interno de (4.12) com\n a respectiva função \n . Temos então\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n De acordo com os resultados do teorema 4.6, as integrais do último membro se anulam todas, exceto a integral\n em cossenos quando \n . Segue que\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto,\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Analogamente obtemos cada um dos coeficientes , tomando o produto interno de (4.12) com a respectiva\n função \n . Temos então que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n De acordo com os resultados obtidos no teorema 4.6, as integrais do último membro se anulam todas, exceto a\n integral em senos quando \n . Temos assim,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Segue que\n \n
\n
\n \n
\n para \n .\n
\n
\n Desta forma temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.13)
\n
\n
\n para\n \n
\n
\n \n
\n e\n \n
\n
\n 0), $\">\n
\n desde que admita representação na forma da série (4.11). O ajuste \n em é só para\n padronizar a expressão dos para todo \n .\n
\n
\n Os coeficientes e obtidos pelas expressões acima são chamados de coeficientes de Fourier da função .\n A série em (4.13) é chamada de série de Fourier de . Muito cuidado neste momento. A série do lado direito de\n (4.13) simplesmente é definida como sendo a série de Fourier da função . Não falamos nada a respeito da\n série de Fourier de convergir para , aliás, admitimos esta convergência para calcular os coeficientes. Isto\n significa que garantir a igualdade (4.13) é um pouco mais complicado do que parece.\n
\n
\n Apresentamos agora um teorema que garante esta convergência. A demonstração pode ser encontrada em [3, Iorio]\n ou [2, Guidorizzi].\n
\n \n
Teorema 4.7 \n Seja \n uma função contínua, com derivada segunda contínua por partes e tal que \n . Então a\n série de Fourier de converge uniformemente para em . Isto é,\n \n \n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n \n
\n A hipótese de que seja contínua é bastante forte. Na verdade, esta hipótese pode ser reduzida para uma hipótese de\n continuidade por partes. A hipótese de continuidade por partes da derivada segunda já garante isto. Neste caso, em cada\n ponto de continuidade de a série de Fourier de converge para e nos pontos de descontinuidade\n (descontinuidade tipo salto) a série de Fourier converge para o ponto médio dos limites laterais de . Este resultado\n pode ser encontrado também em [3, Iorio].\n
\n
\n Podemos também colocar o intervalo de interesse como sendo um intervalo da forma . Isto não é problema pois dada\n uma função definida no intervalo podemos construir uma extensão \n de a todo intervalo\n por\n \n
\n
\n \n
\n e os coeficientes e de ficam também reduzidos a\n \n
\n
\n \n
\n e\n \n
\n
\n \n
\n que são na verdade coeficientes para restritos ao intervalo .\n
\n
\n Embora a série de Taylor desempenha um papel fundamental para a matemática aplicada, a série de Fourier apresenta\n propriedades que a tornam mais adequada para certas aplicações. Dentre estas propriedades, um fato relevante é que os\n coeficientes da série de Taylor são os termos \n e então a função deve possuir derivadas\n de ordem contínuas no ponto . A série de Fourier não exige tanto. O teorema que apresentamos exige apenas\n derivada segunda contínua por partes.\n
\n
\n Além disso, a série de Taylor é uma série com boa aproximação para a função nas proximidades do ponto . Quanto\n mais afastado do ponto mais coeficientes serão necessários para uma aproximação satisfatória. Já a série de\n Fourier tem comportamento global. Isto significa que não é necessário aumentar o número de coeficientes quando se muda\n o ponto de interesse do intervalo .\n
\n
\n Uma aplicação prática do uso da série de Fourier é o armazenamento e transmissão de imagens. Consideremos que uma\n fotografia seja tirada em um telefone celular com câmera. A foto é composta de pontos coloridos. Supondo que a\n resolução da foto seja de \n , então a foto é um retângulo de 640 pontos de largura por 480 pontos de\n altura. São portanto 307.200 pontos coloridos, dispostos em 640 colunas e 480 linhas.\n
\n
\n Para gravar esta foto, no sistema VGA, são armazenados 3 bytes de informações para cada um destes pontos. Estes bytes\n correspondem às intensidades de vermelho, verde e azul de cada ponto. São então 921.600 bytes que devem ser gravados,\n isto sem contar outras informações, conhecidas como o cabeçalho da imagem. Cada byte armazena como informação um número\n inteiro de 0 a 255.\n
\n
\n Vamos agora ver como a série de Fourier pode ajudar a economizar espaço para gravar esta figura.\n
\n
\n Se olharmos para cada uma das 480 linhas que compõem a figura temos que cada linha possui 640 pontos. São 640 bytes\n armazenando as intensidades de vermelho, 640 armazenando as intensidades de verde e 640 as intensidades de azul, num\n total de 1.920 bytes para cada uma das 480 linhas da figura. Se traçarmos um gráfico destes 640 valores para a\n intensidade de vermelho, podemos construir uma função que representa estas intensidades.\n
\n
\n A função será portanto uma função constante em cada um dos 640 subintervalos no qual foi dividido o intervalo \n .\n
\n
\n
\n
Figura 4.3:\n Gráfico de uma cor de uma linha da figura.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n A função pode ainda ser reescalonada para que os valores estejam, digamos de 0 a 1, ao invéz de 0 a 255. O\n reescalonamento é para que os saltos da função sejam pequenos, diminuindo a oscilação da série de Fourier na passagem\n de um segmento a outro.\n
\n
\n Feito isto, montamos a série de Fourier desta função . A série de Fourier de dará uma boa aproximação para a\n função . Tudo o que precisamos armazenar agora são os coeficientes de Fourier desta série. Exemplificaremos o\n processo considerando 21 coeficientes, sendo eles , e para \n . Como estes\n coeficientes são números reais, então o armazenamento de cada um destes números ocupa 6 bytes, totalizando 126 bytes\n para os 21 coeficientes de Fourier.\n
\n
\n Desta forma, ao invés de gastar 640 bytes para armazenar as intensidades de vermelho, podemos usar apenas 126 bytes.\n Repetindo este processo para as intensidades de verde e de azul, temos o armazenamento de 378 bytes para cada linha da\n figura, no lugar dos 1.920 bytes tradicionais.\n
\n
\n Aplicando isto a todas as 480 linhas da figura, temos um gasto de 181.440 bytes ao invés dos 921.600 tradicionais. Uma\n compactação de mais de 80%. Levemos ainda em conta que podem ser armazenados mais do que os 21 coeficientes que\n citamos, ou menos. Gravando mais coeficientes implicará em uma maior qualidade da imagem, porém, menos economia de\n espaço e menos coeficientes implicarão menor qualidade, porém, maior economia de espaço. Pode-se ainda trabalhar com\n apenas os coeficientes da função seno ou somente com os coeficientes da função cosseno. O formato de imagens conhecido\n como JPG ou JPEG é um sistema de compressão e armazenamento de imagens baseado em uma série de cossenos.\n
\n
\n O espaço necessário para gravar uma figura já não é um grande problema. Os atuais discos rígidos e os cartões de\n memória para celulares e câmeras digitais já possuem uma capacidade de armazenamento bem expressiva, o que poderia até\n dispensar uma compactação da imagem. Mas a transmissão das imagens é ainda um problema.\n
\n
\n Celulares com tecnologia GSM transmitem dados a uma taxa máxima de 9.600bps, isto é, 9.600 bits por segundo e isto\n significa 1.200 bytes por segundo (1byte = 8bits). A tecnologia GPRS possui na prática uma taxa de transmissão de dados\n de até 40.200bps (em teoria até 171.200bps). A tecnologia EDGE transmite na prática até 384.000bps (em teoria até\n 473.600bps). A tecnologia 3G transmite até 7Mbps (Mega bits por segundo), isto é, 7.340.032 bits por segundo, ou\n 917.504 bytes por segundo.\n
\n
\n Uma imagem com 921.600 bytes necessita de 768 segundos, ou 12 minutos e 48 segundos para a transmissão via GSM. Já uma\n imagem de 181.440 bytes, compactada por série de Fourier, necessita de 152 segundos, ou 2 minutos e 32 segundos para a\n transmissão. Isto conseguindo a taxa máxima de transmissão. Independentemente da tecnologia utilizada ou da taxa de\n transmissão atingida, 921.600 bytes sempre necessitarão 5 vezes mais tempo para serem transmitidos do que 181.440\n bytes.\n
\n
\n A evolução das tecnologias de celulares ajuda na redução do tempo de transmissão. Na contramão desta evolução, a\n resolução das imagens também evolui. Resoluções maiores como \n ou \n , significam que as\n imagens possuem mais pontos e, consequentemente, exigem mais espaço para a gravação e mais tempo para a transmissão. A\n compactação continua sendo importante neste processo pois diminui o tamanho e o tempo de transmissão das imagens,\n quaisquer que sejam as tecnologias utilizadas para armazenamento e transmissão de dados.\n
\n\n:::\n\n## 4.5 Lançamento vertical e queda livre com resistência {#SECTION00850000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Nesta seção vamos estudar a velocidade de um objeto lançado verticalmente para cima, em determinado momento , a\n uma certa velocidade inicial . Quando este objeto atingir a altura máxima, ele começa a cair. Vamos também\n estudar esta velocidade de queda.\n
\n
\n Consideremos um sistema coordenado com apenas um eixo vertical, apontando para cima, cuja origem é o nível do solo.\n Designemos por o tempo, a posição (altura em relação ao solo) do objeto e a velocidade do objeto no\n instante .\n
\n
\n Supondo que este objeto seja então lançado para cima, ele está sujeito à ação da gravidade e também a uma força de\n atrito com o ar. Em geral, forças de atrito são consideradas como sendo proporcionais a uma potência da velocidade.\n Esta potência varia de acordo com a própria velocidade. Para problemas desta natureza a potência considerada é 2.\n
\n
\n A ação da gravidade resume-se na força peso , sendo a massa do objeto e a aceleração da gravidade. A\n força de atrito com o ar, é considerada como \n , sendo 0$\"> a constante de proporcionalidade que é\n dependente de alguns fatores como densidade do ar e a área da secção transversal frontal do objeto. O sinal negativo\n das duas forças é decorrente do fato que são contrárias ao referencial, isto é, ambas apontam para baixo.\n
\n
\n Para um corpo qualquer, a constante de proporcionalidade é dada por \n , sendo que é a\n densidade do ar, é a área da secção transversal frontal exposta ao ar e é um coeficiente que depende da\n forma do objeto. Embora a densidade do ar varie com a altura, para cálculos aproximados em baixa altitude, pode ser\n utilizado o valor ao nível do mar que é de \n .\n
\n
\n De acordo com a segunda lei de Newton, temos que , sendo a força resultante do sistema, que é a soma das\n duas forças consideradas. Temos assim,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n A aceleração por sua vez é igual à derivada da velocidade em função do tempo e então temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Esta é uma equação diferencial não linear, sujeita a uma condição inicial \n . Resolver esta equação nos\n fornece que é a velocidade do objeto em função do tempo. Vamos obter esta solução. Reescrevemos a equação\n diferencial na forma\n \n
\n
\n \n
\n ou, ainda,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Para simplificar, chamemos \n e integrando a equação anterior em , temos\n \n
\n
\n \n
\n para algum \n , constante de integração.\n
\n
\n A integral do primeiro membro pode ser determinada por\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n donde segue que\n \n
\n
\n \n
\n para alguma constante de integração . Usando a condição inicial \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Temos portanto que a velocidade é dada implicitamente por\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Aplicando tangente em ambos os membros e usando a identidade da soma de arcos para a tangente, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.14)
\n
\n
\n para qualquer t_{0}$\">.\n
\n
\n O movimento de ascendência do objeto é então dado em termos da função tangente. Sabemos que este movimento deve\n obrigatoriamente cessar na ausência de outras forças. Para ser mais preciso, observe que conforme cresce, a equação\n (4.14) nos diz que decresce. Como a função tangente vai para o infinito continuamente quando o argumento se\n aproxima de \n , então existe um tempo \n t_{0}$\"> de forma que o numerador de (4.14) se anula.\n
\n
\n Este tempo , é o tempo em que o objeto atinge a velocidade \n e começa o movimento de queda livre,\n de volta ao solo. Colocando \n , podemos facilmente verificar que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n A altura que o objeto atinge, antes de começar a cair, também pode ser determinada. Como sabemos, a\n velocidade do objeto, é dada em termos da sua posição pela igualdade\n \n
\n
\n \n
\n e portanto\n \n
\n
\n \n
\n para alguma constante de integração . Substituindo temos\n \n
\n
\n \n
\n e fazendo a mudança de variáveis \n , temos \n ,\n e assim\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Observe que nesta etapa, estamos considerando que \n . Nestes termos,\n \n
\n
\n \n
\n e lembrando que \n , temos que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Isto significa que \n e neste intervalo temos que \n 0$\">. Podemos portanto descartar o\n módulo no logaritmo. Segue que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n para alguma constante de integração . Para determinar a constante , usamos a condição inicial \n , que\n nos fornece \n . Temos assim, que\n a altura do objeto em um determinado tempo com \n , é dada por\n \n
\n
\n \n
\n sendo portanto a altura máxima que o objeto atinge\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Agora, vamos seguir o estudo quando t_{1}$\">. No instante , o objeto atinge a altura máxima e começa então o\n movimento de descida do objeto conhecido como movimento de queda livre. O problema da queda livre pode ser totalmente\n desvinculado do que esquematizamos até agora. Um objeto pode cair em queda livre sem ter sido necessariamente\n arremessado para cima. Um exemplo disto é um paraquedista que salta de um avião.\n
\n
\n A equação de descida do objeto é um pouco diferente pois agora a força de atrito age no mesmo sentido do referencial. A\n equação das forças é agora dada por\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto, a equação diferencial é dada por\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.15)
\n
\n
\n sujeita à condição inicial \n . No caso do corpo ser arremessado verticalmente para cima, temos que\n \n . Por uma questão de simplicidade substituímos o termo \n por \n .\n
\n
\n Temos portanto um problema de valor inicial\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Reescrevendo a equação diferencial obtemos\n \n
\n
\n \n
\n e integrando em , com a mudança de variáveis \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n De acordo com as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas (ver tabela 3.1)\n temos que a integral do último membro é igual a \n para \n , ou igual a \n se \n .\n
\n
\n Observemos que não há a possibilidade de que \n , em virtude de que a força de aceleração \n nunca se anula (a menos que não haja gravidade) e, portanto, o lado direito da igualdade (4.15) também nunca\n se anula.\n
\n
\n Resta que ou \n 1$\"> ou \n . Isto será uma decorrência da velocidade inicial de\n queda . Se \n \\frac{1}{\\lambda^{2}}$\"> então esta desigualdade se mantem para todo t_{1}$\"> e se \n então isto se mantem para todo t_{1}$\">.\n
\n
\n Para não sobrecarregar (ainda mais) o texto, vamos escolher uma das duas situações observadas acima. Para ficar\n consistente com início da seção, isto é, o arremesso vertical e o instante no qual \n ,\n escolhemos o caso em que \n . Assumindo esta condição, temos que \n e a\n solução da equação diferencial será dada implicitamente por\n \n
\n
\n \n
\n e voltando à variável ,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n A constante , calculada pela condição inicial \n , é\n \n
\n
\n \n
\n o que nos leva a\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Com o intuito de isolar a velocidade , reescrevemos a igualdade na forma\n \n
\n
\n \n
\n e aplicamos tangente hiperbólica em ambos os membros, obtendo\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n A velocidade de queda do objeto é dada portanto em termos da função tangente hiperbólica. Vamos analisar o\n comportamento da velocidade quando \n . Observe que na prática não podemos considerar \n ,\n porque certamente o objeto atinge o solo em um tempo finito. Mas esta análise nos trará boas ideias sobre a velocidade\n terminal, isto é, a velocidade aproximada com que o objeto atinge o solo.\n
\n
\n Lembremos que \n , quando \n (Ver seção 2.3). Assim, quando \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n donde \n . O sinal negativo decorre do fato de que a velocidade do objeto\n é um vetor que aponta em sentido contrário ao referencial escolhido.\n
\n
\n Supondo que o objeto em questão fosse um paraquedista com paraquedas aberto, temos que a velocidade terminal do\n paraquedista (em módulo) é \n , sendo\n o peso do paraquedista, a densidade do ar e a área do paraquedas.\n
\n
\n Vemos então que quanto maior for o peso do paraquedista, maior a velocidade terminal. Também, quanto maiores forem a\n área do paraquedas ou a densidade do ar, menor a velocidade terminal.\n
\n
\n Podemos também determinar o tempo que o objeto leva para atingir o solo novamente. Este tempo é exatamente o\n tempo em que \n . O problema momentâneo é que não temos ainda uma identidade para a posição do objeto,\n no momento de queda. Vamos determinar esta igualdade. Como feito anteriormente\n \n
\n
\n \n
\n para alguma constante de integração , que será determinada pela condição inicial \n a altura em que o\n objeto foi solto em queda livre no instante . No caso de o objeto ter sido arremessado verticalmente, então\n lembremos que esta condição será \n .\n
\n
\n Substituindo na equação integral, temos\n \n
\n
\n \n
\n e fazendo a mudança de variáveis \n , temos \n e, assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Substituindo a condição \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n e, assim,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Reorganizando temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e calculando o tempo , para que \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Para finalizar, observamos que se tivéssemos escolhido \n 1$\">, então a velocidade seria dada por\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e sabendo que \n quando \n , ainda teríamos \n \n quando \n .\n
\n \n:::\n\n## 4.6 O pêndulo simples {#SECTION00860000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Um pêndulo consiste de um objeto de massa preso a um suporte horizontal rígido por um fio de comprimento . O fio\n é considerado rígido, inextensível e com massa desprezível. Este objeto é solto de uma posição inicial, onde o fio faz\n um ângulo \n com a perpendicular e começa a oscilar em movimento de vai-e-vem. Vamos considerar que\n \n 0$\">.\n
\n
\n Uma vez solto o pêndulo, o ângulo que o fio faz com a perpendicular, varia com o tempo. Nestes termos \n é uma função da variável temporal , isto é, \n e, além disso, \n .\n A situação pode ser visualizada na figura 4.4.\n
\n
\n
\n
Figura 4.4:\n Pêndulo simples.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n O movimento do objeto se dá em um plano bidimensional e descreve neste plano uma trajetória circular. Fixemos um\n sistema coordenado bidimensional nas coordenadas tangencial e radial ao movimento circular. Isto é, um dos eixos é\n tangente à trajetória circular enquanto o outro eixo é normal (perpendicular) à trajetória circular.\n
\n
\n Sobre este objeto agem a força peso , a força de tensão com a haste e uma força de atrito\n (ou resistência do ar).\n
\n
\n A força peso é decomposta, em termos do ângulo que a haste faz com a vertical, nas componentes tangencial e radial como\n \n , sendo a massa do objeto e a aceleração gravitacional.\n
\n
\n A força de tensão com a haste é decomposta como \n sendo o módulo da força de tensão na componente\n radial. A primeira coordenada é nula pois não há força de tensão com a haste no sentido tangencial.\n
\n
\n Como a velocidade do pêndulo é pequena, a força de atrito é considerada como sendo proporcional à velocidade\n , isto é, \n , para uma constante de proporcionalidade 0$\">. O sinal negativo é consequência de que\n a força de atrito age no sentido contrário à velocidade. A segunda componente é nula pois a resistência não afeta o\n movimento radial. Na verdade, como a haste é considerada inextensível, não há movimento radial. A velocidade ainda deve\n ser dada em termos do deslocamento circular, isto é, \n .\n
\n
\n Como vimos na seção anterior, \n , em que é a densidade do ar, a área frontal do\n objeto e um coeficiente que depende da forma do objeto. Para objetos esféricos considera-se \n .\n
\n
\n De acordo com a segunda lei de Newton, temos \n , sendo que é a força resultante do sistema.\n A aceleração deve ser considerada somente na componente tangencial, em termos do deslocamento circular\n . Isto é, \n .\n
\n
\n Assim, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Igualando cada uma das componentes temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.16)
\n
\n
\n
\n
\n (4.17)
\n
\n
\n sendo que \n . Este sistema está sujeito às condições iniciais em , dadas por\n \n o ângulo inicial em que o pêndulo é solto e \n a velocidade inicial\n do pêndulo. Se o pêndulo for solto do repouso, então naturalmente \n .\n
\n
\n A equação (4.16) é uma equação diferencial não linear na variável \n . Garantir a existência\n de uma solução pode ser complicado e mais complicado ainda talvez seja encontrar esta solução. Modificações podem ser\n feitas na equação (4.16) a fim de facilitar a determinação de uma solução. Vamos estudar agora o caso em que a\n equação é liearizada, pois equações diferenciais lineares são mais fáceis de se obter solução. Vamos considerar então\n que o pêndulo oscile com variações pequenas do ângulo . O limite (ver proposição 1.6),\n \n
\n
\n \n
\n sugere que para valores pequenos do argumento , o numerador e o denominador são valores muito próximos. Podemos\n traduzir isto escrevendo \n para valores pequenos de . Para se ter uma ideia desta\n aproximação, o erro cometido ao aproximar \n por para um ângulo de \n , é menor que um\n milésimo.\n
\n
\n Nesta abordagem, o termo não linear \n é substituído por e a equação (4.16) torna-se\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.18)
\n
\n
\n que agora é uma equação diferencial linear. Esta equação diferencial possui soluções baseadas nas raízes da equação do\n segundo grau,\n \n
\n
\n \n
\n chamada de equação auxiliar. A respeito destas raízes, temos três casos a considerar.\n
\n
\n Caso 1. Se \n 0$\"> então a equação auxiliar possui duas raízes reais\n distintas\n \n
\n para e constantes a serem determinadas pelas condições iniciais \n e \n .\n
\n
\n Mas note que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e, portanto, o movimento angular do pêndulo decai a zero exponencialmente. Isto deve-se a um valor elevado da constante\n de proporcionalidade \n . Valor alto o suficiente para tornar \n 4m^{2}Lg$\">.\n Observemos que se a densidade , do meio em que o pêndulo estiver imerso for alta, então esta situação é atingida.\n
\n
\n Neste caso, se o pêndulo passar pela solução de equilíbrio \n , isto somente poderá ocorrer uma vez,\n exatamente no ponto\n \n
\n
\n \n
\n e somente se e possuírem sinais contrários.\n
\n
\n Caso 2. Se \n , então a única raiz real da equação auxiliar é,\n \n
\n
\n \n
\n e, neste caso, a solução de (4.18) é dada por\n \n
\n
\n \n
\n para e constantes que satisfarão as condições iniciais \n e \n .\n
\n
\n Observe que ainda temos que a solução vai para zero quando \n . Também a solução passa uma única vez pela\n solução de equilíbrio, exatamente em\n \n
\n
\n \n
\n também para e com sinais contrários (pois ).\n
\n
\n Caso 3. Se \n então as raízes da equação auxiliar são os\n números complexos conjugados\n \n
\n
\n \n
\n e então a solução da equação diferencial (4.18) toma a forma (que mais nos interessa)\n \n
\n
\n \n
\n com \n e e constantes que satisfazem as condições\n iniciais \n e \n .\n
\n
\n Observe que agora temos um movimento oscilatório. Mesmo assim, a presença da exponencial com potência negativa nos diz\n que o movimento tende a zero quando \n . Porém agora o valor da constante de proporcionalidade é pequeno.\n Para ser mais preciso, \n . Isto significa que a convergência para zero se dá de forma mais\n lenta, permitindo algum tempo de oscilação, antes do pêndulo parar. Esta parada ocorre na prática, mas teoricamente o\n pêndulo oscila para sempre com oscilação muito pequena.\n
\n
\n Para finalizar esta seção observe que a equação (4.17) não foi utilizada até agora. Em verdade ela é útil para\n calcular a força de tração , exercida pelo fio sobre o objeto, depois que tivermos determinado uma expressão para\n .\n
\n\n:::\n\n## 4.7 Sistema massa-mola {#SECTION00870000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Vamos considerar que uma mola extensível, de comprimento em repouso, esteja presa verticalmente a um suporte\n rígido. Prendemos então um objeto de massa à extremidade livre da mola. Isto provocará uma distensão da mola, para\n um ponto de equilíbrio, por unidades de comprimento.\n
\n
\n Parece natural que se deslocarmos a massa e a soltarmos, esta massa oscilará em movimento de sobe e desce. Queremos\n um modelo para determinar a sua posição com o tempo. Para equacionar o problema, fixemos um sistema coordenado (só\n precisaremos da componente vertical) cuja origem está no ponto que dista do suporte rígido e cresce no\n sentido do suporte.\n
\n
\n Designemos a posição do objeto no instante , ou mais precisamente, a posição da extremidade da mola no\n instante . Note então que a distância entre o objeto e o suporte rígido, no instante é\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n De acordo com o nosso referencial duas forças unidimensionais atuam sobre o objeto. A força peso e a força de\n tração da mola , ambas com mesma direção (vertical) e sentidos contrários.\n
\n
\n O peso , considerado negativo por estar em sentido contrário ao eixo fixado, é dado por . A força de\n tração é dada pela lei de Hooke. A lei de Hooke diz que a força de tração da mola é proporcional à distensão\n causada pela massa. Isto é, sendo 0$\"> a constante de proporcionalidade, conhecida como constante de\n elasticidade da mola, que depende do material que a mola é composta.\n
\n
\n Agora note que, como o sistema está em equilíbrio, a força resultante é nula. Isto é, \n , o que nos leva a\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Desloquemos a massa por uma quantidade e deixamos o sistema livre para se movimentar. Agora a força de tensão\n depende também da posição do corpo. Temos assim,\n \n
\n
\n \n
\n pois a distenção da mola agora é . De acordo com a segunda lei de Newton temos \n . Segue que\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto, a equação que descreve o movimento do corpo é\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como a aceleração é a derivada segunda do movimento , então a equação diferencial\n \n
\n
\n \n
\n modela o movimento da massa com o passar do tempo. Ainda temos as condições iniciais\n \n
\n
\n e\n
\n que siginificam respectivamente a posição inicial e a velocidade inicial (zero se o sistema é solto do repouso).\n
\n
\n Temos então o Problema de Valor Inicial,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.19)
\n
\n \n \n
\n Esta equação diferencial é uma equação linear homogênea de ordem 2. Podemos verificar que a função dada por\n \n
\n
\n \n
\n com \n e e são números reais quaisquer, é uma solução para a equação\n diferencial. Observe que o movimento é oscilatório em termos de senos e cossenos. As constantes e podem\n ser determinadas substituindo-se as duas condições \n e \n . Temos assim,\n \n
\n
\n \n
\n donde a solução é\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Observe que para conhecer esta equação completamente ainda é necessário conhecer e, para isso, precisamos do\n valor da constante da mola . Este valor pode ser determinado medindo-se o deslocamento causado pela massa ,\n pois como vimos , ou ainda, \n , onde é o peso do objeto (o módulo da força\n peso ).\n
\n
\n Este modelo pode ser complicado um pouco mais. Para ser mais preciso, este modelo é muito simples, pois supõe condições\n que na prática são irreais. As únicas forças consideradas são a força peso e a força de tração da mola e isto supõe a\n ausência de outras forças externas, como por exemplo, a resitência do ar. Este modelo precisa então de vácuo perfeito.\n Por este motivo, o sistema acima é dito sistema do movimento livre não amortecido.\n
\n
\n Um exemplo de complicação do problema é considerar que a mola “envelhece”. Em outras palavras, considerar que a\n constante da mola, seja variável com o tempo. Fisicamente isto significa que a mola perde suas propriedades\n iniciais de deformação com o passar do tempo.\n
\n
\n Poderíamos considerar a função de elasticidade da mola seja dada por \n com 0$\"> e \n 0$\">. Temos\n então uma equação diferencial dada por \n . Outra função de elasticidade da mola que\n poderíamos considerar é \n para 0$\"> e então a equação diferencial se torna \n .\n Em ambos os casos temos equações diferenciais de ordem 2 com coeficientes variáveis e isto dificulta muito a obtenção\n de uma solução analítica.\n
\n
\n Outra complicação que podemos causar, que não dificulta determinar uma solução, é considerar que o corpo oscile imerso\n em algum fluido, como ar, água, óleo, entre outros. Isto obrigará a consideração de alguma força externa de atrito\n agindo sobre o sistema.\n
\n
\n Em geral, uma força de atrito é considerada como sendo proporcional a uma potência da velocidade. Como a velocidade de\n oscilação da massa é relativamente pequena, em geral a potência considerada é 1, isto é, a força de atrito é\n proporcional à velocidade .\n
\n
\n Nestes termos, consideremos\n \n
\n
\n \n
\n para \n 0$\">. O sinal negativo é decorrência de que a força de amortecimento é contrária à velocidade. Assim, a\n força resultante é\n \n
\n
\n \n
\n e temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Lembrando que a aceleração é a derivada segunda da posição (\n ) e que a velocidade é a derivada primeira\n da posição (\n ), então vem a equação diferencial\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (4.20)
\n
\n
\n sujeita às condições iniciais \n (posição inicial) e \n (velocidade inicial).\n
\n
\n A solução desta equação agora depende agora das raízes da equação auxiliar quadrática,\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto, do comportamento de \n . Temos três casos a considerar.\n
\n
\n Caso 1. Se \n 0$\"> então podemos verificar que a função dada por\n \n
\n
\n \n
\n com\n \n
\n
\n e\n
\n é solução da equação diferencial (4.20) para quaisquer constantes reais e .\n
\n
\n Observe que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e isto garante que, independentemente das constantes e , ou da posição inicial e da velocidade inicial,\n a solução do sistema tende a zero exponencialmente quando \n . De outra forma,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Isto significa que o movimento do corpo tende a cessar exponencialmente. É uma consequência imediata de uma constante\n de amortecimento muito grande. Grande o suficiente para garantir que \n 0$\">. Neste caso\n dizemos que o sistema é super amortecido.\n
\n
\n Caso 2. Se \n então podemos verificar que a função\n \n
\n
\n \n
\n é solução da equação diferencial (4.20) para e constantes reais e \n \n a única raiz real da equação auxiliar.\n
\n
\n Note que ainda temos e, portanto, a solução ainda decai (exponencialmente) para zero quando \n . Este\n sistema é dito criticamente amortecido, pois ainda é amortecido, mas qualquer decréscimo na constante de amortecimento\n , o movimento se tornará oscilatório.\n
\n
\n Caso 3. Se \n então temos que a função\n \n
\n
\n \n
\n com \n , é solução da equação diferencial (4.20) para e\n constantes reais quaisquer. Observe que mesmo sendo um movimento oscilatório, o termo\n \n tende a zero quando \n . Isto significa que este movimento oscilatório ainda\n tende a diminuir e cessar com o tempo. Porém isto ocorrerá de forma mais lenta permitindo algum tempo de oscilação do\n corpo antes da parada.\n
\n
\n Este tempo de oscilação naturalmente depende de que é a constante de proporcionalidade da força de atrito.\n Quanto menor o valor de mais tempo de oscilação antes de o corpo parar. Esta parada ocorre na prática, mas\n lembremos que teoricamente a oscilação ocorre para todo .\n
\nAs funções trigonométricas circulares e hiperbólicas fazem parte de qualquer curso de Cálculo Diferencial e Integral. A trigonometria circular, conhecida dos alunos desde o ensino fundamental e médio, é em geral bem fundamentada e organizada. São relações definidas e obtidas no triângulo retângulo ou na circunferência trigonométrica e todas as propriedades e identidades, envolvendo essas funções, são provadas a partir das propriedades da circunferência e dos triângulos.\n
\n
\nEsse fato já não ocorre com as funções trigonométricas hiperbólicas. Em geral, os livros de Cálculo Diferencial e Integral definem as funções trigonométricas hiperbólicas como soma de funções exponenciais. Para ser mais preciso,\n\n
\n
\n e\n
\n\n
\nTodas as propriedades envolvendo as funções trigonométricas hiperbólicas são então deduzidas a partir dessas igualdades e de propriedades das funções exponenciais e logarítmicas. Também, as fórmulas de derivação são obtidas usando as fórmulas de derivação para a função exponencial.\n
\n
\nAssim como a trigonometria circular, a trigonometria hiperbólica é também construída e fundamentada. Não sobre a circunferência, mas sobre a hipérbole trigonométrica. As propriedades dessas funções são então consequências de propriedades algébricas e geométricas dessa hipérbole.\n
\n
\nEste assunto me deixou curioso por muito tempo até que resolvi procurar mais informações a esse respeito. Hoje, com essas informações localizadas e reunidas, faço este texto com o objetivo de compartilhar os conhecimentos adquiridos nesse assunto. Para tornar o estudo completo, neste texto é abordada também a trigonometria circular, que na maioria dos livros já está bem detalhada.\n
\n
\nA proposta deste texto é complementar um curso de Cálculo Diferencial e Integral com detalhamento no trato das funções trigonométricas. Do modo que este texto está preparado, esperamos que o leitor, em cada etapa, esteja familiarizado com os conceitos abordados, como por exemplo os conceitos de continuidade, derivação e função inversa.\n
\n
\nO primeiro capítulo tratará das funções trigonométricas circulares. Construiremos primeiramente a trigonometria\ncircular sobre o círculo trigonométrico com a dedução das principais identidades trigonométricas. Feito isto,\ndefiniremos as funções trigonométricas circulares e estudaremos alguns de seus principais aspectos, como domínio, imagem, gráficos, continuidade e derivadas dessas funções. Para finalizar o primeiro capítulo, estudaremos as funções trigonométricas inversas e suas derivadas.\n
\n
\nNo segundo capítulo, trataremos da trigonometria hiperbólica. Estudaremos a definição das funções trigonométricas hiperbólicas na hipérbole trigonométrica e as principais identidades trigonométricas hiperbólicas. Analisaremos as funções trigonométricas hiperbólicas, seus gráficos, continuidade e a derivada dessas funções. E por fim, estudaremos as funções trigonométricas hiperbólicas inversas e suas derivadas.\n
\n
\nO capítulo 3 é dedicado a mostrar que as identidades trigonométricas hiperbólicas envolvendo as funções exponenciais são verdadeiras. Obteremos, ainda, identidades logarítmicas para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas e com o auxílio da álgebra de números complexos, obteremos identidades similares para as funções trigonométricas circulares.\n
\n
\nNo capítulo 4, são apresentadas algumas aplicações das funções trigonométricas, tanto as circulares quanto as\nhiperbólicas. Para melhor compreensão deste capítulo, recomendamos ao leitor o conhecimento de alguns conceitos\nfísicos.\n
\n
\nAo final de cada seção, apresentaremos uma tabela resumida com os principais resultados obtidos naquela seção. Essas tabelas tem o objetivo de facilitar a busca de informações desejadas por parte do leitor.\n
\nAs funções trigonométricas circulares e hiperbólicas fazem parte de qualquer curso de Cálculo Diferencial e Integral. A trigonometria circular, conhecida dos alunos desde o ensino fundamental e médio, é em geral bem fundamentada e organizada. São relações definidas e obtidas no triângulo retângulo ou na circunferência trigonométrica e todas as propriedades e identidades, envolvendo essas funções, são provadas a partir das propriedades da circunferência e dos triângulos.\n
\n
\nEsse fato já não ocorre com as funções trigonométricas hiperbólicas. Em geral, os livros de Cálculo Diferencial e Integral definem as funções trigonométricas hiperbólicas como soma de funções exponenciais. Para ser mais preciso,\n\n
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\n e\n
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\nTodas as propriedades envolvendo as funções trigonométricas hiperbólicas são então deduzidas a partir dessas igualdades e de propriedades das funções exponenciais e logarítmicas. Também, as fórmulas de derivação são obtidas usando as fórmulas de derivação para a função exponencial.\n
\n
\nAssim como a trigonometria circular, a trigonometria hiperbólica é também construída e fundamentada. Não sobre a circunferência, mas sobre a hipérbole trigonométrica. As propriedades dessas funções são então consequências de propriedades algébricas e geométricas dessa hipérbole.\n
\n
\nEste assunto me deixou curioso por muito tempo até que resolvi procurar mais informações a esse respeito. Hoje, com essas informações localizadas e reunidas, faço este texto com o objetivo de compartilhar os conhecimentos adquiridos nesse assunto. Para tornar o estudo completo, neste texto é abordada também a trigonometria circular, que na maioria dos livros já está bem detalhada.\n
\n
\nA proposta deste texto é complementar um curso de Cálculo Diferencial e Integral com detalhamento no trato das funções trigonométricas. Do modo que este texto está preparado, esperamos que o leitor, em cada etapa, esteja familiarizado com os conceitos abordados, como por exemplo os conceitos de continuidade, derivação e função inversa.\n
\n
\nO primeiro capítulo tratará das funções trigonométricas circulares. Construiremos primeiramente a trigonometria\ncircular sobre o círculo trigonométrico com a dedução das principais identidades trigonométricas. Feito isto,\ndefiniremos as funções trigonométricas circulares e estudaremos alguns de seus principais aspectos, como domínio, imagem, gráficos, continuidade e derivadas dessas funções. Para finalizar o primeiro capítulo, estudaremos as funções trigonométricas inversas e suas derivadas.\n
\n
\nNo segundo capítulo, trataremos da trigonometria hiperbólica. Estudaremos a definição das funções trigonométricas hiperbólicas na hipérbole trigonométrica e as principais identidades trigonométricas hiperbólicas. Analisaremos as funções trigonométricas hiperbólicas, seus gráficos, continuidade e a derivada dessas funções. E por fim, estudaremos as funções trigonométricas hiperbólicas inversas e suas derivadas.\n
\n
\nO capítulo 3 é dedicado a mostrar que as identidades trigonométricas hiperbólicas envolvendo as funções exponenciais são verdadeiras. Obteremos, ainda, identidades logarítmicas para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas e com o auxílio da álgebra de números complexos, obteremos identidades similares para as funções trigonométricas circulares.\n
\n
\nNo capítulo 4, são apresentadas algumas aplicações das funções trigonométricas, tanto as circulares quanto as\nhiperbólicas. Para melhor compreensão deste capítulo, recomendamos ao leitor o conhecimento de alguns conceitos\nfísicos.\n
\n
\nAo final de cada seção, apresentaremos uma tabela resumida com os principais resultados obtidos naquela seção. Essas tabelas tem o objetivo de facilitar a busca de informações desejadas por parte do leitor.\n
\n Neste capítulo, vamos revisar os aspectos da trigonometria circular. Definiremos as funções trigonométricas circulares e estudaremos suas principais propriedades e identidades. Evidenciaremos alguns limites, os gráficos para cada uma dessas funções e deduziremos as derivadas para elas. Finalmente, definiremos as funções trigonométricas inversas e estudaremos também alguns limites, os gráficos e as derivadas das funções inversas. \n
\n\n \n```\n\n## 1.1 A trigonometria circular {#SECTION00510000000000000000}\n\n\n \n```{=html}\n\n
\n A trigonometria surgiu do estudo das medidas de um triângulo retângulo. A palavra trigonometria significa, em grego, medidas dos lados do triângulo. Dado um triângulo retângulo, marca-se um dos ângulos não reto e as relações trigonométricas atribuídas a esse ângulo são as seis razões possíveis envolvendo as medidas da hipotenusa, do cateto oposto (ao ângulo marcado) e do cateto adjacente (ao ângulo marcado). \n
\n Observando o triângulo da figura anterior e sendo o ângulo , temos as seis relações trigonométricas associadas a este ângulo , dadas por\n
\n\n\n\n
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\n e chamadas respectivamente de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de . É comum ainda representar a cossecante do ângulo por \n e a tangente de por \n . A notação \n é a notação padrão para a tangente no sistema de medida estadunidense e, por isso, muitas calculadoras usam essa notação.\n
\n
\n Podemos pensar que à medida que o ângulo varia, variam também as razões entre os lados desse triângulo e, consequentemente, variam as relações trigonométricas associadas ao ângulo . Dessa forma, podemos pensar que as relações trigonométricas são dadas em função do ângulo .\n
\n
\n Observemos que é imediato dessas definições que\n
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\n\n\n \n \n
\n Queremos então construir as funções trigonométricas, que a cada ângulo associam o seno, o cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de . Temos alguns problemas nesse sentido. Primeiro quando pensamos em função, pensamos em domínio, imagem, gráfico da função entre outras propriedades. Um dos problemas é que o sistema cartesiano, utilizado para representar graficamente uma função, possui uma escala de medida baseada no comprimento. Por outro lado, um ângulo é tradicionalmente medido em graus. Precisamos utilizar um sistema de medida de ângulos compatível com o sistema cartesiano. Além disso, a trigonometria em um triângulo retângulo somente pode levar em conta ângulos de amplitude entre 0 e 90 graus (exluindo-se esses dois) e, no caso de funções, queremos estender ao máximo o domínio de definição, pretendendo, inclusive, calcular o valor das seis razões trigonométricas quando possui uma medida negativa.\n
\n
\n Vamos construir então o aparato compatível para o desenvolvimento dos nossos estudos.\n
\n
\n A trigonometria circular é construída sobre uma circunferência unitária, isto é, de raio 1, centrada na origem, cuja equação é \n . Essa circunferência é chamada de circunferência trigonométrica, ou círculo trigonométrico.\n
O ponto é a origem de quaisquer arcos a serem marcados na circunferência.\n
\n
-
A cada ponto da circunferência, correspondem um arco e um ângulo associado , marcado no sentido anti-horário, ao qual é atribuída uma medida positiva.\n
\n
-
A cada ponto da circunferência, correspondem também um arco e um ângulo associado , marcado no sentido horário, ao qual é atribuída uma medida negativa.\n
\n \n
\n A medida que atribuiremos a esse ângulo é baseada em algum dos sistemas de medidas de ângulos conhecidos. São três os sistemas de medidas de ângulo mais difundidos: graus, grados e radianos.\n
\n
\n O sistema grado é o menos utilizado e consiste em dividir a circunferência trigonométrica em 400 partes iguais, cada fração chamada de 1 grado. É um sistema baseado em escala decimal. Os eixos coordenados dividem portanto a circunferência em 4 partes cada uma com medida 100 grados.\n
\n
\n O sistema grau é bastante conhecido dos estudantes de ensino médio e fundamental. Consiste em dividir a circunferência trigonométrica em 360 partes iguais, cada uma dessas partes chamada de 1 grau. Os eixos coordenados dividem então a circunferência em 4 partes iguais de medida 90 graus cada uma.\n
\n
\n Relata-se que o sistema grau surgiu por volta de 4000 a.C. com os egípcios. Eles desejavam construir um calendário e, para isso, criaram um círculo com marcas onde poderiam contar os dias do ano. Quando um ano se passasse, a contagem deveria voltar ao ponto de partida, para o início de uma nova contagem. Naquela época, acreditavam que o Sol é que girava em torno da Terra e acreditavam que esta volta completa durava 360 dias. Então construíram uma circunferência dividida em 360 partes iguais e a cada dia que se passava, o marcador avançava \n da circunferência.\n Algumas destas informações foram atualizadas com o tempo. Hoje sabe-se com mais precisão o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa em torno do Sol, mas a divisão da circunferência em 360 partes iguais já havia sido consolidada.\n
\n
\n O sistema radiano é o mais adequado para o nosso estudo. Como sabemos, o comprimento de uma\n circunferência é calculado por , sendo o raio da circunferência. Isto significa que a circunferência trigonométrica possui comprimento igual a . Os eixos coordenados dividem portanto essa circunferência em 4 arcos, de comprimento \n cada um. A cada ponto da circunferência, a medida do arco será exatamente a medida do seu comprimento, considerada negativa, se o arco estiver marcado no sentido horário.\n
\n
\n Dessa forma, a cada ponto sobre a circunferência está associado um arco e para este arco, um ângulo de medida positiva e um ângulo de medida negativa. Queremos agora a partir de uma medida, positiva ou negativa, determinar um ponto cujo arco e cujo ângulo estejam associados a esta medida.\n
\n
\n A cada número real \n está associado um ponto da circunferência de forma que o arco , marcado no sentido anti-horário, mede unidades de comprimento. A partir do número real , digamos \n , ainda podemos marcar o ponto na circunferência, no sentido anti-horário, porém, o comprimento do arco é .\n
\n
\n Convencionamos então que a cada número real está associado um ponto da circunferência, de forma que o comprimento do arco , marcado no sentido anti-horário, mede para algum \n com . Mais precisamente, satisfaz \n . Em outras palavras, a medida do arco é igual a descontando-se voltas completas na circunferência.\n
\n
\n Admitindo convenções similares para a marcação de arcos no sentido horário, temos que a cada número real negativo, corresponde um único ponto na circunferência de forma que o arco mede para algum \n com . Em outras palavras, a medida do arco é igual a adicionando-se voltas completas na circunferência.\n \n
\n \n
\n
\n
Figura 1.3:\n Ângulos positivo e negativo.
\n
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\n
\n \n
\n Dessa forma, temos que a cada \n , também chamado ângulo radiano , corresponde um ponto na circunferência de modo que o arco mede \n para \n que satisfaz \n . Desse ponto em diante, escreveremos simplesmente que o ponto , ou que o arco , está associado ao ângulo radiano , ou ainda que o arco ou o ângulo mede radianos.\n
\n
\n Note que, se \n então a área do setor circular é igual a \n unidades de área. Dado um ângulo radiano \n , seja o ponto sobre a circunferência tal que tem medida . O ponto possui, no sistema cartesiano prefixado, duas coordenadas . O seno de é definido como sendo a ordenada do\n ponto , isto é,\n
\n \n \n\n
\n ordenada de \n
\n e o cosseno de é definido como sendo a absissa do ponto , isto é,\n \n
\n absissa de \n
\n \n
\n Outra forma de ver isto, é traçarmos pelo ponto a perpendicular ao eixo e a perpendicular ao eixo . O seno do ângulo é então o comprimento do segmento orientado (ou ) com relação ao eixo . Se o segmento tiver sentido contrário ao eixo , entenderemos seu comprimento como negativo. O cosseno do ângulo é igual ao comprimento do segmento orientado (ou ) com relação ao eixo . Se o segmento estiver orientado contrariamente ao eixo entenderemos o comprimento como sendo negativo.\n
\n Outras quatro razões trigonométricas chamadas respectivamente de tangente, cotangente, secante e cossecante, são definidas por \n
\n \n\n\n
\n e\n
\n \n
\n Naturalmente, a observação destas razões no triângulo retângulo, acarreta que as razões sejam sempre números positivos. A definição sobre a circunferência trigonométrica estende estes conceitos. Mas também traz alguns problemas. Por exemplo, a abscissa ou a ordenada do ponto podem ser nulas, o que acarreta seno ou cosseno de igual a zero. Algumas das razões acima não estarão definidas nesses casos.\n
\n
\n Dados dois ângulos radianos, de medidas e , consideremos os pontos e sobre a circunferência,\n associados aos ângulos radianos e respectivamente. Os pontos e estão sobre a circunferência e são simétricos um do outro em relação ao eixo .\n
\n Note que as coordenadas do ponto são então \n e, como o ponto está sobre a circunferência, suas coordenadas devem satisfazer a equação da circunferência \n . Temos então\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (1.3)
\n
\n
\n que é conhecida como a relação fundamental da trigonometria (circular).\n \n
\n Assim como no caso de seno e cosseno, podemos também fazer uma visualização geométrica das outras quatro funções trigonométricas.\n
\n
\n Consideremos, no círculo trigonométrico, a reta paralela ao eixo e que passa pelo ponto e a reta paralela ao eixo e que passa pelo ponto . São duas retas tangentes à circunferência\n trigonométrica. Dado um ângulo radiano representado pelo arco , prolongamos o segmento até que ele\n intercepte as retas e respectivamente nos pontos e . A tangente do ângulo é o comprimento do\n segmento orientado com relação ao eixo . A cotangente de é igual ao comprimento do segmento orientado , com relação ao eixo .\n
\n Nestes termos, notemos que os triângulos e são semelhantes e, portanto,\n
\n \n\n\n
\n \n
\n \n
\n Também o triângulo é semelhante ao triângulo e, dessa semelhança, temos que\n
\n \n
\n \n
\n e isso significa que as coordenadas de e são \n e \n .\n
\n
\n Note que se \n para \n , então o ponto coincidirá com ou e então o prolongamento do segmento não intercepta a reta e nesses casos, não está definida a tangente de . Isso pode também ser observado na expressão \n , pois nos pontos mencionados, temos um denominador nulo. O mesmo ocorre com \n nos casos em que \n , pois nesses pontos, \n .\n
\n
\n Considerando ainda o ângulo , determinado pelo arco , traçamos pelo ponto a reta , tangente a\n circunferência trigonométrica que passa pelo ponto . Essa reta corta os eixos e nos pontos que chamaremos, respectivamente e . A secante do ângulo (denotada por ) é igual ao comprimento do segmento orientado , com relação ao eixo e a cossecante de (denotada por ) é igual ao comprimento do segmento orientado , com relação ao eixo .\n
\n\n\n\n
\n
\n
Figura 1.7:\n Secante e cossecante de um ângulo.
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\n \n
\n Vemos na figura anterior, que os triângulos e são semelhantes e dessa semelhança vem\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Também os triângulos e são semelhantes e, portanto,\n
\n \n
\n \n
\n e isso significa que as coordenadas dos pontos e são, \n e \n .\n \n
\n Note ainda que se \n para \n , então como antes, coincidirá com ou\n e a reta tangente à circunferência que passa por será paralela ao eixo e não existirá a secante de . Lembre-se que nestes pontos \n . Também se \n , não existirá pelo mesmo motivo. Nesses pontos \n .\n
\n
\n O que queremos agora é deduzir as fórmulas de soma de arcos para o seno e o cosseno. Consideremos dois ângulos radianos e . O ângulo radiano fica determinado pelo arco e o ângulo radiano fica denotado pelo arco .\n
\n
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\n
Figura 1.8:\n Ângulos e .
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\n \n
\n Baixamos pelo ponto a perpendicular ao segmento . Essa perpendicular cruza o eixo em um ponto que\n chamaremos de . Vamos rotacionar o ângulo de forma que o segmento coincida com o segmento .\n Temos então esquema da figura 1.9.\n
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Figura 1.9:\n Ângulos e reposicionados.
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\n Nesses termos, o arco está agora ascociado ao ângulo . Lembremos também que o novo triângulo é retângulo em e ainda valem as relações\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Pelo ponto baixamos a perpendicular ao eixo que cruza esse eixo no ponto . Pelo ponto também baixamos a perpendicular ao eixo que cruza esse eixo no ponto . Pelo ponto , baixamos a perpendicular ao segmento , que cruza esse segmento em um ponto que chamaremos de e a perpendicular ao eixo que cruza esse eixo em um ponto que chamaremos .\n
\n \n
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\n
Figura 1.10:\n Relações nos ângulos e .
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\n \n
\n Temos então\n
\n \n
\n e\n
\n e também,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Com base na figura, vemos que os triângulos retângulos e são semelhantes e, portanto, valem as igualdades\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Notemos agora que o triângulo retângulo é também semelhante ao triângulo retângulo . Para mostrar isso, mostraremos que o ângulo tem a mesma medida do ângulo . De fato, o segmento é paralelo ao eixo e então os ângulos alternos internos e possuem a mesma medida.\n
\n
\n Então,\n
\n \n
\n \n
\n e, portanto,\n
\n \n
\n \n
\n
\n donde os triângulos retângulos e são semelhantes. Levando em conta a primeira semelhança (entre e ), são semelhantes os triângulos retângulos e . Dessa última semelhança e, sabendo que , temos\n
\n As fórmulas, (1.4) e (1.5), juntamente com as fórmulas (1.1), (1.2) e (1.3) são as cinco principais fórmulas da trigonometria circular. Com essas fórmulas, podemos obter outras fórmulas conhecidas, tais como as fórmulas de duplicação de arcos,\n
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\n e as fórmulas de diferença de arcos,\n
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\n Ainda como exemplo, vamos obter outras identidades trigonométricas. São de fácil demonstração e somente estamos\n explicitando por motivos de referência futura. Para ser mais preciso, essas identidades serão úteis na seção\n 1.7.\n
\n \n
Proposição 1.1 \n Valem as seguintes identidades trigonométricas circulares\n
\n
Para todos e tais que \n ,\n \n
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\n (1.6)
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\n
Para todo \n ,\n \n
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\n (1.7)
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Para todo \n ,\n \n
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\n (1.8)
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\n \n
Prova.\n \n Para , temos\n \n
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\n As demonstrações de e são mais rápidas. De fato,\n
\n Nesta seção, vamos estudar os aspectos principais das funções trigonométricas circulares. Será conveniente que o leitor possua conhecimentos conceituais sobre domínio, imagem, gráfico e também limites de funções.\n
\n
\n Admitindo que é uma variável real, podemos considerar as funções que a cada valor de associam o seno, o\n cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de , quando existirem. Olhemos uma por uma essas\n funções.\n
\n
\n Para cada valor real de , a função \n
\n\n \n
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\n
\n associa o seno do ângulo (radiano) . Da seção anterior, temos que esta função assume 0 para os valores , para qualquer \n . Também essa função é limitada, assumindo no máximo 1 e no mínimo -1. É uma função periódica de período . O seu gráfico é como na figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 1.11:\n Gráfico da função seno circular.
\n
\n
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\n
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\n \n
\n Notemos que é uma função contínua (mostraremos isto detalhadamente na próxima seção), não injetora e nem sobrejetora de \n em \n . Também o comportamento oscilatório para os infinitos, faz com que não existam os limites de quando \n .\n
\n
\n A função cosseno se comporta de forma similar. Basta notar que \n , isto é, a função cosseno é apenas um deslocamento horizontal da função seno. Dessa forma, a função \n , definida em \n é também uma função contínua, periódica de período , que assume máximo 1 e mínimo -1. Os zeros dessa função (os pontos onde a função intercepta o eixo ) são \n para qualquer \n . O gráfico fica como na figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 1.12:\n Gráfico da função cosseno circular.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Não é uma função injetora e nem sobrejetora de \n em \n .\n
\n
\n Para a função tangente, lembremos que \n e então por se\n tratar de uma razão, precisamos nos preocupar com os valores de que anulam o denominador. Tais pontos não estarão\n no domínio de definição de \n . Os valores para os quais \n , são \n , com\n \n . O domínio da função tangente é então \n .\n
\n
\n Como seno e cosseno são funções periódicas em , então a função tangente também será periódica. O que ocorre é que\n o período da fração diminui para pelo jogo de sinal entre numerador e denominador. De fato, as funções seno e\n cosseno em módulo são periódicas de período .\n
\n
\n Vamos analizar os limites (laterais) nos pontos onde a função tangente não está definida. São os pontos \n . Pela periodicidade da função, basta analizar os limites em um destes pontose a análise valerá\n para os demais. Vamos considerar, por simplicidade, . Então se se aproxima de \n teremos o\n denominador indo para 0, e o numerador \n indo para 1 e, portanto, a razão vai para o infinito. Resta o\n estudo do sinal. Se \n então os valores de são ligeiramente maiores que \n .\n Neste caso, o seno será positivo e o cosseno negativo e, portanto,\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Quando \n então os valores de serão menores que \n e, neste caso, seno e\n cosseno serão positivos e, portanto,\n
\n \n \n
\n \n
\n \n
\n Estendendo esta análise para os outros valores de , temos para todo \n ,\n
\n \n \n
\n e\n
\n \n
\n Por se tratar de um quociente de duas funções, a função tangente será uma função contínua nos pontos em que o\n denominador não se anulae cruzará o eixo nos pontos em que o numerador se anular, isto é, para com \n . Seu gráfico é como na figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 1.13:\n Gráfico da função tangente circular.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n É uma função ímpar. Não é injetora, mas é sobrejetora de \n em \n . Observe\n atentamente que se analisada em apenas um dos intervalos de amplitude , da forma\n \n então torna-se uma função crescente e injetiva e, portanto, bijetiva.\n
\n
\n A análise da função \n é feita da mesma forma que a\n função tangente. Por se tratar de um quociente, o domínio de definição consiste dos valores de para os quais \n . A função seno se anula nos pontos para \n . Desta forma, o domínio da função cotangente é\n o conjunto \n . Também esta função se anula nos pontos em que o numerador se anula,\n isto é, em \n para todo \n .\n
\n
\n É também uma função periódica de período . Vamos analisar os limites nos pontos onde esta função não está\n definida, isto é, nos pontos onde o denominador se anula. Pela periodicidade, basta analizar os limites em um destes\n pontos e esta análise valerá para os demais. Consideremos então por simplicidade o caso em que , isto é, o ponto\n . Quando se aproxima de 0 o denominador \n se aproxima de 0 também e o numerado se aproxima de 1.\n A fração vai portanto para o infinito. Resta o estudo de sinais.\n
\n
\n Quando \n , então é positivo; e tanto seno quanto cosseno são positivos, resultando\n
\n \n
\n \n
\n e quando \n então o seno será negativo e o cosseno positivo, neste caso\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Transmitindo estes fatos para os demais pontos onde a função não está definida, temos que\n
\n \n
\n e\n
\n para qualquer \n .\n
\n
\n O gráfico então é a curva da figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 1.14:\n Gráfico da função cotangente circular.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n É uma função ímpar, sobrejetora mas não injetora de \n em \n . Se analisada por partes,\n isto é, em apenas um dos intervalos de amplitude da forma \n , então temos injetividade (e\n portanto bijetividade) em qualquer um destes intervalos.\n
\n
\n Agora a função \n . Usando a identidade \n , vemos que o\n domínio desta função fica caracterizado pelo conjunto \n , dos pontos tais que o\n denominador não se anule. É uma função que nunca se anula, pois o numerador é fixo e não nulo. Note que o denominador\n assume todos os valores reais entre e (inclusive estes dois). Isto significa que a fração poderá resultar em\n qualquer um dos valores maiores que ou menores que (inclusive estes dois). O conjunto imagem então é o\n conjunto \n .\n
\n
\n Vamos verificar o comportamento da função nas proximidades dos pontos onde não estiver definida. Sendo o denominador\n uma função periódica de período e o numerador constante, então o quociente é também uma função periódica de\n período . Por este motivo, olhemos para o intervalo ; e usando a periodicidade deduzimos o\n comportamento da função para os demais pontos onde não estiver definida.\n
\n
\n Quando \n pela direita, os valores de se aproximam de 0 negativamente e, portanto, \n . Pela esquerda, os valores de vão para 0 positivamente e, portanto, \n . Resumindo,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Se \n pela direita, então se aproxima de 0 positivamente e, portanto, \n e\n se \n pela esquerda, então se aproxima de 0 negativamente e, portanto, \n .\n Isto é,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Note ainda que nos pontos \n , temos \n e então, \n nestes pontos. Nos pontos\n \n temos \n e então \n nestes pontos. O gráfico desta função é mostrado\n na figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 1.15:\n Gráfico da função secante circular.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Note que não é uma função injetora, nem sobrejetora de \n em \n .\n
\n
\n Finalmente para a função \n , levamos em conta que \n e\n analisamos este quociente. O domínio é o conjunto de pontos tais que o denominador não se anula, ou seja, o conjunto\n \n . Também o denominador assume todos os valores (não nulos) entre e e, portanto, a\n função assume todos os valores menores que e maiores que . O conjunto imagem é então o conjunto\n \n .\n
\n
\n Trata-se de um quociente com denominador periódico e numerador constante e, portanto, essa função também é periódica, de\n período . Basta analizarmos o intervalo \n e repetirmos o comportamento para os\n demais pontos, onde o denominador se anula.\n
\n
\n Quando pela direita, então os valores de \n se aproximam de 0 positivamente e então \n . Se pela esquerda, então os valores de \n vão para 0 negativamente e então \n .\n Resumindo isto, temos\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Se se aproxima de pela direita, então o denominador \n se aproxima de 0 negativamente e então \n . Se se aproxima de pela esquerda, então o denominador se aproxima de 0 positivamente e, assim,\n \n . Dessa forma, temos\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Temos ainda que nos pontos \n o denominador da fração assume o valor 1 e,\n portanto, é igual a 1 nestes pontos. Analogamente nos pontos \n o\n denominador é igual a -1 e, portanto, a função assume o valor -1 nestes pontos. O gráfico de é representado na\n figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 1.16:\n Gráfico da função cossecante circular.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Não é uma função injetora e nem sobrejetora de \n em \n .\n
\n
\n Nota: Observe que a função seno é um deslocamento da função cosseno (e vice-versa) e por este motivo, os quocientes \n e \n são também deslocamentos um do outro. Compare isto nos limites que\n deduzimos e nos gráficos das duas funções.\n \n \n
\n \n
\n Vamos resumir em uma tabela o domínio e a imagem de cada uma das funções trigonométricas.\n
\n \n \n
\n
Tabela 1.1:\n Domínio e imagem das funções trigonométricas circulares
\n Nesta seção vamos mostrar que as funções trigonométricas circulares são contínuas nos seus domínios de definição. Mais\n precisamente, queremos primeiro mostrar que\n
\n \n
\n e\n
\n para qualquer \n . Para as outras quatro funções trigonométricas circulares, a continuidade seguirá da\n continuidade destas duas funções e da propriedade de continuidade do quociente de funções contínuas.\n
\n
\n Observando os gráficos destas duas funções nas figuras 1.11 e 1.12, vemos que são gráficos formados\n por linhas contínuas e, do ponto de vista gráfico, as funções são contínuas satisfazendo portanto os limites acima.\n Todavia, precisamos ser mais rigorosos.\n
\n
\n Vamos primeiro listar alguns resultados a respeito de limites que iremos utilizar nesta seção. Não vamos demonstrar\n aqui estes resultados, pois está fora do nosso interesse principal. O leitor interessado nestas demonstrações pode\n consultar [4, Leithold].\n
\n \n
Teorema 1.2 \n Se e são funções cujos limites existem quando , então \n
\n
a)
\n
\n ,\n
\n
b)
\n
\n para qualquer \n ,\n
\n
c)
\n
\n ,\n
\n
d)
\n
\n \n desde que \n .\n
\n
\n \n \n
Teorema 1.3 (Teorema do confronto, ou Teorema do sanduíche) \n Sejam , e funções tais que \n para todo em algum intervalo em torno de um ponto\n , exceto possivelmente no ponto . Se\n \n \n
\n \n
\n \n então\n \n \n
\n \n
\n \n
Teorema 1.4 \n Se e são funções tais que \n para todo em algum intervalo em torno de um ponto , exceto\n possivelmente no ponto , então o limite de quando existe se e somente se existe o limite de \n quando . Além disso,\n \n \n
\n \n
\n \n
Teorema 1.5 \n O limite \n existe, se e somente se, existe o limite \n ; e mais\n ainda,\n \n
\n \n
\n \n
\n Agora começamos o trabalho de provar a continuidade das funções seno e cosseno.\n \n
Prova.\n \n Provaremos que os limites laterais existem e são iguais a 1. Consideremos primeiro o caso 0$\" loading=\"lazy\">; e podemos também\n considerar que \n . No círculo trigonométrico, construímos o arco de comprimento . Então\n o ângulo tem medida radianos. Consideremos a reta de equação , perpendicular ao eixo ,\n passando pelo ponto . Prolonguemos o segmento até interceptar a reta em um ponto que designaremos por .\n Consideremos então o triângulo , o setor circular e o triângulo retângulo .\n \n
\n
\n
Figura 1.17:\n Visualização geométrica do limite.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Vemos claramente que a área do triângulo retângulo é maior que a área do setor circular que por sua vez é\n maior que a área do triângulo . O triângulo tem base com medida 1 e altura com medida \n e, portanto, a sua área é \n . O setor circular tem área igual a \n . O\n triângulo tem base com medida 1 e altura com medida \n e, portanto, área igual a \n . Nestes\n termos\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Multiplicando tudo por 2 e dividindo por \n (que é positivo), temos\n \n
\n
\n \n
\n ou ainda\n
\n \n
\n \\frac{{\\mathrm {sen}}u}{u} > \\cos u. $\" loading=\"lazy\">\n
\n \n
\n Da primeira desigualdade, temos que \n . Substituindo por \n temos que \n . Assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Segue que \n e reorganizando os termos obtemos \n 1-\\frac{1}{2}u^{2}$\" loading=\"lazy\">.\n Logo\n
\n \n
\n \\frac{{\\mathrm {sen}}u}{u} > \\cos u > 1-\\frac{1}{2}u^{2}. $\" loading=\"lazy\">\n
\n \n
\n Como o limite das funções 1 e \n existem e são iguais a 1 quando \n , então segue do\n Teorema do confronto (Teorema 1.3) que\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Agora, se , levando em conta que \n é uma função par, então o comportamento pela direita de zero é\n o mesmo pela esquerda. Segue que\n
\n \n
\n \n
\n também e isso prova o limite desejado.\n \n
\n
Teorema 1.7 \n As funções seno e cosseno são contínuas em , isto é,\n \n \n
\n e\n
\n \n \n
Prova.\n \n Para o primeiro limite, supondo primeiro 0$\" loading=\"lazy\">, usamos a desigualdade\n \n \n
\n \\frac{{\\mathrm {sen}}u}{u} > \\cos u > 1-\\frac{1}{2}u^{2}, $\" loading=\"lazy\">\n
\n
\n obtida na demonstração do teorema anterior; e o teorema do confronto garante que \n . Para lembremos que cosseno é uma função par e então o comportamento à esquerda de 0 é o mesmo comportamento\n à direita de 0. Segue que\n
\n \n
\n \n
\n e isto prova o primeiro limite.\n \n
\n Para provar o segundo limite, usaremos o item (c) do teorema 1.2. Como os limites de \n e de\n existem quando então o limite do produto existe e\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Agora, como \n para todo então do teorema 1.4 segue que\n
Prova.\n \n Usando a identidade trigonométrica para a soma de arcos do cosseno,\n \n \n
\n \n
\n e como existem os limites de e de \n , quando , então existem os limites de \n e de\n \n e também existe o limite da soma destes dois termos, quando . Segue que\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Usando agora a identidade trigonométrica para a soma de arcos do seno e a existência dos limites de \n e\n de \n , quando , temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n e isso termina essa demonstração.\n \n
\n \n
\n Os limites indicados no início desta seção seguem agora imediatamente do teorema 1.5 e deste último teorema.\n
\n \n
Corolário 1.9 \n As funções seno e cosseno são contínuas em qualquer ponto \n , isto é,\n \n \n
\n e\n
\n \n
\n Podemos agora analisar a continuidade das outras quatro funções trigonométricas circulares, já que estas são escritas\n como um quociente em termos de seno e cosseno. Usando o item (d) do teorema 1.2, podemos facilmente provar as\n próximas afirmações.\n
\n
\n As funções tangente, cotangente, secante e cossecante são contínuas nos seus domínios de definição. De outra forma,\n
\n Nesta seção estamos interessados em obter as fórmulas de derivada para as seis funções trigonométricas circulares. Para\n isto, usaremos a definição de derivada\n
\n \n
\n \n
\n para obter as derivadas das funções seno e cosseno. Feito isto, usaremos a regra do quociente para determinar as\n derivadas das outras quatro funções trigonométricas. Lembremos rapidamente da regra do quociente para derivadas. Se \n e são funções deriváveis em um ponto e \n , então o quociente é derivável neste ponto ; e mais\n ainda\n \n \n
\n \n
\n \n
\n Primeiro precisamos estabelecer um limite necessário para a obtenção da derivada da função cosseno.\n \n
Prova.\n \n Podemos supor que \n . Neste intevalo temos que \n e então\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Como o limite da função \n existe (ver proposição 1.6) e o limite da função \n existe como função contínua de \n , então do item (c) do teorema\n 1.2, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n e isto termina esta demonstração.\n \n
\n \n
\n Agora estamos prontos para obter as derivadas das funções trigonométricas. Comecemos com \n , definida em toda a reta real. Aplicando a definição de derivada temos que\n
\n \n
\n \n
\n
\n para todo \n tal que o limite exista. Observe que para o limite existe e então a derivada da função seno\n existe em pelo menos um ponto. Vamos provar que o limite existe para qualquer \n .\n
\n
\n Desta forma, para todo \n , temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n As duas parcelas dentro do último limite, são funções cujo limite em existe para todo \n (ver proposições\n 1.6 e 1.10). Então\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Como o limite existe para todo \n , a função \n é derivável em todo \n ; e, além disso,\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Tomemos agora a função \n , definida em toda a reta real. Da definição de\n derivada,\n
\n \n
\n \n
\n para todo \n tal que o limite existe. Observe novamente que já provamos que este limite existe pelo menos para\n . Para \n , temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Novamente, as parcelas dentro do limite são funções tais que o limite existe em para todo \n . Assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n O limite existe, portanto, para todo \n e, assim, segue que a função \n é derivável em todo \n ; e, além disso,\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Conhecendo agora as derivadas de seno e cosseno, definidas em todo \n , vamos utilizar estas para determinar as\n derivadas das outras quatro funções trigonométricas circulares, já que são escritas em termos de seno e cosseno.\n
\n
\n Consideremos agora a função \n , definida em \n . Como \n e são diferenciáveis em todo \n , a derivada do\n quociente \n existe em todos os pontos onde \n .\n
\n
\n Dessa forma, para todo \n , temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Portanto\n
\n \n
\n \n
\n
\n para \n .\n
\n
\n Analogamente, para a função \n , temos para todo \n tal que \n ,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Então,\n
\n \n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Considerando agora a função \n , temos para todo \n tal\n que \n ,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Da mesma forma, para a função \n , temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n para todo \n tal que \n .\n
\n
\n Vamos resumir as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas circulares em uma tabela.\n
\n \n
\n
\n
Tabela 1.2:\n Derivadas das funções trigonométricas circulares.
\n Antes de começarmos, lembremos que nenhuma das funções trigonométricas circulares é bijetora dos seus domínios de\n definição em \n . Sabemos também que somente as funções bijetoras possuem função inversa. O que precisamos então é\n restringir o domínio e/ou o contradomínio de tais funções, conforme o caso exigir, a fim de torná-las bijetoras e só\n então poderemos definir as funções inversas.\n
\n
\n Comecemos então pela função seno que não é injetora e nem sobrejetora de \n em\n \n . Resolvemos o problema da sobrejetividade restringindo o contradomínio, tornando-o igual à imagem\n . O problema da injetividade é resolvido restringindo o domínio. Consideramos então o domínio como sendo\n \n . A função seno é bijetora de \n em . Podemos\n definir então a função inversa do seno, que a cada número real \n associa o (único) número \n , satisfazendo a relação \n .\n
\n
\n Representamos a função inversa do seno por por \n , ou \n . Neste texto, vamos utilizar\n a primeira notação e muito cuidado para não confundir as expressões \n e \n . A segunda\n expressão é o inverso multiplicativo do seno, ou seja \n . Assim, temos\n definida a função\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n que deve satisfazer a relação \n . Desta igualdade, vemos que quando se aproxima de (somente pela\n esquerda), devemos ter se aproximando de \n e quando tender a (somente pela direita), devemos\n ter tendendo a \n . Isto é,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Deve ser uma função crescente no intervalo de definição , já que da relação \n vemos que conforme \n cresce, o ângulo radiano deve também crescer em \n . Como é de se esperar\n de uma função inversa, são válidas as seguintes relações,\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n \n \n
\n O gráfico desta função, definida apenas no intervalo , é dado por\n
\n
\n
\n
Figura 1.18:\n Gráfico da função seno inverso.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Agora tomemos a função cosseno. Sabemos que a função cosseno, também não é injetora e\n nem sobrejetora de \n em \n . Colocando o contradomínio como sendo a imagem a tornamos sobrejetora.\n Colocando o domínio como sendo a tornamos injetora de em . Definimos assim, a função\n inversa do cosseno, denotada por \n (ou ), por\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n que deve satisfazer \n . Usando esta última igualdade, vemos que quando estiver suficientemente próximo de\n (somente pela direita) então estará próximo de e quando estiver suficientemente próximo de \n (somente pela esquerda), então estará próximo de 0. Valem portanto os limites,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é dado por,\n
\n
\n
\n
Figura 1.19:\n Gráfico da função cosseno inverso.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n É uma função decrescente no intervalo de definição. Analogamente, as relações inversas são,\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Note que existe uma relação entre os gráficos das funções seno e cosseno inversas. Se tomarmos o gráfico da função seno\n inverso e aplicarmos uma reflexão em torno do eixo e um deslocamento de \n unidades para cima,\n teremos o gráfico da função cosseno inverso. Esta relação é descrita pela igualdade \n .\n
\n
\n É fácil provar esta última igualdade usando que \n é válido\n para todo \n . Vejamos os detalhes. Primeiro observemos que a função \n é uma função ímpar, pois\n se \n , então \n e, portanto, \n , o que acarreta \n e\n segue que \n . Agora vamos à igualdade de interesse. Se \n , então temos que \n , donde \n e, portanto, \n . Como também \n então \n .\n
\n
\n Consideremos agora a função tangente, que é sobrejetora, porém não é injetora de \n \n em \n . Para resolver o problema da injetividade precisamos restringir somente o domínio desta função. Considerando\n então o domínio como sendo o intervalo \n temos a bijetividade da função tangente, de\n \n em \n . Definimos então a função inversa da tangente, denotada por \n (ou ), como\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n de tal forma que vale a relação \n . Esta relação mostra que quando cresce indefinidamente então devemos\n ter se aproximando de \n e quando cresce indefinidamente, com valores negativos, então deve\n estar se aproximando de \n . Isto se resume nos limites\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é dado por,\n
\n
\n
\n
Figura 1.20:\n Gráfico da função tangente inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n É uma função monótona crescente e ímpar. As retas \n são assíntotas horizontais desta função. Esta\n função desempenha um papel importante na matemática. Ela associa bijetivamente toda a reta real com um intervalo\n limitado. Valem as relações inversas,\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Agora a função cotangente. Vimos que a cotangente não é uma função injetora, mas é\n sobrejetora de \n em \n . A restrição do domínio para o intervalo faz da função cotangente, uma função\n bijetora de em \n . Assim podemos definir a função cotangente inversa, denotada por \n e\n dada por\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n desde que valha a relação \n . Esta relação mostra que se tende ao infinito, então deve estar indo\n para 0; e se vai para o infinito negativo, então deve estar indo para . Temos assim,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico da função cotangente inversa é\n
\n
\n
\n
Figura 1.21:\n Gráfico da função cotangente inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Vemos que é uma função estritamente decrescente. Além disso, são válidas as relações inversas,\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Assim como no caso do cosseno inverso, existe uma relação entre os gráficos das funções tangente e cotangente inversas.\n Esta relação é semelhante àquela envolvendo seno e cosseno inversos. É \n .\n Também é fácil provar esta relação usando a igualdade \n , que é válida para todo \n . Desta vez deixamos os detalhes por conta do leitor.\n
\n
\n Tomando a função secante, lembremos que ela não é injetora e nem sobrejetora de \n em\n \n . A imagem é o conjunto \n e então restringimos o contradomínio no conjunto imagem e\n tornamos a secante sobrejetora. Para a injetividade, escolhemos o conjunto \n . Nestes termos a função secante, é bijetora de \n em \n . Definimos então a função secante inversa, denotada por \n , como\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n desde que valha a relação \n . Desta relação vemos pelo gráfico da função secante que quando vai ao\n infinito positivamente ou negativamente então deve estar se aproximando de \n . Isto é,\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Também quando se aproxima de (somente pela esquerda), devemos ter se aproximando de e quando \n tende a (somente pela direita) deve estar indo para 0. Temos então os limites\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é da forma,\n
\n
\n
\n
Figura 1.22:\n Gráfico da função secante inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Para esta função, valem as relações inversas,\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Finalmente, a função cossecante não é injetora nem sobrejetora de \n em \n .\n Restringimos então o contradomínio pela sua imagem, que é o conjunto \n . Para acertar a\n injetividade, escolhemos a restrição do domínio ao conjunto \n . Assim a função cossecante se tornará bijetiva. Então definimos a função\n cossecante inversa, denotada por \n e dada por\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n de tal forma que \n . Desta relação, observando o gráfico da função cossecante, temos que quando cresce\n indefinidamente (positivamente ou negativamente), os valores de devem estar se aproximando de 0. Por isto temos\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Também se se aproxima de (somente pela esquerda), devemos ter se aproximando de \n . Da mesma\n forma, se se aproxima de (somente pela direita) então devemos ter se aproximando de \n . Assim,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é da forma,\n
\n
\n
\n
Figura 1.23:\n Gráfico da função cossecante inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Para esta função, valem as relações inversas são,\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Novamente vemos a presença de uma relação entre os gráficos de secante e cossecante inversas. É novamente a igualdade\n \n . Podemos provar esta igualdade usando \n ,\n válida para \n . Detalhes novamente por conta do leitor.\n
\n
\n Resumimos as funções trigonométricas circulares inversas, com seus respectivos domínios e imagens na próxima tabela.\n \n
\n \n
\n
\n
Tabela 1.3:\n Domínio e imagem das funções trigonométricas circulares inversas
\n Antes de obtermos as derivadas das funções trigonométricas circulares inversas, vamos analisar a continuidade destas\n funções em todos os pontos de definição. Esta continuidade pode ser obtida em virtude da continuidade das funções\n trigonométricas circulares estabelecida na seção 1.3. Mais precisamente se \n é um intervalo e\n \n é contínua em , então é um intervalo e também\n
\n \n
\n \n
\n
\n para qualquer . Isto é o que afirma o próximo teorema, que enunciaremos sem demonstração. A demonstração pode\n ser encontrada em [5, Lima, pág 237].\n \n
\n \n
Teorema 1.11 \n Se \n é um intervalo e \n é uma função contínua em todo e que admite função inversa,\n então a função inversa \n é também contínua em \n .\n
\n \n
\n Este teorema se aplica às seis funções trigonométricas circulares inversas. As seis funções trigonométricas circulares\n são contínuas em seus respectivos domínios de definição. As restrições bijetivas são todas definidas em conjuntos que\n são intervalos e, portanto, as funções trigonométricas circulares inversas são contínuas nos seus intervalos de\n definição, respeitando a lateralidade dos extremos fechados em cada um destes intervalos.\n
\n
\n Resumindo, temos que,\n
\n
\n
\n
\n ,
\n
para todo
\n
\n ,
\n
\n
\n ,
\n
para todo
\n
\n ,
\n
\n
\n ,
\n
para todo
\n
\n ,
\n
\n
\n ,
\n
para todo
\n
\n ,
\n
\n
\n ,
\n
para todo
\n
\n e
\n
\n
\n ,
\n
para todo
\n
\n .
\n
\n
\n
\n \n
\n Note que o domínio de definição das funções arco secante e arco cossecante não são intervalos, mas sim uma união de\n dois intervalos. Estudados separadamente cada um destes intervalos, temos no caso da função arco secante que a função\n secante é contínua e bijetora de \n em \n e, portanto, o teorema 1.11 se\n aplica a este intervalo. Novamente a função secante é contínua e bijetora de \n em \n e o\n teorema 1.11 se aplica também a este intervalo. Segue que a função arco secante é contínua em ambos os\n intervalos \n e \n e, portanto, contínua na união destes intervalos. Raciocínio similar para a\n função arco cossecante.\n \n
\n Estamos agora interessados nas derivadas das funções trigonométricas inversas. Para obter a derivada de uma\n função inversa \n , tradicionalmente usamos diferenciação implícita na igualdade \n , ou\n equivalentemente, na igualdade .\n
\n
\n Comecemos com a função \n definida para todo \n , com \n . Sabemos que a diferenciação não pode ser estabelecida nos extremos do intervalo\n fechado e então vamos considerar, ainda bijetivamente, que \n e \n .\n Para e nos intervalos citados, vale a relação \n . Ao derivarmos com respeito a , lembremos que \n é variável dependente de e, portanto, devemos usar a regra da cadeia. Derivando então a relação \n , com\n respeito a , temos\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Como queremos determinar \n vamos então isolar este termo na última igualdade. Obtemos assim,\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Obviamente, queremos também que essa derivada seja dada somente em termos de , e não de . Precisamos substituir a\n expressão do segundo membro, mas só conhecemos a relação \n . Então usamos o fato de que \n 0$\" loading=\"lazy\">\n para \n , para escrever\n
\n \n
\n \n
\n e segue que\n \n \n
\n \n
\n para todo \n . Note que a derivada não está definida para e para .\n
\n
\n Tomemos agora a função \n , definida para todo \n , com \n . A derivada\n será estabelecida então para \n com \n . Então derivamos a relação \n implicitamente\n em relação à variável , obtendo\n
\n \n
\n \n
\n e isolando o termo de interesse, temos\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Novamente, vamos substituir a variável dependente , no segundo membro, pela variável independente. Lembremos que\n para \n a função seno é positiva. Segue que\n
\n \n
\n \n
\n e, portanto,\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Tomando agora a função \n , definida para \n , assumindo valores \n . Para todo \n , temos a igualdade \n e então derivando em relação a\n , vem\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Desta igualdade e da identidade (1.9) da proposição 1.1, obtemos\n
\n \n
\n \n
\n e desta forma,\n
\n \n
\n \n
\n para todo \n . Note que o lado direito está bem definido para todo \n .\n
\n
\n Agora consideremos \n . Esta função está definida para todo \n , com valores \n . Derivando então a igualdade \n em relação a , temos\n
\n \n
\n \n
\n donde temos\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Usando agora a identidade (1.8), da proposição 1.1, temos\n
\n \n
\n \n
\n e obtemos a derivada\n
\n \n
\n \n
\n definida para todo \n .\n
\n
\n Seja agora \n , definida para todo \n com valores em \n . Para a diferenciação, vamos considerar bijetivamente que \n com valores em \n . Para qualquer \n no intervalo de diferenciação, temos \n e derivando esta igualdade em , obtemos\n
\n \n
\n \n
\n e isolando o termo de interesse, vem\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Usaremos novamente a igualdade (1.7) da proposição 1.1. Extraindo a raiz quadrada em ambos os\n membros de (1.7), conseguimos\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Como \n não podemos garantir que a tangente de seja positiva,\n mas sim que \n é positivo. Assim,\n
\n
\n
\n
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\n \n \n
\n Segue que\n
\n \n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Nota: Observe que para tornar a função secante uma função bijetiva, acabamos por escolher um intervalo do domínio onde a\n função torna-se bijetora. Esta escolha não é única. Outras escolhas também tornam a função secante bijetora. Alguns\n autores escolhem \n , pois esta escolha, além de outras\n implicações, tornará mais simples a fórmula de derivada, que será \n , já que neste intervalo, teríamos \n , e não precisaríamos manter o módulo. O leitor poderá\n encontrar em alguns livros de Cálculo Diferencial e Integral esta última fórmula para a derivada da secante inversa.\n \n \n
\n \n
\n Para finalizar esta etapa, tomamos \n , que é definida para todo \n com \n . Descartando os extremos fechados de cada intervalo,\n derivamos \n em relação a , obtendo\n
\n \n
\n \n
\n donde segue\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Extraindo raiz quadrada em ambos os membros da igualdade (1.8), da proposição 1.1, conseguimos\n a identidade\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Agora como \n não podemos garantir que \n seja positiva, mas\n sabemos que \n é positivo. Então\n
\n
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\n donde temos\n
\n \n
\n \n
\n para todo \n .\n \n
\n Nota: Aqui ocorre o mesmo que o comentado na nota anterior. A escolha de \n , tornará a fórmula de derivada mais simples. Será \n , já\n que no intervalo mencionado temos \n sempre positivo. O leitor poderá encontrar em alguns livros de Cálculo\n Diferencial e Integral esta última fórmula para a derivada da cossecante inversa.\n \n \n
\n
\n Resumimos as derivadas das funções trigonométricas circulares inversas na próxima tabela.\n
\n
\n
\n
Tabela 1.4:\n Derivadas das funções trigonométricas circulares inversas.
\n
\n
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função
\n
domínio
\n
derivada
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\n \n
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\n \n \n
\n Observe que as derivadas das inversas das co-funções diferem das derivadas das inversas das funções apenas pelo sinal.\n Isto é decorrência das relações mencionadas na seção anterior,\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Derivando estas três igualdades em ambos os membros, com relação a , obtemos\n
\n Neste capítulo, vamos revisar os aspectos da trigonometria circular. Definiremos as funções trigonométricas circulares e estudaremos suas principais propriedades e identidades. Evidenciaremos alguns limites, os gráficos para cada uma dessas funções e deduziremos as derivadas para elas. Finalmente, definiremos as funções trigonométricas inversas e estudaremos também alguns limites, os gráficos e as derivadas das funções inversas. \n
\n\n \n```\n\n## 1.1 A trigonometria circular {#SECTION00510000000000000000}\n\n\n \n```{=html}\n\n
\n A trigonometria surgiu do estudo das medidas de um triângulo retângulo. A palavra trigonometria significa, em grego, medidas dos lados do triângulo. Dado um triângulo retângulo, marca-se um dos ângulos não reto e as relações trigonométricas atribuídas a esse ângulo são as seis razões possíveis envolvendo as medidas da hipotenusa, do cateto oposto (ao ângulo marcado) e do cateto adjacente (ao ângulo marcado). \n
\n Observando o triângulo da figura anterior e sendo o ângulo , temos as seis relações trigonométricas associadas a este ângulo , dadas por\n
\n\n\n\n
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\n \n\n\n
\n e chamadas respectivamente de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de . É comum ainda representar a cossecante do ângulo por \n e a tangente de por \n . A notação \n é a notação padrão para a tangente no sistema de medida estadunidense e, por isso, muitas calculadoras usam essa notação.\n
\n
\n Podemos pensar que à medida que o ângulo varia, variam também as razões entre os lados desse triângulo e, consequentemente, variam as relações trigonométricas associadas ao ângulo . Dessa forma, podemos pensar que as relações trigonométricas são dadas em função do ângulo .\n
\n
\n Observemos que é imediato dessas definições que\n
\n\n\n\n
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\n
\n\n\n \n \n
\n Queremos então construir as funções trigonométricas, que a cada ângulo associam o seno, o cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de . Temos alguns problemas nesse sentido. Primeiro quando pensamos em função, pensamos em domínio, imagem, gráfico da função entre outras propriedades. Um dos problemas é que o sistema cartesiano, utilizado para representar graficamente uma função, possui uma escala de medida baseada no comprimento. Por outro lado, um ângulo é tradicionalmente medido em graus. Precisamos utilizar um sistema de medida de ângulos compatível com o sistema cartesiano. Além disso, a trigonometria em um triângulo retângulo somente pode levar em conta ângulos de amplitude entre 0 e 90 graus (exluindo-se esses dois) e, no caso de funções, queremos estender ao máximo o domínio de definição, pretendendo, inclusive, calcular o valor das seis razões trigonométricas quando possui uma medida negativa.\n
\n
\n Vamos construir então o aparato compatível para o desenvolvimento dos nossos estudos.\n
\n
\n A trigonometria circular é construída sobre uma circunferência unitária, isto é, de raio 1, centrada na origem, cuja equação é \n . Essa circunferência é chamada de circunferência trigonométrica, ou círculo trigonométrico.\n
O ponto é a origem de quaisquer arcos a serem marcados na circunferência.\n
\n
-
A cada ponto da circunferência, correspondem um arco e um ângulo associado , marcado no sentido anti-horário, ao qual é atribuída uma medida positiva.\n
\n
-
A cada ponto da circunferência, correspondem também um arco e um ângulo associado , marcado no sentido horário, ao qual é atribuída uma medida negativa.\n
\n \n
\n A medida que atribuiremos a esse ângulo é baseada em algum dos sistemas de medidas de ângulos conhecidos. São três os sistemas de medidas de ângulo mais difundidos: graus, grados e radianos.\n
\n
\n O sistema grado é o menos utilizado e consiste em dividir a circunferência trigonométrica em 400 partes iguais, cada fração chamada de 1 grado. É um sistema baseado em escala decimal. Os eixos coordenados dividem portanto a circunferência em 4 partes cada uma com medida 100 grados.\n
\n
\n O sistema grau é bastante conhecido dos estudantes de ensino médio e fundamental. Consiste em dividir a circunferência trigonométrica em 360 partes iguais, cada uma dessas partes chamada de 1 grau. Os eixos coordenados dividem então a circunferência em 4 partes iguais de medida 90 graus cada uma.\n
\n
\n Relata-se que o sistema grau surgiu por volta de 4000 a.C. com os egípcios. Eles desejavam construir um calendário e, para isso, criaram um círculo com marcas onde poderiam contar os dias do ano. Quando um ano se passasse, a contagem deveria voltar ao ponto de partida, para o início de uma nova contagem. Naquela época, acreditavam que o Sol é que girava em torno da Terra e acreditavam que esta volta completa durava 360 dias. Então construíram uma circunferência dividida em 360 partes iguais e a cada dia que se passava, o marcador avançava \n da circunferência.\n Algumas destas informações foram atualizadas com o tempo. Hoje sabe-se com mais precisão o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa em torno do Sol, mas a divisão da circunferência em 360 partes iguais já havia sido consolidada.\n
\n
\n O sistema radiano é o mais adequado para o nosso estudo. Como sabemos, o comprimento de uma\n circunferência é calculado por , sendo o raio da circunferência. Isto significa que a circunferência trigonométrica possui comprimento igual a . Os eixos coordenados dividem portanto essa circunferência em 4 arcos, de comprimento \n cada um. A cada ponto da circunferência, a medida do arco será exatamente a medida do seu comprimento, considerada negativa, se o arco estiver marcado no sentido horário.\n
\n
\n Dessa forma, a cada ponto sobre a circunferência está associado um arco e para este arco, um ângulo de medida positiva e um ângulo de medida negativa. Queremos agora a partir de uma medida, positiva ou negativa, determinar um ponto cujo arco e cujo ângulo estejam associados a esta medida.\n
\n
\n A cada número real \n está associado um ponto da circunferência de forma que o arco , marcado no sentido anti-horário, mede unidades de comprimento. A partir do número real , digamos \n , ainda podemos marcar o ponto na circunferência, no sentido anti-horário, porém, o comprimento do arco é .\n
\n
\n Convencionamos então que a cada número real está associado um ponto da circunferência, de forma que o comprimento do arco , marcado no sentido anti-horário, mede para algum \n com . Mais precisamente, satisfaz \n . Em outras palavras, a medida do arco é igual a descontando-se voltas completas na circunferência.\n
\n
\n Admitindo convenções similares para a marcação de arcos no sentido horário, temos que a cada número real negativo, corresponde um único ponto na circunferência de forma que o arco mede para algum \n com . Em outras palavras, a medida do arco é igual a adicionando-se voltas completas na circunferência.\n \n
\n \n
\n
\n
Figura 1.3:\n Ângulos positivo e negativo.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Dessa forma, temos que a cada \n , também chamado ângulo radiano , corresponde um ponto na circunferência de modo que o arco mede \n para \n que satisfaz \n . Desse ponto em diante, escreveremos simplesmente que o ponto , ou que o arco , está associado ao ângulo radiano , ou ainda que o arco ou o ângulo mede radianos.\n
\n
\n Note que, se \n então a área do setor circular é igual a \n unidades de área. Dado um ângulo radiano \n , seja o ponto sobre a circunferência tal que tem medida . O ponto possui, no sistema cartesiano prefixado, duas coordenadas . O seno de é definido como sendo a ordenada do\n ponto , isto é,\n
\n \n \n\n
\n ordenada de \n
\n e o cosseno de é definido como sendo a absissa do ponto , isto é,\n \n
\n absissa de \n
\n \n
\n Outra forma de ver isto, é traçarmos pelo ponto a perpendicular ao eixo e a perpendicular ao eixo . O seno do ângulo é então o comprimento do segmento orientado (ou ) com relação ao eixo . Se o segmento tiver sentido contrário ao eixo , entenderemos seu comprimento como negativo. O cosseno do ângulo é igual ao comprimento do segmento orientado (ou ) com relação ao eixo . Se o segmento estiver orientado contrariamente ao eixo entenderemos o comprimento como sendo negativo.\n
\n Outras quatro razões trigonométricas chamadas respectivamente de tangente, cotangente, secante e cossecante, são definidas por \n
\n \n\n\n
\n e\n
\n \n
\n Naturalmente, a observação destas razões no triângulo retângulo, acarreta que as razões sejam sempre números positivos. A definição sobre a circunferência trigonométrica estende estes conceitos. Mas também traz alguns problemas. Por exemplo, a abscissa ou a ordenada do ponto podem ser nulas, o que acarreta seno ou cosseno de igual a zero. Algumas das razões acima não estarão definidas nesses casos.\n
\n
\n Dados dois ângulos radianos, de medidas e , consideremos os pontos e sobre a circunferência,\n associados aos ângulos radianos e respectivamente. Os pontos e estão sobre a circunferência e são simétricos um do outro em relação ao eixo .\n
\n Note que as coordenadas do ponto são então \n e, como o ponto está sobre a circunferência, suas coordenadas devem satisfazer a equação da circunferência \n . Temos então\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (1.3)
\n
\n
\n que é conhecida como a relação fundamental da trigonometria (circular).\n \n
\n Assim como no caso de seno e cosseno, podemos também fazer uma visualização geométrica das outras quatro funções trigonométricas.\n
\n
\n Consideremos, no círculo trigonométrico, a reta paralela ao eixo e que passa pelo ponto e a reta paralela ao eixo e que passa pelo ponto . São duas retas tangentes à circunferência\n trigonométrica. Dado um ângulo radiano representado pelo arco , prolongamos o segmento até que ele\n intercepte as retas e respectivamente nos pontos e . A tangente do ângulo é o comprimento do\n segmento orientado com relação ao eixo . A cotangente de é igual ao comprimento do segmento orientado , com relação ao eixo .\n
\n Nestes termos, notemos que os triângulos e são semelhantes e, portanto,\n
\n \n\n\n
\n \n
\n \n
\n Também o triângulo é semelhante ao triângulo e, dessa semelhança, temos que\n
\n \n
\n \n
\n e isso significa que as coordenadas de e são \n e \n .\n
\n
\n Note que se \n para \n , então o ponto coincidirá com ou e então o prolongamento do segmento não intercepta a reta e nesses casos, não está definida a tangente de . Isso pode também ser observado na expressão \n , pois nos pontos mencionados, temos um denominador nulo. O mesmo ocorre com \n nos casos em que \n , pois nesses pontos, \n .\n
\n
\n Considerando ainda o ângulo , determinado pelo arco , traçamos pelo ponto a reta , tangente a\n circunferência trigonométrica que passa pelo ponto . Essa reta corta os eixos e nos pontos que chamaremos, respectivamente e . A secante do ângulo (denotada por ) é igual ao comprimento do segmento orientado , com relação ao eixo e a cossecante de (denotada por ) é igual ao comprimento do segmento orientado , com relação ao eixo .\n
\n\n\n\n
\n
\n
Figura 1.7:\n Secante e cossecante de um ângulo.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Vemos na figura anterior, que os triângulos e são semelhantes e dessa semelhança vem\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Também os triângulos e são semelhantes e, portanto,\n
\n \n
\n \n
\n e isso significa que as coordenadas dos pontos e são, \n e \n .\n \n
\n Note ainda que se \n para \n , então como antes, coincidirá com ou\n e a reta tangente à circunferência que passa por será paralela ao eixo e não existirá a secante de . Lembre-se que nestes pontos \n . Também se \n , não existirá pelo mesmo motivo. Nesses pontos \n .\n
\n
\n O que queremos agora é deduzir as fórmulas de soma de arcos para o seno e o cosseno. Consideremos dois ângulos radianos e . O ângulo radiano fica determinado pelo arco e o ângulo radiano fica denotado pelo arco .\n
\n
\n
\n
Figura 1.8:\n Ângulos e .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Baixamos pelo ponto a perpendicular ao segmento . Essa perpendicular cruza o eixo em um ponto que\n chamaremos de . Vamos rotacionar o ângulo de forma que o segmento coincida com o segmento .\n Temos então esquema da figura 1.9.\n
\n
\n
\n
Figura 1.9:\n Ângulos e reposicionados.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Nesses termos, o arco está agora ascociado ao ângulo . Lembremos também que o novo triângulo é retângulo em e ainda valem as relações\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Pelo ponto baixamos a perpendicular ao eixo que cruza esse eixo no ponto . Pelo ponto também baixamos a perpendicular ao eixo que cruza esse eixo no ponto . Pelo ponto , baixamos a perpendicular ao segmento , que cruza esse segmento em um ponto que chamaremos de e a perpendicular ao eixo que cruza esse eixo em um ponto que chamaremos .\n
\n \n
\n
\n
Figura 1.10:\n Relações nos ângulos e .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Temos então\n
\n \n
\n e\n
\n e também,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Com base na figura, vemos que os triângulos retângulos e são semelhantes e, portanto, valem as igualdades\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Notemos agora que o triângulo retângulo é também semelhante ao triângulo retângulo . Para mostrar isso, mostraremos que o ângulo tem a mesma medida do ângulo . De fato, o segmento é paralelo ao eixo e então os ângulos alternos internos e possuem a mesma medida.\n
\n
\n Então,\n
\n \n
\n \n
\n e, portanto,\n
\n \n
\n \n
\n
\n donde os triângulos retângulos e são semelhantes. Levando em conta a primeira semelhança (entre e ), são semelhantes os triângulos retângulos e . Dessa última semelhança e, sabendo que , temos\n
\n As fórmulas, (1.4) e (1.5), juntamente com as fórmulas (1.1), (1.2) e (1.3) são as cinco principais fórmulas da trigonometria circular. Com essas fórmulas, podemos obter outras fórmulas conhecidas, tais como as fórmulas de duplicação de arcos,\n
\n
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\n \n \n
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\n \n e\n
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\n
\n
\n
\n e as fórmulas de diferença de arcos,\n
\n
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\n \n \n
\n
\n \n e\n \n
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\n
\n
\n \n \n
\n Ainda como exemplo, vamos obter outras identidades trigonométricas. São de fácil demonstração e somente estamos\n explicitando por motivos de referência futura. Para ser mais preciso, essas identidades serão úteis na seção\n 1.7.\n
\n \n
Proposição 1.1 \n Valem as seguintes identidades trigonométricas circulares\n
\n
Para todos e tais que \n ,\n \n
\n
\n
\n
\n
\n (1.6)
\n
\n \n
\n
Para todo \n ,\n \n
\n
\n
\n
\n
\n (1.7)
\n
\n \n
\n
Para todo \n ,\n \n
\n
\n
\n
\n
\n (1.8)
\n
\n
\n \n
Prova.\n \n Para , temos\n \n
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\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n As demonstrações de e são mais rápidas. De fato,\n
\n Nesta seção, vamos estudar os aspectos principais das funções trigonométricas circulares. Será conveniente que o leitor possua conhecimentos conceituais sobre domínio, imagem, gráfico e também limites de funções.\n
\n
\n Admitindo que é uma variável real, podemos considerar as funções que a cada valor de associam o seno, o\n cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de , quando existirem. Olhemos uma por uma essas\n funções.\n
\n
\n Para cada valor real de , a função \n
\n\n \n
\n \n\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n associa o seno do ângulo (radiano) . Da seção anterior, temos que esta função assume 0 para os valores , para qualquer \n . Também essa função é limitada, assumindo no máximo 1 e no mínimo -1. É uma função periódica de período . O seu gráfico é como na figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 1.11:\n Gráfico da função seno circular.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Notemos que é uma função contínua (mostraremos isto detalhadamente na próxima seção), não injetora e nem sobrejetora de \n em \n . Também o comportamento oscilatório para os infinitos, faz com que não existam os limites de quando \n .\n
\n
\n A função cosseno se comporta de forma similar. Basta notar que \n , isto é, a função cosseno é apenas um deslocamento horizontal da função seno. Dessa forma, a função \n , definida em \n é também uma função contínua, periódica de período , que assume máximo 1 e mínimo -1. Os zeros dessa função (os pontos onde a função intercepta o eixo ) são \n para qualquer \n . O gráfico fica como na figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 1.12:\n Gráfico da função cosseno circular.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Não é uma função injetora e nem sobrejetora de \n em \n .\n
\n
\n Para a função tangente, lembremos que \n e então por se\n tratar de uma razão, precisamos nos preocupar com os valores de que anulam o denominador. Tais pontos não estarão\n no domínio de definição de \n . Os valores para os quais \n , são \n , com\n \n . O domínio da função tangente é então \n .\n
\n
\n Como seno e cosseno são funções periódicas em , então a função tangente também será periódica. O que ocorre é que\n o período da fração diminui para pelo jogo de sinal entre numerador e denominador. De fato, as funções seno e\n cosseno em módulo são periódicas de período .\n
\n
\n Vamos analizar os limites (laterais) nos pontos onde a função tangente não está definida. São os pontos \n . Pela periodicidade da função, basta analizar os limites em um destes pontose a análise valerá\n para os demais. Vamos considerar, por simplicidade, . Então se se aproxima de \n teremos o\n denominador indo para 0, e o numerador \n indo para 1 e, portanto, a razão vai para o infinito. Resta o\n estudo do sinal. Se \n então os valores de são ligeiramente maiores que \n .\n Neste caso, o seno será positivo e o cosseno negativo e, portanto,\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Quando \n então os valores de serão menores que \n e, neste caso, seno e\n cosseno serão positivos e, portanto,\n
\n \n \n
\n \n
\n \n
\n Estendendo esta análise para os outros valores de , temos para todo \n ,\n
\n \n \n
\n e\n
\n \n
\n Por se tratar de um quociente de duas funções, a função tangente será uma função contínua nos pontos em que o\n denominador não se anulae cruzará o eixo nos pontos em que o numerador se anular, isto é, para com \n . Seu gráfico é como na figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 1.13:\n Gráfico da função tangente circular.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n É uma função ímpar. Não é injetora, mas é sobrejetora de \n em \n . Observe\n atentamente que se analisada em apenas um dos intervalos de amplitude , da forma\n \n então torna-se uma função crescente e injetiva e, portanto, bijetiva.\n
\n
\n A análise da função \n é feita da mesma forma que a\n função tangente. Por se tratar de um quociente, o domínio de definição consiste dos valores de para os quais \n . A função seno se anula nos pontos para \n . Desta forma, o domínio da função cotangente é\n o conjunto \n . Também esta função se anula nos pontos em que o numerador se anula,\n isto é, em \n para todo \n .\n
\n
\n É também uma função periódica de período . Vamos analisar os limites nos pontos onde esta função não está\n definida, isto é, nos pontos onde o denominador se anula. Pela periodicidade, basta analizar os limites em um destes\n pontos e esta análise valerá para os demais. Consideremos então por simplicidade o caso em que , isto é, o ponto\n . Quando se aproxima de 0 o denominador \n se aproxima de 0 também e o numerado se aproxima de 1.\n A fração vai portanto para o infinito. Resta o estudo de sinais.\n
\n
\n Quando \n , então é positivo; e tanto seno quanto cosseno são positivos, resultando\n
\n \n
\n \n
\n e quando \n então o seno será negativo e o cosseno positivo, neste caso\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Transmitindo estes fatos para os demais pontos onde a função não está definida, temos que\n
\n \n
\n e\n
\n para qualquer \n .\n
\n
\n O gráfico então é a curva da figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 1.14:\n Gráfico da função cotangente circular.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n É uma função ímpar, sobrejetora mas não injetora de \n em \n . Se analisada por partes,\n isto é, em apenas um dos intervalos de amplitude da forma \n , então temos injetividade (e\n portanto bijetividade) em qualquer um destes intervalos.\n
\n
\n Agora a função \n . Usando a identidade \n , vemos que o\n domínio desta função fica caracterizado pelo conjunto \n , dos pontos tais que o\n denominador não se anule. É uma função que nunca se anula, pois o numerador é fixo e não nulo. Note que o denominador\n assume todos os valores reais entre e (inclusive estes dois). Isto significa que a fração poderá resultar em\n qualquer um dos valores maiores que ou menores que (inclusive estes dois). O conjunto imagem então é o\n conjunto \n .\n
\n
\n Vamos verificar o comportamento da função nas proximidades dos pontos onde não estiver definida. Sendo o denominador\n uma função periódica de período e o numerador constante, então o quociente é também uma função periódica de\n período . Por este motivo, olhemos para o intervalo ; e usando a periodicidade deduzimos o\n comportamento da função para os demais pontos onde não estiver definida.\n
\n
\n Quando \n pela direita, os valores de se aproximam de 0 negativamente e, portanto, \n . Pela esquerda, os valores de vão para 0 positivamente e, portanto, \n . Resumindo,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Se \n pela direita, então se aproxima de 0 positivamente e, portanto, \n e\n se \n pela esquerda, então se aproxima de 0 negativamente e, portanto, \n .\n Isto é,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Note ainda que nos pontos \n , temos \n e então, \n nestes pontos. Nos pontos\n \n temos \n e então \n nestes pontos. O gráfico desta função é mostrado\n na figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 1.15:\n Gráfico da função secante circular.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Note que não é uma função injetora, nem sobrejetora de \n em \n .\n
\n
\n Finalmente para a função \n , levamos em conta que \n e\n analisamos este quociente. O domínio é o conjunto de pontos tais que o denominador não se anula, ou seja, o conjunto\n \n . Também o denominador assume todos os valores (não nulos) entre e e, portanto, a\n função assume todos os valores menores que e maiores que . O conjunto imagem é então o conjunto\n \n .\n
\n
\n Trata-se de um quociente com denominador periódico e numerador constante e, portanto, essa função também é periódica, de\n período . Basta analizarmos o intervalo \n e repetirmos o comportamento para os\n demais pontos, onde o denominador se anula.\n
\n
\n Quando pela direita, então os valores de \n se aproximam de 0 positivamente e então \n . Se pela esquerda, então os valores de \n vão para 0 negativamente e então \n .\n Resumindo isto, temos\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Se se aproxima de pela direita, então o denominador \n se aproxima de 0 negativamente e então \n . Se se aproxima de pela esquerda, então o denominador se aproxima de 0 positivamente e, assim,\n \n . Dessa forma, temos\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Temos ainda que nos pontos \n o denominador da fração assume o valor 1 e,\n portanto, é igual a 1 nestes pontos. Analogamente nos pontos \n o\n denominador é igual a -1 e, portanto, a função assume o valor -1 nestes pontos. O gráfico de é representado na\n figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 1.16:\n Gráfico da função cossecante circular.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Não é uma função injetora e nem sobrejetora de \n em \n .\n
\n
\n Nota: Observe que a função seno é um deslocamento da função cosseno (e vice-versa) e por este motivo, os quocientes \n e \n são também deslocamentos um do outro. Compare isto nos limites que\n deduzimos e nos gráficos das duas funções.\n \n \n
\n \n
\n Vamos resumir em uma tabela o domínio e a imagem de cada uma das funções trigonométricas.\n
\n \n \n
\n
Tabela 1.1:\n Domínio e imagem das funções trigonométricas circulares
\n Nesta seção vamos mostrar que as funções trigonométricas circulares são contínuas nos seus domínios de definição. Mais\n precisamente, queremos primeiro mostrar que\n
\n \n
\n e\n
\n para qualquer \n . Para as outras quatro funções trigonométricas circulares, a continuidade seguirá da\n continuidade destas duas funções e da propriedade de continuidade do quociente de funções contínuas.\n
\n
\n Observando os gráficos destas duas funções nas figuras 1.11 e 1.12, vemos que são gráficos formados\n por linhas contínuas e, do ponto de vista gráfico, as funções são contínuas satisfazendo portanto os limites acima.\n Todavia, precisamos ser mais rigorosos.\n
\n
\n Vamos primeiro listar alguns resultados a respeito de limites que iremos utilizar nesta seção. Não vamos demonstrar\n aqui estes resultados, pois está fora do nosso interesse principal. O leitor interessado nestas demonstrações pode\n consultar [4, Leithold].\n
\n \n
Teorema 1.2 \n Se e são funções cujos limites existem quando , então \n
\n
a)
\n
\n ,\n
\n
b)
\n
\n para qualquer \n ,\n
\n
c)
\n
\n ,\n
\n
d)
\n
\n \n desde que \n .\n
\n
\n \n \n
Teorema 1.3 (Teorema do confronto, ou Teorema do sanduíche) \n Sejam , e funções tais que \n para todo em algum intervalo em torno de um ponto\n , exceto possivelmente no ponto . Se\n \n \n
\n \n
\n \n então\n \n \n
\n \n
\n \n
Teorema 1.4 \n Se e são funções tais que \n para todo em algum intervalo em torno de um ponto , exceto\n possivelmente no ponto , então o limite de quando existe se e somente se existe o limite de \n quando . Além disso,\n \n \n
\n \n
\n \n
Teorema 1.5 \n O limite \n existe, se e somente se, existe o limite \n ; e mais\n ainda,\n \n
\n \n
\n \n
\n Agora começamos o trabalho de provar a continuidade das funções seno e cosseno.\n \n
Prova.\n \n Provaremos que os limites laterais existem e são iguais a 1. Consideremos primeiro o caso 0$\" loading=\"lazy\">; e podemos também\n considerar que \n . No círculo trigonométrico, construímos o arco de comprimento . Então\n o ângulo tem medida radianos. Consideremos a reta de equação , perpendicular ao eixo ,\n passando pelo ponto . Prolonguemos o segmento até interceptar a reta em um ponto que designaremos por .\n Consideremos então o triângulo , o setor circular e o triângulo retângulo .\n \n
\n
\n
Figura 1.17:\n Visualização geométrica do limite.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Vemos claramente que a área do triângulo retângulo é maior que a área do setor circular que por sua vez é\n maior que a área do triângulo . O triângulo tem base com medida 1 e altura com medida \n e, portanto, a sua área é \n . O setor circular tem área igual a \n . O\n triângulo tem base com medida 1 e altura com medida \n e, portanto, área igual a \n . Nestes\n termos\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Multiplicando tudo por 2 e dividindo por \n (que é positivo), temos\n \n
\n
\n \n
\n ou ainda\n
\n \n
\n \\frac{{\\mathrm {sen}}u}{u} > \\cos u. $\" loading=\"lazy\">\n
\n \n
\n Da primeira desigualdade, temos que \n . Substituindo por \n temos que \n . Assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Segue que \n e reorganizando os termos obtemos \n 1-\\frac{1}{2}u^{2}$\" loading=\"lazy\">.\n Logo\n
\n \n
\n \\frac{{\\mathrm {sen}}u}{u} > \\cos u > 1-\\frac{1}{2}u^{2}. $\" loading=\"lazy\">\n
\n \n
\n Como o limite das funções 1 e \n existem e são iguais a 1 quando \n , então segue do\n Teorema do confronto (Teorema 1.3) que\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Agora, se , levando em conta que \n é uma função par, então o comportamento pela direita de zero é\n o mesmo pela esquerda. Segue que\n
\n \n
\n \n
\n também e isso prova o limite desejado.\n \n
\n
Teorema 1.7 \n As funções seno e cosseno são contínuas em , isto é,\n \n \n
\n e\n
\n \n \n
Prova.\n \n Para o primeiro limite, supondo primeiro 0$\" loading=\"lazy\">, usamos a desigualdade\n \n \n
\n \\frac{{\\mathrm {sen}}u}{u} > \\cos u > 1-\\frac{1}{2}u^{2}, $\" loading=\"lazy\">\n
\n
\n obtida na demonstração do teorema anterior; e o teorema do confronto garante que \n . Para lembremos que cosseno é uma função par e então o comportamento à esquerda de 0 é o mesmo comportamento\n à direita de 0. Segue que\n
\n \n
\n \n
\n e isto prova o primeiro limite.\n \n
\n Para provar o segundo limite, usaremos o item (c) do teorema 1.2. Como os limites de \n e de\n existem quando então o limite do produto existe e\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Agora, como \n para todo então do teorema 1.4 segue que\n
Prova.\n \n Usando a identidade trigonométrica para a soma de arcos do cosseno,\n \n \n
\n \n
\n e como existem os limites de e de \n , quando , então existem os limites de \n e de\n \n e também existe o limite da soma destes dois termos, quando . Segue que\n \n
\n
\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Usando agora a identidade trigonométrica para a soma de arcos do seno e a existência dos limites de \n e\n de \n , quando , temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n e isso termina essa demonstração.\n \n
\n \n
\n Os limites indicados no início desta seção seguem agora imediatamente do teorema 1.5 e deste último teorema.\n
\n \n
Corolário 1.9 \n As funções seno e cosseno são contínuas em qualquer ponto \n , isto é,\n \n \n
\n e\n
\n \n
\n Podemos agora analisar a continuidade das outras quatro funções trigonométricas circulares, já que estas são escritas\n como um quociente em termos de seno e cosseno. Usando o item (d) do teorema 1.2, podemos facilmente provar as\n próximas afirmações.\n
\n
\n As funções tangente, cotangente, secante e cossecante são contínuas nos seus domínios de definição. De outra forma,\n
\n Nesta seção estamos interessados em obter as fórmulas de derivada para as seis funções trigonométricas circulares. Para\n isto, usaremos a definição de derivada\n
\n \n
\n \n
\n para obter as derivadas das funções seno e cosseno. Feito isto, usaremos a regra do quociente para determinar as\n derivadas das outras quatro funções trigonométricas. Lembremos rapidamente da regra do quociente para derivadas. Se \n e são funções deriváveis em um ponto e \n , então o quociente é derivável neste ponto ; e mais\n ainda\n \n \n
\n \n
\n \n
\n Primeiro precisamos estabelecer um limite necessário para a obtenção da derivada da função cosseno.\n \n
Prova.\n \n Podemos supor que \n . Neste intevalo temos que \n e então\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Como o limite da função \n existe (ver proposição 1.6) e o limite da função \n existe como função contínua de \n , então do item (c) do teorema\n 1.2, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n e isto termina esta demonstração.\n \n
\n \n
\n Agora estamos prontos para obter as derivadas das funções trigonométricas. Comecemos com \n , definida em toda a reta real. Aplicando a definição de derivada temos que\n
\n \n
\n \n
\n
\n para todo \n tal que o limite exista. Observe que para o limite existe e então a derivada da função seno\n existe em pelo menos um ponto. Vamos provar que o limite existe para qualquer \n .\n
\n
\n Desta forma, para todo \n , temos\n
\n
\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n As duas parcelas dentro do último limite, são funções cujo limite em existe para todo \n (ver proposições\n 1.6 e 1.10). Então\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Como o limite existe para todo \n , a função \n é derivável em todo \n ; e, além disso,\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Tomemos agora a função \n , definida em toda a reta real. Da definição de\n derivada,\n
\n \n
\n \n
\n para todo \n tal que o limite existe. Observe novamente que já provamos que este limite existe pelo menos para\n . Para \n , temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Novamente, as parcelas dentro do limite são funções tais que o limite existe em para todo \n . Assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n O limite existe, portanto, para todo \n e, assim, segue que a função \n é derivável em todo \n ; e, além disso,\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Conhecendo agora as derivadas de seno e cosseno, definidas em todo \n , vamos utilizar estas para determinar as\n derivadas das outras quatro funções trigonométricas circulares, já que são escritas em termos de seno e cosseno.\n
\n
\n Consideremos agora a função \n , definida em \n . Como \n e são diferenciáveis em todo \n , a derivada do\n quociente \n existe em todos os pontos onde \n .\n
\n
\n Dessa forma, para todo \n , temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Portanto\n
\n \n
\n \n
\n
\n para \n .\n
\n
\n Analogamente, para a função \n , temos para todo \n tal que \n ,\n
\n
\n
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\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Então,\n
\n \n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Considerando agora a função \n , temos para todo \n tal\n que \n ,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Da mesma forma, para a função \n , temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n para todo \n tal que \n .\n
\n
\n Vamos resumir as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas circulares em uma tabela.\n
\n \n
\n
\n
Tabela 1.2:\n Derivadas das funções trigonométricas circulares.
\n Antes de começarmos, lembremos que nenhuma das funções trigonométricas circulares é bijetora dos seus domínios de\n definição em \n . Sabemos também que somente as funções bijetoras possuem função inversa. O que precisamos então é\n restringir o domínio e/ou o contradomínio de tais funções, conforme o caso exigir, a fim de torná-las bijetoras e só\n então poderemos definir as funções inversas.\n
\n
\n Comecemos então pela função seno que não é injetora e nem sobrejetora de \n em\n \n . Resolvemos o problema da sobrejetividade restringindo o contradomínio, tornando-o igual à imagem\n . O problema da injetividade é resolvido restringindo o domínio. Consideramos então o domínio como sendo\n \n . A função seno é bijetora de \n em . Podemos\n definir então a função inversa do seno, que a cada número real \n associa o (único) número \n , satisfazendo a relação \n .\n
\n
\n Representamos a função inversa do seno por por \n , ou \n . Neste texto, vamos utilizar\n a primeira notação e muito cuidado para não confundir as expressões \n e \n . A segunda\n expressão é o inverso multiplicativo do seno, ou seja \n . Assim, temos\n definida a função\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n que deve satisfazer a relação \n . Desta igualdade, vemos que quando se aproxima de (somente pela\n esquerda), devemos ter se aproximando de \n e quando tender a (somente pela direita), devemos\n ter tendendo a \n . Isto é,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Deve ser uma função crescente no intervalo de definição , já que da relação \n vemos que conforme \n cresce, o ângulo radiano deve também crescer em \n . Como é de se esperar\n de uma função inversa, são válidas as seguintes relações,\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n \n \n
\n O gráfico desta função, definida apenas no intervalo , é dado por\n
\n
\n
\n
Figura 1.18:\n Gráfico da função seno inverso.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Agora tomemos a função cosseno. Sabemos que a função cosseno, também não é injetora e\n nem sobrejetora de \n em \n . Colocando o contradomínio como sendo a imagem a tornamos sobrejetora.\n Colocando o domínio como sendo a tornamos injetora de em . Definimos assim, a função\n inversa do cosseno, denotada por \n (ou ), por\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n que deve satisfazer \n . Usando esta última igualdade, vemos que quando estiver suficientemente próximo de\n (somente pela direita) então estará próximo de e quando estiver suficientemente próximo de \n (somente pela esquerda), então estará próximo de 0. Valem portanto os limites,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é dado por,\n
\n
\n
\n
Figura 1.19:\n Gráfico da função cosseno inverso.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n É uma função decrescente no intervalo de definição. Analogamente, as relações inversas são,\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Note que existe uma relação entre os gráficos das funções seno e cosseno inversas. Se tomarmos o gráfico da função seno\n inverso e aplicarmos uma reflexão em torno do eixo e um deslocamento de \n unidades para cima,\n teremos o gráfico da função cosseno inverso. Esta relação é descrita pela igualdade \n .\n
\n
\n É fácil provar esta última igualdade usando que \n é válido\n para todo \n . Vejamos os detalhes. Primeiro observemos que a função \n é uma função ímpar, pois\n se \n , então \n e, portanto, \n , o que acarreta \n e\n segue que \n . Agora vamos à igualdade de interesse. Se \n , então temos que \n , donde \n e, portanto, \n . Como também \n então \n .\n
\n
\n Consideremos agora a função tangente, que é sobrejetora, porém não é injetora de \n \n em \n . Para resolver o problema da injetividade precisamos restringir somente o domínio desta função. Considerando\n então o domínio como sendo o intervalo \n temos a bijetividade da função tangente, de\n \n em \n . Definimos então a função inversa da tangente, denotada por \n (ou ), como\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n de tal forma que vale a relação \n . Esta relação mostra que quando cresce indefinidamente então devemos\n ter se aproximando de \n e quando cresce indefinidamente, com valores negativos, então deve\n estar se aproximando de \n . Isto se resume nos limites\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é dado por,\n
\n
\n
\n
Figura 1.20:\n Gráfico da função tangente inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n É uma função monótona crescente e ímpar. As retas \n são assíntotas horizontais desta função. Esta\n função desempenha um papel importante na matemática. Ela associa bijetivamente toda a reta real com um intervalo\n limitado. Valem as relações inversas,\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Agora a função cotangente. Vimos que a cotangente não é uma função injetora, mas é\n sobrejetora de \n em \n . A restrição do domínio para o intervalo faz da função cotangente, uma função\n bijetora de em \n . Assim podemos definir a função cotangente inversa, denotada por \n e\n dada por\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n desde que valha a relação \n . Esta relação mostra que se tende ao infinito, então deve estar indo\n para 0; e se vai para o infinito negativo, então deve estar indo para . Temos assim,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico da função cotangente inversa é\n
\n
\n
\n
Figura 1.21:\n Gráfico da função cotangente inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Vemos que é uma função estritamente decrescente. Além disso, são válidas as relações inversas,\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Assim como no caso do cosseno inverso, existe uma relação entre os gráficos das funções tangente e cotangente inversas.\n Esta relação é semelhante àquela envolvendo seno e cosseno inversos. É \n .\n Também é fácil provar esta relação usando a igualdade \n , que é válida para todo \n . Desta vez deixamos os detalhes por conta do leitor.\n
\n
\n Tomando a função secante, lembremos que ela não é injetora e nem sobrejetora de \n em\n \n . A imagem é o conjunto \n e então restringimos o contradomínio no conjunto imagem e\n tornamos a secante sobrejetora. Para a injetividade, escolhemos o conjunto \n . Nestes termos a função secante, é bijetora de \n em \n . Definimos então a função secante inversa, denotada por \n , como\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n desde que valha a relação \n . Desta relação vemos pelo gráfico da função secante que quando vai ao\n infinito positivamente ou negativamente então deve estar se aproximando de \n . Isto é,\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Também quando se aproxima de (somente pela esquerda), devemos ter se aproximando de e quando \n tende a (somente pela direita) deve estar indo para 0. Temos então os limites\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é da forma,\n
\n
\n
\n
Figura 1.22:\n Gráfico da função secante inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Para esta função, valem as relações inversas,\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Finalmente, a função cossecante não é injetora nem sobrejetora de \n em \n .\n Restringimos então o contradomínio pela sua imagem, que é o conjunto \n . Para acertar a\n injetividade, escolhemos a restrição do domínio ao conjunto \n . Assim a função cossecante se tornará bijetiva. Então definimos a função\n cossecante inversa, denotada por \n e dada por\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n de tal forma que \n . Desta relação, observando o gráfico da função cossecante, temos que quando cresce\n indefinidamente (positivamente ou negativamente), os valores de devem estar se aproximando de 0. Por isto temos\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Também se se aproxima de (somente pela esquerda), devemos ter se aproximando de \n . Da mesma\n forma, se se aproxima de (somente pela direita) então devemos ter se aproximando de \n . Assim,\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é da forma,\n
\n
\n
\n
Figura 1.23:\n Gráfico da função cossecante inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Para esta função, valem as relações inversas são,\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Novamente vemos a presença de uma relação entre os gráficos de secante e cossecante inversas. É novamente a igualdade\n \n . Podemos provar esta igualdade usando \n ,\n válida para \n . Detalhes novamente por conta do leitor.\n
\n
\n Resumimos as funções trigonométricas circulares inversas, com seus respectivos domínios e imagens na próxima tabela.\n \n
\n \n
\n
\n
Tabela 1.3:\n Domínio e imagem das funções trigonométricas circulares inversas
\n Antes de obtermos as derivadas das funções trigonométricas circulares inversas, vamos analisar a continuidade destas\n funções em todos os pontos de definição. Esta continuidade pode ser obtida em virtude da continuidade das funções\n trigonométricas circulares estabelecida na seção 1.3. Mais precisamente se \n é um intervalo e\n \n é contínua em , então é um intervalo e também\n
\n \n
\n \n
\n
\n para qualquer . Isto é o que afirma o próximo teorema, que enunciaremos sem demonstração. A demonstração pode\n ser encontrada em [5, Lima, pág 237].\n \n
\n \n
Teorema 1.11 \n Se \n é um intervalo e \n é uma função contínua em todo e que admite função inversa,\n então a função inversa \n é também contínua em \n .\n
\n \n
\n Este teorema se aplica às seis funções trigonométricas circulares inversas. As seis funções trigonométricas circulares\n são contínuas em seus respectivos domínios de definição. As restrições bijetivas são todas definidas em conjuntos que\n são intervalos e, portanto, as funções trigonométricas circulares inversas são contínuas nos seus intervalos de\n definição, respeitando a lateralidade dos extremos fechados em cada um destes intervalos.\n
\n
\n Resumindo, temos que,\n
\n
\n
\n
\n ,
\n
para todo
\n
\n ,
\n
\n
\n ,
\n
para todo
\n
\n ,
\n
\n
\n ,
\n
para todo
\n
\n ,
\n
\n
\n ,
\n
para todo
\n
\n ,
\n
\n
\n ,
\n
para todo
\n
\n e
\n
\n
\n ,
\n
para todo
\n
\n .
\n
\n
\n
\n \n
\n Note que o domínio de definição das funções arco secante e arco cossecante não são intervalos, mas sim uma união de\n dois intervalos. Estudados separadamente cada um destes intervalos, temos no caso da função arco secante que a função\n secante é contínua e bijetora de \n em \n e, portanto, o teorema 1.11 se\n aplica a este intervalo. Novamente a função secante é contínua e bijetora de \n em \n e o\n teorema 1.11 se aplica também a este intervalo. Segue que a função arco secante é contínua em ambos os\n intervalos \n e \n e, portanto, contínua na união destes intervalos. Raciocínio similar para a\n função arco cossecante.\n \n
\n Estamos agora interessados nas derivadas das funções trigonométricas inversas. Para obter a derivada de uma\n função inversa \n , tradicionalmente usamos diferenciação implícita na igualdade \n , ou\n equivalentemente, na igualdade .\n
\n
\n Comecemos com a função \n definida para todo \n , com \n . Sabemos que a diferenciação não pode ser estabelecida nos extremos do intervalo\n fechado e então vamos considerar, ainda bijetivamente, que \n e \n .\n Para e nos intervalos citados, vale a relação \n . Ao derivarmos com respeito a , lembremos que \n é variável dependente de e, portanto, devemos usar a regra da cadeia. Derivando então a relação \n , com\n respeito a , temos\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Como queremos determinar \n vamos então isolar este termo na última igualdade. Obtemos assim,\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Obviamente, queremos também que essa derivada seja dada somente em termos de , e não de . Precisamos substituir a\n expressão do segundo membro, mas só conhecemos a relação \n . Então usamos o fato de que \n 0$\" loading=\"lazy\">\n para \n , para escrever\n
\n \n
\n \n
\n e segue que\n \n \n
\n \n
\n para todo \n . Note que a derivada não está definida para e para .\n
\n
\n Tomemos agora a função \n , definida para todo \n , com \n . A derivada\n será estabelecida então para \n com \n . Então derivamos a relação \n implicitamente\n em relação à variável , obtendo\n
\n \n
\n \n
\n e isolando o termo de interesse, temos\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Novamente, vamos substituir a variável dependente , no segundo membro, pela variável independente. Lembremos que\n para \n a função seno é positiva. Segue que\n
\n \n
\n \n
\n e, portanto,\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Tomando agora a função \n , definida para \n , assumindo valores \n . Para todo \n , temos a igualdade \n e então derivando em relação a\n , vem\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Desta igualdade e da identidade (1.9) da proposição 1.1, obtemos\n
\n \n
\n \n
\n e desta forma,\n
\n \n
\n \n
\n para todo \n . Note que o lado direito está bem definido para todo \n .\n
\n
\n Agora consideremos \n . Esta função está definida para todo \n , com valores \n . Derivando então a igualdade \n em relação a , temos\n
\n \n
\n \n
\n donde temos\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Usando agora a identidade (1.8), da proposição 1.1, temos\n
\n \n
\n \n
\n e obtemos a derivada\n
\n \n
\n \n
\n definida para todo \n .\n
\n
\n Seja agora \n , definida para todo \n com valores em \n . Para a diferenciação, vamos considerar bijetivamente que \n com valores em \n . Para qualquer \n no intervalo de diferenciação, temos \n e derivando esta igualdade em , obtemos\n
\n \n
\n \n
\n e isolando o termo de interesse, vem\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Usaremos novamente a igualdade (1.7) da proposição 1.1. Extraindo a raiz quadrada em ambos os\n membros de (1.7), conseguimos\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Como \n não podemos garantir que a tangente de seja positiva,\n mas sim que \n é positivo. Assim,\n
\n
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\n
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\n
\n
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\n
\n
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\n
\n
\n
\n \n \n
\n Segue que\n
\n \n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Nota: Observe que para tornar a função secante uma função bijetiva, acabamos por escolher um intervalo do domínio onde a\n função torna-se bijetora. Esta escolha não é única. Outras escolhas também tornam a função secante bijetora. Alguns\n autores escolhem \n , pois esta escolha, além de outras\n implicações, tornará mais simples a fórmula de derivada, que será \n , já que neste intervalo, teríamos \n , e não precisaríamos manter o módulo. O leitor poderá\n encontrar em alguns livros de Cálculo Diferencial e Integral esta última fórmula para a derivada da secante inversa.\n \n \n
\n \n
\n Para finalizar esta etapa, tomamos \n , que é definida para todo \n com \n . Descartando os extremos fechados de cada intervalo,\n derivamos \n em relação a , obtendo\n
\n \n
\n \n
\n donde segue\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Extraindo raiz quadrada em ambos os membros da igualdade (1.8), da proposição 1.1, conseguimos\n a identidade\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Agora como \n não podemos garantir que \n seja positiva, mas\n sabemos que \n é positivo. Então\n
\n
\n
\n
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\n
\n donde temos\n
\n \n
\n \n
\n para todo \n .\n \n
\n Nota: Aqui ocorre o mesmo que o comentado na nota anterior. A escolha de \n , tornará a fórmula de derivada mais simples. Será \n , já\n que no intervalo mencionado temos \n sempre positivo. O leitor poderá encontrar em alguns livros de Cálculo\n Diferencial e Integral esta última fórmula para a derivada da cossecante inversa.\n \n \n
\n
\n Resumimos as derivadas das funções trigonométricas circulares inversas na próxima tabela.\n
\n
\n
\n
Tabela 1.4:\n Derivadas das funções trigonométricas circulares inversas.
\n
\n
\n
\n
função
\n
domínio
\n
derivada
\n
\n
\n
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\n
\n \n
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\n
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\n
\n \n
\n
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\n
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\n \n
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\n
\n
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\n \n
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\n
\n
\n
\n \n \n
\n Observe que as derivadas das inversas das co-funções diferem das derivadas das inversas das funções apenas pelo sinal.\n Isto é decorrência das relações mencionadas na seção anterior,\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Derivando estas três igualdades em ambos os membros, com relação a , obtemos\n
\n Este capítulo é dedicado ao estudo das funções trigonométricas hiperbólicas. Iremos primeiramente estudar algumas\n propriedades importantes das hipérboles, para que possamos deduzir algumas relações envolvendo esta trigonometria.\n Vamos, depois, definir as seis funções trigonométricas hiperbólicas e um pequeno estudo sobre cada uma delas,\n principalmente no que diz respeito a derivada de tais funções. Feito isto, vamos estabelecer as funções trigonométricas\n hiperbólicas inversas e concluímos o capítulo com o estudo das derivadas das funções inversas.\n
\n\n:::\n\n## 2.1 Propriedades da hipérbole {#SECTION00610000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Consideremos uma hipérbole de equação , para 0$\" loading=\"lazy\">. Para simplificar, vamos considerar que e são ambos\n positivos, isto é, estamos tomando apenas um ramo da hipérbole. Os pontos desta curva são da forma \n \n para 0$\" loading=\"lazy\"> e o gráfico é a curva da figura 2.1.\n
\n Dado um número real \n 0$\" loading=\"lazy\">, vamos considerar a transformação\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (2.1)
\n
\n \n \n
\n Esta transformação é conhecida como deslocamento ou deslizamento sobre a hipérbole. Isto se deve ao fato de que\n leva pontos da hipérbole na hipérbole (ver proposição 2.1). Esta transformação é bastante importante no\n nosso estudo e possui propriedades interessantes. As próximas proposições evidenciam algumas destas propriedades.\n Outras propriedades podem ser encontradas em [7, Shervatov].\n \n
\n \n
Proposição 2.1 \n A transformação \n , definida por (2.1), possui as seguintes propriedades: \n \n \n leva pontos da hipérbole em pontos da hipérbole. \n \n \n leva retas do plano em retas. \n \n \n preserva a razão entre os comprimentos de segmentos de uma mesma reta. \n \n \n leva retas paralelas em retas paralelas. \n \n \n preserva as assíntotas da hipérbole.\n
\n
Prova.\n \n Dado 0$\" loading=\"lazy\">, o ponto \n pertencente à hipérbole e temos\n \n \n
\n \n
\n sendo que claramente o membro da direita é um ponto que ainda está sobre a hipérbole, uma vez que satisfaz a equação\n . Isto prova \n . Para provar \n consideremos a parametrização \n que descreve os pontos de uma reta, fazendo variar em \n , para quaisquer \n ,\n desde que \n pois é o vetor diretor da reta. Então aplicando ,\n \n \n
\n \n
\n e obviamente os pontos do membro da direita descrevem uma reta fazendo variar em \n . Para o item \n ,\n consideremos novamente a parametrização \n de uma reta qualquer. O comprimento de um segmento\n \n é a distância entre e . Se \n e \n , então\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Se \n \n é outro segmento desta reta com \n e \n , então da\n mesma forma, o comprimento do segmento \n é igual a \n e a razão entre os\n segmentos é\n \n \n
\n \n
\n pois \n .\n \n
\n Vamos então provar que se , , e , então\n \n . De fato, \n , \n , \n e \n . Então\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e da mesma forma\n
\n \n
\n \n
\n e, portanto,\n
\n \n
\n \n
\n
e isso prova o item \n .\n
\n
\n Para provar \n , tomemos duas retas paralelas e , isto é, os coeficientes são proporcionais. Tomemos\n as parametrizações \n e \n , para \n . Então, \n e \n e, claramente, e são paralelas, já que os seus coeficientes são proporcionais.\n
\n
\n Finalmente vamos a \n . As assíntotas da hipérbole são os eixos coordenados. As suas parametrizações são\n e . Obviamente \n , que continua sendo o eixo e \n , que continua sendo o eixo .\n \n
\n
\n \n
\n Nota: Observe que, na transformação dada em (2.1), para \n temos a aplicação identidade. Para \n \n 1$\" loading=\"lazy\">, um dado ponto será deslocado por no sentido do crescimento do eixo . E se \n , então o\n deslocamento de um determinado ponto da hipérbole, se dará no sentido contrário ao do crescimento do eixo .\n \n \n
\n \n \n
Proposição 2.2 \n A transformação não altera a área de figuras do plano.\n
\n \n \n
Prova.\n \n De fato, pode ser escrita como composição das transformações\n \n \n
\n e\n
\n \n
\n Sabemos da geometria plana que a transformação altera a área de uma figura plana multiplicando esta área por\n e a segunda transformação multiplica a área de uma figura por \n . A composta das duas\n aplicações então multiplica a área de figuras primeiro por e depois por \n e, portanto, não\n altera a área de figuras planas.\n \n
\n \n
\n A figura 2.2 representa um braço da hipérbole de equação cartesiana \n . Esta “metade”\n de hipérbole é conhecida como hipérbole trigonométrica. \n
\n
\n Note que, se rotacionarmos o gráfico da figura 2.2, \n no sentido anti-horário com relação a\n origem, este braço de hipérbole se torna o braço de hipérbole da figura 2.1, bastando apenas ajustar o valor\n de . Também as assíntotas , após esta rotação, se tornam os eixos coordenados da figura 2.1.\n Isso significa que, por uma rotação, as propriedades listadas nas Proposições 2.1 e 2.2 são\n válidas também na hipérbole trigonométrica e suas assíntotas . Isto porque a rotação (de \n ), é\n um movimento rígido e preserva comprimento de segmentos, relação de paralelismo e medidas de áreas.\n
\n
\n
\n
Figura 2.2:\n Hipérbole trigonométrica.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Chamemos o vértice da hipérbole da figura 2.2. Consideremos um ponto sobre a hipérbole\n situado no primeiro quadrante (fig. 2.3). Pelo ponto traçamos a perpendicular ao eixo . Marcamos\n o ponto simétrico de com relação ao eixo . O segmento é dito segmento conjugado do segmento , pois\n o prolongamento de encontra no ponto médio de . O ponto está então sobre a hipérbole no quarto\n quadrante e o segmento é também perpendicular ao eixo . Traçamos pelo ponto a reta paralela a assíntota\n e pelo ponto a reta paralela a assíntota . As retas e se encontram no ponto , sobre o\n eixo , formando o triângulo retângulo em .\n
\n
\n
\n
Figura 2.3:\n Construindo propriedades adicionais na hipérbole.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Aplicamos agora um deslizamento sobre a hipérbole, isto é, aplicamos a transformação dada em (2.1).\n Obtemos assim os pontos , , , e imagem pela dos pontos , , , e \n respectivamente; e as retas e imagem pela das retas e respectivamente, conforme figura\n 2.4.\n
\n
\n
\n
Figura 2.4:\n Propriedades adicionais na hipérbole.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Nestes termos, como os pontos , e estão sobre uma mesma reta, pela propriedade \n da Proposição\n 2.1 os pontos , e estão também sobre uma mesma reta. Pela mesma razão, os pontos , ,\n e também estão alinhados, isto é, sobre uma reta. Os pontos , e ainda estão sobre a hipérbole.\n A razão entre as medidas dos segmentos e é igual 1 e, portanto, pelo item \n da Proposição\n 2.1, a razão entre as medidas dos segmentos e é também 1, isto é, o ponto é ainda o ponto\n médio do segmento . Pelas propriedades \n e \n da mesma Proposição, as retas e \n são paralelas as retas imagens das assíntotas por . Como as assíntotas não são alteradas, e \n ainda são paralelas as assíntotas. Isto significa que o triângulo é ainda um triângulo retângulo em .\n
\n\n:::\n\n## 2.2 A trigonometria hiperbólica {#SECTION00620000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n A trigonometria hiperbólica é construída sobre a hipérbole trigonométrica, isto é, o braço da hipérbole de equação\n \n , representado na figura 2.2. Dado um número real , entenderemos por ângulo\n hiperbólico , ou ângulo hiperbólico , o arco da hipérbole no primeiro quadrante, de forma que a área do\n setor seja igual a \n (Ver figura 2.5). No caso em que o ângulo hiperbólico\n é o arco da hipérbole, no quarto quadrante, de forma que a área do setor seja igual a \n .\n
\n Note que esta definição, em termos de área, é escolhida pois o deslizamento hiperbólico não altera área de figuras\n no plano (Proposição 2.2) e desta forma um ângulo hiperbólico não será alterado quando aplicarmos o\n deslizamento hiperbólico. Na figura 2.6, o ângulo hiperbólico é igual ao ângulo hiperbólico\n se e são imagens respectivas dos pontos e por deslizamento hiperbólico.\n
\n
\n
\n
Figura 2.6:\n Ângulo hiperbólico deslizado.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Note ainda que podemos considerar ângulos hiperbólicos de qualquer magnitude, já que a área do setor entre as\n assíntotas e a hipérbole, é infinita. Vamos agora definir seno e cosseno hiperbólico de um ângulo\n (hiperbólico) \n .\n
\n
\n Nesses termos, dado um ângulo hiperbólico , determinado pelo arco de hipérbole , consideramos o ponto ,\n projeção do ponto sobre o eixo e o ponto projeção do ponto sobre o eixo . O cosseno hiperbólico de\n é definido como sendo a abscissa do ponto , isto é, o comprimento do segmento\n orientado (ou ), com relação ao eixo . Note que este segmento orientado nunca terá sentido contrário ao\n eixo e, portanto, a medida de cosseno hiperbólico de será sempre positiva (maior ou igual a 1 para ser mais\n preciso). O seno hiperbólico de é definido como sendo a ordenada do ponto , isto é, o\n comprimento do segmento orientado (ou ), com relação ao eixo , isto é, se o segmento orientado tem\n sentido contrário ao eixo , então entendemos que a medida do segmento é negativa. Isto ocorrerá apenas para valores\n negativos de .\n
\n As demais funções trigonométricas hiperbólicas, tangente, cotangente, secante e cossecante, são definidas como na\n trigonometria circular, isto é, respectivamente \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Se considerarmos dois ângulos hiperbólicos de medidas e , representados respectivamente pelos arcos e\n , vemos (na figura 2.8) que os valores de seno hiperbólico são diferentes apenas por um sinal, pois os\n segmentos orientados e tem sentidos opostos e que os valores de cosseno hiperbólico são ambos iguais ao\n segmento orientado .\n
\n
\n
\n
Figura 2.8:\n Ângulos hiperbólicos de sinais contrários.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Isto significa que,\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n (2.2)
\n
\n
\n Em outras palavras, o seno hiperbólico é uma função ímpar e o cosseno hiperbólico é uma função par.\n
\n
\n Nosso próximo passo é deduzir as principais fórmulas da trigonometria hiperbólica. Serão cinco fórmulas, contando com\n as duas identidades em (2.2). Faltam a relação fundamental e as fórmulas de soma de arcos para o seno\n e o cosseno hiperbólicos. Demais fórmulas trigonométricas que se deseje podem ser deduzidas a partir destas cinco.\n
\n
\n Da figura 2.7, podemos ver claramente que as coordenadas cartesianas do ponto são \n . Também o ponto está sobre a hipérbole, e então suas coordenadas devem obrigatoriamente satisfazer a\n equação da hipérbole \n e, assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (2.3)
\n
\n
\n que é a relação fundamental da trigonometria hiperbólica.\n
\n
\n Vamos agora mostrar a validade das fórmulas trigonométricas da soma de arcos do cosseno hiperbólico e do seno\n hiperbólico. Consideremos dois ângulos hiperbólicos e determinados pelos arcos hiperbólicos e \n respectivamente, conforme a figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 2.9:\n Ângulos hiperbólicos e .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Tomando o ponto , sobre a hipérbole, simétrico do ponto pelo eixo , temos o segmento conjugado ao\n segmento , isto é, o prolongamento do segmento corta o segmento em seu ponto médio. Chamemos , este\n ponto médio. também é a projeção de sobre o eixo . Considerando as retas e paralelas as assíntotas\n , que passam pelos pontos e respectivamente, temos que e se encontram sobre o eixo no\n ponto que denotaremos por .\n
\n
\n
\n
Figura 2.10:\n Segmento conjugado ao ângulo hiperbólico .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Decorre disto que\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Vamos agora aplicar um deslizamento hiperbólico que desliza o arco de forma que a imagem de coincide com\n o ponto . A imagem de então será denotada por , isto é, . Lembrando ainda que o ângulo hiperbólico\n continua sendo o ângulo hiperbólico , em virtude da invariância de áreas por deslizamento hiperbólico. O ponto\n por sua vez determina o arco de hipérbole associado ao ângulo hiperbólico . Também, sejam , e\n as respectivas imagens dos pontos , e e e as respectivas imagens das retas e .\n
\n
\n
\n
Figura 2.11:\n Ângulo hiperbólico .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Pelos pontos e traçamos, as perpendiculares ao eixo , e . Lembremos que a corda , é ainda\n conjugada a , ou seja, o prolongamento de encontra o ponto médio do segmento e com sendo este\n ponto médio.\n
\n
\n
\n
Figura 2.12:\n Projeções e .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Nestes termos temos as relações,\n
\n \n
\n e\n
\n e\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Vamos agora mostrar que também valem,\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n (2.4)
\n
\n \n \n
\n Os segmentos e estão sobre a mesma reta e então do item \n da proposição 2.1 temos que\n a razão \n é preservada pelo deslizamento hiperbólico, ou seja, \n . Levando\n em conta que , temos imediatamente que\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Agora, os triângulos e são triângulos retângulos e e são pontos médios das respectivas\n hipotenusas. O ponto médio da hipotenusa é equidistante aos vértices de um triângulo retângulo, isto é, \n \n e \n . Também, como os segmentos e estão sobre uma mesma reta, a razão \n é\n preservada pelo deslizamento hiperbólico, isto é, \n . Segue que\n \n
\n Seja a projeção de sobre o eixo e a projeção de sobre o segmento , conforme a figura\n 2.13.\n
\n
\n
\n
Figura 2.13:\n Projeções e .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Notemos que os triângulos e são semelhantes. Vamos verificar que também são semelhantes os triângulos\n e . Para isto mostraremos que o ângulo é igual ao ângulo \n . A reta , paralela a\n bissetriz , passa por , intercepta em e intercepta em um ponto que chamaremos de (Figura\n 2.14).\n
\n
\n
\n
Figura 2.14:\n Projeção .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Assim, \n . Mais ainda, como o triângulo é retângulo em e é o ponto\n médio da hipotenusa , segue que o triângulo é isósceles e pontanto os ângulos \n e\n \n possuem a mesma medida, isto é, \n . Mas \n
\n
\n \n
\n e, portanto, \n .\n Segue disto que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Agora, \n e, portanto,\n \n
\n
\n \n
\n e como \n então temos,\n \n
\n
\n \n
\n como desejado. Isto mostra que os triângulos e são semelhantes. Desta semelhança, segue que\n \n
\n
\n e\n
\n e destas igualdades,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n Também são semelhantes os triângulos e e desta semelhança, temos\n \n
\n As fórmulas (2.5) e (2.6), juntamente com a relação fundamental (2.3) e as duas\n fórmulas em (2.2), constituem as 5 fórmulas básicas da trigonometria hiperbólica. Com elas podemos\n deduzir outras fórmulas, como por exemplo, as fórmulas de duplicação de arcos,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e as fórmulas de diferença de arcos,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Vamos agora obter duas outras fórmulas trigonométricas hiperbólicas que serão úteis mais adiante. São fórmulas fáceis\n de serem obtidas, similares às fórmulas obtidas na proposição 1.1. Estamos apresentando-as em virtude do\n uso futuro (na seção 2.8).\n
\n
Proposição 2..3 \n São válidas as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas\n
\n
Para todos e reais,\n \n
\n
\n
\n
\n
\n (2.7)
\n
\n \n
\n
Para todo \n ,\n \n
\n
\n
\n
\n
\n (2.8)
\n
\n \n
\n
Para todo \n ,\n \n
\n
\n
\n
\n
\n (2.9)
\n
\n
\n \n \n
Prova.\n \n Para , temos\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
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\n
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\n
\n
\n
\n Os itens e ficam\n
\n
\n
\n
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\n
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\n
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\n \n
\n
e
\n
\n
\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
e a prova está concluída.\n
\n \n \n
\n\n:::\n\n## 2.3 As funções trigonométricas hiperbólicas {#SECTION00630000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n\n \n \n
\n Nesta seção, vamos estudar os aspectos das funções trigonométricas hiperbólicas. Primeiro vamos observar os gráficos dessas funções, determinando, com precisão, os respectivos domínios. Também, vamos observar alguns limites importantes em cada uma das funções. Para esse nosso estudo, vamos considerar as funções de uma variável real que a cada valor de associa o seno, ou o cosseno, ou a tangente, ou a cotangente, ou a secante, ou ainda a cossecante hiperbólica de . Vamos olhar uma a uma.\n
\n
\n Para a função \n , notemos que para cada valor real de , construímos o ângulo hiperbólico \n determinado pelo arco , onde a ordenada do ponto é o seno hiperbólico de .\n Não há nenhuma impossibilidade matemática para e, portanto, o domínio da função \n é todo o conjunto\n dos números reais. Além disso, fazendo variar no conjunto dos reais, os valores resultantes para a ordenada do\n ponto também percorrem o conjunto dos números reais. Desta forma, temos que a função\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n é sobrejetiva. Além disso, para cada \n , é único o valor de que satisfaz , então esta função é\n também injetora. Logo, \n é uma função bijetora.\n \n
\n Conforme aumenta (para o infinito) o tamanho do arco também aumenta. Por conseguinte, a ordenada do ponto \n aumenta e o valor de também aumenta indefinidamente. O mesmo ocorre para os valores negativos de . Temos\n então\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico de \n é dado por\n
\n
\n
\n
Figura 2.15:\n Gráfico da função seno hiperbólico.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Podemos notar ainda que é uma função contínua (mostraremos isto formalmente na próxima seção), ímpar e estritamente\n crescente.\n
\n
\n Agora a função \n . Para qualquer valor real , construímos o arco\n hiperbólico associado ao ângulo hiperbólico , cujo cosseno hiperbólico é a abscissa do ponto . Notemos que\n não há nenhuma impossibilidade matemática para o valor de e, sendo assim, o domínio da função \n é o\n conjunto dos números reais. Fazendo variar no conjunto dos números reais, vemos que a abscissa do ponto somente\n poderá assumir valores maiores do que , isto é, \n . Isto significa que esta função não é\n sobrejetora no conjunto dos números reais, mas sim no conjunto \n . Note também que esta função não é\n injetora, pois para qualquer valor de temos \n , isto é, é uma função par. Portanto a função\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n não é bijetora.\n
\n
\n Conforme o valor de aumenta (para o infinito), o tamanho do arco aumenta e a abscissa do ponto também\n aumenta indefinidamente. Uma análise similar para valores negativos de levam à mesma conclusão. Temos assim,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é dado por\n
\n
\n
\n
Figura 2.16:\n Gráfico da função cosseno hiperbólico.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Para a função \n vamos usar a identidade \n . Fazendo variar no conjunto dos números reais, temos apenas que nos preocupar com o denominador,\n que não pode ser nulo. Como vimos anteriormente, para qualquer valor de , temos que é maior ou igual a 1,\n e, portanto, o denominador da fração anterior, não se anula. Com isto o domínio da função \n é todo o\n conjunto dos números reais.\n
\n
\n Além disso, como o ponto está entre as retas assíntotas e , temos que a abscissa do ponto é\n sempre maior que a ordenada do ponto em módulo, isto é, \n \\vert{\\mathrm{senh}}u\\vert$\" loading=\"lazy\"> para qualquer valor de . Isto\n significa que a fração \n resultará sempre valores menores que 1 em módulo, isto é,\n \n .\n
\n
\n À medida que aumenta indefinidamente, os valores de \n e tendem a se igualar, pois o ponto se\n aproxima da assíntota e isto significa que quando \n os valores de \n se aproximam de 1. No\n caso em que \n então o ponto se aproxima da assíntota e neste caso levamos em conta os sinais\n de \n e . Em outras palavras,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico da função \n é dado por\n
\n
\n
\n
Figura 2.17:\n Gráfico da função tangente hiperbólica.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n A função \n é uma função monótona crescente, ímpar, limitada e bijetora de \n em .\n
\n
\n O estudo da função cotangente hiperbólica, \n , também será feito analizando a identidade \n . Para determinar o domínio desta função, como se trata de\n um quociente, precisamos nos preocupar com o anulamento do denominador. O seno hiperbólico se anula somente no ponto e, portanto, o domínio de \n é o conjunto \n .\n
\n
\n Também, como visto anteriormente, o numerador é sempre maior que o denominador, em módulo. Portanto os valores\n resultantes deste quociente são sempre maiores que 1, em módulo, isto é, a imagem desta função é o conjunto \n . À medida que cresce indefinidamente, os valores de \n e se aproximam (veja\n explicação anterior) e, portanto,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n Como o ponto é um ponto crítico desta função, vamos estudar os limites no ponto 0. A medida que se aproxima\n de 0, os valores do denomidador \n , se aproximam de 0 e a fração vai para o infinito. Temos então, com o\n respectivo estudo de sinal lateral,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é dado por\n
\n
\n
\n
Figura 2.18:\n Gráfico da função cotangente hiperbólica.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n A função \n é uma função ímpar e bijetora do conjunto \n no conjunto \n .\n
\n
\n Para a função \n , o domínio é o conjunto dos\n números reais, uma vez que o denominador nunca se anula, mais do que isto, o denominador é sempre maior ou igual a 1.\n Portanto, os valores assumidos pelo quociente \n , serão sempre positivos e menores ou iguais a e,\n desta forma, a função é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1. Além disso, como cosseno hiperbólico é uma\n função par, então a função secante também será uma função par.\n
\n
\n À medida que cresce indefinidamente, o denominador também cresce indefinidamente e, portanto,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n O gráfico desta função é\n
\n
\n
\n
Figura 2.19:\n Gráfico da função secante hiperbólica.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n A cossecante hiperbólica é dada pelo quociente \n e desta forma, seu domínio é o conjunto dos números reais tais que o denominador não se anula, isto\n é, \n . A imagem por sua vez é também o conjunto \n já que a fração \n jamais se anula.\n Conforme cresce (para o infinito), o denominador também cresce (para o infinito) e, assim,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Próximo do ponto crítico os valores do denominador também estarão próximos de 0 e, portanto, fazendo o estudo\n de sinal, temos\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico da função cossecante hiperbólica é\n
\n
\n
\n
Figura 2.20:\n Gráfico da função cossecante hiperbólica.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n A função cossecante hiperbólica é uma função ímpar bijetora de \n em \n . É decrescente em cada um dos\n semi-eixos positivo e negativo.\n
\n
\n A relação completa das funções trigonométricas hiperbólicas, com os domínios e imagens é resumida na próxima tabela.\n \n
\n \n
\n
\n
Tabela 2.1:\n Domínio e imagem das funções trigonométricas hiperbólicas.
\n
\n
\n
\n
função
\n
domínio
\n
imagem
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
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\n
\n
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\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n:::\n\n## 2.4 Continuidade das funções trigonométricas hiperbólicas {#SECTION00640000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Agora vamos mostrar que as funções trigonométricas hiperbólicas são contínuas em cada um dos pontos de definição destas\n funções. Mais precisamente, mostraremos que\n \n
Prova.\n \n Vamos estudar os limites laterais e verificar que são ambos iguais a 1. Para obter o limite quando \n \n podemos considerar que . Consideremos o arco hiperbólico , relacionado com o ângulo hiperbólico e a\n reta paralela ao eixo que passa por . Esta reta intercepta o segmento em um ponto que denominaremos \n (Ver figura 2.21).\n \n
\n
\n
Figura 2.21:\n Visualização geométrica do limite
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Nestes termos, sabemos que a área do setor hiperbólico (a área sombreada da figura (2.5)) é igual\n a \n , a área do triângulo é igual a \n e a área do triângulo retângulo é igual\n a \n . Também a área do triângulo é menor que a área do\n setor hiperbólico que por sua vez é menor que a área do triângulo , ou seja,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Multiplicando tudo por 2 e dividindo tudo por \n (que é positivo), temos\n \n
\n Da primeira desigualdade temos que \n e, usando isto, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Desta forma \n e, reorganizando os termos, temos\n \n
\n
\n \n
\n e como \n então 0$\" loading=\"lazy\">, o que nos permite obter \n . Segue que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Passando agora o limite na desigualdade, quando \n , temos que o limite do termo do lado esquerdo existe e é\n igual a 1 e o limite do lado direito também existe e é igual a 1, pois \n é uma função contínua em . Temos então pelo teorema do confronto (teorema do sanduíche) que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n O caso em que , é obtido observando que a função \n é uma função par. Assim o comportamento à\n esquerda de 0 é o mesmo comportamento à direita de zero. Temos então\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto,\n \n
\n
\n \n
\n
o que encerra esta demonstração.\n
\n
\n \n \n
Teorema 2.5 \n As funções seno e cosseno hiperbólico são contínuas em , isto é,\n \n \n
\n e\n
\n \n \n
Prova.\n \n Para o primeiro limite, supondo primeiro 0$\" loading=\"lazy\"> (mais precisamente ), usamos a desigualdade obtida no teorema\n anterior\n \n \n
\n \n
\n e o teorema do confronto garante que \n . Para lembremos que cosseno\n hiperbólico é uma função par e então como na demonstração do teorema anterior,\n \n
\n
\n \n
\n e isso prova o primeiro limite.\n
\n
\n Para provar o segundo limite, usaremos o item (c) do teorema 1.2. Como os limites de \n e de\n existem quando então o limite do produto existe e\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Agora, como \n para todo então do teorema 1.4 segue que\n \n
Prova.\n \n Usando a identidade trigonométrica para a soma de arcos do cosseno hiperbólico, temos que\n \n \n
\n \n
\n e dos itens (a) e (b) do teorema 1.2, segue que\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Usando agora a identidade trigonométrica para a soma de arcos do seno hiperbólico, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
e isso termina esta demonstração.\n
\n
\n \n
\n Os limites indicados no início desta seção seguem agora imediatamente do teorema de mudança de variáveis 1.5,\n e dos limites que acabamos de provar.\n
\n \n
Corolário 2.7 \n As funções seno e cosseno hiperbólicos são contínuas em qualquer ponto \n , isto é,\n \n \n
\n e\n
\n \n
\n Vamos agora analisar a continuidade das outras quatro funções trigonométricas hiperbólicas, já que estas são escritas\n como um quociente em termos de seno e cosseno. Usando o item (d) do teorema 1.2, podemos facilmente provar as\n afirmações a seguir.\n
\n
\n As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas são contínuas nos seus domínios de definição. Isto\n é,\n
\n Vamos agora deduzir as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas. Para isto usaremos primeiro a definição de\n derivada, isto é,\n \n
\n
\n \n
\n para encontrar as derivadas de \n e . Depois usaremos a regra do quociente para obter as derivadas das\n demais funções trigonométricas hiperbólicas. Antes precisamos determinar um limite importante.\n \n
Prova.\n \n Vamos modificar um pouco o quociente deste limite e usar a proposição anterior. Notemos que\n \n \n
\n \n
\n \n
\n Usando agora a identidade fundamental (2.3) no membro da direita, temos que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Olhando para o membro da direira, temos que, o limite da primeira fração quando existe e é igual a 1\n (proposição 2.4) e o limite da segunda fração quando também existe por ser uma função contínua\n em . Desta forma o limite do produto existe quando e,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
e a prova está terminada.\n
\n
\n \n
\n Agora temos condições de deduzir as fórmulas de derivada para as funções trigonométricas seno e cosseno\n hiperbólicos. Para a função seno hiperbólico temos que a derivada é dada por, \n \n
\n
\n \n
\n em todos os valores \n tais que o limite existe.\n
\n
\n Assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n para todo \n tal que o limite acima existe.\n
\n
\n Mas os limites de \n e \n existem para todo \n e assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n para todo \n .\n
\n
\n Para a função cosseno hiperbólico, temos que \n \n
\n
\n \n
\n para todo \n tal que o limite exista. Para tais , temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Como os limites de cada uma das frações \n e \n existem para\n todo \n então\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n para todo \n .\n
\n
\n Para as demais funções trigonométricas hiperbólicas usaremos as identidades em termos de seno e cosseno hiperbólico e a\n regra de derivação do quociente. Já que as funções seno e cosseno hiperólico são diferenciáveis em todo \n \n então os quocientes de definição das demais funções trigonométricas hiperbólicas são diferenciáveis em todos os pontos\n onde o denominador não se anula.\n
\n
\n A função \n é diferenciável em todo \n e \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Para a função cotangente, temos em todo \n , \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n E, finalmente, para todo \n , \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e também, para todo \n , \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n A tabela abaixo, reúne as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas hiperbólicas. O conjunto domínio\n descrito na tabela é o domínio da derivada. Note a semelhança com o caso circular.\n \n
\n \n
\n
\n
Tabela 2.2:\n Derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas.
\n Nesta seção, vamos definir as funções trigonométricas inversas, estabelecendo os domínios, as imagens e indicando\n alguns limites importantes. Também apresentaremos os gráficos destas funções. Este não é um trabalho muito fácil pois,\n como acabamos de ver, as funções trigonométricas hiperbólicas não são todas elas bijetoras. Já passamos por este\n problema na seção 1.5 com as funções trigonométricas circulares. Vamos impor, quando necessário, condições\n de restrição de domínio e de imagem para tornar as funções bijetivas.\n
\n
\n Comecemos com a função seno hiperbólico, que como vimos anteriormente, é uma função bijetora de \n em \n . Desta\n forma, podemos obter a função inversa do seno hiperbólico, para qualquer valor real. Dado \n , o seno\n hiperbólico inverso de , é o número , representado por \n , que satisfaz \n . É usual\n representar também a função seno hiperbólico inverso por \n e lemos “arco seno\n hiperbólico”. Vamos usar neste texto a primeira notação e lembre-se de não confundir \n com \n . A segunda expressão é o inverso multiplicativo do seno hiperbólico, ou seja a cossecante hiperbólica.\n
\n
\n Fazendo variar em \n , temos a função seno hiperbólico inverso, \n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n que satisfaz a relação \n . Se fizermos tender para o infinito, a relação \n nos diz que \n também deve ir para o infinito e analogamente para \n . Temos assim,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n Valem as seguintes relações inversas,\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n \n \n
\n O gráfico da função seno hiperbólico inverso, é da forma,\n
\n
\n
\n
Figura 2.22:\n Gráfico de seno hiperbólico inverso.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n A função cosseno hiperbólico não é uma função bijetora. Lembremos que seu domínio é \n , mas sua imagem é o\n subconjunto \n . Restringindo o contradomínio a \n tornamos esta função sobrejetora.\n Também a função cosseno hiperbólico, definida em todo o domínio \n , não é injetora. Vamos então restringir o domínio\n desta função ao conjunto dos reais não negativos. Temos assim que a função cosseno hiperbólico é bijetora de\n \n em \n . Por restrição, podemos então definir a função cosseno hiperbólico inverso, denotada por\n \n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n e que satisfaz a relação \n . Levando ao infinito, a relação \n nos mostra que também vai\n para o infinito. No outro extremo do intervalo de definição, isto é, quando tende para 1 (somente pela direita), a\n mesma relação mostra que vai para 0. Então,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é a curva da figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 2.23:\n Gráfico da função cosseno hiperbólico inverso.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Ocorrem as seguintes relações inversas,\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n \n \n
\n A função tangente hiperbólica é uma função injetora do conjunto \n no conjunto \n , mas não é sobrejetora já que o\n conjunto imagem é o intervalo . Restringindo o contradomínio temos a bijetividade da função tangente\n hiperbólica de \n em . Definimos então a função tangente hiperbólica inversa, \n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n com e satisfazendo \n . Vamos observar o seu comportamento nos extremos do intervalo. Quando tende\n a 1 (pela esquerda) então a relação \n mostra que deve ir para o infinito. Analogamente se \n então vai para . Resumindo,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico da função tangente hiperbólica inversa,\n
\n
\n
\n
Figura 2.24:\n Gráfico da função tangente hiperbólica inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n As relações inversas são\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n \n \n
\n A função cotangente hiperbólica também é uma função bijetora do conjunto \n no conjunto \n . Desta forma, definimos a função cotangente hiperbólica inversa por, \n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n desde que \n . Analisando os extremos do intervalo de definição, temos que quando \n a relação\n \n nos diz que isto ocorre quando vai para 0 (com valores negativos). Analogamente, quando \n então deve ocorrer (com valores positivos). Fazendo \n então, a mesma relação anterior,\n nos diz que deve ir para e analogamente \n quando \n . Resumindo,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n O gráfico desta função é dado por\n
\n
\n
\n
Figura 2.25:\n Gráfico da função cotangente hiperbólica inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Valem as seguintes relações de inversão,\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Para a secante hiperbólica, temos alguns problemas como no caso do cosseno hiperbólico inverso. O domínio da\n função secante hiperbólica é o conjunto \n e a imagem é o conjunto . Mas esta função não é injetora de \n \n em . Então vamos restringir o conjunto domínio para os reais não negativos. Assim, a função secante hiperbólica\n é bijetiva de \n em e podemos definir a função secante hiperbólica inversa \n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n satisfazendo \n . Quando (pela direita), a relação \n diz que deve estar indo para o infinito por valores positivos e consequentemente deve estar indo para o infinito.\n Quando vai para 1 (pela esquerda) então está indo para 1 e deve estar se aproximando de 0. Temos\n então\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n As relações inversas ficam,\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Graficamente, temos\n
\n
\n
\n
Figura 2.26:\n Gráfico de secante hiperbólica inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Finalmente, lembremos que a função cossecante hiperbólica é bijetora do conjunto \n no conjunto \n .\n Definimos então a função cossecante hiperbólica inversa \n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n que também satisfaz \n . Esta relação explica também os limites. Quando \n \n então \n deve ir para 0 por valores negativos e então deve ir para 0 também por valores negativos.\n Analogamente, quando \n , \n deve ir para 0 por valores positivos e então deve ir também para 0\n por valores positivos. Se por valores positivos então \n deve ir para o infinito e \n \n também. Da mesma forma, se por valores negativos, então \n vai para e consequentemente, \n também. Resumindo,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n O gráfico desta função é representado por\n
\n
\n
\n
Figura 2.27:\n Gráfico da função cossecante hiperbólica inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n São válidas as relações de inversão,\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n \n \n
\n A relação completa de funções trigonométricas hiperbólicas inversas com seus respectivos domínios de definição e\n conjunto imagem é dada na próxima tabela.\n \n
\n
\n
\n
Tabela 2.3:\n Domínio e imagem das funções trigonométricas hiperbólicas inversas.
\n O procedimento adotado aqui não tem diferenças do procedimento adotado para as funções trigonométricas circulares. O\n teorema 1.11 se aplica às funções trigonométricas hiperbólicas em seus respectivos domínios de definição.\n Vamos omitir os detalhes. Entretanto entendemos deste ponto em diante que cada função trigonométrica inversa é contínua\n nos seus respectivos domínios de definição respeitando a lateralidade nos extremos fechados destes domínios.\n
\n Considerando a função \n , para todo \n , queremos agora derivar em relação a e obter\n \n . Sabemos que neste caso é válida a relação \n . Lembre-se que é variável dependente\n de e, por isto, quando derivarmos devemos usar diferenciação implícita. Nestes termos, derivando em relação a\n os dois membros de \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como queremos determinar \n basta agora isolar este termo. Obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Mas claro que desejamos obter esta derivada como função de novamente. Precisamos então substituir a variável\n dependente do segundo membro pela variável independente . A única expressão que faz esta substituição é a\n própria relação \n . Assim, vamos substituir o termo por alguma expressão que contenha \n .\n Usando a relação fundamental (2.3), temos\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Tomamos agora a função \n , definida para todo \n . Derivando implicitamente a\n igualdade \n com relação a , para todo 1$\" loading=\"lazy\">, obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Isolando agora o termo \n , como feito para o caso do seno hiperbólico e usando a relação fundamental\n (2.3), obtemos\n \n
\n
\n \n
\n para todo 1$\" loading=\"lazy\">. Note que esta derivada não está definida para .\n
\n
\n Para a função \n , definida no intervalo , derivamos a igualdade \n com relação\n a , obtendo\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Reorganizando os termos e usando a igualdade (2.8), da proposição 2.3, vem\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Considerando \n , definida para todo \n , vamos derivar a\n igualdade \n com respeito a . Obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Isolando o termo \n e usando a identidade (2.9) da proposição 2.3,\n temos\n \n
\n
\n \n
\n para \n .\n
\n
\n Tomando agora a função \n , que está definida para todo \n , temos \n , com\n \n . Derivando em relação a , obtemos\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n . Então,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Usaremos a identidade (2.8) da proposição 2.3, válida para \n . Extraindo a\n raiz quadrada em ambos os membros de (2.8), temos que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como \n o termo \n do lado esquerdo é sempre positivo. Descartamos então o módulo, obtendo\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Finalmente para a função \n , definida para todo \n , escrevemos \n , com\n \n e derivando implicitamente em relação a , obtemos\n \n
\n
\n \n
\n que nos fornece\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Vamos usar a igualdade (2.9), da proposição 2.3, válida para \n . Extraímos a\n raiz quadrada em ambos os membros de (2.9) para obter\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Observe que \n não é sempre positiva para \n e isto nos impede de descartar o módulo. Mas \n é sempre positivo. Então temos\n
\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n donde segue que\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Vamos resumir as fórmulas desta seção na próxima tabela.\n
\n
\n
\n
Tabela 2.4:\n Derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas inversas.
\n
\n
\n
\n
função
\n
domínio
\n
derivada
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n \n \n
\n Note que as derivadas das funções \n e \n são iguais, porém estão definidas em conjuntos\n disjuntos, isto é, conjuntos que não possuem pontos em comum.\n
\n Este capítulo é dedicado ao estudo das funções trigonométricas hiperbólicas. Iremos primeiramente estudar algumas\n propriedades importantes das hipérboles, para que possamos deduzir algumas relações envolvendo esta trigonometria.\n Vamos, depois, definir as seis funções trigonométricas hiperbólicas e um pequeno estudo sobre cada uma delas,\n principalmente no que diz respeito a derivada de tais funções. Feito isto, vamos estabelecer as funções trigonométricas\n hiperbólicas inversas e concluímos o capítulo com o estudo das derivadas das funções inversas.\n
\n\n:::\n\n## 2.1 Propriedades da hipérbole {#SECTION00610000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Consideremos uma hipérbole de equação , para 0$\" loading=\"lazy\">. Para simplificar, vamos considerar que e são ambos\n positivos, isto é, estamos tomando apenas um ramo da hipérbole. Os pontos desta curva são da forma \n \n para 0$\" loading=\"lazy\"> e o gráfico é a curva da figura 2.1.\n
\n Dado um número real \n 0$\" loading=\"lazy\">, vamos considerar a transformação\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (2.1)
\n
\n \n \n
\n Esta transformação é conhecida como deslocamento ou deslizamento sobre a hipérbole. Isto se deve ao fato de que\n leva pontos da hipérbole na hipérbole (ver proposição 2.1). Esta transformação é bastante importante no\n nosso estudo e possui propriedades interessantes. As próximas proposições evidenciam algumas destas propriedades.\n Outras propriedades podem ser encontradas em [7, Shervatov].\n \n
\n \n
Proposição 2.1 \n A transformação \n , definida por (2.1), possui as seguintes propriedades: \n \n \n leva pontos da hipérbole em pontos da hipérbole. \n \n \n leva retas do plano em retas. \n \n \n preserva a razão entre os comprimentos de segmentos de uma mesma reta. \n \n \n leva retas paralelas em retas paralelas. \n \n \n preserva as assíntotas da hipérbole.\n
\n
Prova.\n \n Dado 0$\" loading=\"lazy\">, o ponto \n pertencente à hipérbole e temos\n \n \n
\n \n
\n sendo que claramente o membro da direita é um ponto que ainda está sobre a hipérbole, uma vez que satisfaz a equação\n . Isto prova \n . Para provar \n consideremos a parametrização \n que descreve os pontos de uma reta, fazendo variar em \n , para quaisquer \n ,\n desde que \n pois é o vetor diretor da reta. Então aplicando ,\n \n \n
\n \n
\n e obviamente os pontos do membro da direita descrevem uma reta fazendo variar em \n . Para o item \n ,\n consideremos novamente a parametrização \n de uma reta qualquer. O comprimento de um segmento\n \n é a distância entre e . Se \n e \n , então\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Se \n \n é outro segmento desta reta com \n e \n , então da\n mesma forma, o comprimento do segmento \n é igual a \n e a razão entre os\n segmentos é\n \n \n
\n \n
\n pois \n .\n \n
\n Vamos então provar que se , , e , então\n \n . De fato, \n , \n , \n e \n . Então\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e da mesma forma\n
\n \n
\n \n
\n e, portanto,\n
\n \n
\n \n
\n
e isso prova o item \n .\n
\n
\n Para provar \n , tomemos duas retas paralelas e , isto é, os coeficientes são proporcionais. Tomemos\n as parametrizações \n e \n , para \n . Então, \n e \n e, claramente, e são paralelas, já que os seus coeficientes são proporcionais.\n
\n
\n Finalmente vamos a \n . As assíntotas da hipérbole são os eixos coordenados. As suas parametrizações são\n e . Obviamente \n , que continua sendo o eixo e \n , que continua sendo o eixo .\n \n
\n
\n \n
\n Nota: Observe que, na transformação dada em (2.1), para \n temos a aplicação identidade. Para \n \n 1$\" loading=\"lazy\">, um dado ponto será deslocado por no sentido do crescimento do eixo . E se \n , então o\n deslocamento de um determinado ponto da hipérbole, se dará no sentido contrário ao do crescimento do eixo .\n \n \n
\n \n \n
Proposição 2.2 \n A transformação não altera a área de figuras do plano.\n
\n \n \n
Prova.\n \n De fato, pode ser escrita como composição das transformações\n \n \n
\n e\n
\n \n
\n Sabemos da geometria plana que a transformação altera a área de uma figura plana multiplicando esta área por\n e a segunda transformação multiplica a área de uma figura por \n . A composta das duas\n aplicações então multiplica a área de figuras primeiro por e depois por \n e, portanto, não\n altera a área de figuras planas.\n \n
\n \n
\n A figura 2.2 representa um braço da hipérbole de equação cartesiana \n . Esta “metade”\n de hipérbole é conhecida como hipérbole trigonométrica. \n
\n
\n Note que, se rotacionarmos o gráfico da figura 2.2, \n no sentido anti-horário com relação a\n origem, este braço de hipérbole se torna o braço de hipérbole da figura 2.1, bastando apenas ajustar o valor\n de . Também as assíntotas , após esta rotação, se tornam os eixos coordenados da figura 2.1.\n Isso significa que, por uma rotação, as propriedades listadas nas Proposições 2.1 e 2.2 são\n válidas também na hipérbole trigonométrica e suas assíntotas . Isto porque a rotação (de \n ), é\n um movimento rígido e preserva comprimento de segmentos, relação de paralelismo e medidas de áreas.\n
\n
\n
\n
Figura 2.2:\n Hipérbole trigonométrica.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Chamemos o vértice da hipérbole da figura 2.2. Consideremos um ponto sobre a hipérbole\n situado no primeiro quadrante (fig. 2.3). Pelo ponto traçamos a perpendicular ao eixo . Marcamos\n o ponto simétrico de com relação ao eixo . O segmento é dito segmento conjugado do segmento , pois\n o prolongamento de encontra no ponto médio de . O ponto está então sobre a hipérbole no quarto\n quadrante e o segmento é também perpendicular ao eixo . Traçamos pelo ponto a reta paralela a assíntota\n e pelo ponto a reta paralela a assíntota . As retas e se encontram no ponto , sobre o\n eixo , formando o triângulo retângulo em .\n
\n
\n
\n
Figura 2.3:\n Construindo propriedades adicionais na hipérbole.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Aplicamos agora um deslizamento sobre a hipérbole, isto é, aplicamos a transformação dada em (2.1).\n Obtemos assim os pontos , , , e imagem pela dos pontos , , , e \n respectivamente; e as retas e imagem pela das retas e respectivamente, conforme figura\n 2.4.\n
\n
\n
\n
Figura 2.4:\n Propriedades adicionais na hipérbole.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Nestes termos, como os pontos , e estão sobre uma mesma reta, pela propriedade \n da Proposição\n 2.1 os pontos , e estão também sobre uma mesma reta. Pela mesma razão, os pontos , ,\n e também estão alinhados, isto é, sobre uma reta. Os pontos , e ainda estão sobre a hipérbole.\n A razão entre as medidas dos segmentos e é igual 1 e, portanto, pelo item \n da Proposição\n 2.1, a razão entre as medidas dos segmentos e é também 1, isto é, o ponto é ainda o ponto\n médio do segmento . Pelas propriedades \n e \n da mesma Proposição, as retas e \n são paralelas as retas imagens das assíntotas por . Como as assíntotas não são alteradas, e \n ainda são paralelas as assíntotas. Isto significa que o triângulo é ainda um triângulo retângulo em .\n
\n\n:::\n\n## 2.2 A trigonometria hiperbólica {#SECTION00620000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n A trigonometria hiperbólica é construída sobre a hipérbole trigonométrica, isto é, o braço da hipérbole de equação\n \n , representado na figura 2.2. Dado um número real , entenderemos por ângulo\n hiperbólico , ou ângulo hiperbólico , o arco da hipérbole no primeiro quadrante, de forma que a área do\n setor seja igual a \n (Ver figura 2.5). No caso em que o ângulo hiperbólico\n é o arco da hipérbole, no quarto quadrante, de forma que a área do setor seja igual a \n .\n
\n Note que esta definição, em termos de área, é escolhida pois o deslizamento hiperbólico não altera área de figuras\n no plano (Proposição 2.2) e desta forma um ângulo hiperbólico não será alterado quando aplicarmos o\n deslizamento hiperbólico. Na figura 2.6, o ângulo hiperbólico é igual ao ângulo hiperbólico\n se e são imagens respectivas dos pontos e por deslizamento hiperbólico.\n
\n
\n
\n
Figura 2.6:\n Ângulo hiperbólico deslizado.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Note ainda que podemos considerar ângulos hiperbólicos de qualquer magnitude, já que a área do setor entre as\n assíntotas e a hipérbole, é infinita. Vamos agora definir seno e cosseno hiperbólico de um ângulo\n (hiperbólico) \n .\n
\n
\n Nesses termos, dado um ângulo hiperbólico , determinado pelo arco de hipérbole , consideramos o ponto ,\n projeção do ponto sobre o eixo e o ponto projeção do ponto sobre o eixo . O cosseno hiperbólico de\n é definido como sendo a abscissa do ponto , isto é, o comprimento do segmento\n orientado (ou ), com relação ao eixo . Note que este segmento orientado nunca terá sentido contrário ao\n eixo e, portanto, a medida de cosseno hiperbólico de será sempre positiva (maior ou igual a 1 para ser mais\n preciso). O seno hiperbólico de é definido como sendo a ordenada do ponto , isto é, o\n comprimento do segmento orientado (ou ), com relação ao eixo , isto é, se o segmento orientado tem\n sentido contrário ao eixo , então entendemos que a medida do segmento é negativa. Isto ocorrerá apenas para valores\n negativos de .\n
\n As demais funções trigonométricas hiperbólicas, tangente, cotangente, secante e cossecante, são definidas como na\n trigonometria circular, isto é, respectivamente \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Se considerarmos dois ângulos hiperbólicos de medidas e , representados respectivamente pelos arcos e\n , vemos (na figura 2.8) que os valores de seno hiperbólico são diferentes apenas por um sinal, pois os\n segmentos orientados e tem sentidos opostos e que os valores de cosseno hiperbólico são ambos iguais ao\n segmento orientado .\n
\n
\n
\n
Figura 2.8:\n Ângulos hiperbólicos de sinais contrários.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Isto significa que,\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n (2.2)
\n
\n
\n Em outras palavras, o seno hiperbólico é uma função ímpar e o cosseno hiperbólico é uma função par.\n
\n
\n Nosso próximo passo é deduzir as principais fórmulas da trigonometria hiperbólica. Serão cinco fórmulas, contando com\n as duas identidades em (2.2). Faltam a relação fundamental e as fórmulas de soma de arcos para o seno\n e o cosseno hiperbólicos. Demais fórmulas trigonométricas que se deseje podem ser deduzidas a partir destas cinco.\n
\n
\n Da figura 2.7, podemos ver claramente que as coordenadas cartesianas do ponto são \n . Também o ponto está sobre a hipérbole, e então suas coordenadas devem obrigatoriamente satisfazer a\n equação da hipérbole \n e, assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (2.3)
\n
\n
\n que é a relação fundamental da trigonometria hiperbólica.\n
\n
\n Vamos agora mostrar a validade das fórmulas trigonométricas da soma de arcos do cosseno hiperbólico e do seno\n hiperbólico. Consideremos dois ângulos hiperbólicos e determinados pelos arcos hiperbólicos e \n respectivamente, conforme a figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 2.9:\n Ângulos hiperbólicos e .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Tomando o ponto , sobre a hipérbole, simétrico do ponto pelo eixo , temos o segmento conjugado ao\n segmento , isto é, o prolongamento do segmento corta o segmento em seu ponto médio. Chamemos , este\n ponto médio. também é a projeção de sobre o eixo . Considerando as retas e paralelas as assíntotas\n , que passam pelos pontos e respectivamente, temos que e se encontram sobre o eixo no\n ponto que denotaremos por .\n
\n
\n
\n
Figura 2.10:\n Segmento conjugado ao ângulo hiperbólico .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Decorre disto que\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Vamos agora aplicar um deslizamento hiperbólico que desliza o arco de forma que a imagem de coincide com\n o ponto . A imagem de então será denotada por , isto é, . Lembrando ainda que o ângulo hiperbólico\n continua sendo o ângulo hiperbólico , em virtude da invariância de áreas por deslizamento hiperbólico. O ponto\n por sua vez determina o arco de hipérbole associado ao ângulo hiperbólico . Também, sejam , e\n as respectivas imagens dos pontos , e e e as respectivas imagens das retas e .\n
\n
\n
\n
Figura 2.11:\n Ângulo hiperbólico .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Pelos pontos e traçamos, as perpendiculares ao eixo , e . Lembremos que a corda , é ainda\n conjugada a , ou seja, o prolongamento de encontra o ponto médio do segmento e com sendo este\n ponto médio.\n
\n
\n
\n
Figura 2.12:\n Projeções e .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Nestes termos temos as relações,\n
\n \n
\n e\n
\n e\n
\n \n
\n e\n
\n \n
\n Vamos agora mostrar que também valem,\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n (2.4)
\n
\n \n \n
\n Os segmentos e estão sobre a mesma reta e então do item \n da proposição 2.1 temos que\n a razão \n é preservada pelo deslizamento hiperbólico, ou seja, \n . Levando\n em conta que , temos imediatamente que\n
\n \n
\n \n
\n \n
\n Agora, os triângulos e são triângulos retângulos e e são pontos médios das respectivas\n hipotenusas. O ponto médio da hipotenusa é equidistante aos vértices de um triângulo retângulo, isto é, \n \n e \n . Também, como os segmentos e estão sobre uma mesma reta, a razão \n é\n preservada pelo deslizamento hiperbólico, isto é, \n . Segue que\n \n
\n Seja a projeção de sobre o eixo e a projeção de sobre o segmento , conforme a figura\n 2.13.\n
\n
\n
\n
Figura 2.13:\n Projeções e .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Notemos que os triângulos e são semelhantes. Vamos verificar que também são semelhantes os triângulos\n e . Para isto mostraremos que o ângulo é igual ao ângulo \n . A reta , paralela a\n bissetriz , passa por , intercepta em e intercepta em um ponto que chamaremos de (Figura\n 2.14).\n
\n
\n
\n
Figura 2.14:\n Projeção .
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Assim, \n . Mais ainda, como o triângulo é retângulo em e é o ponto\n médio da hipotenusa , segue que o triângulo é isósceles e pontanto os ângulos \n e\n \n possuem a mesma medida, isto é, \n . Mas \n
\n
\n \n
\n e, portanto, \n .\n Segue disto que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Agora, \n e, portanto,\n \n
\n
\n \n
\n e como \n então temos,\n \n
\n
\n \n
\n como desejado. Isto mostra que os triângulos e são semelhantes. Desta semelhança, segue que\n \n
\n
\n e\n
\n e destas igualdades,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n Também são semelhantes os triângulos e e desta semelhança, temos\n \n
\n As fórmulas (2.5) e (2.6), juntamente com a relação fundamental (2.3) e as duas\n fórmulas em (2.2), constituem as 5 fórmulas básicas da trigonometria hiperbólica. Com elas podemos\n deduzir outras fórmulas, como por exemplo, as fórmulas de duplicação de arcos,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e as fórmulas de diferença de arcos,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Vamos agora obter duas outras fórmulas trigonométricas hiperbólicas que serão úteis mais adiante. São fórmulas fáceis\n de serem obtidas, similares às fórmulas obtidas na proposição 1.1. Estamos apresentando-as em virtude do\n uso futuro (na seção 2.8).\n
\n
Proposição 2..3 \n São válidas as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas\n
\n
Para todos e reais,\n \n
\n
\n
\n
\n
\n (2.7)
\n
\n \n
\n
Para todo \n ,\n \n
\n
\n
\n
\n
\n (2.8)
\n
\n \n
\n
Para todo \n ,\n \n
\n
\n
\n
\n
\n (2.9)
\n
\n
\n \n \n
Prova.\n \n Para , temos\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
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\n
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\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n Os itens e ficam\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
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\n
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\n \n
\n
e
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
e a prova está concluída.\n
\n \n \n
\n\n:::\n\n## 2.3 As funções trigonométricas hiperbólicas {#SECTION00630000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n\n \n \n
\n Nesta seção, vamos estudar os aspectos das funções trigonométricas hiperbólicas. Primeiro vamos observar os gráficos dessas funções, determinando, com precisão, os respectivos domínios. Também, vamos observar alguns limites importantes em cada uma das funções. Para esse nosso estudo, vamos considerar as funções de uma variável real que a cada valor de associa o seno, ou o cosseno, ou a tangente, ou a cotangente, ou a secante, ou ainda a cossecante hiperbólica de . Vamos olhar uma a uma.\n
\n
\n Para a função \n , notemos que para cada valor real de , construímos o ângulo hiperbólico \n determinado pelo arco , onde a ordenada do ponto é o seno hiperbólico de .\n Não há nenhuma impossibilidade matemática para e, portanto, o domínio da função \n é todo o conjunto\n dos números reais. Além disso, fazendo variar no conjunto dos reais, os valores resultantes para a ordenada do\n ponto também percorrem o conjunto dos números reais. Desta forma, temos que a função\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n é sobrejetiva. Além disso, para cada \n , é único o valor de que satisfaz , então esta função é\n também injetora. Logo, \n é uma função bijetora.\n \n
\n Conforme aumenta (para o infinito) o tamanho do arco também aumenta. Por conseguinte, a ordenada do ponto \n aumenta e o valor de também aumenta indefinidamente. O mesmo ocorre para os valores negativos de . Temos\n então\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico de \n é dado por\n
\n
\n
\n
Figura 2.15:\n Gráfico da função seno hiperbólico.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Podemos notar ainda que é uma função contínua (mostraremos isto formalmente na próxima seção), ímpar e estritamente\n crescente.\n
\n
\n Agora a função \n . Para qualquer valor real , construímos o arco\n hiperbólico associado ao ângulo hiperbólico , cujo cosseno hiperbólico é a abscissa do ponto . Notemos que\n não há nenhuma impossibilidade matemática para o valor de e, sendo assim, o domínio da função \n é o\n conjunto dos números reais. Fazendo variar no conjunto dos números reais, vemos que a abscissa do ponto somente\n poderá assumir valores maiores do que , isto é, \n . Isto significa que esta função não é\n sobrejetora no conjunto dos números reais, mas sim no conjunto \n . Note também que esta função não é\n injetora, pois para qualquer valor de temos \n , isto é, é uma função par. Portanto a função\n
\n \n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n não é bijetora.\n
\n
\n Conforme o valor de aumenta (para o infinito), o tamanho do arco aumenta e a abscissa do ponto também\n aumenta indefinidamente. Uma análise similar para valores negativos de levam à mesma conclusão. Temos assim,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é dado por\n
\n
\n
\n
Figura 2.16:\n Gráfico da função cosseno hiperbólico.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Para a função \n vamos usar a identidade \n . Fazendo variar no conjunto dos números reais, temos apenas que nos preocupar com o denominador,\n que não pode ser nulo. Como vimos anteriormente, para qualquer valor de , temos que é maior ou igual a 1,\n e, portanto, o denominador da fração anterior, não se anula. Com isto o domínio da função \n é todo o\n conjunto dos números reais.\n
\n
\n Além disso, como o ponto está entre as retas assíntotas e , temos que a abscissa do ponto é\n sempre maior que a ordenada do ponto em módulo, isto é, \n \\vert{\\mathrm{senh}}u\\vert$\" loading=\"lazy\"> para qualquer valor de . Isto\n significa que a fração \n resultará sempre valores menores que 1 em módulo, isto é,\n \n .\n
\n
\n À medida que aumenta indefinidamente, os valores de \n e tendem a se igualar, pois o ponto se\n aproxima da assíntota e isto significa que quando \n os valores de \n se aproximam de 1. No\n caso em que \n então o ponto se aproxima da assíntota e neste caso levamos em conta os sinais\n de \n e . Em outras palavras,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico da função \n é dado por\n
\n
\n
\n
Figura 2.17:\n Gráfico da função tangente hiperbólica.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n A função \n é uma função monótona crescente, ímpar, limitada e bijetora de \n em .\n
\n
\n O estudo da função cotangente hiperbólica, \n , também será feito analizando a identidade \n . Para determinar o domínio desta função, como se trata de\n um quociente, precisamos nos preocupar com o anulamento do denominador. O seno hiperbólico se anula somente no ponto e, portanto, o domínio de \n é o conjunto \n .\n
\n
\n Também, como visto anteriormente, o numerador é sempre maior que o denominador, em módulo. Portanto os valores\n resultantes deste quociente são sempre maiores que 1, em módulo, isto é, a imagem desta função é o conjunto \n . À medida que cresce indefinidamente, os valores de \n e se aproximam (veja\n explicação anterior) e, portanto,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n Como o ponto é um ponto crítico desta função, vamos estudar os limites no ponto 0. A medida que se aproxima\n de 0, os valores do denomidador \n , se aproximam de 0 e a fração vai para o infinito. Temos então, com o\n respectivo estudo de sinal lateral,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é dado por\n
\n
\n
\n
Figura 2.18:\n Gráfico da função cotangente hiperbólica.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n A função \n é uma função ímpar e bijetora do conjunto \n no conjunto \n .\n
\n
\n Para a função \n , o domínio é o conjunto dos\n números reais, uma vez que o denominador nunca se anula, mais do que isto, o denominador é sempre maior ou igual a 1.\n Portanto, os valores assumidos pelo quociente \n , serão sempre positivos e menores ou iguais a e,\n desta forma, a função é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1. Além disso, como cosseno hiperbólico é uma\n função par, então a função secante também será uma função par.\n
\n
\n À medida que cresce indefinidamente, o denominador também cresce indefinidamente e, portanto,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n O gráfico desta função é\n
\n
\n
\n
Figura 2.19:\n Gráfico da função secante hiperbólica.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n A cossecante hiperbólica é dada pelo quociente \n e desta forma, seu domínio é o conjunto dos números reais tais que o denominador não se anula, isto\n é, \n . A imagem por sua vez é também o conjunto \n já que a fração \n jamais se anula.\n Conforme cresce (para o infinito), o denominador também cresce (para o infinito) e, assim,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Próximo do ponto crítico os valores do denominador também estarão próximos de 0 e, portanto, fazendo o estudo\n de sinal, temos\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico da função cossecante hiperbólica é\n
\n
\n
\n
Figura 2.20:\n Gráfico da função cossecante hiperbólica.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n A função cossecante hiperbólica é uma função ímpar bijetora de \n em \n . É decrescente em cada um dos\n semi-eixos positivo e negativo.\n
\n
\n A relação completa das funções trigonométricas hiperbólicas, com os domínios e imagens é resumida na próxima tabela.\n \n
\n \n
\n
\n
Tabela 2.1:\n Domínio e imagem das funções trigonométricas hiperbólicas.
\n
\n
\n
\n
função
\n
domínio
\n
imagem
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n:::\n\n## 2.4 Continuidade das funções trigonométricas hiperbólicas {#SECTION00640000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Agora vamos mostrar que as funções trigonométricas hiperbólicas são contínuas em cada um dos pontos de definição destas\n funções. Mais precisamente, mostraremos que\n \n
Prova.\n \n Vamos estudar os limites laterais e verificar que são ambos iguais a 1. Para obter o limite quando \n \n podemos considerar que . Consideremos o arco hiperbólico , relacionado com o ângulo hiperbólico e a\n reta paralela ao eixo que passa por . Esta reta intercepta o segmento em um ponto que denominaremos \n (Ver figura 2.21).\n \n
\n
\n
Figura 2.21:\n Visualização geométrica do limite
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Nestes termos, sabemos que a área do setor hiperbólico (a área sombreada da figura (2.5)) é igual\n a \n , a área do triângulo é igual a \n e a área do triângulo retângulo é igual\n a \n . Também a área do triângulo é menor que a área do\n setor hiperbólico que por sua vez é menor que a área do triângulo , ou seja,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Multiplicando tudo por 2 e dividindo tudo por \n (que é positivo), temos\n \n
\n Da primeira desigualdade temos que \n e, usando isto, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Desta forma \n e, reorganizando os termos, temos\n \n
\n
\n \n
\n e como \n então 0$\" loading=\"lazy\">, o que nos permite obter \n . Segue que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Passando agora o limite na desigualdade, quando \n , temos que o limite do termo do lado esquerdo existe e é\n igual a 1 e o limite do lado direito também existe e é igual a 1, pois \n é uma função contínua em . Temos então pelo teorema do confronto (teorema do sanduíche) que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n O caso em que , é obtido observando que a função \n é uma função par. Assim o comportamento à\n esquerda de 0 é o mesmo comportamento à direita de zero. Temos então\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto,\n \n
\n
\n \n
\n
o que encerra esta demonstração.\n
\n
\n \n \n
Teorema 2.5 \n As funções seno e cosseno hiperbólico são contínuas em , isto é,\n \n \n
\n e\n
\n \n \n
Prova.\n \n Para o primeiro limite, supondo primeiro 0$\" loading=\"lazy\"> (mais precisamente ), usamos a desigualdade obtida no teorema\n anterior\n \n \n
\n \n
\n e o teorema do confronto garante que \n . Para lembremos que cosseno\n hiperbólico é uma função par e então como na demonstração do teorema anterior,\n \n
\n
\n \n
\n e isso prova o primeiro limite.\n
\n
\n Para provar o segundo limite, usaremos o item (c) do teorema 1.2. Como os limites de \n e de\n existem quando então o limite do produto existe e\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Agora, como \n para todo então do teorema 1.4 segue que\n \n
Prova.\n \n Usando a identidade trigonométrica para a soma de arcos do cosseno hiperbólico, temos que\n \n \n
\n \n
\n e dos itens (a) e (b) do teorema 1.2, segue que\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Usando agora a identidade trigonométrica para a soma de arcos do seno hiperbólico, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
e isso termina esta demonstração.\n
\n
\n \n
\n Os limites indicados no início desta seção seguem agora imediatamente do teorema de mudança de variáveis 1.5,\n e dos limites que acabamos de provar.\n
\n \n
Corolário 2.7 \n As funções seno e cosseno hiperbólicos são contínuas em qualquer ponto \n , isto é,\n \n \n
\n e\n
\n \n
\n Vamos agora analisar a continuidade das outras quatro funções trigonométricas hiperbólicas, já que estas são escritas\n como um quociente em termos de seno e cosseno. Usando o item (d) do teorema 1.2, podemos facilmente provar as\n afirmações a seguir.\n
\n
\n As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas são contínuas nos seus domínios de definição. Isto\n é,\n
\n Vamos agora deduzir as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas. Para isto usaremos primeiro a definição de\n derivada, isto é,\n \n
\n
\n \n
\n para encontrar as derivadas de \n e . Depois usaremos a regra do quociente para obter as derivadas das\n demais funções trigonométricas hiperbólicas. Antes precisamos determinar um limite importante.\n \n
Prova.\n \n Vamos modificar um pouco o quociente deste limite e usar a proposição anterior. Notemos que\n \n \n
\n \n
\n \n
\n Usando agora a identidade fundamental (2.3) no membro da direita, temos que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Olhando para o membro da direira, temos que, o limite da primeira fração quando existe e é igual a 1\n (proposição 2.4) e o limite da segunda fração quando também existe por ser uma função contínua\n em . Desta forma o limite do produto existe quando e,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
e a prova está terminada.\n
\n
\n \n
\n Agora temos condições de deduzir as fórmulas de derivada para as funções trigonométricas seno e cosseno\n hiperbólicos. Para a função seno hiperbólico temos que a derivada é dada por, \n \n
\n
\n \n
\n em todos os valores \n tais que o limite existe.\n
\n
\n Assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n para todo \n tal que o limite acima existe.\n
\n
\n Mas os limites de \n e \n existem para todo \n e assim,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n para todo \n .\n
\n
\n Para a função cosseno hiperbólico, temos que \n \n
\n
\n \n
\n para todo \n tal que o limite exista. Para tais , temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Como os limites de cada uma das frações \n e \n existem para\n todo \n então\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n para todo \n .\n
\n
\n Para as demais funções trigonométricas hiperbólicas usaremos as identidades em termos de seno e cosseno hiperbólico e a\n regra de derivação do quociente. Já que as funções seno e cosseno hiperólico são diferenciáveis em todo \n \n então os quocientes de definição das demais funções trigonométricas hiperbólicas são diferenciáveis em todos os pontos\n onde o denominador não se anula.\n
\n
\n A função \n é diferenciável em todo \n e \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Para a função cotangente, temos em todo \n , \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n E, finalmente, para todo \n , \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e também, para todo \n , \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n A tabela abaixo, reúne as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas hiperbólicas. O conjunto domínio\n descrito na tabela é o domínio da derivada. Note a semelhança com o caso circular.\n \n
\n \n
\n
\n
Tabela 2.2:\n Derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas.
\n Nesta seção, vamos definir as funções trigonométricas inversas, estabelecendo os domínios, as imagens e indicando\n alguns limites importantes. Também apresentaremos os gráficos destas funções. Este não é um trabalho muito fácil pois,\n como acabamos de ver, as funções trigonométricas hiperbólicas não são todas elas bijetoras. Já passamos por este\n problema na seção 1.5 com as funções trigonométricas circulares. Vamos impor, quando necessário, condições\n de restrição de domínio e de imagem para tornar as funções bijetivas.\n
\n
\n Comecemos com a função seno hiperbólico, que como vimos anteriormente, é uma função bijetora de \n em \n . Desta\n forma, podemos obter a função inversa do seno hiperbólico, para qualquer valor real. Dado \n , o seno\n hiperbólico inverso de , é o número , representado por \n , que satisfaz \n . É usual\n representar também a função seno hiperbólico inverso por \n e lemos “arco seno\n hiperbólico”. Vamos usar neste texto a primeira notação e lembre-se de não confundir \n com \n . A segunda expressão é o inverso multiplicativo do seno hiperbólico, ou seja a cossecante hiperbólica.\n
\n
\n Fazendo variar em \n , temos a função seno hiperbólico inverso, \n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n que satisfaz a relação \n . Se fizermos tender para o infinito, a relação \n nos diz que \n também deve ir para o infinito e analogamente para \n . Temos assim,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n Valem as seguintes relações inversas,\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n \n \n
\n O gráfico da função seno hiperbólico inverso, é da forma,\n
\n
\n
\n
Figura 2.22:\n Gráfico de seno hiperbólico inverso.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n A função cosseno hiperbólico não é uma função bijetora. Lembremos que seu domínio é \n , mas sua imagem é o\n subconjunto \n . Restringindo o contradomínio a \n tornamos esta função sobrejetora.\n Também a função cosseno hiperbólico, definida em todo o domínio \n , não é injetora. Vamos então restringir o domínio\n desta função ao conjunto dos reais não negativos. Temos assim que a função cosseno hiperbólico é bijetora de\n \n em \n . Por restrição, podemos então definir a função cosseno hiperbólico inverso, denotada por\n \n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n e que satisfaz a relação \n . Levando ao infinito, a relação \n nos mostra que também vai\n para o infinito. No outro extremo do intervalo de definição, isto é, quando tende para 1 (somente pela direita), a\n mesma relação mostra que vai para 0. Então,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico desta função é a curva da figura abaixo.\n
\n
\n
\n
Figura 2.23:\n Gráfico da função cosseno hiperbólico inverso.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Ocorrem as seguintes relações inversas,\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n \n \n
\n A função tangente hiperbólica é uma função injetora do conjunto \n no conjunto \n , mas não é sobrejetora já que o\n conjunto imagem é o intervalo . Restringindo o contradomínio temos a bijetividade da função tangente\n hiperbólica de \n em . Definimos então a função tangente hiperbólica inversa, \n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n com e satisfazendo \n . Vamos observar o seu comportamento nos extremos do intervalo. Quando tende\n a 1 (pela esquerda) então a relação \n mostra que deve ir para o infinito. Analogamente se \n então vai para . Resumindo,\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n O gráfico da função tangente hiperbólica inversa,\n
\n
\n
\n
Figura 2.24:\n Gráfico da função tangente hiperbólica inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n As relações inversas são\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n \n \n
\n A função cotangente hiperbólica também é uma função bijetora do conjunto \n no conjunto \n . Desta forma, definimos a função cotangente hiperbólica inversa por, \n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n desde que \n . Analisando os extremos do intervalo de definição, temos que quando \n a relação\n \n nos diz que isto ocorre quando vai para 0 (com valores negativos). Analogamente, quando \n então deve ocorrer (com valores positivos). Fazendo \n então, a mesma relação anterior,\n nos diz que deve ir para e analogamente \n quando \n . Resumindo,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n O gráfico desta função é dado por\n
\n
\n
\n
Figura 2.25:\n Gráfico da função cotangente hiperbólica inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Valem as seguintes relações de inversão,\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Para a secante hiperbólica, temos alguns problemas como no caso do cosseno hiperbólico inverso. O domínio da\n função secante hiperbólica é o conjunto \n e a imagem é o conjunto . Mas esta função não é injetora de \n \n em . Então vamos restringir o conjunto domínio para os reais não negativos. Assim, a função secante hiperbólica\n é bijetiva de \n em e podemos definir a função secante hiperbólica inversa \n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n satisfazendo \n . Quando (pela direita), a relação \n diz que deve estar indo para o infinito por valores positivos e consequentemente deve estar indo para o infinito.\n Quando vai para 1 (pela esquerda) então está indo para 1 e deve estar se aproximando de 0. Temos\n então\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n As relações inversas ficam,\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Graficamente, temos\n
\n
\n
\n
Figura 2.26:\n Gráfico de secante hiperbólica inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n Finalmente, lembremos que a função cossecante hiperbólica é bijetora do conjunto \n no conjunto \n .\n Definimos então a função cossecante hiperbólica inversa \n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n que também satisfaz \n . Esta relação explica também os limites. Quando \n \n então \n deve ir para 0 por valores negativos e então deve ir para 0 também por valores negativos.\n Analogamente, quando \n , \n deve ir para 0 por valores positivos e então deve ir também para 0\n por valores positivos. Se por valores positivos então \n deve ir para o infinito e \n \n também. Da mesma forma, se por valores negativos, então \n vai para e consequentemente, \n também. Resumindo,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n O gráfico desta função é representado por\n
\n
\n
\n
Figura 2.27:\n Gráfico da função cossecante hiperbólica inversa.
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n São válidas as relações de inversão,\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n
\n
para todo
\n
\n
\n
\n \n \n
\n A relação completa de funções trigonométricas hiperbólicas inversas com seus respectivos domínios de definição e\n conjunto imagem é dada na próxima tabela.\n \n
\n
\n
\n
Tabela 2.3:\n Domínio e imagem das funções trigonométricas hiperbólicas inversas.
\n O procedimento adotado aqui não tem diferenças do procedimento adotado para as funções trigonométricas circulares. O\n teorema 1.11 se aplica às funções trigonométricas hiperbólicas em seus respectivos domínios de definição.\n Vamos omitir os detalhes. Entretanto entendemos deste ponto em diante que cada função trigonométrica inversa é contínua\n nos seus respectivos domínios de definição respeitando a lateralidade nos extremos fechados destes domínios.\n
\n Considerando a função \n , para todo \n , queremos agora derivar em relação a e obter\n \n . Sabemos que neste caso é válida a relação \n . Lembre-se que é variável dependente\n de e, por isto, quando derivarmos devemos usar diferenciação implícita. Nestes termos, derivando em relação a\n os dois membros de \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como queremos determinar \n basta agora isolar este termo. Obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Mas claro que desejamos obter esta derivada como função de novamente. Precisamos então substituir a variável\n dependente do segundo membro pela variável independente . A única expressão que faz esta substituição é a\n própria relação \n . Assim, vamos substituir o termo por alguma expressão que contenha \n .\n Usando a relação fundamental (2.3), temos\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Tomamos agora a função \n , definida para todo \n . Derivando implicitamente a\n igualdade \n com relação a , para todo 1$\" loading=\"lazy\">, obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Isolando agora o termo \n , como feito para o caso do seno hiperbólico e usando a relação fundamental\n (2.3), obtemos\n \n
\n
\n \n
\n para todo 1$\" loading=\"lazy\">. Note que esta derivada não está definida para .\n
\n
\n Para a função \n , definida no intervalo , derivamos a igualdade \n com relação\n a , obtendo\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Reorganizando os termos e usando a igualdade (2.8), da proposição 2.3, vem\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Considerando \n , definida para todo \n , vamos derivar a\n igualdade \n com respeito a . Obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Isolando o termo \n e usando a identidade (2.9) da proposição 2.3,\n temos\n \n
\n
\n \n
\n para \n .\n
\n
\n Tomando agora a função \n , que está definida para todo \n , temos \n , com\n \n . Derivando em relação a , obtemos\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n . Então,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Usaremos a identidade (2.8) da proposição 2.3, válida para \n . Extraindo a\n raiz quadrada em ambos os membros de (2.8), temos que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como \n o termo \n do lado esquerdo é sempre positivo. Descartamos então o módulo, obtendo\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Finalmente para a função \n , definida para todo \n , escrevemos \n , com\n \n e derivando implicitamente em relação a , obtemos\n \n
\n
\n \n
\n que nos fornece\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Vamos usar a igualdade (2.9), da proposição 2.3, válida para \n . Extraímos a\n raiz quadrada em ambos os membros de (2.9) para obter\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Observe que \n não é sempre positiva para \n e isto nos impede de descartar o módulo. Mas \n é sempre positivo. Então temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n donde segue que\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Vamos resumir as fórmulas desta seção na próxima tabela.\n
\n
\n
\n
Tabela 2.4:\n Derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas inversas.
\n
\n
\n
\n
função
\n
domínio
\n
derivada
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n
\n
\n
\n \n \n
\n Note que as derivadas das funções \n e \n são iguais, porém estão definidas em conjuntos\n disjuntos, isto é, conjuntos que não possuem pontos em comum.\n
\n Neste capítulo, explicaremos porque são válidas as identidades exponenciais mencionadas na introdução deste texto. As\n igualdades que usualmente definem as funções trigonométricas hiperbólicas, como soma de exponenciais,\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n (3.1)
\n
\n\n\n
\n Como sabemos, o logaritmo é a função inversa da função exponencial, com a devida restrição no domínio e na imagem. É\n natural então pensarmos que as funções trigonométricas hiperbólicas inversas possam ser escritas como logaritmos. Isto\n de fato ocorre e também mostraremos como são obtidas as fórmulas\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n (3.2)
\n
\n\n\n
\n Identidades similares às identidades em (3.1) e em (3.2) também são válidas para a trigonometria\n circular. Entretanto neste caso será necessário o envolvimento de variáveis complexas.\n
\n \n\n:::\n\n## 3.1 Método das séries de potência {#SECTION00710000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n\n\n
\n O método que utilizaremos para provar as identidades em (3.1) nesta seção é o método das séries de potência e\n então faremos primeiramente uma breve introdução às séries de potência de variáveis reais. Para um estudo mais\n aprofundado sobre séries de potências recomendamos [8, Swokowski].\n \n
\n
Definição 3.1 \n Se é uma variável real independente, então uma série de potências em é uma soma infinita da forma,\n \n \n
\n \n
\n sendo que cada termo é um número real, chamado de coeficiente da -ésima potência de .\n
\n \n
\n Observe que o primeiro termo da série é \n . Para simplificar a notação, estamos supondo que mesmo\n para .\n
\n
\n Se a soma infinita existir e for um número real , então dizemos que a série converge, ou ainda, que converge para\n . Se a soma não existir então a série é dita divergente. Naturalmente a convergência de uma série de potências está\n condicionada aos termos e principalmente ao valor da variável .\n
\n
\n Observe que para a série se reduz a um único termo e, portanto, é uma série convergente (para ). O que\n realmente interessa é se existem outros valores de , além de , para os quais a série de potências é\n convergente. Nestes termos um fato importante é a determinação dos valores de que tornam uma série de potências\n convergente, isto é, determinar os valores de para os quais a soma infinita existe.\n
\n
\n O conjunto dos valores de que tornam a série convergente é um intervalo, centrado em 0 e com raio 0$\" loading=\"lazy\">. É um\n intervalo do tipo , podendo ainda ser fechado em algum dos extremos. Para determinar este intervalo \n usamos, em geral, o chamado teste da razão (Critério de D'Alembert).\n
\n
Teorema 3.2 (Teste da razão) \n Dada uma série \n , então\n
\n
Se \n , a série é absolutamente\n convergente (e, portanto, convergente).\n
\n
Se \n 1$\" loading=\"lazy\">, a série é divergente.\n
\n \n
\n Para os valores de que tornam a série convergente, definimos uma função , cujo domínio é o intervalo de\n convergência da série. O recíproco disto é uma pergunta mais interessante. Dada uma função definida em algum\n intervalo \n , é possível obter uma série de potências \n de forma que \n \n para todo ? Mais ainda, se existir tal série, como devem ser os coeficientes ? A segunda pergunta\n é respondida pelo teorema de Maclaurin.\n \n
\n
Teorema 3.3 (Teorema de Maclaurin) \n Se é uma função que admite uma representação por série de potências de ,\n \n \n
\n \n
\n para todo \n , então é uma função infinitamente diferenciável no ponto e mais ainda,\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n \n
\n Este teorema nos diz principalmente que os coeficientes , da série de potências de uma função, são\n respectivamente \n , sendo que a notação refere-se à derivada de ordem da função .\n
\n
\n Para exemplificar o processo, vamos obter as séries de potência de algumas funções de interesse como \n , , \n , e , assumindo que estas funções admitem uma representação em série de potências em algum\n intervalo . Este não deve ser um trabalho difícil neste momento pois conhecemos as derivadas destas funções.\n Assim, parece não haver problemas significativos para a determinação dos coeficientes das séries de potências\n destas funções.\n
\n
\n Primeiramente, vamos à série de potências da função . Esperamos encontrar uma série de potências em , de\n forma que,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n De acordo com o teorema de Maclaurin, devemos ter \n para todo \n . Como sabemos,\n a função exponencial \n possui derivadas de qualquer ordem contínuas e mais ainda \n para\n qualquer \n . Então os coeficientes da série de Maclaurin ficam\n \n
\n
\n \n
\n e assim temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (3.3)
\n
\n \n \n
\n Podemos determinar (pelo teste da razão) que a série do lado direito converge para todo \n , já que para qualquer \n ,\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto, a igualdade (3.3) é válida para todo \n .\n
\n
\n Consideremos agora a função \n . Queremos determinar os coeficientes \n para\n todo \n . Dos resultados dos capítulos anteriores, temos que se é par, \n e se é\n ímpar \n . Desta forma, os coeficientes são dados por\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Substituindo estes coeficientes na série de potências temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (3.4)
\n
\n \n \n
\n A série do lado direito converge (pelo teste da razão) para qualquer \n , pois para todo \n temos\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto, a igualdade (3.4) é válida para todo real.\n
\n
\n Com raciocínio similar desenvolvemos a série de potências para a função \n . Lembremos que agora,\n \n se é par e \n se é ímpar. Então, contrariamente ao caso anterior,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Desta forma, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (3.5)
\n
\n
\n sendo também esta igualdade verdadeira para todo \n .\n
\n
\n Dada agora a função \n , queremos determinar para todo \n os coeficientes \n da série de potências de . Dos resultados anteriores, sabemos que se é par,\n \n e se é ímpar \n . Desta forma, os\n coeficientes são\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Observe que os termos \n para ímpar, são alternadamente 1 e -1. Substituindo estes coeficientes\n na série de potências temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (3.6)
\n
\n \n \n
\n A série do lado direito converge (pelo teste da razão) para qualquer \n , já que\n \n
\n
\n \n
\n para qualquer \n . Segue que a igualdade (3.6) é válida para todo real.\n
\n
\n Com raciocínio similar a este abordamos a função \n . Lembremos que, \n se é par e \n se é ímpar. Então, contrariamente ao caso anterior,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Desta forma, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (3.7)
\n
\n
\n sendo também esta igualdade verdadeira para todo \n .\n
\n
\n Vamos usar agora as séries de potência obtidas anteriormente para verificar a validade das igualdades em\n (3.1). Consideremos primeiro a série de potência da função exponencial em 3.1,\n \n
\n
\n \n
\n válida para todo \n . Naturalmente se substituirmos na série por obtemos a série de potências para a\n função . Isto também pode ser feito como anteriormente, determinando-se os coeficientes \n para a série de potências da função \n . Isto nos leva aos coeficientes \n . De qualquer forma teremos\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n . Somando as série de potências de e de obtemos,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Agora lembremos que a série do lado direito é exatamente a série de potências da função cosseno hiperbólico (Ver\n (3.5)). Desta forma temos que\n \n
\n
\n \n
\n donde segue que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Por outro lado, fazendo a diferença entre as séries de potências das funções e , temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e lembrando que o lado direito é a série de potências da função seno hiperbólico (Ver (3.4)), temos que\n \n
\n
\n \n
\n donde segue\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Fica assim verificada a validade das fórmulas exponenciais, que são comumente utilizadas para definir as funções\n trigonométricas hiperbólicas. Com estas duas igualdades, podemos escrever as demais funções trigonométricas\n hiperbólicas também em termos da função exponencial. São\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n\n:::\n\n## 3.2 Método das equações diferenciais {#SECTION00720000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Nesta seção, provaremos as identidades em (3.1) usando o método das equações diferenciais. Precisamos\n naturalmente alguns resultados em relação às equações diferenciais. Para um estudo mais aprofundado sobre equações\n diferenciais recomendamos [10, Zill].\n
\n \n
Definição 3.4 \n Uma equação diferencial ordinária, de ordem , é uma equação que envolve uma variável real independente , uma\n função e suas derivadas \n , de forma que o coeficiente de seja não nulo.\n
\n \n
\n São exemplos de equações diferencias ordinárias:\n
Definição 3.5 \n Uma equação diferencial ordinária linear, de ordem , é uma equação diferencial que seja linear nas componentes\n , para todo \n . É uma expressão da forma,\n \n \n
\n \n
\n sendo que as funções coeficientes , para todo \n e a função , são contínuas para todo\n em um certo intervalo de interesse . Também é não identicamente nula em . Quando \n ,\n então dizemos que a equação diferencial é homogênea.\n
\n \n
Definição 3.6 \n Qualquer função , definida num intervalo , que satisfaz a equação diferencial neste intervalo, é dita uma\n solução para a equação diferencial em .\n
\n \n
\n As funções \n , \n e \n (0$\" loading=\"lazy\">), são soluções das equações\n diferenciais (3.8), (3.10) e (3.11), respectivamente. A solução da equação diferencial (3.9)\n é dada implicitamente por \n , para \n .\n
\n
\n Embora a ideia seja bastante simples, encontrar uma solução para uma equação diferencial dada, não é tarefa simples. Os\n métodos conhecidos nos permitem determinar soluções de uma classe muito pequena de equações diferenciais. Mesmo assim,\n algumas destas equações não possuem solução explícita.\n
\n
\n Não é do nosso interesse estudar aqui os métodos para obtenção de soluções de uma equação diferencial. Entretanto é\n importante saber que nem sempre uma solução para uma equação diferencial é única. Podemos verificar que a função\n \n
\n
\n \n
\n é uma solução da equação \n , para quaisquer valores reais de e . Para podermos determinar os\n valores de e são necessárias informações adicionais, chamadas de condições iniciais. Como veremos mais\n tarde, dentro de certas hipóteses, uma equação diferencial munida de condições iniciais possui solução única.\n
\n \n
Definição 3..7 \n Um problema de valor inicial, ou PVI, consiste de uma equação diferencial ordinária, de ordem , juntamente com \n restrições. Tais restrições são chamadas de condições iniciais. É um problema da forma,\n \n \n
\n \n
\n sendo que é um ponto de interesse no intervalo e os valores , para \n , são\n números reais conhecidos.\n
\n \n
\n Cuidado para não confundir um PVI com uma equação diferencial. Um PVI é um conjunto de uma equação diferencial\n juntamente com condições iniciais.\n
\n
\n Como exemplo, vamos agora considerar a equação diferencial de ordem 2, mencionada anteriormente \n , a sua\n “família” de soluções dada por \n e impor duas condições iniciais que permitirão\n determinar os valores de e . Tomemos o PVI,\n \n
\n
\n \n
\n e substituindo as duas condições iniciais, temos que\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n o que nos leva a uma única solução do PVI dado, que é\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n O próximo teorema, é a chave para o nosso objetivo. Sua demonstração é que não é do nosso interesse, pois além de não\n ser o objetivo principal deste capítulo, é um tanto complexa e exige ferramentas que não abordamos como por exemplo o\n teorema de ponto fixo de Banach. Desta forma, vamos omitir a sua demonstração. O leitor interessado nesta demonstração\n poderá consultar algum texto de Equações Diferenciais (ordinárias). Sugerimos [10, Zill].\n
\n \n
Teorema 3.8 (Teorema de Picard) \n Se as funções , para todo \n e , forem contínuas em um intervalo , com \n para todo e é um ponto de , então o PVI\n \n \n
\n \n
\n possui uma única solução , neste intervalo.\n
\n \n
\n Agora estamos prontos para estabelecer as identidades mencionadas no início deste capítulo. Para isto, consideremos\n primeiro o problema de valor inicial, definido em \n ,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Notemos que a função\n \n
\n
\n \n
\n é solução do PVI dado. Mas, do que vimos nos capítulos anteriores a respeito das funções trigonométricas hiperbólicas,\n a função \n , satisfaz a equação diferencial, pois\n \n
\n
\n \n
\n para todo real e, além disso, \n satisfaz as duas condições iniciais,\n \n
\n
\n e\n
\n donde temos que \n é também uma solução do PVI. Mas o Teorema de Picard, garante que a solução deste\n PVI é única e, portanto, as duas soluções coincidem para todo \n , isto é,\n \n
\n
\n \n
\n qualquer que seja \n .\n
\n
\n Para a segunda fórmula em (3.1), consideremos outro problema de valor inicial, também definido em \n ,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Observe que, comparando com o PVI anterior, apenas trocamos as condições iniciais. Nestes termos, a função\n \n
\n
\n \n
\n é solução deste novo PVI. Entretanto, do que vimos nos capítulos anteriores, a função \n também\n satisfaz a equação diferencial,\n \n
\n
\n \n
\n para todo real e as duas condições inicias,\n \n
\n
\n e\n
\n e, dessa forma, \n também é solução do PVI, para todo \n . Do Teorema de Picard, segue que as\n duas soluções coincidem para todo \n , isto é,\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n \n\n:::\n\n## 3.3 As fórmulas logarítmicas {#SECTION00730000000000000000}\n \n::: {.raw_html}\n \n
\n Esta seção é dedicada à obtenção das igualdades logarítmicas em (3.2), além das igualdades correspondentes às\n outras quatro funções trigonométricas hiperbólicas inversas.\n
\n
\n Dados \n de forma que \n , já sabemos que é válida a relação\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Vamos isolar no segundo membro e obter uma expressão para em termos da variável independente . A igualdade\n anterior, nos leva a\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Multiplicando ambos os membros por e reorganizando os termos temos\n \n
\n
\n \n
\n que é uma equação quadrática na expressão . As soluções desta equação quadrática, são dadas por\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Temos que descartar uma das soluções porque o lado esquerdo da igualdade acima é sempre positivo e o termo \n é sempre negativo já que \n x$\" loading=\"lazy\">. Tomando então a solução positiva temos \n e aplicando logaritmo (natural) em ambos os membros,\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Para o cosseno hiperbólico inverso, consideramos \n e a relação inversa \n , válida para\n todos e . Como antes, tomemos a identidade\n \n
\n
\n \n
\n e vamos isolar no segundo membro. De forma análoga ao caso anterior, multiplicamos os dois membros por ,\n reorganizamos os termos e chegamos a\n \n
\n
\n \n
\n e resolvendo esta equação quadrática em termos de temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Observamos agora que os dois termos a que se refere o segundo membro são positivos e, portanto, não há impossibilidades\n matemáticas para aplicar o logaritmo. Entretanto lembremos que e isto siginifica que \n . Mas\n para temos que\n \n
\n
\n \n
\n e desta forma \n .\n
\n
\n Descartando esta inconsistência, tomamos \n e aplicando o logaritmo em ambos os membros, temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Já provamos as duas fórmulas indicadas no início deste capítulo. Contudo, vamos completar o trabalho e obter as\n fórmulas em termos do logaritmo para as demais funções trigonométricas hiperbólicas.\n
\n
\n Consideremos \n e a relação inversa\n \n
\n
\n \n
\n válida para \n e \n . Organizando os termos temos\n \n
\n
\n \n
\n e multiplicando ambos os membros por e reorganizando em forma de equação quadrática, chegamos a\n \n
\n
\n \n
\n que resolvida em termos de fornece\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como o primeiro membro é sempre positivo, então descartamos a solução negativa. Observemos também que como \n então a fração dentro da raiz quadrada é sempre positiva, o que não acarreta mais inconsistências. Aplicando\n então o logaritmo, temos que\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Agora a cotangente hiperbólica inversa. Tomamos \n , para todo \n , com\n \n e então\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como no caso da tangente hiperbólica, reorganizamos os termos e multiplicamos por ambos os membros e chegamos a\n \n
\n
\n \n
\n e resolvendo esta equação quadrática em temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Note que a fração dentro da raiz quadrada é sempre positiva para \n . De fato, o\n numerador e o denominador são ambos negativos no intervalo \n e são ambos positivos no intervalo\n \n . Vamos descartar a solução negativa, pois o lado esquerdo da igualdade é sempre positivo. Assim, tomando a\n solução positiva e aplicando logaritmo em ambos os membros, vem\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Para a secante hiperbólica inversa, fazendo \n , para todo \n , com , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Após reorganização dos termos e multiplicação por , obtemos a equação quadrática\n \n
\n
\n \n
\n que resolvida em termos de nos traz\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Notemos que para \n ocorre \n e, portanto, não temos problemas com a raiz quadrada. Entretanto,\n para \n temos \n e então\n \n
\n
\n \n
\n donde temos que \n e, portanto, \n . Mas isto é inconsistente\n com o primeiro membro , que é maior ou igual a 1, já que . Só não seria inconsistente caso os dois\n termos fossem iguais a 1, isto é \n , que somente ocorre se e .\n Mas a igualdade \n também se verifica para e e, portanto, podemos\n descartar totalmente a solução \n .\n
\n
\n Tomando então a solução que não apresenta inconsistências, tomamos\n \n
\n
\n \n
\n e aplicando o logaritmo, temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Finalmente, considerando \n e a relação inversa\n \n
\n
\n \n
\n válida para todos \n e \n . Procedendo como no caso da secante, obtemos a equação quadrática\n \n
\n
\n \n
\n que resolvida em , nos fornece\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Notemos que como antes, queremos que o membro da direita seja positivo, pois o da esquerda o é. O termo\n \n é sempre maior que 1. O numerador assume portanto valores positivos considerando \n ,\n e valores negativos considerando \n . Mas como \n temos que o denominador também assume\n valores positivos e valores negativos. Então se , devemos considerar a solução\n \n
\n
\n 0, $\" loading=\"lazy\">\n
\n e se 0$\" loading=\"lazy\">, devemos considerar a solução\n \n
\n
\n 0. $\" loading=\"lazy\">\n
\n \n
\n Podemos ainda obter uma única expressão válida para os dois casos. Observe que se 0$\" loading=\"lazy\"> podemos escrever\n \n
\n
\n \n
\n e se , podemos escrever\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Assim, para qualquer \n , escrevemos\n \n
\n
\n \n
\n e aplicando o logaritmo, temos\n \n
\n
\n \n
\n que é válida para todo \n .\n
\n
\n A tabela abaixo reúne as fórmulas desta seção.\n \n
\n
\n
\n
Tabela 3.1:\n Fórmulas logarítmicas para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas.
\n
\n
\n
\n
função
\n
domínio
\n
igualdade logarítmica
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\n \n
\n
\n
\n \n \n
\n Note que as fórmulas de derivação das funções trigonométricas hiperbólicas inversas, foram obtidas na seção\n 2.8 e resumidas na tabela 2.4. Naquela seção foi utilizado o método da diferenciação\n implícita. As fórmulas de derivação da tabela 2.4 podem também ser obtidas derivando diretamente as\n expressões logarítmicas da tabela 3.1. Deixamos os detalhes para o leitor.\n
\n\n:::\n\n## 3.4 Extensão às variáveis complexas {#SECTION00740000000000000000}\n \n::: {.raw_html} \n
\n Identidades similares das identidades (3.1) são conhecidas para as funções trigonométricas circulares. Mas\n isto exigirá o uso de números complexos. Além disso, modelos matemáticos que representam fenômenos físicos são\n constantemente usados para estudar e conhecer esses fenômenos — e em várias situações — a representação desses fenômenos\n exige a utilização de números complexos juntamente com funções trigonométricas. Em virtude disso, apresentaremos nesta\n seção como são definidas as funções trigonométricas circulares e hiperbólicas de uma variável complexa.\n
\n
\n Usando as séries de potências das funções trigonométricas, desenvolvidas na seção anterior, vamos construir as funções\n trigonométricas de variáveis complexas. Na seção 3.1, vimos que\n
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\n
\n para todo \n .\n
\n
\n Observe que o lado direito destas igualdades faz sentido se for um número complexo, desde que a série seja\n convergente para este número complexo. Isto nos sugere que a igualdade possa ser utilizada para definir as funções\n trigonométricas seno e cosseno para os números complexos que tornam a série convergente. Nestes termos, se \n ,\n então definimos\n
\n Precisamos determinar os valores \n que tornam estas séries convergentes. Para isto, recorremos ao teste da\n razão (Critério de D'Alembert), para garantir a convergência de séries de potências de variável complexa. A\n demonstração deste teorema pode ser encontrada em algum texto de Variáveis complexas. Recomendamos [11, Zill].\n \n
\n
Teorema 3.9 (Teste da razão) \n Se \n é uma sequência de números complexos e\n \n \n
\n \n
\n então a série \n é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).\n
\n \n
\n A série de potências (3.12) converge qualquer que seja \n , pois\n \n
\n
\n \n
\n para qualquer \n . Analogamente para as séries de potências em (3.13), (3.14) e (3.15).\n
\n
\n Naturalmente as definições (3.12)-(3.15) não são muito cômodas para trabalharmos. Vamos então tentar\n modificar estas expressões para redefinir seno e cosseno de números complexos em termos de funções reais de variável\n real. Independente de modificarmos estas expressões, os membros na direita destas igualdades são números complexos e\n então o que esperamos é que possamos reescrever a série de potências como sendo um número complexo mais simples de ser\n manipulado, dado na forma tradicional com \n .\n
\n
\n Comecemos então com a identidade (3.12), colocando \n , com \n . Temos então\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (3.16)\n
\n\n
\n\n \n \n
\n \n \n
\n Usando a fórmula da expansão binomial para o termo \n , podemos reescrever (3.16) como\n
\n
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\n \n \n
\n O próximo lema será útil para trabalhar com o somatório duplo do segundo membro desta última igualdade.\n \n
\n
Lema 3.10 \n Para qualquer \n ,\n \n
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\n \n \n
Prova.\n \n Tomando\n \n \n
\n \n
\n vamos separar o caso do somatório externo e depois os casos do somatório interno. Desta forma, para\n qualquer que seja \n , obtemos\n
\n
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\n \n \n
\n Separando novamente os temos em do somatório interno, temos\n
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\n
\n exatamente como desejado.\n \n
\n \n
\n Usando agora repetidamente este lema temos que\n
\n
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sen
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\n
\n e assim sucessivamente. Desta forma, obtemos\n \n
\n
\n \n
\n e usando o fato de que \n e que \n , então temos que\n
\n
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\n \n \n
\n Temos portanto uma definição alternativa e mais elegante para a definição do seno de um número complexo \n .\n Definição esta que será também útil para os nossos propósitos. Não estamos interessados em repetir o procedimento\n anterior, mas ele pode ser aplicado também às funções cosseno, senho hiperbólico e cosseno hiperbólico para obter\n expressões mais simples. Como não repetiremos o processo anterior apenas enunciaremos as expressões finais na próxima definição.\n
\n
Definição 3.11 \n Dado \n , os números complexos seno de , cosseno de , seno hiperbólico de e cosseno\n hiperbólico de , são dados respectivamente por,\n \n
\n Vamos analisar um pouco mais estas funções e verificar que elas possuem propriedades similares às funções\n trigonométricas com argumentos reais. É natural esperar por isto, pois extensões não devem desorganizar o que já estava\n “funcionando”. Comecemos com os casos circulares.\n
\n
\n Vamos determinar as raízes das funções seno e cosseno. Queremos então determinar os valores de \n para\n os quais \n . Nestes termos queremos determinar os valores (reais) de e tais que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Da igualdade de números complexos temos que\n
\n
\n
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\n
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\n
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\n
\n
\n \n \n
\n Da primeira equação, como \n para todo \n , então resta que \n . Temos assim que para qualquer \n . Com estes valores de na segunda equação temos que \n e então resta\n que \n donde obtemos . Assim,\n \n
\n
\n se e somente se\n
\n para qualquer \n , exatamente como no caso real.\n
\n
\n Analogamente para determinar os valores de \n tais que \n , temos que encontrar os valores\n reais de e tais que\n \n
\n
\n \n
\n e da igualdade de números complexos\n
\n
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\n
\n \n \n
\n Como \n para todo \n , da primeira equação resta que \n e então \n para qualquer \n . Como \n , substituindo na segunda equação vem \n e, portanto, . Assim,\n \n
\n
\n se e somente se\n
\n para qualquer \n , também como no caso real.\n
\n
\n Dessa forma, as demais funções trigonométricas circulares com argumentos complexos são definidas, em termos destas duas,\n como no caso de variável real, respeitando o domínio de definição. São portanto,\n
\n
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para todo
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para todo
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para todo
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\n
para todo
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\n \n \n
\n Podemos facilmente verificar, pelas igualdades (3.17) e (3.18), a validade para o caso complexo de\n identidades conhecidas para o caso real, tais como\n
\n
\n
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\n
\n
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e
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n
\n
\n
\n dentre muitas outras.\n
\n
\n Uma consequência direta da definição das funções seno e cosseno por série de potência é que estas funções são\n analíticas no domínio de convergência da série, isto é, no plano complexo todo. Sendo assim, estas funções satisfazem\n as condições de Cauchy-Riemann em todo o plano complexo e isto nos dá uma forma rápida para determinar as derivadas\n destas duas funções. Para um estudo mais aprofundado sobre funções analíticas e as condições de Cauchy-Riemann pode-se\n consultar algum texto sobre variáveis complexas. Recomendamos [11, Zill].\n
\n
\n Por hora basta saber que se e \n é uma função analítica em uma região do plano\n complexo, então\n \n
\n
\n \n
\n para todo nesta região.\n
\n
\n Considerando \n , temos \n e \n e então\n
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\n \n \n
\n Também, se \n então \n e \n e, dessa\n forma,\n
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\n \n \n
\n As derivadas das funções seno e cosseno de variável complexa são então respectivamente o cosseno e o oposto do seno,\n exatamente como no caso real. Já que as regras de derivação para funções complexas são as mesmas para funções reais,\n isto é,\n
\n
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\n
\n
\n então as derivadas das demais funções trigonométricas circulares, são também iguais às derivadas obtidas no caso real.\n São portanto\n
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\n
\n
\n respeitados os domínios de definição.\n
\n
\n Além disso, as identidades obtidas \n e \n permitem estabelecer uma\n correspondência entre as funções trigonométricas circulares e as suas respectivas hiperbólicas. As correspondências das\n demais funções trigonométricas ficam\n
\n
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\n \n \n
\n Vamos estudar outras propriedades das funções trigonométricas hiperbólicas de variável complexa. Comecemos pelas raízes\n destas funções. Queremos determinar os números complexos \n tais que \n . Nestes termos\n devemos encontrar números reais e tais que\n \n
\n
\n \n
\n e da igualdade de complexos, e devem satisfazer\n
\n
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\n \n \n
\n Da segunda equação, como \n para todo \n , então devemos ter \n e, portanto, \n para \n . Com estes valores de na primeira equação, resta que \n e então . Temos assim que\n \n
\n
\n se e somente se\n
\n para \n . Observe que estas raízes são complexas e que a única destas raízes que é real, é , que coincide\n com a única raiz real da função seno hiperbólico a argumento real.\n
\n
\n Agora vamos determinar \n tal que \n . Da identidade (3.20), queremos determinar os\n valores reais de e que satisfazem\n
\n
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\n \n \n
\n Como \n então da primeira equação segue que \n e, portanto, \n para \n . Com estes valores de na segunda equação temos que \n e então . Segue que\n \n
\n
\n se e somente se\n
\n para \n . Dentre estas raízes complexas não existe nenhuma raiz real, o que ratifica a não existência de números\n reais tais que \n .\n
\n
\n As demais funções trigonométricas hiperbólicas de variáveis complexas são definidas em termos de seno e cosseno como no\n caso real, restritas ao domínio de definição. Isto é,\n
\n
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para todo
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para todo
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para todo
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para todo
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\n
\n \n \n
\n As definições de seno e cosseno hiperbólicos em termos de séries de potências, convergentes em todo o plano complexo,\n nos diz que estas funções são analíticas em todo o plano complexo e então podemos determinar facilmente as derivadas\n destas funções. Considerando que e que \n temos\n
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\n
\n exatamente como no caso de variáveis reais.\n
\n
\n Analogamente, para a função \n , temos\n
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\n
\n também como no caso real. Considerando ainda que a regra de derivação para o quociente de funções de variáveis\n complexas é idêntica à regra de derivação para o quociente de funções de variáveis reais, então temos que\n
\n
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\n
\n com a devida restrição do domínio de definição. São as mesmas fórmulas de derivação que as funções trigonométricas\n hiperbólicas de variáveis reais.\n
\n
\n Podem ainda ser definidas as funções trigonométricas circulares e hiperbólicas inversas a argumentos complexos. Não\n vamos nos estender neste aspecto, em virtude de que o caso complexo não é o foco do nosso interesse. Além disso,\n entraríamos no campo das funções multivalentes, isto é, funções que assumem mais de um valor para cada \n . Esta categoria de funções foge do conceito de função de um curso de Cálculo Diferencial e Integral.\n
\n Nesta seção, obteremos fórmulas exponenciais similares às identidades em (3.1) para as funções trigonométricas\n circulares. Mais precisamente, provaremos que\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n (3.21)
\n
\n \n \n
\n Observe que o lado direito destas igualdades envolve a função exponencial de variável complexa. Precisamos definir a\n função exponencial de variável complexa e o faremos como na seção anterior onde definimos as funções trigonométricas\n de variáveis complexas. A expansão em série de potências da função \n , para \n , é\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Mas a série de potências do lado direito da igualdade faz sentido se for um número complexo que torne a série\n convergente. Definimos então por esta série de potências a função exponencial de variável complexa dada por\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n tal que a série seja convergente.\n
\n
\n De acordo com o teste da razão (Teorema 3.9), esta série de potências é convergente em todo o plano\n complexo, já que\n \n
\n
\n \n
\n para qualquer \n .\n
\n
\n Esta série é importante, porém, dificulta o trabalho com a função . Como de costume, vamos reescrever esta série\n em termos mais agradáveis. Mais precisamente, já que o lado direito da série de potências é um número complexo,\n esperamos poder escrever este número complexo na tradicional forma algébrica com \n .\n
\n
\n Tomando então \n com \n , aplicando a expansão binomial, podemos reescrever a função\n exponencial na forma\n
\n
\n
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\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n O lema a seguir nos ajudará a trabalhar com o somatório duplo do segundo membro desta última igualdade.\n \n
\n
Lema 3.12 \n Para qualquer \n ,\n \n \n
\n \n
\n \n \n
Prova.\n \n Dado qualquer \n e começando com\n \n \n
\n \n
\n vamos separar o caso do somatório externo e depois os casos do somatório interno. Desta forma, para\n qualquer que seja \n , obtemos\n
\n
\n
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\n
\n
\n como desejado.\n \n
\n
\n \n
\n Usando agora repetidamente este lema, temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e assim sucessivamente. Desta forma, obtemos\n \n
\n
\n \n
\n e usando o fato de que quando é par, temos que\n \n
\n
\n \n
\n e quando é impar,\n \n
\n
\n \n
\n então podemos separar o último somatório nas suas parcelas com par e com ímpar e obtemos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Formalmente, temos então uma definição alternativa para a exponencial de um número complexo sem o uso explícito das\n séries de potência.\n
\n
Definição 3.13 \n Dado \n , definimos a exponencial de , como sendo o número complexo representado por\n e dado por\n \n \n
\n \n
\n \n
\n Agora estamos prontos para obter as identidades em (3.21). Dado \n , temos desta última definição\n que\n \n
\n
\n \n
\n e também\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Somando estas duas últimas igualdades, temos\n \n
\n
\n \n
\n e subtraindo a segunda da primeira, temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Segue portanto que\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n Estas duas igualdades são as identidades exponenciais para as funções trigonométricas circulares e são válidas para\n valores reais de . Obviamente combinando estas duas fórmulas, podemos deduzir fórmulas exponenciais para as outras\n funções trigonométricas circulares. São elas\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n respeitados os domínios de definição das funções.\n
\n:::\n\n## 3.6 Fórmulas logarítmicas para as funções trigonométricas circulares inversas {#SECTION00760000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Podemos também, como no caso hiperbólico, escrever as funções inversas das funções trigonométricas circulares em termos\n do logaritmo. Isto porque a função logaritmo de um número complexo, é a função inversa da exponencial ,\n com uma certa restrição no logaritmo. Para conhecer mais sobre esta restrição, recomendamos [11, Zill]. Por\n hora, é suficiente saber que \n , para \n e \n .\n
\n
\n Também temos que lembrar que a conhecida “fórmula de Bháskara” continua válida para resolver equações quadráticas\n que envolvem coeficientes complexos. Mais precisamente, se \n é uma equação com \n e , então as soluções desta equação são dadas por\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Note que não usamos o sinal , porque a função raiz quadrada (potência meio) para números complexos é bivalente,\n isto é, assume dois valores, que são simétricos com relação à origem e isto substitui o sinal . Veja\n [11, Zill] ou outro texto sobre números complexos para um estudo mais completo sobre raízes de um número\n complexo.\n
\n
\n Considerando \n , para \n e \n , então temos a relação\n \n
\n
\n \n
\n e multiplicando esta igualdade por e, organizando os termos, temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Resolvendo esta equação quadrática, em termos de , segue que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como \n a raiz do segundo membro é um número real. Levando em conta que \n então aplicando o logaritmo em ambos os membros, obtemos\n \n
\n
\n \n
\n e multiplicando tudo por , segue que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Para \n , vale a relação \n , com \n e \n .\n Procedendo como anteriormente, multiplicamos esta relação por 2 e por . Obtemos\n \n
\n
\n \n
\n e resolvendo a equação quadrática\n \n
\n
\n \n
\n em , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Esta solução envolve a raiz quadrada de um número que é real e negativo, já que \n . Escrevemos então\n \n
\n
\n \n
\n e agora aplicando o logaritmo em ambos os membros, vem\n \n
\n
\n \n
\n já que \n . Multiplicando a igualdade por obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Considerando agora \n , válida para todo \n e \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n donde\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Multiplicando por e organizando os termos temos a equação quadrática\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Resolvendo em obtemos,\n \n
\n
\n \n
\n e aplicando logaritmo em ambos os membros, já que \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n e multiplicando a igualdade por , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Analogamente para a cotangente inversa, temos \n , para todo \n e \n e vale a relação\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Procedendo como no caso da tangente, chegamos a equação quadrática\n \n
\n
\n \n
\n que resolvida nos fornece,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Aplicando o logaritmo e multiplicando o resultado por , chegamos a\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Considerando agora \n , para todo \n e \n . Tomamos a relação \n e obtemos,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Multiplicando a equação por e reorganizando os termos obtemos\n \n
\n
\n \n
\n que resolvida em nos leva a\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n A raiz quadrada do segundo membro tem no radicando um número real negativo, já que \n . Escrevemos então\n \n
\n
\n \n
\n e temos\n \n
\n
\n \n
\n ou ainda,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Finalmente, para \n , fazendo \n para todo \n e\n \n . Temos então\n \n
\n
\n \n
\n e então\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Resolvendo em , vem\n \n
\n
\n \n
\n e aplicando o logaritmo e uma multiplicação por , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Organizando as fórmulas logarítmicas, temos a tabela abaixo.\n
\n \n
\n
\n
Tabela 3.2:\n Fórmulas logarítmicas para as funções trigonométricas circulares inversas.
\n Neste capítulo, explicaremos porque são válidas as identidades exponenciais mencionadas na introdução deste texto. As\n igualdades que usualmente definem as funções trigonométricas hiperbólicas, como soma de exponenciais,\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n (3.1)
\n
\n\n\n
\n Como sabemos, o logaritmo é a função inversa da função exponencial, com a devida restrição no domínio e na imagem. É\n natural então pensarmos que as funções trigonométricas hiperbólicas inversas possam ser escritas como logaritmos. Isto\n de fato ocorre e também mostraremos como são obtidas as fórmulas\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n (3.2)
\n
\n\n\n
\n Identidades similares às identidades em (3.1) e em (3.2) também são válidas para a trigonometria\n circular. Entretanto neste caso será necessário o envolvimento de variáveis complexas.\n
\n \n\n:::\n\n## 3.1 Método das séries de potência {#SECTION00710000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n\n\n
\n O método que utilizaremos para provar as identidades em (3.1) nesta seção é o método das séries de potência e\n então faremos primeiramente uma breve introdução às séries de potência de variáveis reais. Para um estudo mais\n aprofundado sobre séries de potências recomendamos [8, Swokowski].\n \n
\n
Definição 3.1 \n Se é uma variável real independente, então uma série de potências em é uma soma infinita da forma,\n \n \n
\n \n
\n sendo que cada termo é um número real, chamado de coeficiente da -ésima potência de .\n
\n \n
\n Observe que o primeiro termo da série é \n . Para simplificar a notação, estamos supondo que mesmo\n para .\n
\n
\n Se a soma infinita existir e for um número real , então dizemos que a série converge, ou ainda, que converge para\n . Se a soma não existir então a série é dita divergente. Naturalmente a convergência de uma série de potências está\n condicionada aos termos e principalmente ao valor da variável .\n
\n
\n Observe que para a série se reduz a um único termo e, portanto, é uma série convergente (para ). O que\n realmente interessa é se existem outros valores de , além de , para os quais a série de potências é\n convergente. Nestes termos um fato importante é a determinação dos valores de que tornam uma série de potências\n convergente, isto é, determinar os valores de para os quais a soma infinita existe.\n
\n
\n O conjunto dos valores de que tornam a série convergente é um intervalo, centrado em 0 e com raio 0$\" loading=\"lazy\">. É um\n intervalo do tipo , podendo ainda ser fechado em algum dos extremos. Para determinar este intervalo \n usamos, em geral, o chamado teste da razão (Critério de D'Alembert).\n
\n
Teorema 3.2 (Teste da razão) \n Dada uma série \n , então\n
\n
Se \n , a série é absolutamente\n convergente (e, portanto, convergente).\n
\n
Se \n 1$\" loading=\"lazy\">, a série é divergente.\n
\n \n
\n Para os valores de que tornam a série convergente, definimos uma função , cujo domínio é o intervalo de\n convergência da série. O recíproco disto é uma pergunta mais interessante. Dada uma função definida em algum\n intervalo \n , é possível obter uma série de potências \n de forma que \n \n para todo ? Mais ainda, se existir tal série, como devem ser os coeficientes ? A segunda pergunta\n é respondida pelo teorema de Maclaurin.\n \n
\n
Teorema 3.3 (Teorema de Maclaurin) \n Se é uma função que admite uma representação por série de potências de ,\n \n \n
\n \n
\n para todo \n , então é uma função infinitamente diferenciável no ponto e mais ainda,\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n \n
\n Este teorema nos diz principalmente que os coeficientes , da série de potências de uma função, são\n respectivamente \n , sendo que a notação refere-se à derivada de ordem da função .\n
\n
\n Para exemplificar o processo, vamos obter as séries de potência de algumas funções de interesse como \n , , \n , e , assumindo que estas funções admitem uma representação em série de potências em algum\n intervalo . Este não deve ser um trabalho difícil neste momento pois conhecemos as derivadas destas funções.\n Assim, parece não haver problemas significativos para a determinação dos coeficientes das séries de potências\n destas funções.\n
\n
\n Primeiramente, vamos à série de potências da função . Esperamos encontrar uma série de potências em , de\n forma que,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n De acordo com o teorema de Maclaurin, devemos ter \n para todo \n . Como sabemos,\n a função exponencial \n possui derivadas de qualquer ordem contínuas e mais ainda \n para\n qualquer \n . Então os coeficientes da série de Maclaurin ficam\n \n
\n
\n \n
\n e assim temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (3.3)
\n
\n \n \n
\n Podemos determinar (pelo teste da razão) que a série do lado direito converge para todo \n , já que para qualquer \n ,\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto, a igualdade (3.3) é válida para todo \n .\n
\n
\n Consideremos agora a função \n . Queremos determinar os coeficientes \n para\n todo \n . Dos resultados dos capítulos anteriores, temos que se é par, \n e se é\n ímpar \n . Desta forma, os coeficientes são dados por\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Substituindo estes coeficientes na série de potências temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (3.4)
\n
\n \n \n
\n A série do lado direito converge (pelo teste da razão) para qualquer \n , pois para todo \n temos\n \n
\n
\n \n
\n e, portanto, a igualdade (3.4) é válida para todo real.\n
\n
\n Com raciocínio similar desenvolvemos a série de potências para a função \n . Lembremos que agora,\n \n se é par e \n se é ímpar. Então, contrariamente ao caso anterior,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Desta forma, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (3.5)
\n
\n
\n sendo também esta igualdade verdadeira para todo \n .\n
\n
\n Dada agora a função \n , queremos determinar para todo \n os coeficientes \n da série de potências de . Dos resultados anteriores, sabemos que se é par,\n \n e se é ímpar \n . Desta forma, os\n coeficientes são\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Observe que os termos \n para ímpar, são alternadamente 1 e -1. Substituindo estes coeficientes\n na série de potências temos que\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (3.6)
\n
\n \n \n
\n A série do lado direito converge (pelo teste da razão) para qualquer \n , já que\n \n
\n
\n \n
\n para qualquer \n . Segue que a igualdade (3.6) é válida para todo real.\n
\n
\n Com raciocínio similar a este abordamos a função \n . Lembremos que, \n se é par e \n se é ímpar. Então, contrariamente ao caso anterior,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Desta forma, temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (3.7)
\n
\n
\n sendo também esta igualdade verdadeira para todo \n .\n
\n
\n Vamos usar agora as séries de potência obtidas anteriormente para verificar a validade das igualdades em\n (3.1). Consideremos primeiro a série de potência da função exponencial em 3.1,\n \n
\n
\n \n
\n válida para todo \n . Naturalmente se substituirmos na série por obtemos a série de potências para a\n função . Isto também pode ser feito como anteriormente, determinando-se os coeficientes \n para a série de potências da função \n . Isto nos leva aos coeficientes \n . De qualquer forma teremos\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n . Somando as série de potências de e de obtemos,\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Agora lembremos que a série do lado direito é exatamente a série de potências da função cosseno hiperbólico (Ver\n (3.5)). Desta forma temos que\n \n
\n
\n \n
\n donde segue que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Por outro lado, fazendo a diferença entre as séries de potências das funções e , temos\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n e lembrando que o lado direito é a série de potências da função seno hiperbólico (Ver (3.4)), temos que\n \n
\n
\n \n
\n donde segue\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Fica assim verificada a validade das fórmulas exponenciais, que são comumente utilizadas para definir as funções\n trigonométricas hiperbólicas. Com estas duas igualdades, podemos escrever as demais funções trigonométricas\n hiperbólicas também em termos da função exponencial. São\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n
\n
para
\n
\n
\n
\n\n:::\n\n## 3.2 Método das equações diferenciais {#SECTION00720000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Nesta seção, provaremos as identidades em (3.1) usando o método das equações diferenciais. Precisamos\n naturalmente alguns resultados em relação às equações diferenciais. Para um estudo mais aprofundado sobre equações\n diferenciais recomendamos [10, Zill].\n
\n \n
Definição 3.4 \n Uma equação diferencial ordinária, de ordem , é uma equação que envolve uma variável real independente , uma\n função e suas derivadas \n , de forma que o coeficiente de seja não nulo.\n
\n \n
\n São exemplos de equações diferencias ordinárias:\n
Definição 3.5 \n Uma equação diferencial ordinária linear, de ordem , é uma equação diferencial que seja linear nas componentes\n , para todo \n . É uma expressão da forma,\n \n \n
\n \n
\n sendo que as funções coeficientes , para todo \n e a função , são contínuas para todo\n em um certo intervalo de interesse . Também é não identicamente nula em . Quando \n ,\n então dizemos que a equação diferencial é homogênea.\n
\n \n
Definição 3.6 \n Qualquer função , definida num intervalo , que satisfaz a equação diferencial neste intervalo, é dita uma\n solução para a equação diferencial em .\n
\n \n
\n As funções \n , \n e \n (0$\" loading=\"lazy\">), são soluções das equações\n diferenciais (3.8), (3.10) e (3.11), respectivamente. A solução da equação diferencial (3.9)\n é dada implicitamente por \n , para \n .\n
\n
\n Embora a ideia seja bastante simples, encontrar uma solução para uma equação diferencial dada, não é tarefa simples. Os\n métodos conhecidos nos permitem determinar soluções de uma classe muito pequena de equações diferenciais. Mesmo assim,\n algumas destas equações não possuem solução explícita.\n
\n
\n Não é do nosso interesse estudar aqui os métodos para obtenção de soluções de uma equação diferencial. Entretanto é\n importante saber que nem sempre uma solução para uma equação diferencial é única. Podemos verificar que a função\n \n
\n
\n \n
\n é uma solução da equação \n , para quaisquer valores reais de e . Para podermos determinar os\n valores de e são necessárias informações adicionais, chamadas de condições iniciais. Como veremos mais\n tarde, dentro de certas hipóteses, uma equação diferencial munida de condições iniciais possui solução única.\n
\n \n
Definição 3..7 \n Um problema de valor inicial, ou PVI, consiste de uma equação diferencial ordinária, de ordem , juntamente com \n restrições. Tais restrições são chamadas de condições iniciais. É um problema da forma,\n \n \n
\n \n
\n sendo que é um ponto de interesse no intervalo e os valores , para \n , são\n números reais conhecidos.\n
\n \n
\n Cuidado para não confundir um PVI com uma equação diferencial. Um PVI é um conjunto de uma equação diferencial\n juntamente com condições iniciais.\n
\n
\n Como exemplo, vamos agora considerar a equação diferencial de ordem 2, mencionada anteriormente \n , a sua\n “família” de soluções dada por \n e impor duas condições iniciais que permitirão\n determinar os valores de e . Tomemos o PVI,\n \n
\n
\n \n
\n e substituindo as duas condições iniciais, temos que\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n o que nos leva a uma única solução do PVI dado, que é\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n O próximo teorema, é a chave para o nosso objetivo. Sua demonstração é que não é do nosso interesse, pois além de não\n ser o objetivo principal deste capítulo, é um tanto complexa e exige ferramentas que não abordamos como por exemplo o\n teorema de ponto fixo de Banach. Desta forma, vamos omitir a sua demonstração. O leitor interessado nesta demonstração\n poderá consultar algum texto de Equações Diferenciais (ordinárias). Sugerimos [10, Zill].\n
\n \n
Teorema 3.8 (Teorema de Picard) \n Se as funções , para todo \n e , forem contínuas em um intervalo , com \n para todo e é um ponto de , então o PVI\n \n \n
\n \n
\n possui uma única solução , neste intervalo.\n
\n \n
\n Agora estamos prontos para estabelecer as identidades mencionadas no início deste capítulo. Para isto, consideremos\n primeiro o problema de valor inicial, definido em \n ,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Notemos que a função\n \n
\n
\n \n
\n é solução do PVI dado. Mas, do que vimos nos capítulos anteriores a respeito das funções trigonométricas hiperbólicas,\n a função \n , satisfaz a equação diferencial, pois\n \n
\n
\n \n
\n para todo real e, além disso, \n satisfaz as duas condições iniciais,\n \n
\n
\n e\n
\n donde temos que \n é também uma solução do PVI. Mas o Teorema de Picard, garante que a solução deste\n PVI é única e, portanto, as duas soluções coincidem para todo \n , isto é,\n \n
\n
\n \n
\n qualquer que seja \n .\n
\n
\n Para a segunda fórmula em (3.1), consideremos outro problema de valor inicial, também definido em \n ,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Observe que, comparando com o PVI anterior, apenas trocamos as condições iniciais. Nestes termos, a função\n \n
\n
\n \n
\n é solução deste novo PVI. Entretanto, do que vimos nos capítulos anteriores, a função \n também\n satisfaz a equação diferencial,\n \n
\n
\n \n
\n para todo real e as duas condições inicias,\n \n
\n
\n e\n
\n e, dessa forma, \n também é solução do PVI, para todo \n . Do Teorema de Picard, segue que as\n duas soluções coincidem para todo \n , isto é,\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n \n\n:::\n\n## 3.3 As fórmulas logarítmicas {#SECTION00730000000000000000}\n \n::: {.raw_html}\n \n
\n Esta seção é dedicada à obtenção das igualdades logarítmicas em (3.2), além das igualdades correspondentes às\n outras quatro funções trigonométricas hiperbólicas inversas.\n
\n
\n Dados \n de forma que \n , já sabemos que é válida a relação\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Vamos isolar no segundo membro e obter uma expressão para em termos da variável independente . A igualdade\n anterior, nos leva a\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Multiplicando ambos os membros por e reorganizando os termos temos\n \n
\n
\n \n
\n que é uma equação quadrática na expressão . As soluções desta equação quadrática, são dadas por\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Temos que descartar uma das soluções porque o lado esquerdo da igualdade acima é sempre positivo e o termo \n é sempre negativo já que \n x$\" loading=\"lazy\">. Tomando então a solução positiva temos \n e aplicando logaritmo (natural) em ambos os membros,\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Para o cosseno hiperbólico inverso, consideramos \n e a relação inversa \n , válida para\n todos e . Como antes, tomemos a identidade\n \n
\n
\n \n
\n e vamos isolar no segundo membro. De forma análoga ao caso anterior, multiplicamos os dois membros por ,\n reorganizamos os termos e chegamos a\n \n
\n
\n \n
\n e resolvendo esta equação quadrática em termos de temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Observamos agora que os dois termos a que se refere o segundo membro são positivos e, portanto, não há impossibilidades\n matemáticas para aplicar o logaritmo. Entretanto lembremos que e isto siginifica que \n . Mas\n para temos que\n \n
\n
\n \n
\n e desta forma \n .\n
\n
\n Descartando esta inconsistência, tomamos \n e aplicando o logaritmo em ambos os membros, temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Já provamos as duas fórmulas indicadas no início deste capítulo. Contudo, vamos completar o trabalho e obter as\n fórmulas em termos do logaritmo para as demais funções trigonométricas hiperbólicas.\n
\n
\n Consideremos \n e a relação inversa\n \n
\n
\n \n
\n válida para \n e \n . Organizando os termos temos\n \n
\n
\n \n
\n e multiplicando ambos os membros por e reorganizando em forma de equação quadrática, chegamos a\n \n
\n
\n \n
\n que resolvida em termos de fornece\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como o primeiro membro é sempre positivo, então descartamos a solução negativa. Observemos também que como \n então a fração dentro da raiz quadrada é sempre positiva, o que não acarreta mais inconsistências. Aplicando\n então o logaritmo, temos que\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n .\n
\n
\n Agora a cotangente hiperbólica inversa. Tomamos \n , para todo \n , com\n \n e então\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como no caso da tangente hiperbólica, reorganizamos os termos e multiplicamos por ambos os membros e chegamos a\n \n
\n
\n \n
\n e resolvendo esta equação quadrática em temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Note que a fração dentro da raiz quadrada é sempre positiva para \n . De fato, o\n numerador e o denominador são ambos negativos no intervalo \n e são ambos positivos no intervalo\n \n . Vamos descartar a solução negativa, pois o lado esquerdo da igualdade é sempre positivo. Assim, tomando a\n solução positiva e aplicando logaritmo em ambos os membros, vem\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Para a secante hiperbólica inversa, fazendo \n , para todo \n , com , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Após reorganização dos termos e multiplicação por , obtemos a equação quadrática\n \n
\n
\n \n
\n que resolvida em termos de nos traz\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Notemos que para \n ocorre \n e, portanto, não temos problemas com a raiz quadrada. Entretanto,\n para \n temos \n e então\n \n
\n
\n \n
\n donde temos que \n e, portanto, \n . Mas isto é inconsistente\n com o primeiro membro , que é maior ou igual a 1, já que . Só não seria inconsistente caso os dois\n termos fossem iguais a 1, isto é \n , que somente ocorre se e .\n Mas a igualdade \n também se verifica para e e, portanto, podemos\n descartar totalmente a solução \n .\n
\n
\n Tomando então a solução que não apresenta inconsistências, tomamos\n \n
\n
\n \n
\n e aplicando o logaritmo, temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Finalmente, considerando \n e a relação inversa\n \n
\n
\n \n
\n válida para todos \n e \n . Procedendo como no caso da secante, obtemos a equação quadrática\n \n
\n
\n \n
\n que resolvida em , nos fornece\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Notemos que como antes, queremos que o membro da direita seja positivo, pois o da esquerda o é. O termo\n \n é sempre maior que 1. O numerador assume portanto valores positivos considerando \n ,\n e valores negativos considerando \n . Mas como \n temos que o denominador também assume\n valores positivos e valores negativos. Então se , devemos considerar a solução\n \n
\n
\n 0, $\" loading=\"lazy\">\n
\n e se 0$\" loading=\"lazy\">, devemos considerar a solução\n \n
\n
\n 0. $\" loading=\"lazy\">\n
\n \n
\n Podemos ainda obter uma única expressão válida para os dois casos. Observe que se 0$\" loading=\"lazy\"> podemos escrever\n \n
\n
\n \n
\n e se , podemos escrever\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Assim, para qualquer \n , escrevemos\n \n
\n
\n \n
\n e aplicando o logaritmo, temos\n \n
\n
\n \n
\n que é válida para todo \n .\n
\n
\n A tabela abaixo reúne as fórmulas desta seção.\n \n
\n
\n
\n
Tabela 3.1:\n Fórmulas logarítmicas para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas.
\n
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\n
função
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domínio
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igualdade logarítmica
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\n \n \n
\n Note que as fórmulas de derivação das funções trigonométricas hiperbólicas inversas, foram obtidas na seção\n 2.8 e resumidas na tabela 2.4. Naquela seção foi utilizado o método da diferenciação\n implícita. As fórmulas de derivação da tabela 2.4 podem também ser obtidas derivando diretamente as\n expressões logarítmicas da tabela 3.1. Deixamos os detalhes para o leitor.\n
\n\n:::\n\n## 3.4 Extensão às variáveis complexas {#SECTION00740000000000000000}\n \n::: {.raw_html} \n
\n Identidades similares das identidades (3.1) são conhecidas para as funções trigonométricas circulares. Mas\n isto exigirá o uso de números complexos. Além disso, modelos matemáticos que representam fenômenos físicos são\n constantemente usados para estudar e conhecer esses fenômenos — e em várias situações — a representação desses fenômenos\n exige a utilização de números complexos juntamente com funções trigonométricas. Em virtude disso, apresentaremos nesta\n seção como são definidas as funções trigonométricas circulares e hiperbólicas de uma variável complexa.\n
\n
\n Usando as séries de potências das funções trigonométricas, desenvolvidas na seção anterior, vamos construir as funções\n trigonométricas de variáveis complexas. Na seção 3.1, vimos que\n
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\n para todo \n .\n
\n
\n Observe que o lado direito destas igualdades faz sentido se for um número complexo, desde que a série seja\n convergente para este número complexo. Isto nos sugere que a igualdade possa ser utilizada para definir as funções\n trigonométricas seno e cosseno para os números complexos que tornam a série convergente. Nestes termos, se \n ,\n então definimos\n
\n Precisamos determinar os valores \n que tornam estas séries convergentes. Para isto, recorremos ao teste da\n razão (Critério de D'Alembert), para garantir a convergência de séries de potências de variável complexa. A\n demonstração deste teorema pode ser encontrada em algum texto de Variáveis complexas. Recomendamos [11, Zill].\n \n
\n
Teorema 3.9 (Teste da razão) \n Se \n é uma sequência de números complexos e\n \n \n
\n \n
\n então a série \n é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).\n
\n \n
\n A série de potências (3.12) converge qualquer que seja \n , pois\n \n
\n
\n \n
\n para qualquer \n . Analogamente para as séries de potências em (3.13), (3.14) e (3.15).\n
\n
\n Naturalmente as definições (3.12)-(3.15) não são muito cômodas para trabalharmos. Vamos então tentar\n modificar estas expressões para redefinir seno e cosseno de números complexos em termos de funções reais de variável\n real. Independente de modificarmos estas expressões, os membros na direita destas igualdades são números complexos e\n então o que esperamos é que possamos reescrever a série de potências como sendo um número complexo mais simples de ser\n manipulado, dado na forma tradicional com \n .\n
\n
\n Comecemos então com a identidade (3.12), colocando \n , com \n . Temos então\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n (3.16)\n
\n\n
\n\n \n \n
\n \n \n
\n Usando a fórmula da expansão binomial para o termo \n , podemos reescrever (3.16) como\n
\n
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\n \n \n
\n O próximo lema será útil para trabalhar com o somatório duplo do segundo membro desta última igualdade.\n \n
\n
Lema 3.10 \n Para qualquer \n ,\n \n
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\n \n \n
Prova.\n \n Tomando\n \n \n
\n \n
\n vamos separar o caso do somatório externo e depois os casos do somatório interno. Desta forma, para\n qualquer que seja \n , obtemos\n
\n
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\n \n \n
\n Separando novamente os temos em do somatório interno, temos\n
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\n exatamente como desejado.\n \n
\n \n
\n Usando agora repetidamente este lema temos que\n
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sen
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\n
\n e assim sucessivamente. Desta forma, obtemos\n \n
\n
\n \n
\n e usando o fato de que \n e que \n , então temos que\n
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\n \n \n
\n Temos portanto uma definição alternativa e mais elegante para a definição do seno de um número complexo \n .\n Definição esta que será também útil para os nossos propósitos. Não estamos interessados em repetir o procedimento\n anterior, mas ele pode ser aplicado também às funções cosseno, senho hiperbólico e cosseno hiperbólico para obter\n expressões mais simples. Como não repetiremos o processo anterior apenas enunciaremos as expressões finais na próxima definição.\n
\n
Definição 3.11 \n Dado \n , os números complexos seno de , cosseno de , seno hiperbólico de e cosseno\n hiperbólico de , são dados respectivamente por,\n \n
\n Vamos analisar um pouco mais estas funções e verificar que elas possuem propriedades similares às funções\n trigonométricas com argumentos reais. É natural esperar por isto, pois extensões não devem desorganizar o que já estava\n “funcionando”. Comecemos com os casos circulares.\n
\n
\n Vamos determinar as raízes das funções seno e cosseno. Queremos então determinar os valores de \n para\n os quais \n . Nestes termos queremos determinar os valores (reais) de e tais que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Da igualdade de números complexos temos que\n
\n
\n
\n
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\n
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\n
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\n
\n
\n \n \n
\n Da primeira equação, como \n para todo \n , então resta que \n . Temos assim que para qualquer \n . Com estes valores de na segunda equação temos que \n e então resta\n que \n donde obtemos . Assim,\n \n
\n
\n se e somente se\n
\n para qualquer \n , exatamente como no caso real.\n
\n
\n Analogamente para determinar os valores de \n tais que \n , temos que encontrar os valores\n reais de e tais que\n \n
\n
\n \n
\n e da igualdade de números complexos\n
\n
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\n
\n \n \n
\n Como \n para todo \n , da primeira equação resta que \n e então \n para qualquer \n . Como \n , substituindo na segunda equação vem \n e, portanto, . Assim,\n \n
\n
\n se e somente se\n
\n para qualquer \n , também como no caso real.\n
\n
\n Dessa forma, as demais funções trigonométricas circulares com argumentos complexos são definidas, em termos destas duas,\n como no caso de variável real, respeitando o domínio de definição. São portanto,\n
\n
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para todo
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para todo
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para todo
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\n
\n
para todo
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\n
\n \n \n
\n Podemos facilmente verificar, pelas igualdades (3.17) e (3.18), a validade para o caso complexo de\n identidades conhecidas para o caso real, tais como\n
\n
\n
\n
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\n
\n
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e
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n
\n
\n
\n dentre muitas outras.\n
\n
\n Uma consequência direta da definição das funções seno e cosseno por série de potência é que estas funções são\n analíticas no domínio de convergência da série, isto é, no plano complexo todo. Sendo assim, estas funções satisfazem\n as condições de Cauchy-Riemann em todo o plano complexo e isto nos dá uma forma rápida para determinar as derivadas\n destas duas funções. Para um estudo mais aprofundado sobre funções analíticas e as condições de Cauchy-Riemann pode-se\n consultar algum texto sobre variáveis complexas. Recomendamos [11, Zill].\n
\n
\n Por hora basta saber que se e \n é uma função analítica em uma região do plano\n complexo, então\n \n
\n
\n \n
\n para todo nesta região.\n
\n
\n Considerando \n , temos \n e \n e então\n
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\n \n \n
\n Também, se \n então \n e \n e, dessa\n forma,\n
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\n \n \n
\n As derivadas das funções seno e cosseno de variável complexa são então respectivamente o cosseno e o oposto do seno,\n exatamente como no caso real. Já que as regras de derivação para funções complexas são as mesmas para funções reais,\n isto é,\n
\n
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\n
\n
\n então as derivadas das demais funções trigonométricas circulares, são também iguais às derivadas obtidas no caso real.\n São portanto\n
\n
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\n
\n
\n respeitados os domínios de definição.\n
\n
\n Além disso, as identidades obtidas \n e \n permitem estabelecer uma\n correspondência entre as funções trigonométricas circulares e as suas respectivas hiperbólicas. As correspondências das\n demais funções trigonométricas ficam\n
\n
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\n \n \n
\n Vamos estudar outras propriedades das funções trigonométricas hiperbólicas de variável complexa. Comecemos pelas raízes\n destas funções. Queremos determinar os números complexos \n tais que \n . Nestes termos\n devemos encontrar números reais e tais que\n \n
\n
\n \n
\n e da igualdade de complexos, e devem satisfazer\n
\n
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\n \n \n
\n Da segunda equação, como \n para todo \n , então devemos ter \n e, portanto, \n para \n . Com estes valores de na primeira equação, resta que \n e então . Temos assim que\n \n
\n
\n se e somente se\n
\n para \n . Observe que estas raízes são complexas e que a única destas raízes que é real, é , que coincide\n com a única raiz real da função seno hiperbólico a argumento real.\n
\n
\n Agora vamos determinar \n tal que \n . Da identidade (3.20), queremos determinar os\n valores reais de e que satisfazem\n
\n
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\n \n \n
\n Como \n então da primeira equação segue que \n e, portanto, \n para \n . Com estes valores de na segunda equação temos que \n e então . Segue que\n \n
\n
\n se e somente se\n
\n para \n . Dentre estas raízes complexas não existe nenhuma raiz real, o que ratifica a não existência de números\n reais tais que \n .\n
\n
\n As demais funções trigonométricas hiperbólicas de variáveis complexas são definidas em termos de seno e cosseno como no\n caso real, restritas ao domínio de definição. Isto é,\n
\n
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para todo
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\n
para todo
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para todo
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\n
\n
para todo
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\n
\n
\n \n \n
\n As definições de seno e cosseno hiperbólicos em termos de séries de potências, convergentes em todo o plano complexo,\n nos diz que estas funções são analíticas em todo o plano complexo e então podemos determinar facilmente as derivadas\n destas funções. Considerando que e que \n temos\n
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\n
\n exatamente como no caso de variáveis reais.\n
\n
\n Analogamente, para a função \n , temos\n
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\n
\n também como no caso real. Considerando ainda que a regra de derivação para o quociente de funções de variáveis\n complexas é idêntica à regra de derivação para o quociente de funções de variáveis reais, então temos que\n
\n
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\n
\n com a devida restrição do domínio de definição. São as mesmas fórmulas de derivação que as funções trigonométricas\n hiperbólicas de variáveis reais.\n
\n
\n Podem ainda ser definidas as funções trigonométricas circulares e hiperbólicas inversas a argumentos complexos. Não\n vamos nos estender neste aspecto, em virtude de que o caso complexo não é o foco do nosso interesse. Além disso,\n entraríamos no campo das funções multivalentes, isto é, funções que assumem mais de um valor para cada \n . Esta categoria de funções foge do conceito de função de um curso de Cálculo Diferencial e Integral.\n
\n Nesta seção, obteremos fórmulas exponenciais similares às identidades em (3.1) para as funções trigonométricas\n circulares. Mais precisamente, provaremos que\n
\n
\n
\n
\n
e
\n
\n (3.21)
\n
\n \n \n
\n Observe que o lado direito destas igualdades envolve a função exponencial de variável complexa. Precisamos definir a\n função exponencial de variável complexa e o faremos como na seção anterior onde definimos as funções trigonométricas\n de variáveis complexas. A expansão em série de potências da função \n , para \n , é\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Mas a série de potências do lado direito da igualdade faz sentido se for um número complexo que torne a série\n convergente. Definimos então por esta série de potências a função exponencial de variável complexa dada por\n \n
\n
\n \n
\n para todo \n tal que a série seja convergente.\n
\n
\n De acordo com o teste da razão (Teorema 3.9), esta série de potências é convergente em todo o plano\n complexo, já que\n \n
\n
\n \n
\n para qualquer \n .\n
\n
\n Esta série é importante, porém, dificulta o trabalho com a função . Como de costume, vamos reescrever esta série\n em termos mais agradáveis. Mais precisamente, já que o lado direito da série de potências é um número complexo,\n esperamos poder escrever este número complexo na tradicional forma algébrica com \n .\n
\n
\n Tomando então \n com \n , aplicando a expansão binomial, podemos reescrever a função\n exponencial na forma\n
\n
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\n \n \n
\n O lema a seguir nos ajudará a trabalhar com o somatório duplo do segundo membro desta última igualdade.\n \n
\n
Lema 3.12 \n Para qualquer \n ,\n \n \n
\n \n
\n \n \n
Prova.\n \n Dado qualquer \n e começando com\n \n \n
\n \n
\n vamos separar o caso do somatório externo e depois os casos do somatório interno. Desta forma, para\n qualquer que seja \n , obtemos\n
\n
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\n
\n como desejado.\n \n
\n
\n \n
\n Usando agora repetidamente este lema, temos que\n
\n
\n
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\n
\n e assim sucessivamente. Desta forma, obtemos\n \n
\n
\n \n
\n e usando o fato de que quando é par, temos que\n \n
\n
\n \n
\n e quando é impar,\n \n
\n
\n \n
\n então podemos separar o último somatório nas suas parcelas com par e com ímpar e obtemos\n
\n
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\n
\n \n \n
\n Formalmente, temos então uma definição alternativa para a exponencial de um número complexo sem o uso explícito das\n séries de potência.\n
\n
Definição 3.13 \n Dado \n , definimos a exponencial de , como sendo o número complexo representado por\n e dado por\n \n \n
\n \n
\n \n
\n Agora estamos prontos para obter as identidades em (3.21). Dado \n , temos desta última definição\n que\n \n
\n
\n \n
\n e também\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Somando estas duas últimas igualdades, temos\n \n
\n
\n \n
\n e subtraindo a segunda da primeira, temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Segue portanto que\n \n
\n
\n e\n
\n \n
\n Estas duas igualdades são as identidades exponenciais para as funções trigonométricas circulares e são válidas para\n valores reais de . Obviamente combinando estas duas fórmulas, podemos deduzir fórmulas exponenciais para as outras\n funções trigonométricas circulares. São elas\n
\n
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\n
\n
\n
\n respeitados os domínios de definição das funções.\n
\n:::\n\n## 3.6 Fórmulas logarítmicas para as funções trigonométricas circulares inversas {#SECTION00760000000000000000}\n\n::: {.raw_html}\n \n
\n Podemos também, como no caso hiperbólico, escrever as funções inversas das funções trigonométricas circulares em termos\n do logaritmo. Isto porque a função logaritmo de um número complexo, é a função inversa da exponencial ,\n com uma certa restrição no logaritmo. Para conhecer mais sobre esta restrição, recomendamos [11, Zill]. Por\n hora, é suficiente saber que \n , para \n e \n .\n
\n
\n Também temos que lembrar que a conhecida “fórmula de Bháskara” continua válida para resolver equações quadráticas\n que envolvem coeficientes complexos. Mais precisamente, se \n é uma equação com \n e , então as soluções desta equação são dadas por\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Note que não usamos o sinal , porque a função raiz quadrada (potência meio) para números complexos é bivalente,\n isto é, assume dois valores, que são simétricos com relação à origem e isto substitui o sinal . Veja\n [11, Zill] ou outro texto sobre números complexos para um estudo mais completo sobre raízes de um número\n complexo.\n
\n
\n Considerando \n , para \n e \n , então temos a relação\n \n
\n
\n \n
\n e multiplicando esta igualdade por e, organizando os termos, temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Resolvendo esta equação quadrática, em termos de , segue que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Como \n a raiz do segundo membro é um número real. Levando em conta que \n então aplicando o logaritmo em ambos os membros, obtemos\n \n
\n
\n \n
\n e multiplicando tudo por , segue que\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Para \n , vale a relação \n , com \n e \n .\n Procedendo como anteriormente, multiplicamos esta relação por 2 e por . Obtemos\n \n
\n
\n \n
\n e resolvendo a equação quadrática\n \n
\n
\n \n
\n em , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Esta solução envolve a raiz quadrada de um número que é real e negativo, já que \n . Escrevemos então\n \n
\n
\n \n
\n e agora aplicando o logaritmo em ambos os membros, vem\n \n
\n
\n \n
\n já que \n . Multiplicando a igualdade por obtemos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Considerando agora \n , válida para todo \n e \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n donde\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Multiplicando por e organizando os termos temos a equação quadrática\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n \n \n
\n Resolvendo em obtemos,\n \n
\n
\n \n
\n e aplicando logaritmo em ambos os membros, já que \n , temos\n \n
\n
\n \n
\n e multiplicando a igualdade por , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Analogamente para a cotangente inversa, temos \n , para todo \n e \n e vale a relação\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Procedendo como no caso da tangente, chegamos a equação quadrática\n \n
\n
\n \n
\n que resolvida nos fornece,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Aplicando o logaritmo e multiplicando o resultado por , chegamos a\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Considerando agora \n , para todo \n e \n . Tomamos a relação \n e obtemos,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Multiplicando a equação por e reorganizando os termos obtemos\n \n
\n
\n \n
\n que resolvida em nos leva a\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n A raiz quadrada do segundo membro tem no radicando um número real negativo, já que \n . Escrevemos então\n \n
\n
\n \n
\n e temos\n \n
\n
\n \n
\n ou ainda,\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Finalmente, para \n , fazendo \n para todo \n e\n \n . Temos então\n \n
\n
\n \n
\n e então\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Resolvendo em , vem\n \n
\n
\n \n
\n e aplicando o logaritmo e uma multiplicação por , temos\n \n
\n
\n \n
\n \n
\n Organizando as fórmulas logarítmicas, temos a tabela abaixo.\n
\n \n
\n
\n
Tabela 3.2:\n Fórmulas logarítmicas para as funções trigonométricas circulares inversas.
\n Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre. The number . Tradução (para o inglês) de Stephen S. Wilson, AMS,\n Providence, Rhode Island, 2004.\n
\n \n \n
\n Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. Volume 4, edição, Rio de Janeiro: LTC - Livros\n técnicos e científicos, 2002.\n
\n \n
\n Iório, Valéria. EDP, um curso de graduação. edição, Coleção Matemática Universitária. Rio de\n Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2001.\n
\n \n
\n Leithold, Louis. O cálculo com geometria analítica. Vol 1. edição. São Paulo: Editora Harbra, 1994.\n
\n \n
\n Lima, Elon L. Curso de análise. Vol 1. Projeto Euclides. edição. Rio de Janeiro: Associação\n Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2012.\n
\n \n
\n Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. Collection of series for . 2004.\n
\n \n
\n \n Shervatov, V. G. Hyperbolic functions. Tradução (para o inglês) de A. Gordon Foster e Coley Mills, Jr.,\n Tópicos em Matemática, Universidade de Chicago, 1963.\n \n
\n
\n \n Swokowski, Earl William. Cálculo com geometria analítica. Vol 2. edição. São Paulo: Makron Books,\n 1994.\n \n
\n Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre. The number . Tradução (para o inglês) de Stephen S. Wilson, AMS,\n Providence, Rhode Island, 2004.\n
\n \n \n
\n Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. Volume 4, edição, Rio de Janeiro: LTC - Livros\n técnicos e científicos, 2002.\n
\n \n
\n Iório, Valéria. EDP, um curso de graduação. edição, Coleção Matemática Universitária. Rio de\n Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2001.\n
\n \n
\n Leithold, Louis. O cálculo com geometria analítica. Vol 1. edição. São Paulo: Editora Harbra, 1994.\n
\n \n
\n Lima, Elon L. Curso de análise. Vol 1. Projeto Euclides. edição. Rio de Janeiro: Associação\n Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2012.\n
\n \n
\n Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. Collection of series for . 2004.\n
\n \n
\n \n Shervatov, V. G. Hyperbolic functions. Tradução (para o inglês) de A. Gordon Foster e Coley Mills, Jr.,\n Tópicos em Matemática, Universidade de Chicago, 1963.\n \n
\n
\n \n Swokowski, Earl William. Cálculo com geometria analítica. Vol 2. edição. São Paulo: Makron Books,\n 1994.\n \n
Definição 4.1
- Dada uma sequência geométrica infinita
- , a soma dos termos desta sequência é chamada de série
+
+
+
+ , a soma dos termos desta sequência é chamada de série
geométrica. É uma expressão da forma
-
-
-
-
-
-
-
- No caso de a soma infinita existir e ser igual a um número real , então dizemos que a série é convergente, ou
- ainda, convergente para . No caso em que a soma não existir então a série é dita divergente. Como casos
- particulares, observe que se então a soma é igual a e portanto convergente e se então a soma é
-
- e portanto divergente.
-
-
-
Teorema 4.2
- Uma série geométrica,
- , é convergente, se e somente se, . No caso de convergir, o valor desta
- soma é precisamente o número
- .
-
-
-
Definição 4.3
- Se
- é uma sequência infinita de termos positivos, então uma série alternada é uma soma da
+
+
+
+ é uma sequência infinita de termos positivos, então uma série alternada é uma soma da
forma,
-
-
-
-
-
-
-
-
Teorema 4.4
- Uma série alternada
- é convergente se os termos formam uma sequência positiva, decrescente,
+
+
+
+ é convergente se os termos
+
+
+
+ formam uma sequência positiva, decrescente,
e que tende a zero.
-
-
-
- O leitor interessado nas demonstrações dos dois últimos teoremas, ou em alguns exemplos de séries alternadas e
- geométricas, pode consultar [8, Swokowski].
-
-
- Consideremos então que seja uma variável real que assume valores no intervalo . Então
- .
- Podemos assim, construir uma série geométrica com primeiro termo igual a 1 e razão
- , que de acordo com o teorema 4.2, é convergente para o número
- , já que
- .
+
+
+
+ .
Temos então que,
-
-
-
-
-
-
- (4.1)
-
-
-
-
-
- para qualquer
- . Observe que esta é uma série geométrica, mas também é uma série alternada. Podemos ainda
- dizer que esta série é uma série de potências de , uma vez que seus termos são potências da variável .
-
-
- Lembremos agora que a fração
- , vista como função de , é a derivada da função
- ,
- exatamente como vimos na seção (1.7). Em outras palavras,
-
-
-
-
-
- e isto significa que,
-
-
-
-
-
-
-
- Recorremos agora ao teorema que garante a integração de uma série de potências. A demonstração deste resultado também
- pode ser encontrada em [8, Swokowski].
-
-
-
Teorema 4.5
- Se uma função possui representação em série de potência de , isto é,
- e esta série
- for convergente em todo
- , então
-
-
-
-
-
- para todo
- . A convergência da nova série obtida pela integração dos termos, pode ser alterada se .
-
-
-
- Este teorema nos permite então determinar, por integração, a série da função arco tangente. Temos assim,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e, assim, obtemos a igualdade desejada para o nosso objetivo,
-
-
-
-
-
+
+
-
- (4.2)
-
-
-
-
-
-
- Esta igualdade é válida para todo no intervalo . O ponto , deve ser avaliado novamente pois é um dos
- extremos do intervalo de convergência. Para ser mais preciso, a série geométrica (4.1) é divergente no ponto
- . Mas como o teorema 4.5 afirma que a convergência pode ser alterada nos extremos do intervalo,
- precisamos de uma nova investigação para nos certificarmos de que a série de interesse (4.2), tornou-se
- convergente em . Note que para , a série em (4.2) torna-se,
-
-
-
-
-
- que é uma série alternada que satisfaz as condições do teorema 4.4 e portanto é convergente. A série
- (4.2) também converge se , mas como este valor de está fora do nosso interesse, deixaremos os
+
+
+
+
+
+ que é uma série alternada que satisfaz as condições do teorema
+
+ 4.4
+
+ e portanto é convergente. A série
+ (
+
+ 4.2
+
+ ) também converge se
+
+
+
+ , mas como este valor de
+
+
+
+ está fora do nosso interesse, deixaremos os
detalhes para o leitor interessado.
-
-
- Segue que a igualdade (4.2) é válida também para e como sabemos que
- , então temos a fórmula,
-
-
-
-
+
-
- ou, ainda,
-
-
-
-
-
-
- (4.3)
-
-
-
-
- Esta expressão, obtida por volta de 1670, é conhecida como fórmula de Gregory-Leibniz. O problema desta fórmula é que a
- convergência se dá de forma muito lenta, pois a série em (4.2) converge para no intervalo e
- como se pode ver, o ponto utilizado para obter a série está no extremo do intervalo. Quanto mais afastado do
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (
+
+ 4
+
+ .
+
+ 3
+
+ )
+
+
+
+
+
+
+ Esta expressão, obtida por volta de 1670, é conhecida como fórmula de Gregory-Leibniz. O problema desta fórmula é que a
+ convergência se dá de forma muito lenta, pois a série em (
+
+ 4.2
+
+ ) converge para
+
+
+
+ no intervalo
+
+
+
+ e
+ como se pode ver, o ponto
+
+
+
+ utilizado para obter a série está no extremo do intervalo. Quanto mais afastado do
centro deste intervalo, mais lenta a convergência. Não vamos discutir aqui os chamados “níveis de convergência” e
então para nós, convergência mais rápida significa obter mais casas decimais corretas com menos termos adicionados.
-
-
- Vamos exemplificar o uso desta fórmula calculando uma aproximação para usando as 30 primeiras parcelas da soma
+
+
+ Vamos exemplificar o uso desta fórmula calculando uma aproximação para
+
+
+
+ usando as 30 primeiras parcelas da soma
infinita.
-
-
-
-
-
Tabela 4.1:
- Aproximação de pela série de Gregory-Leibniz.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0
-
-
4,0000000
-
-
4,0000000
-
-
1
-
-
-1,3333333
-
-
2,6666667
-
-
2
-
-
0,8000000
-
-
3,4666667
-
-
3
-
-
-0,5714286
-
-
2,8952381
-
-
4
-
-
0,4444444
-
-
3,3396825
-
-
5
-
-
-0,3636364
-
-
2,9760461
-
-
6
-
-
0,3076923
-
-
3,2837384
-
-
7
-
-
-0,2666667
-
-
3,0170717
-
-
8
-
-
0,2352941
-
-
3,2523658
-
-
9
-
-
-0,2105263
-
-
3,0418395
-
-
10
-
-
0,1904762
-
-
3,2323157
-
-
11
-
-
-0,1739130
-
-
3,0584027
-
-
12
-
-
0,1600000
-
-
3,2184027
-
-
13
-
-
-0,1481481
-
-
3,0702546
-
-
14
-
-
0,1379310
-
-
3,2081856
-
-
15
-
-
-0,1290323
-
-
3,0791533
-
-
16
-
-
0,1212121
-
-
3,2003654
-
-
17
-
-
-0,1142857
-
-
3,0860797
-
-
18
-
-
0,1081081
-
-
3,1941878
-
-
19
-
-
-0,1025641
-
-
3,0916237
-
-
20
-
-
0,0975610
-
-
3,1891847
-
-
21
-
-
-0,0930233
-
-
3,0961614
-
-
22
-
-
0,0888889
-
-
3,1850503
-
-
23
-
-
-0,0851064
-
-
3,0999439
-
-
24
-
-
0,0816327
-
-
3,1815766
-
-
25
-
-
-0,0784314
-
-
3,1031452
-
-
26
-
-
0,0754717
-
-
3,1786169
-
-
27
-
-
-0,0727273
-
-
3,1058896
-
-
28
-
-
0,0701754
-
-
3,1760650
-
-
29
-
-
-0,0677966
-
-
3,1082684
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Note pela tabela acima, que a primeira casa decimal de , somente estabiliza-se quando já
+
+
+
+
+
+
+ Note pela tabela acima, que a primeira casa decimal de
+
+
+
+ , somente estabiliza-se quando já
foram somados 25 termos. Serão necessários 300 termos da série para que a segunda casa decimal seja igual a 4 e 5000
termos para obtermos a terceira casa decimal. Apesar disto, esta fórmula está longe de ser considerada inútil.
-
-
- Algum tempo mais tarde, John Machin descobriu que a fórmula (4.2) poderia ser usada para valores de
- menores do que 1, obtendo assim, convergências mais rápidas. O problema é que não podemos simplesmente substituir
- , ou
- em (4.2) pois não conhecemos
- ou
-
- . É necessário um argumento mais engenhoso.
-
-
- Machin usou a fórmula da soma de arcos para a tangente
-
-
-
-
-
- e obteve a identidade
-
-
-
-
-
- e com
- , escreveu
-
-
-
-
-
-
- (4.4)
-
-
-
-
- Usando a fórmula da duplicação de arcos para a tangente, Machin calculou
-
-
- Aplicando arco tangente em ambos os membros e reorganizando os termos obtém-se a fórmula
-
-
-
-
-
- que em 1706 foi usada por Machin para calcular 100 casas decimais para .
-
-
- A ideia de Machin, de reescrever
- em somas de arco tangentes com argumentos menores, motivou outros
+
+
+
+ em somas de arco tangentes com argumentos menores, motivou outros
matemáticos. A igualdade
-
-
-
-
-
-
- (4.5)
-
-
- com , e inteiros, se mostrou útil nesta abordagem. Note que se , e são inteiros positivos, então
- o fato de a função arco tangente ser crescente obrigará os valores de
- e
- serem menores do
- que
- . Isto significa que
- e
- estarão mais próximos de 0 do que
- , o
- que torna a convergência mais rápida. Vamos primeiramente estabelecer qual a relação entre , e para que a
- identidade (4.5) tenha sentido.
-
-
- Aplicando a função tangente em ambos os membros de (4.5), temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e portanto, obtemos que
-
-
-
-
-
-
-
- Desta igualdade, organizando os termos e somando em ambos os membros, vem
-
-
-
-
-
- ou ainda
-
-
-
-
-
-
- (4.6)
-
-
-
-
- A igualdade (4.6) estabelece portanto uma relação entre , e , para que a identidade
- (4.5) faça sentido. Como estamos interessados em desmembrar
- então faremos em
- (4.5) e (4.6), obtendo
-
-
-
-
-
-
-
- Basta então considerar e como sendo dois fatores inteiros do número 2. Escolhemos os fatores 1 e 2.
- Colocando e obtemos e e, substituindo em (4.5), temos a fórmula
-
-
-
-
-
-
- (4.7)
-
-
- que foi obtida por Euler em 1738.
-
-
- Observe que podemos novamente repetir esta ideia para modificar as arco tangentes das frações
- ou
-
- por outra soma de arco tangentes com argumentos menores ainda, para fazer convergências mais rápidas.
-
-
- Este foi um método muito utilizado por matemáticos e várias fórmulas foram obtidas, conhecidas como fórmulas do tipo
+
+
+
+ por outra soma de arco tangentes com argumentos menores ainda, para fazer convergências mais rápidas.
+
+
+ Este foi um método muito utilizado por matemáticos e várias fórmulas foram obtidas, conhecidas como fórmulas do tipo
Machin. Algumas delas são:
-
-
-
-
-
-
- (Strassnitzky)
-
-
-
-
- (Huton)
-
-
-
-
- (Euler, em 1764)
-
-
-
-
- (Klingenstierna)
-
-
-
-
- (Gauss)
-
-
-
-
- (Loney, em 1893)
-
-
-
-
- (Sebah)
-
-
-
-
- (Stormer, em 1896)
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (Strassnitzky)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (Huton)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (Euler, em 1764)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (Klingenstierna)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (Gauss)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (Loney, em 1893)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (Sebah)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (Stormer, em 1896)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
- (Takano, em 1982)
-
-
-
-
- A fórmula de Strassnitzky, é obtida a partir da fórmula de Euler, desmembrando o termo
- . Vamos
- ver os detalhes. Considerando
- e, portanto, , em (4.5) e (4.6),
+
+
+
+ e, portanto,
+
+
+
+ , em (
+
+ 4.5
+
+ ) e (
+
+ 4.6
+
+ ),
obtemos
-
-
-
-
-
-
-
- Escolhemos agora dois fatores de 10. Considerando os fatores 2 e 5 e colocando e , obtemos
- e . Temos portanto
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- A fórmula de Huton é obtida, também a partir da fórmula de Euler, desmembrando o termo
- .
- Considerando
- , isto é, e, substituindo em (4.5) e (4.6), temos
-
-
-
-
-
- e escolhendo e temos e e com estes valores
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+ e escolhendo
+
+
+
+ e
+
+
+
+ temos
+
+
+
+ e
+
+
+
+ e com estes valores
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
- Levando em conta ainda que podemos considerar que os fatores, e , do número sejam inteiros negativos,
- e usando o fato de que arco tangente é uma função ímpar, isto é,
- ,
- conseguimos o cancelamento de termos em algumas substituições. Mais ainda, , e não precisam ser números
- inteiros, já que o desenvolvimento aplicado em (4.5) é válido para quaisquer argumentos reais no domínio
+
+
+
+ ,
+ conseguimos o cancelamento de termos em algumas substituições. Mais ainda,
+
+
+
+ ,
+
+
+
+ e
+
+
+
+ não precisam ser números
+ inteiros, já que o desenvolvimento aplicado em (
+
+ 4.5
+
+ ) é válido para quaisquer argumentos reais no domínio
da função arco tangente.
-
-
- Podemos verificar que
-
-
-
-
-
- e que
-
-
-
-
-
- e substituindo estas duas igualdades na fórmula de Huton, obtém-se
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Vamos comparar os resultados obtidos na tabela 4.1, calculando agora uma aproximação de pela série de
- Euler (4.7). Fazendo
- e
- em (4.2), temos
-
-
-
- e
-
-
-
- Então temos que,
-
-
-
-
-
-
-
- Abaixo segue uma tabela de convergência para com os 15 primeiros termos desta última série.
-
-
-
-
-
Tabela 4.2:
- Aproximação de pela série de Euler.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0
-
2,0000000000
-
1,3333333333
-
3,3333333333
-
3,3333333333
-
-
1
-
-0,1666666667
-
-0,0493827160
-
-0,2160493827
-
3,1172839506
-
-
2
-
0,0250000000
-
0,0032921811
-
0,0282921811
-
3,1455761317
-
-
3
-
-0,0044642857
-
-0,0002612842
-
-0,0047255699
-
3,1408505618
-
-
4
-
0,0008680556
-
0,0000225801
-
0,0008906357
-
3,1417411974
-
-
5
-
-0,0001775568
-
-0,0000020527
-
-0,0001796096
-
3,1415615879
-
-
6
-
0,0000375601
-
0,0000001930
-
0,0000377531
-
3,1415993410
-
-
7
-
-0,0000081380
-
-0,0000000186
-
-0,0000081566
-
3,1415911844
-
-
8
-
0,0000017952
-
0,0000000018
-
0,0000017970
-
3,1415929813
-
-
9
-
-0,0000004015
-
-0,0000000002
-
-0,0000004017
-
3,1415925796
-
-
10
-
0,0000000908
-
0,0000000000
-
0,0000000908
-
3,1415926705
-
-
11
-
-0,0000000207
-
-0,0000000000
-
-0,0000000207
-
3,1415926497
-
-
12
-
0,0000000048
-
0,0000000000
-
0,0000000048
-
3,1415926545
-
-
13
-
-0,0000000011
-
-0,0000000000
-
-0,0000000011
-
3,1415926534
-
-
14
-
0,0000000003
-
0,0000000000
-
0,0000000003
-
3,1415926536
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Observe que esta série converge muito mais rápido do que a série (4.3). Com apenas 15
- termos somados, temos 9 casas decimais corretas de . Note ainda que na terceira coluna, os valores vão para zero
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ 0
+
+
+ 2,0000000000
+
+
+ 1,3333333333
+
+
+ 3,3333333333
+
+
+ 3,3333333333
+
+
+
+
+ 1
+
+
+ -0,1666666667
+
+
+ -0,0493827160
+
+
+ -0,2160493827
+
+
+ 3,1172839506
+
+
+
+
+ 2
+
+
+ 0,0250000000
+
+
+ 0,0032921811
+
+
+ 0,0282921811
+
+
+ 3,1455761317
+
+
+
+
+ 3
+
+
+ -0,0044642857
+
+
+ -0,0002612842
+
+
+ -0,0047255699
+
+
+ 3,1408505618
+
+
+
+
+ 4
+
+
+ 0,0008680556
+
+
+ 0,0000225801
+
+
+ 0,0008906357
+
+
+ 3,1417411974
+
+
+
+
+ 5
+
+
+ -0,0001775568
+
+
+ -0,0000020527
+
+
+ -0,0001796096
+
+
+ 3,1415615879
+
+
+
+
+ 6
+
+
+ 0,0000375601
+
+
+ 0,0000001930
+
+
+ 0,0000377531
+
+
+ 3,1415993410
+
+
+
+
+ 7
+
+
+ -0,0000081380
+
+
+ -0,0000000186
+
+
+ -0,0000081566
+
+
+ 3,1415911844
+
+
+
+
+ 8
+
+
+ 0,0000017952
+
+
+ 0,0000000018
+
+
+ 0,0000017970
+
+
+ 3,1415929813
+
+
+
+
+ 9
+
+
+ -0,0000004015
+
+
+ -0,0000000002
+
+
+ -0,0000004017
+
+
+ 3,1415925796
+
+
+
+
+ 10
+
+
+ 0,0000000908
+
+
+ 0,0000000000
+
+
+ 0,0000000908
+
+
+ 3,1415926705
+
+
+
+
+ 11
+
+
+ -0,0000000207
+
+
+ -0,0000000000
+
+
+ -0,0000000207
+
+
+ 3,1415926497
+
+
+
+
+ 12
+
+
+ 0,0000000048
+
+
+ 0,0000000000
+
+
+ 0,0000000048
+
+
+ 3,1415926545
+
+
+
+
+ 13
+
+
+ -0,0000000011
+
+
+ -0,0000000000
+
+
+ -0,0000000011
+
+
+ 3,1415926534
+
+
+
+
+ 14
+
+
+ 0,0000000003
+
+
+ 0,0000000000
+
+
+ 0,0000000003
+
+
+ 3,1415926536
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ Observe que esta série converge muito mais rápido do que a série (
+
+ 4.3
+
+ ). Com apenas 15
+ termos somados, temos 9 casas decimais corretas de
+
+
+
+ . Note ainda que na terceira coluna, os valores vão para zero
mais rápido do que na segunda coluna. Como dissemos antes, isto ocorre pois a terceira coluna representa os valores da
- série arco tangente de
- e
- está mais próximo de 0 do que
- .
-
-
- Atualmente o trabalho de calcular é feito com o auxílio de supercomputadores, que trabalham por horas ou até dias
+
+
+
+ .
+
+
+ Atualmente o trabalho de calcular
+
+
+
+ é feito com o auxílio de supercomputadores, que trabalham por horas ou até dias
para calcular trilhões de casas decimais. As fórmulas baseadas em arco tangente são bastante utilizadas por
apresentarem apenas números racionais.
-
-
- A questão principal é por que calcular com trilhões de casas decimais? Sabe-se que umas poucas casas decimais
+
+
+ A questão principal é por que calcular
+
+
+
+ com trilhões de casas decimais? Sabe-se que umas poucas casas decimais
resolvem todos os problemas práticos de engenharia, física ou matemática. Para ser mais preciso, 39 casas decimais
permitem calcular a medida da circunferência do universo com erro menor do que o diâmetro de um átomo de hidrogênio.
-
-
- Uma aplicação prática é o teste de microprocessadores. Quando um computador ou um processador numérico é desenvolvido,
+
+
+ Uma aplicação prática é o teste de microprocessadores. Quando um computador ou um processador numérico é desenvolvido,
é necessário saber até que ponto sua eficiência numérica é confiável, e nestes termos, nada melhor do que testá-lo a
- calcular um número já conhecido. Calcular dígitos de , já não é mais uma questão de conhecer este número, mas sim
+ calcular um número já conhecido. Calcular dígitos de
+
+
+
+ , já não é mais uma questão de conhecer este número, mas sim
de comprovar o poder dos computadores.
-
-
- Para uma coleção maior de fórmulas envolvendo recomendamos [6, Sebah], [1, Eymard] e também
- [9, Weisstein]. Comentários e demonstrações sobre outras fórmulas para podem ser encontrados em
- [1, Eymard].
-
-
-
-
-
- 4.2 Cálculo de integrais
-
-
-
-
-
-
- Dentre as aplicações clássicas e imediatas do Cálculo Diferencial e Integral estão o cálculo de áreas de regiões e de
+
+
+ Para uma coleção maior de fórmulas envolvendo
+
+
+
+ recomendamos [
+
+ 6
+
+ , Sebah], [
+
+ 1
+
+ , Eymard] e também
+ [
+
+ 9
+
+ , Weisstein]. Comentários e demonstrações sobre outras fórmulas para
+
+
+
+ podem ser encontrados em
+ [
+
+ 1
+
+ , Eymard].
+
+ Dentre as aplicações clássicas e imediatas do Cálculo Diferencial e Integral estão o cálculo de áreas de regiões e de
comprimentos de curvas determinadas por funções. Estes cálculos em geral reduzem-se ao cálculo de integrais envolvendo
tais funções. Entretanto, determinar certas integrais não é tarefa tão fácil. Existem várias regras de integração porém
muitas funções não se enquadram nas técnicas tradicionais de integração.
-
- Dentre várias situações podemos citar como exemplo
+
+ Dentre várias situações podemos citar como exemplo
-
-
-
-
e
-
- (4.8)
-
-
- para uma constante e no devido intervalo de definição das funções consideradas.
+
+
+
+
+
+
+ e
+
+
+
+
+ (
+
+ 4
+
+ .
+
+ 8
+
+ )
+
+
+
+
+
+
+ para
+
+
+
+ uma constante e
+
+
+
+ no devido intervalo de definição das funções consideradas.
-
- A primeira integral aparece, por exemplo, no cálculo de áreas de regiões circulares. Mais precisamente, dado , a
- área compreendida entre o eixo e o gráfico do semi-círculo
- , no intervalo
- , é calculada pela integral definida
-
+
+ Figura 4.1:
+
+ Área sob a semicircunferência.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
- A segunda integral em (4.8) aparece, por exemplo, no cálculo de comprimento de curvas. O comprimento da
- curva determinada pelo gráfico de uma função quadrática
- , para alguma constante
- , no intervalo
-
- , é dado por
-
-
-
- sendo que
- tornou-se uma constante de ajuste.
+
+
+
+ tornou-se uma constante de ajuste.
-
- O aluno de um curso de Cálculo Diferencial e Integral, quando se depara com alguma das integrais em (4.8),
+
+ O aluno de um curso de Cálculo Diferencial e Integral, quando se depara com alguma das integrais em (
+
+ 4.8
+
+ ),
recorre às fórmulas de integração prontas que geralmente figuram nas últimas páginas dos livros. Mas estas fórmulas não
“caíram do céu”. Nesta seção vamos mostrar como as funções trigonométricas podem ajudar a determinar as integrais em
- (4.8). Não vamos nos preocupar com o intervalo e então faremos os cálculos considerando as
+ (
+
+ 4.8
+
+ ). Não vamos nos preocupar com o intervalo
+
+
+
+ e então faremos os cálculos considerando as
integrais indefinidas.
-
- Para a primeira integral em (4.8), precisaremos antes o cálculo auxiliar da integral
-
-
+
-
-
- Usando as identidades
+
+ Usando as identidades
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- obtemos
-
-
-
- e, também,
-
-
+
-
-
- Integrando temos
+
+ Integrando temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- O leitor atento diria agora que esquecemos a constante de integração nas duas expressões acima. Por simplicidade,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ O leitor atento diria agora que esquecemos a constante de integração nas duas expressões acima. Por simplicidade,
durante os cálculos omitiremos a constante de integração, que só será apresentada ao final para não perder
- definitivamente o rigor matemático. Agora vamos ao cálculo da primeira integral em (4.8). Considerando que
-
- , queremos determinar
-
-
+
-
-
- Fazendo a mudança de variáveis
- , temos que
- e, substituindo na integral, temos
+
+
+
+ e, substituindo na integral, temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Lembremos agora que
- e então a substituição
- obriga (bijetivamente)
- . Neste intervalo temos
- e então
+
+
+
+ e então
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Voltando à variável original , temos que
- , ou ainda
- e, assim,
+
+
+
+ e, assim,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
- Obtemos então a fórmula de integração presente nos livros de Cálculo Diferencial e Integral
-
-
-
- para alguma constante de integração .
+
+
+
+ para alguma constante de integração
+
+
+
+ .
-
- A segunda integral em (4.8) é obtida de forma análoga porém com funções trigonométricas hiperbólicas.
+
+ A segunda integral em (
+
+ 4.8
+
+ ) é obtida de forma análoga porém com funções trigonométricas hiperbólicas.
Primeiro vamos determinar a integral
-
-
+
-
-
- Usando as identidades
+
+ Usando as identidades
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- temos que
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ temos que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e integrando
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ e integrando
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Vamos agora determinar a integral de interesse,
-
-
-
- considerando
- e uma constante arbitrária. Fazendo a mudança de variáveis
- temos que
-
- e então temos
+
+
+
+ e então temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Lembrando agora que a função seno hiperbólico é bijetiva de
- em
- e então a mudança de variável
-
- permite
- e como
- para qualquer
- , temos
+
+
+
+ , temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e voltando à variável , temos
- , ou ainda
- e, assim,
+
+
+
+ e, assim,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Neste caso, podemos escrever esta igualdade sem o uso explícito da função arco seno hiperbólico. Usando a identidade
-
- , obtida na seção 3.3, escrevemos
-
-
-
- e, reorganizando os termos temos, finalmente
-
-
-
- sendo que a constante de integração absorve o termo constante
- que desprezamos na
+
+
+
+ que desprezamos na
reorganização dos termos.
-
- A fórmula de integração
-
-
-
- válida para
- , é obtida de maneira análoga pela substituição
- . Deixamos agora os detalhes
+
+
+
+ . Deixamos agora os detalhes
para o leitor.
-
- Podemos ainda observar que em algumas situações, o cálculo da integral
- não é efetuado em
+
+
+
+ não é efetuado em
coordenadas cartesianas. Como é sabido, as coordenadas cartesianas dificultam o cálculo de integrais em regiões
circulares. Neste tipo de região é recomendado o uso de coordenadas polares. Mas a conversão de coordenadas cartesianas
para polares (e vice-versa) faz uso das funções trigonométricas também.
-
-
-
-
- 4.3 A catenária
-
-
-
- Catenária é o nome da curva que descreve a trajetória de equilíbrio de um cabo flexível, de comprimento fixo e suspenso
+
+
+
+
+ 4.3 A catenária
+
+
+
+ Catenária é o nome da curva que descreve a trajetória de equilíbrio de um cabo flexível, de comprimento fixo e suspenso
por duas hastes. O estudo desta curva desempenha um papel fundamental nos cursos de engenharia.
-
-
- Consideremos então um cabo flexível, sustentado por duas hastes, pelos pontos e . Fixemos um sistema coordenado
- cartesiano com o eixo no nível do solo e o eixo perpendicular ao solo passando pelo ponto mais baixo do cabo.
- O cabo descreve uma curva neste sistema coordenado. Denotemos por esta curva. Chamemos o ponto
- mais baixo da curva, que está sobre o eixo . Tomemos um ponto sobre esta curva e sem perda de
- generalidade, consideremos o ponto à direita de no sistema coordenado considerado, isto é, com .
-
-
- Considerando a porção do cabo entre os pontos e , temos as forças , e , atuando
- sobre esta porção do cabo. é a força peso, que é decomposta nas componentes horizontal e vertical por
-
-
-
-
-
- sendo que é o peso do cabo por unidade de comprimento e é o comprimento do cabo (da porção do cabo
- considerada). é a força de tração pela direita no ponto e é decomposta nas componentes horizontal
+
+
+
+
+
+ sendo que
+
+
+
+ é o peso do cabo por unidade de comprimento e
+
+
+
+ é o comprimento do cabo (da porção do cabo
+ considerada).
+
+
+
+ é a força de tração pela direita no ponto
+
+
+
+ e é decomposta nas componentes horizontal
e vertical por
-
-
-
-
-
- sendo o módulo da tensão pela direita e o ângulo que o vetor tangencial faz com a horizontal.
- é a força de tração pela esquerda no ponto , dada por
-
-
-
-
-
- sendo o módulo da tensão pela esquerda.
-
-
-
-
-
-
Figura 4.2:
- Forças atuantes no cabo suspenso.
-
-
-
-
-
-
-
-
- O sistema está em equilíbrio, isto é,
-
-
-
-
-
- e então
-
-
-
-
-
- donde temos
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+ donde temos
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
- Agora, sabemos do cálculo diferencial e integral que a inclinação , do vetor tangente à curva em um ponto ,
+
+
+
+
+
+
+ Agora, sabemos do cálculo diferencial e integral que a inclinação
+
+
+
+ , do vetor tangente à curva em um ponto
+
+
+
+ ,
se relaciona com a curva por
-
-
-
-
-
- donde temos que
-
-
-
-
-
-
-
- Mas note que não é uma constante. é o comprimento da curva de a e isto dependerá da posição do
- ponto . Sabemos (do cálculo) que o comprimento desta curva pode ser calculado pela fórmula integral,
-
-
-
-
-
- e, assim,
-
-
-
-
-
-
-
- Para eliminar a integral do segundo membro, derivamos ambos os membros da igualdade e, usando o Teorema Fundamental do
+
+
+
+
+
+ Para eliminar a integral do segundo membro, derivamos ambos os membros da igualdade e, usando o Teorema Fundamental do
Cálculo, obtemos
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
- (4.9)
-
-
-
-
- A esta equação diferencial, juntamos as condições iniciais e . Com o intuito de encontrar
- , a função que descreve a curva catenária, vamos resolver esta equação diferencial. Fazendo e
- substituindo em (4.9), temos a equação diferencial de ordem 1,
-
-
-
-
-
- que pode ser reescrita na forma
-
-
-
-
-
-
-
- Integrando em , obtemos
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
- (4.10)
-
-
- para alguma constante de integração que ainda será determinada. Para determinar a integral do primeiro membro,
+ (
+
+ 4
+
+ .
+
+ 10
+
+ )
+
+
+
+
+
+
+ para alguma constante de integração
+
+
+
+ que ainda será determinada. Para determinar a integral do primeiro membro,
notemos que
-
-
-
-
-
- e levando em conta que a fração
- é a derivada da função
- (em relação a ),
+
+
+
+ (em relação a
+
+
+
+ ),
segue que
-
-
-
-
-
- para alguma constante .
-
-
- Substituindo a condição inicial
- , obtemos o valor da constante . Voltando para a variável ,
- e com , obtemos
-
-
-
-
-
-
-
- Aplicando a função seno hiperbólico em ambos os membros, temos
-
-
-
-
-
- e integrando ambos os membros em relação a , vem
-
-
-
-
-
-
-
- Usando a condição inicial , conseguimos o valor da nova constante de integração
- .
+
+
+
+ .
Segue portanto a função procurada
-
-
-
-
-
-
-
- Desta forma, obtemos que a curva catenária é descrita por um cosseno hiperbólico. O termo de translação
-
- pode ser manipulado mudando-se a origem do sistema coordenado fixado sobre a curva catenária. Os
- fatores
- e
- determinam a abertura da curva.
-
-
-
-
-
- 4.4 Série de Fourier
-
-
-
- O objetivo desta seção é apresentar as séries de Fourier. Jean Baptiste Fourier (1768-1830) foi o primeiro matemático a
+
+
+
+ determinam a abertura da curva.
+
+
+
+
+
+ 4.4 Série de Fourier
+
+
+
+ O objetivo desta seção é apresentar as séries de Fourier. Jean Baptiste Fourier (1768-1830) foi o primeiro matemático a
investigar séries envolvendo senos e cossenos e, por isso, essas séries levam hoje o seu nome. Ele introduziu esse
- assunto em 1822 em seu livro Théorie Analytique de la Chaleur (Teoria analítica do calor).
-
-
- Consideremos uma barra de comprimento , com extremos em contato com um material de temperatura constante igual a
- zero. Se é a temperatura desta barra no ponto e no instante , é a distribuição inicial da
+ assunto em 1822 em seu livro
+
+ Théorie Analytique de la Chaleur
+
+ (Teoria analítica do calor).
+
+
+ Consideremos uma barra de comprimento
+
+
+
+ , com extremos em contato com um material de temperatura constante igual a
+ zero. Se
+
+
+
+ é a temperatura desta barra no ponto
+
+
+
+ e no instante
+
+
+
+ ,
+
+
+
+ é a distribuição inicial da
temperatura da barra e o fluxo de calor na extremidade da barra é proporcional à temperatura da extremidade, então a
- função satisfaz as equações
-
-
-
-
+
-
- sendo que
- ,
- e
- .
-
-
- Esta é uma equação diferencial parcial, sujeita às condições de contorno e condições iniciais. Vamos resolver esta
+
+
+
+ .
+
+
+ Esta é uma equação diferencial parcial, sujeita às condições de contorno e condições iniciais. Vamos resolver esta
equação. O método que usaremos é conhecido como método das variáveis separáveis.
-
-
- Este método consiste em supor que a função possa ser expressa como um produto de duas funções, uma dependendo
- de e outra dependendo de , isto é, supomos que
- . Substituindo na equação
+
+
+
+ . Substituindo na equação
diferencial parcial, temos
-
-
-
-
-
- ou, ainda,
-
-
-
-
-
-
-
- Observe que o membro da direita não depende de , enquanto o membro da esquerda não depende de . Isto sugere que
- na verdade ambos os membros não dependam nem de e nem de , isto é, são constantes. Fisicamente esta constante é
+
+
+
+
+
+ Observe que o membro da direita não depende de
+
+
+
+ , enquanto o membro da esquerda não depende de
+
+
+
+ . Isto sugere que
+ na verdade ambos os membros não dependam nem de
+
+
+
+ e nem de
+
+
+
+ , isto é, são constantes. Fisicamente esta constante é
negativa considerando que a taxa de variação da temperatura está diminuindo. Por uma questão de facilidade no
- desenvolvimento dos cálculos, esta constante negativa é escrita como , com
- .
-
-
- Temos então
-
-
-
- e
-
- ou ainda,
-
-
-
- e
-
-
-
- Temos agora duas equações diferenciais ordinárias, lineares e homogêneas. As soluções são fáceis de serem obtidas e
+
+
+
+ e
+
+
+
+ Temos agora duas equações diferenciais ordinárias, lineares e homogêneas. As soluções são fáceis de serem obtidas e
são, precisamente,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- para quaisquer coeficientes
- . Segue que
-
-
-
-
-
-
-
- Os coeficientes , e poderão ser determinados ou estimados utilizando as condições iniciais e as condições de
+
+
+
+
+
+ Os coeficientes
+
+
+
+ ,
+
+
+
+ e
+
+
+
+ poderão ser determinados ou estimados utilizando as condições iniciais e as condições de
contorno. Aplicando as condições de contorno, e já descartando a função exponencial que nunca se anula, temos que
-
-
-
-
+
-
-
-
- Vamos considerar que pois estamos interessados em uma solução não identicamente nula. Da primeira equação
- obtemos que
- e, substituindo isso na segunda equação, temos
-
-
-
-
-
-
-
- Mas como
- então
- e, por isso, também vamos impor que , pois caso contrário,
- isto é, se teríamos também e a função
- se tornaria identicamente nula, fazendo a solução
- identicamente nula. Como estamos interessados em soluções não nulas, vamos impor . Desta forma,
+
+
+
+ se tornaria identicamente nula, fazendo a solução
+
+
+
+ identicamente nula. Como estamos interessados em soluções não nulas, vamos impor
+
+
+
+ . Desta forma,
resta que
-
-
-
-
-
- donde
-
-
-
-
-
- para qualquer
- . Já que o sinal do argumento no seno se transmite para o coeficiente , podemos considerar
- que
- . Sendo assim, para cada
- , temos uma solução
-
-
-
-
-
- para certos coeficientes e , que já incorporaram também a constante .
-
-
- Pelo princípio da superposição de soluções para equações homogêneas, temos que a soma destas soluções é ainda uma
+
+
+
+
+
+ para certos coeficientes
+
+
+
+ e
+
+
+
+ , que já incorporaram também a constante
+
+
+
+ .
+
+
+ Pelo princípio da superposição de soluções para equações homogêneas, temos que a soma destas soluções é ainda uma
solução. Segue que
-
-
-
-
-
-
-
- Tudo o que precisamos agora é determinar os coeficientes e . Aplicando a condição inicial, temos que
-
-
-
-
-
-
- (4.11)
-
-
-
-
- Os coeficientes e procurados, são então coeficientes que satisfazem a identidade (4.11).
- Perguntamos então quais as hipóteses sobre para que a igualdade (4.11) se verifique para certos
- coeficientes e reais? Esta questão é respondida pelo teorema 4.7 enunciado mais adiante.
- Além disso, se a igualdade (4.11) se verificar, como são calculados os coeficientes e ? Esta
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (
+
+ 4
+
+ .
+
+ 11
+
+ )
+
+
+
+
+
+
+ Os coeficientes
+
+
+
+ e
+
+
+
+ procurados, são então coeficientes que satisfazem a identidade (
+
+ 4.11
+
+ ).
+ Perguntamos então quais as hipóteses sobre
+
+
+
+ para que a igualdade (
+
+ 4.11
+
+ ) se verifique para certos
+ coeficientes
+
+
+
+ e
+
+
+
+ reais? Esta questão é respondida pelo teorema
+
+ 4.7
+
+ enunciado mais adiante.
+ Além disso, se a igualdade (
+
+ 4.11
+
+ ) se verificar, como são calculados os coeficientes
+
+
+
+ e
+
+
+
+ ? Esta
questão será comentada agora.
-
-
- Para mostrar como são calculados estes coeficientes, precisamos estudar algumas propriedades a respeito do conjunto de
+
+
+ Para mostrar como são calculados estes coeficientes, precisamos estudar algumas propriedades a respeito do conjunto de
funções
-
-
-
-
-
-
-
- Consideremos o conjunto
- , das funções contínuas e definidas no intervalo com
- valores em
- . Este conjunto munido da soma de funções
-
-
-
-
-
- e do produto por escalar
- ,
-
-
-
-
-
- é um espaço vetorial real. O funcional bilinear
-
- dado por
-
-
-
-
-
- define um produto interno em
- . A respeito deste produto interno vemos que o conjunto
- é um
- conjunto de vetores ortogonais no espaço vetorial
- . Provaremos isto em forma de teorema.
-
- é um conjunto de funções duas a duas ortogonais do espaço vetorial
- .
-
+
+
+
+ .
+
+
+
+
+
+ Prova
+
+ .
-
-
Prova.
-
- Para quaisquer
- , temos que
-
-
-
-
-
- já que o integrando é uma função ímpar.
-
-
- Se então
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- pois a função seno se anula para argumentos múltiplos inteiros de . Da mesma forma, ainda para ,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e isto termina a prova.
-
-
-
-
-
- Em relação ao conjunto
- do teorema anterior, é importante provar que o produto interno de uma destas
+
+
+
+ do teorema anterior, é importante provar que o produto interno de uma destas
funções com ela mesma não se anula. Faremos isto agora pois precisaremos destes resultados mais tarde. Usando as
- fórmulas para as integrais de seno e cosseno quadrado, obtidas na seção 4.2, temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- desde que . Se então claramente
-
-
-
-
-
-
-
- Da mesma forma temos que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- desde que . O caso fica
-
-
-
-
-
-
-
- Vamos agora obter as expressões para os coeficientes e , admitindo que a função possa ser escrita na
- forma da série (4.11), ou ainda,
-
-
-
-
-
-
- (4.12)
-
-
-
-
- Primeiramente vamos obter . Integrando (4.12) em , de a , obtemos
-
-
-
-
-
-
-
- Como o somatório acima converge uniformemente então podemos integrar termo a termo. Temos assim,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- já que as integrais trigonométricas do somatório se anulam. Temos portanto que
-
-
-
-
-
-
-
- Para obter cada um dos demais termos , para
- , tomamos o produto interno de (4.12) com
- a respectiva função
- . Temos então
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- De acordo com os resultados do teorema 4.6, as integrais do último membro se anulam todas, exceto a integral
- em cossenos quando
- . Segue que
-
-
-
-
-
- e, portanto,
-
-
-
-
-
- para todo
- .
-
-
- Analogamente obtemos cada um dos coeficientes , tomando o produto interno de (4.12) com a respectiva
- função
- . Temos então que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- De acordo com os resultados obtidos no teorema 4.6, as integrais do último membro se anulam todas, exceto a
- integral em senos quando
- . Temos assim,
-
-
-
-
-
-
-
- Segue que
-
-
-
-
-
- para
- .
-
-
- Desta forma temos que
-
-
-
-
-
-
- (4.13)
-
-
- para
-
-
-
-
-
- e
-
-
-
-
-
- desde que admita representação na forma da série (4.11). O ajuste
- em é só para
- padronizar a expressão dos para todo
- .
-
-
- Os coeficientes e obtidos pelas expressões acima são chamados de coeficientes de Fourier da função .
- A série em (4.13) é chamada de série de Fourier de . Muito cuidado neste momento. A série do lado direito de
- (4.13) simplesmente é definida como sendo a série de Fourier da função . Não falamos nada a respeito da
- série de Fourier de convergir para , aliás, admitimos esta convergência para calcular os coeficientes. Isto
- significa que garantir a igualdade (4.13) é um pouco mais complicado do que parece.
-
-
- Apresentamos agora um teorema que garante esta convergência. A demonstração pode ser encontrada em [3, Iorio]
- ou [2, Guidorizzi].
-
-
-
Teorema 4.7
- Seja
- uma função contínua, com derivada segunda contínua por partes e tal que
- . Então a
- série de Fourier de converge uniformemente para em . Isto é,
-
-
-
-
-
- para todo
- .
-
-
-
- A hipótese de que seja contínua é bastante forte. Na verdade, esta hipótese pode ser reduzida para uma hipótese de
+
+
+
+ .
+
+
+
+
+ A hipótese de que
+
+
+
+ seja contínua é bastante forte. Na verdade, esta hipótese pode ser reduzida para uma hipótese de
continuidade por partes. A hipótese de continuidade por partes da derivada segunda já garante isto. Neste caso, em cada
- ponto de continuidade de a série de Fourier de converge para e nos pontos de descontinuidade
- (descontinuidade tipo salto) a série de Fourier converge para o ponto médio dos limites laterais de . Este resultado
- pode ser encontrado também em [3, Iorio].
-
-
- Podemos também colocar o intervalo de interesse como sendo um intervalo da forma . Isto não é problema pois dada
- uma função definida no intervalo podemos construir uma extensão
- de a todo intervalo
- por
-
-
-
-
-
- e os coeficientes e de ficam também reduzidos a
-
-
-
-
-
- e
-
-
-
-
-
- que são na verdade coeficientes para restritos ao intervalo .
-
-
- Embora a série de Taylor desempenha um papel fundamental para a matemática aplicada, a série de Fourier apresenta
+
+
+
+
+
+ que são na verdade coeficientes para
+
+
+
+ restritos ao intervalo
+
+
+
+ .
+
+
+ Embora a série de Taylor desempenha um papel fundamental para a matemática aplicada, a série de Fourier apresenta
propriedades que a tornam mais adequada para certas aplicações. Dentre estas propriedades, um fato relevante é que os
- coeficientes da série de Taylor são os termos
- e então a função deve possuir derivadas
- de ordem contínuas no ponto . A série de Fourier não exige tanto. O teorema que apresentamos exige apenas
+
+
+
+ e então a função
+
+
+
+ deve possuir derivadas
+ de ordem
+
+
+
+ contínuas no ponto
+
+
+
+ . A série de Fourier não exige tanto. O teorema que apresentamos exige apenas
derivada segunda contínua por partes.
-
-
- Além disso, a série de Taylor é uma série com boa aproximação para a função nas proximidades do ponto . Quanto
- mais afastado do ponto mais coeficientes serão necessários para uma aproximação satisfatória. Já a série de
+
+
+ Além disso, a série de Taylor é uma série com boa aproximação para a função nas proximidades do ponto
+
+
+
+ . Quanto
+ mais afastado do ponto
+
+
+
+ mais coeficientes serão necessários para uma aproximação satisfatória. Já a série de
Fourier tem comportamento global. Isto significa que não é necessário aumentar o número de coeficientes quando se muda
- o ponto de interesse do intervalo .
-
-
- Uma aplicação prática do uso da série de Fourier é o armazenamento e transmissão de imagens. Consideremos que uma
+ o ponto de interesse do intervalo
+
+
+
+ .
+
+
+ Uma aplicação prática do uso da série de Fourier é o armazenamento e transmissão de imagens. Consideremos que uma
fotografia seja tirada em um telefone celular com câmera. A foto é composta de pontos coloridos. Supondo que a
- resolução da foto seja de
- , então a foto é um retângulo de 640 pontos de largura por 480 pontos de
+
+
+
+ , então a foto é um retângulo de 640 pontos de largura por 480 pontos de
altura. São portanto 307.200 pontos coloridos, dispostos em 640 colunas e 480 linhas.
-
-
- Para gravar esta foto, no sistema VGA, são armazenados 3 bytes de informações para cada um destes pontos. Estes bytes
+
+
+ Para gravar esta foto, no sistema VGA, são armazenados 3 bytes de informações para cada um destes pontos. Estes bytes
correspondem às intensidades de vermelho, verde e azul de cada ponto. São então 921.600 bytes que devem ser gravados,
isto sem contar outras informações, conhecidas como o cabeçalho da imagem. Cada byte armazena como informação um número
inteiro de 0 a 255.
-
-
- Vamos agora ver como a série de Fourier pode ajudar a economizar espaço para gravar esta figura.
-
-
- Se olharmos para cada uma das 480 linhas que compõem a figura temos que cada linha possui 640 pontos. São 640 bytes
+
+
+ Vamos agora ver como a série de Fourier pode ajudar a economizar espaço para gravar esta figura.
+
+
+ Se olharmos para cada uma das 480 linhas que compõem a figura temos que cada linha possui 640 pontos. São 640 bytes
armazenando as intensidades de vermelho, 640 armazenando as intensidades de verde e 640 as intensidades de azul, num
total de 1.920 bytes para cada uma das 480 linhas da figura. Se traçarmos um gráfico destes 640 valores para a
- intensidade de vermelho, podemos construir uma função que representa estas intensidades.
-
-
- A função será portanto uma função constante em cada um dos 640 subintervalos no qual foi dividido o intervalo
- .
-
-
-
-
Figura 4.3:
- Gráfico de uma cor de uma linha da figura.
-
-
-
-
-
-
-
- A função pode ainda ser reescalonada para que os valores estejam, digamos de 0 a 1, ao invéz de 0 a 255. O
+
+
+
+ .
+
+
+ Figura 4.3:
+
+ Gráfico de uma cor de uma linha da figura.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ A função pode ainda ser reescalonada para que os valores estejam, digamos de 0 a 1, ao invéz de 0 a 255. O
reescalonamento é para que os saltos da função sejam pequenos, diminuindo a oscilação da série de Fourier na passagem
de um segmento a outro.
-
-
- Feito isto, montamos a série de Fourier desta função . A série de Fourier de dará uma boa aproximação para a
- função . Tudo o que precisamos armazenar agora são os coeficientes de Fourier desta série. Exemplificaremos o
- processo considerando 21 coeficientes, sendo eles , e para
- . Como estes
+
+
+
+ . Como estes
coeficientes são números reais, então o armazenamento de cada um destes números ocupa 6 bytes, totalizando 126 bytes
para os 21 coeficientes de Fourier.
-
-
- Desta forma, ao invés de gastar 640 bytes para armazenar as intensidades de vermelho, podemos usar apenas 126 bytes.
+
+
+ Desta forma, ao invés de gastar 640 bytes para armazenar as intensidades de vermelho, podemos usar apenas 126 bytes.
Repetindo este processo para as intensidades de verde e de azul, temos o armazenamento de 378 bytes para cada linha da
figura, no lugar dos 1.920 bytes tradicionais.
-
-
- Aplicando isto a todas as 480 linhas da figura, temos um gasto de 181.440 bytes ao invés dos 921.600 tradicionais. Uma
+
+
+ Aplicando isto a todas as 480 linhas da figura, temos um gasto de 181.440 bytes ao invés dos 921.600 tradicionais. Uma
compactação de mais de 80%. Levemos ainda em conta que podem ser armazenados mais do que os 21 coeficientes que
citamos, ou menos. Gravando mais coeficientes implicará em uma maior qualidade da imagem, porém, menos economia de
espaço e menos coeficientes implicarão menor qualidade, porém, maior economia de espaço. Pode-se ainda trabalhar com
apenas os coeficientes da função seno ou somente com os coeficientes da função cosseno. O formato de imagens conhecido
como JPG ou JPEG é um sistema de compressão e armazenamento de imagens baseado em uma série de cossenos.
-
-
- O espaço necessário para gravar uma figura já não é um grande problema. Os atuais discos rígidos e os cartões de
+
+
+ O espaço necessário para gravar uma figura já não é um grande problema. Os atuais discos rígidos e os cartões de
memória para celulares e câmeras digitais já possuem uma capacidade de armazenamento bem expressiva, o que poderia até
dispensar uma compactação da imagem. Mas a transmissão das imagens é ainda um problema.
-
-
- Celulares com tecnologia GSM transmitem dados a uma taxa máxima de 9.600bps, isto é, 9.600 bits por segundo e isto
+
+
+ Celulares com tecnologia GSM transmitem dados a uma taxa máxima de 9.600bps, isto é, 9.600 bits por segundo e isto
significa 1.200 bytes por segundo (1byte = 8bits). A tecnologia GPRS possui na prática uma taxa de transmissão de dados
de até 40.200bps (em teoria até 171.200bps). A tecnologia EDGE transmite na prática até 384.000bps (em teoria até
473.600bps). A tecnologia 3G transmite até 7Mbps (Mega bits por segundo), isto é, 7.340.032 bits por segundo, ou
917.504 bytes por segundo.
-
-
- Uma imagem com 921.600 bytes necessita de 768 segundos, ou 12 minutos e 48 segundos para a transmissão via GSM. Já uma
+
+
+ Uma imagem com 921.600 bytes necessita de 768 segundos, ou 12 minutos e 48 segundos para a transmissão via GSM. Já uma
imagem de 181.440 bytes, compactada por série de Fourier, necessita de 152 segundos, ou 2 minutos e 32 segundos para a
transmissão. Isto conseguindo a taxa máxima de transmissão. Independentemente da tecnologia utilizada ou da taxa de
transmissão atingida, 921.600 bytes sempre necessitarão 5 vezes mais tempo para serem transmitidos do que 181.440
bytes.
-
-
- A evolução das tecnologias de celulares ajuda na redução do tempo de transmissão. Na contramão desta evolução, a
- resolução das imagens também evolui. Resoluções maiores como
- ou
- , significam que as
+
+
+
+ , significam que as
imagens possuem mais pontos e, consequentemente, exigem mais espaço para a gravação e mais tempo para a transmissão. A
compactação continua sendo importante neste processo pois diminui o tamanho e o tempo de transmissão das imagens,
quaisquer que sejam as tecnologias utilizadas para armazenamento e transmissão de dados.
-
-
-
-
-
- 4.5 Lançamento vertical e queda livre com resistência
-
-
-
- Nesta seção vamos estudar a velocidade de um objeto lançado verticalmente para cima, em determinado momento , a
- uma certa velocidade inicial . Quando este objeto atingir a altura máxima, ele começa a cair. Vamos também
+
+
+
+
+
+ 4.5 Lançamento vertical e queda livre com resistência
+
+
+
+ Nesta seção vamos estudar a velocidade de um objeto lançado verticalmente para cima, em determinado momento
+
+
+
+ , a
+ uma certa velocidade inicial
+
+
+
+ . Quando este objeto atingir a altura máxima, ele começa a cair. Vamos também
estudar esta velocidade de queda.
-
-
- Consideremos um sistema coordenado com apenas um eixo vertical, apontando para cima, cuja origem é o nível do solo.
- Designemos por o tempo, a posição (altura em relação ao solo) do objeto e a velocidade do objeto no
- instante .
-
-
- Supondo que este objeto seja então lançado para cima, ele está sujeito à ação da gravidade e também a uma força de
+
+
+ Consideremos um sistema coordenado com apenas um eixo vertical, apontando para cima, cuja origem é o nível do solo.
+ Designemos por
+
+
+
+ o tempo,
+
+
+
+ a posição (altura em relação ao solo) do objeto e
+
+
+
+ a velocidade do objeto no
+ instante
+
+
+
+ .
+
+
+ Supondo que este objeto seja então lançado para cima, ele está sujeito à ação da gravidade e também a uma força de
atrito com o ar. Em geral, forças de atrito são consideradas como sendo proporcionais a uma potência da velocidade.
Esta potência varia de acordo com a própria velocidade. Para problemas desta natureza a potência considerada é 2.
-
-
- A ação da gravidade resume-se na força peso , sendo a massa do objeto e a aceleração da gravidade. A
- força de atrito com o ar, é considerada como
- , sendo a constante de proporcionalidade que é
+
+
+
+ , sendo
+
+
+
+ a constante de proporcionalidade que é
dependente de alguns fatores como densidade do ar e a área da secção transversal frontal do objeto. O sinal negativo
das duas forças é decorrente do fato que são contrárias ao referencial, isto é, ambas apontam para baixo.
-
-
- Para um corpo qualquer, a constante de proporcionalidade é dada por
- , sendo que é a
- densidade do ar, é a área da secção transversal frontal exposta ao ar e é um coeficiente que depende da
+
+
+
+ , sendo que
+
+
+
+ é a
+ densidade do ar,
+
+
+
+ é a área da secção transversal frontal exposta ao ar e
+
+
+
+ é um coeficiente que depende da
forma do objeto. Embora a densidade do ar varie com a altura, para cálculos aproximados em baixa altitude, pode ser
- utilizado o valor ao nível do mar que é de
- .
-
-
- De acordo com a segunda lei de Newton, temos que , sendo a força resultante do sistema, que é a soma das
+
+
+
+ .
+
+
+ De acordo com a segunda lei de Newton, temos que
+
+
+
+ , sendo
+
+
+
+ a força resultante do sistema, que é a soma das
duas forças consideradas. Temos assim,
-
-
-
-
-
-
-
- A aceleração por sua vez é igual à derivada da velocidade em função do tempo e então temos
-
-
-
-
-
-
-
- Esta é uma equação diferencial não linear, sujeita a uma condição inicial
- . Resolver esta equação nos
- fornece que é a velocidade do objeto em função do tempo. Vamos obter esta solução. Reescrevemos a equação
+
+
+
+ . Resolver esta equação nos
+ fornece
+
+
+
+ que é a velocidade do objeto em função do tempo. Vamos obter esta solução. Reescrevemos a equação
diferencial na forma
-
-
-
-
-
- ou, ainda,
-
-
-
-
-
-
-
- Para simplificar, chamemos
- e integrando a equação anterior em , temos
-
-
-
-
-
- para algum
- , constante de integração.
-
-
- A integral do primeiro membro pode ser determinada por
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- donde segue que
-
-
-
-
-
- para alguma constante de integração . Usando a condição inicial
- , temos
-
-
-
-
-
-
-
- Temos portanto que a velocidade é dada implicitamente por
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Aplicando tangente em ambos os membros e usando a identidade da soma de arcos para a tangente, temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- (4.14)
-
-
- para qualquer .
-
-
- O movimento de ascendência do objeto é então dado em termos da função tangente. Sabemos que este movimento deve
- obrigatoriamente cessar na ausência de outras forças. Para ser mais preciso, observe que conforme cresce, a equação
- (4.14) nos diz que decresce. Como a função tangente vai para o infinito continuamente quando o argumento se
- aproxima de
- , então existe um tempo
- de forma que o numerador de (4.14) se anula.
-
-
- Este tempo , é o tempo em que o objeto atinge a velocidade
- e começa o movimento de queda livre,
- de volta ao solo. Colocando
- , podemos facilmente verificar que
-
-
-
-
-
-
-
- A altura que o objeto atinge, antes de começar a cair, também pode ser determinada. Como sabemos, a
- velocidade do objeto, é dada em termos da sua posição pela igualdade
-
-
-
-
-
- e portanto
-
-
-
-
-
- para alguma constante de integração . Substituindo temos
-
-
-
-
-
- e fazendo a mudança de variáveis
- , temos
- ,
+
+
+
+ ,
e assim
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Observe que nesta etapa, estamos considerando que
- . Nestes termos,
-
-
-
-
-
- e lembrando que
- , temos que
-
-
-
-
-
-
-
- Isto significa que
- e neste intervalo temos que
- . Podemos portanto descartar o
+
+
+
+ . Podemos portanto descartar o
módulo no logaritmo. Segue que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- para alguma constante de integração . Para determinar a constante , usamos a condição inicial
- , que
- nos fornece
- . Temos assim, que
- a altura do objeto em um determinado tempo com
- , é dada por
-
-
-
-
-
- sendo portanto a altura máxima que o objeto atinge
-
-
-
-
-
-
-
- Agora, vamos seguir o estudo quando . No instante , o objeto atinge a altura máxima e começa então o
+
+
+
+
+
+ Agora, vamos seguir o estudo quando
+
+
+
+ . No instante
+
+
+
+ , o objeto atinge a altura máxima e começa então o
movimento de descida do objeto conhecido como movimento de queda livre. O problema da queda livre pode ser totalmente
desvinculado do que esquematizamos até agora. Um objeto pode cair em queda livre sem ter sido necessariamente
arremessado para cima. Um exemplo disto é um paraquedista que salta de um avião.
-
-
- A equação de descida do objeto é um pouco diferente pois agora a força de atrito age no mesmo sentido do referencial. A
+
+
+ A equação de descida do objeto é um pouco diferente pois agora a força de atrito age no mesmo sentido do referencial. A
equação das forças é agora dada por
-
-
-
-
-
- e, portanto, a equação diferencial é dada por
-
-
-
-
-
-
- (4.15)
-
-
- sujeita à condição inicial
- . No caso do corpo ser arremessado verticalmente para cima, temos que
-
- . Por uma questão de simplicidade substituímos o termo
- por
- .
-
-
- Temos portanto um problema de valor inicial
-
-
-
-
-
-
-
- Reescrevendo a equação diferencial obtemos
-
-
-
-
-
- e integrando em , com a mudança de variáveis
- , temos
-
-
-
-
-
-
-
- De acordo com as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas (ver tabela 3.1)
- temos que a integral do último membro é igual a
- para
- , ou igual a
- se
- .
-
-
- Observemos que não há a possibilidade de que
- , em virtude de que a força de aceleração
- nunca se anula (a menos que não haja gravidade) e, portanto, o lado direito da igualdade (4.15) também nunca
+
+
+
+ , em virtude de que a força de aceleração
+
+
+
+ nunca se anula (a menos que não haja gravidade) e, portanto, o lado direito da igualdade (
+
+ 4.15
+
+ ) também nunca
se anula.
-
-
- Resta que ou
- ou
- . Isto será uma decorrência da velocidade inicial de
- queda . Se
- então esta desigualdade se mantem para todo e se
- então isto se mantem para todo .
-
-
- Para não sobrecarregar (ainda mais) o texto, vamos escolher uma das duas situações observadas acima. Para ficar
- consistente com início da seção, isto é, o arremesso vertical e o instante no qual
- ,
- escolhemos o caso em que
- . Assumindo esta condição, temos que
- e a
+
+
+
+ e a
solução da equação diferencial será dada implicitamente por
-
-
-
-
-
- e voltando à variável ,
-
-
-
-
-
-
-
- A constante , calculada pela condição inicial
- , é
-
-
-
-
-
- o que nos leva a
-
-
-
-
-
-
-
- Com o intuito de isolar a velocidade , reescrevemos a igualdade na forma
-
-
-
-
-
- e aplicamos tangente hiperbólica em ambos os membros, obtendo
-
-
-
-
-
-
-
- A velocidade de queda do objeto é dada portanto em termos da função tangente hiperbólica. Vamos analisar o
- comportamento da velocidade quando
- . Observe que na prática não podemos considerar
- ,
+
+
+
+ ,
porque certamente o objeto atinge o solo em um tempo finito. Mas esta análise nos trará boas ideias sobre a velocidade
terminal, isto é, a velocidade aproximada com que o objeto atinge o solo.
-
-
- Lembremos que
- , quando
- (Ver seção 2.3). Assim, quando
- , temos
-
-
-
-
-
- donde
- . O sinal negativo decorre do fato de que a velocidade do objeto
+
+
+
+ . O sinal negativo decorre do fato de que a velocidade do objeto
é um vetor que aponta em sentido contrário ao referencial escolhido.
-
-
- Supondo que o objeto em questão fosse um paraquedista com paraquedas aberto, temos que a velocidade terminal do
- paraquedista (em módulo) é
- , sendo
- o peso do paraquedista, a densidade do ar e a área do paraquedas.
-
-
- Vemos então que quanto maior for o peso do paraquedista, maior a velocidade terminal. Também, quanto maiores forem a
+
+
+
+ , sendo
+
+
+
+ o peso do paraquedista,
+
+
+
+ a densidade do ar e
+
+
+
+ a área do paraquedas.
+
+
+ Vemos então que quanto maior for o peso do paraquedista, maior a velocidade terminal. Também, quanto maiores forem a
área do paraquedas ou a densidade do ar, menor a velocidade terminal.
-
-
- Podemos também determinar o tempo que o objeto leva para atingir o solo novamente. Este tempo é exatamente o
- tempo em que
- . O problema momentâneo é que não temos ainda uma identidade para a posição do objeto,
+
+
+
+ . O problema momentâneo é que não temos ainda uma identidade para a posição
+
+
+
+ do objeto,
no momento de queda. Vamos determinar esta igualdade. Como feito anteriormente
-
-
-
-
-
- para alguma constante de integração , que será determinada pela condição inicial
- a altura em que o
- objeto foi solto em queda livre no instante . No caso de o objeto ter sido arremessado verticalmente, então
- lembremos que esta condição será
- .
-
-
- Substituindo na equação integral, temos
-
-
-
-
-
- e fazendo a mudança de variáveis
- , temos
- e, assim,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Substituindo a condição
- , temos
-
-
-
-
-
- e, assim,
-
-
-
-
-
-
-
- Reorganizando temos que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e calculando o tempo , para que
- , temos
-
-
-
-
+
-
-
-
- Para finalizar, observamos que se tivéssemos escolhido
- , então a velocidade seria dada por
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e sabendo que
- quando
- , ainda teríamos
-
- quando
- .
-
-
-
-
-
- 4.6 O pêndulo simples
-
-
-
- Um pêndulo consiste de um objeto de massa preso a um suporte horizontal rígido por um fio de comprimento . O fio
+
+
+
+ .
+
+
+
+
+
+ 4.6 O pêndulo simples
+
+
+
+ Um pêndulo consiste de um objeto de massa
+
+
+
+ preso a um suporte horizontal rígido por um fio de comprimento
+
+
+
+ . O fio
é considerado rígido, inextensível e com massa desprezível. Este objeto é solto de uma posição inicial, onde o fio faz
- um ângulo
- com a perpendicular e começa a oscilar em movimento de vai-e-vem. Vamos considerar que
-
- .
-
-
- Uma vez solto o pêndulo, o ângulo que o fio faz com a perpendicular, varia com o tempo. Nestes termos
- é uma função da variável temporal , isto é,
- e, além disso,
- .
- A situação pode ser visualizada na figura 4.4.
-
-
-
-
Figura 4.4:
- Pêndulo simples.
-
-
-
-
-
-
-
- O movimento do objeto se dá em um plano bidimensional e descreve neste plano uma trajetória circular. Fixemos um
+
+
+
+ .
+ A situação pode ser visualizada na figura
+
+ 4.4
+
+ .
+
+ O movimento do objeto se dá em um plano bidimensional e descreve neste plano uma trajetória circular. Fixemos um
sistema coordenado bidimensional nas coordenadas tangencial e radial ao movimento circular. Isto é, um dos eixos é
tangente à trajetória circular enquanto o outro eixo é normal (perpendicular) à trajetória circular.
-
-
- Sobre este objeto agem a força peso , a força de tensão com a haste e uma força de atrito
+
+
+ Sobre este objeto agem a força peso
+
+
+
+ , a força
+
+
+
+ de tensão com a haste e uma força
+
+
+
+ de atrito
(ou resistência do ar).
-
-
- A força peso é decomposta, em termos do ângulo que a haste faz com a vertical, nas componentes tangencial e radial como
-
- , sendo a massa do objeto e a aceleração gravitacional.
-
-
- A força de tensão com a haste é decomposta como
- sendo o módulo da força de tensão na componente
+
+
+
+ sendo
+
+
+
+ o módulo da força de tensão na componente
radial. A primeira coordenada é nula pois não há força de tensão com a haste no sentido tangencial.
-
-
- Como a velocidade do pêndulo é pequena, a força de atrito é considerada como sendo proporcional à velocidade
- , isto é,
- , para uma constante de proporcionalidade . O sinal negativo é consequência de que
+
+
+
+ , para uma constante de proporcionalidade
+
+
+
+ . O sinal negativo é consequência de que
a força de atrito age no sentido contrário à velocidade. A segunda componente é nula pois a resistência não afeta o
movimento radial. Na verdade, como a haste é considerada inextensível, não há movimento radial. A velocidade ainda deve
- ser dada em termos do deslocamento circular, isto é,
- .
-
-
- Como vimos na seção anterior,
- , em que é a densidade do ar, a área frontal do
- objeto e um coeficiente que depende da forma do objeto. Para objetos esféricos considera-se
- .
-
-
- De acordo com a segunda lei de Newton, temos
- , sendo que é a força resultante do sistema.
- A aceleração deve ser considerada somente na componente tangencial, em termos do deslocamento circular
- . Isto é,
- .
-
-
- Assim, temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Igualando cada uma das componentes temos que
-
-
-
-
-
-
- (4.16)
-
-
-
-
- (4.17)
-
-
- sendo que
- . Este sistema está sujeito às condições iniciais em , dadas por
-
- o ângulo inicial em que o pêndulo é solto e
- a velocidade inicial
- do pêndulo. Se o pêndulo for solto do repouso, então naturalmente
- .
-
-
- A equação (4.16) é uma equação diferencial não linear na variável
- . Garantir a existência
+
+
+
+ . Garantir a existência
de uma solução pode ser complicado e mais complicado ainda talvez seja encontrar esta solução. Modificações podem ser
- feitas na equação (4.16) a fim de facilitar a determinação de uma solução. Vamos estudar agora o caso em que a
+ feitas na equação (
+
+ 4.16
+
+ ) a fim de facilitar a determinação de uma solução. Vamos estudar agora o caso em que a
equação é liearizada, pois equações diferenciais lineares são mais fáceis de se obter solução. Vamos considerar então
- que o pêndulo oscile com variações pequenas do ângulo . O limite (ver proposição 1.6),
-
-
-
-
-
- sugere que para valores pequenos do argumento , o numerador e o denominador são valores muito próximos. Podemos
- traduzir isto escrevendo
- para valores pequenos de . Para se ter uma ideia desta
- aproximação, o erro cometido ao aproximar
- por para um ângulo de
- , é menor que um
+
+
+
+ , é menor que um
milésimo.
-
-
- Nesta abordagem, o termo não linear
- é substituído por e a equação (4.16) torna-se
-
-
-
-
-
-
- (4.18)
-
-
- que agora é uma equação diferencial linear. Esta equação diferencial possui soluções baseadas nas raízes da equação do
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (
+
+ 4
+
+ .
+
+ 18
+
+ )
+
+
+
+
+
+
+ que agora é uma equação diferencial linear. Esta equação diferencial possui soluções baseadas nas raízes da equação do
segundo grau,
-
-
-
-
-
- chamada de equação auxiliar. A respeito destas raízes, temos três casos a considerar.
-
-
- Caso 1. Se
- então a equação auxiliar possui duas raízes reais
+
+
+
+ então a equação auxiliar possui duas raízes reais
distintas
-
-
- para e constantes a serem determinadas pelas condições iniciais
- e
- .
-
-
- Mas note que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e, portanto, o movimento angular do pêndulo decai a zero exponencialmente. Isto deve-se a um valor elevado da constante
- de proporcionalidade
- . Valor alto o suficiente para tornar
- .
- Observemos que se a densidade , do meio em que o pêndulo estiver imerso for alta, então esta situação é atingida.
-
-
- Neste caso, se o pêndulo passar pela solução de equilíbrio
- , isto somente poderá ocorrer uma vez,
+
+
+
+ , isto somente poderá ocorrer uma vez,
exatamente no ponto
-
-
-
-
-
- e somente se e possuírem sinais contrários.
-
-
- Caso 2. Se
- , então a única raiz real da equação auxiliar é,
-
-
-
-
-
- e, neste caso, a solução de (4.18) é dada por
-
-
-
-
-
- para e constantes que satisfarão as condições iniciais
- e
- .
-
-
- Observe que ainda temos que a solução vai para zero quando
- . Também a solução passa uma única vez pela
+
+
+
+ . Também a solução passa uma única vez pela
solução de equilíbrio, exatamente em
-
-
-
-
-
- também para e com sinais contrários (pois ).
-
-
- Caso 3. Se
- então as raízes da equação auxiliar são os
+
+
+
+ então as raízes da equação auxiliar são os
números complexos conjugados
-
-
-
-
-
- e então a solução da equação diferencial (4.18) toma a forma (que mais nos interessa)
-
-
-
-
-
- com
- e e constantes que satisfazem as condições
- iniciais
- e
- .
-
-
- Observe que agora temos um movimento oscilatório. Mesmo assim, a presença da exponencial com potência negativa nos diz
- que o movimento tende a zero quando
- . Porém agora o valor da constante de proporcionalidade é pequeno.
- Para ser mais preciso,
- . Isto significa que a convergência para zero se dá de forma mais
+
+
+
+ . Isto significa que a convergência para zero se dá de forma mais
lenta, permitindo algum tempo de oscilação, antes do pêndulo parar. Esta parada ocorre na prática, mas teoricamente o
pêndulo oscila para sempre com oscilação muito pequena.
-
-
- Para finalizar esta seção observe que a equação (4.17) não foi utilizada até agora. Em verdade ela é útil para
- calcular a força de tração , exercida pelo fio sobre o objeto, depois que tivermos determinado uma expressão para
- .
-
-
-
-
-
- 4.7 Sistema massa-mola
-
-
-
- Vamos considerar que uma mola extensível, de comprimento em repouso, esteja presa verticalmente a um suporte
- rígido. Prendemos então um objeto de massa à extremidade livre da mola. Isto provocará uma distensão da mola, para
- um ponto de equilíbrio, por unidades de comprimento.
-
-
- Parece natural que se deslocarmos a massa e a soltarmos, esta massa oscilará em movimento de sobe e desce. Queremos
+
+
+ Para finalizar esta seção observe que a equação (
+
+ 4.17
+
+ ) não foi utilizada até agora. Em verdade ela é útil para
+ calcular a força de tração
+
+
+
+ , exercida pelo fio sobre o objeto, depois que tivermos determinado uma expressão para
+
+
+
+ .
+
+
+
+
+
+ 4.7 Sistema massa-mola
+
+
+
+ Vamos considerar que uma mola extensível, de comprimento
+
+
+
+ em repouso, esteja presa verticalmente a um suporte
+ rígido. Prendemos então um objeto de massa
+
+
+
+ à extremidade livre da mola. Isto provocará uma distensão da mola, para
+ um ponto de equilíbrio, por
+
+
+
+ unidades de comprimento.
+
+
+ Parece natural que se deslocarmos a massa
+
+
+
+ e a soltarmos, esta massa oscilará em movimento de sobe e desce. Queremos
um modelo para determinar a sua posição com o tempo. Para equacionar o problema, fixemos um sistema coordenado (só
- precisaremos da componente vertical) cuja origem está no ponto que dista do suporte rígido e cresce no
+ precisaremos da componente vertical) cuja origem está no ponto que dista
+
+
+
+ do suporte rígido e cresce no
sentido do suporte.
-
-
- Designemos a posição do objeto no instante , ou mais precisamente, a posição da extremidade da mola no
- instante . Note então que a distância entre o objeto e o suporte rígido, no instante é
-
-
-
-
-
-
-
- De acordo com o nosso referencial duas forças unidimensionais atuam sobre o objeto. A força peso e a força de
- tração da mola , ambas com mesma direção (vertical) e sentidos contrários.
-
-
- O peso , considerado negativo por estar em sentido contrário ao eixo fixado, é dado por . A força de
- tração é dada pela lei de Hooke. A lei de Hooke diz que a força de tração da mola é proporcional à distensão
- causada pela massa. Isto é, sendo a constante de proporcionalidade, conhecida como constante de
+
+
+
+
+
+ De acordo com o nosso referencial duas forças unidimensionais atuam sobre o objeto. A força peso
+
+
+
+ e a força de
+ tração da mola
+
+
+
+ , ambas com mesma direção (vertical) e sentidos contrários.
+
+
+ O peso
+
+
+
+ , considerado negativo por estar em sentido contrário ao eixo fixado, é dado por
+
+
+
+ . A força de
+ tração
+
+
+
+ é dada pela lei de Hooke. A lei de Hooke diz que a força de tração da mola é proporcional à distensão
+ causada pela massa. Isto é,
+
+
+
+ sendo
+
+
+
+ a constante de proporcionalidade, conhecida como constante de
elasticidade da mola, que depende do material que a mola é composta.
-
-
- Agora note que, como o sistema está em equilíbrio, a força resultante é nula. Isto é,
- , o que nos leva a
-
-
-
-
-
-
-
- Desloquemos a massa por uma quantidade e deixamos o sistema livre para se movimentar. Agora a força de tensão
- depende também da posição do corpo. Temos assim,
-
-
-
-
-
- pois a distenção da mola agora é . De acordo com a segunda lei de Newton temos
- . Segue que
-
-
-
-
-
- e, portanto, a equação que descreve o movimento do corpo é
-
-
-
-
-
-
-
- Como a aceleração é a derivada segunda do movimento , então a equação diferencial
-
-
-
-
-
- modela o movimento da massa com o passar do tempo. Ainda temos as condições iniciais
-
-
-
- e
-
- que siginificam respectivamente a posição inicial e a velocidade inicial (zero se o sistema é solto do repouso).
-
-
- Temos então o Problema de Valor Inicial,
-
-
-
-
-
-
- (4.19)
-
-
-
-
- Esta equação diferencial é uma equação linear homogênea de ordem 2. Podemos verificar que a função dada por
-
-
-
-
-
- com
- e e são números reais quaisquer, é uma solução para a equação
- diferencial. Observe que o movimento é oscilatório em termos de senos e cossenos. As constantes e podem
- ser determinadas substituindo-se as duas condições
- e
- . Temos assim,
-
-
-
-
-
- donde a solução é
-
-
-
-
-
-
-
- Observe que para conhecer esta equação completamente ainda é necessário conhecer e, para isso, precisamos do
- valor da constante da mola . Este valor pode ser determinado medindo-se o deslocamento causado pela massa ,
- pois como vimos , ou ainda,
- , onde é o peso do objeto (o módulo da força
- peso ).
-
-
- Este modelo pode ser complicado um pouco mais. Para ser mais preciso, este modelo é muito simples, pois supõe condições
+
+
+
+ , onde
+
+
+
+ é o peso do objeto (o módulo da força
+ peso
+
+
+
+ ).
+
+
+ Este modelo pode ser complicado um pouco mais. Para ser mais preciso, este modelo é muito simples, pois supõe condições
que na prática são irreais. As únicas forças consideradas são a força peso e a força de tração da mola e isto supõe a
ausência de outras forças externas, como por exemplo, a resitência do ar. Este modelo precisa então de vácuo perfeito.
Por este motivo, o sistema acima é dito sistema do movimento livre não amortecido.
-
-
- Um exemplo de complicação do problema é considerar que a mola “envelhece”. Em outras palavras, considerar que a
- constante da mola, seja variável com o tempo. Fisicamente isto significa que a mola perde suas propriedades
+
+
+ Um exemplo de complicação do problema é considerar que a mola “envelhece”. Em outras palavras, considerar que a
+ constante
+
+
+
+ da mola, seja variável com o tempo. Fisicamente isto significa que a mola perde suas propriedades
iniciais de deformação com o passar do tempo.
-
-
- Poderíamos considerar a função de elasticidade da mola seja dada por
- com e
- . Temos
- então uma equação diferencial dada por
- . Outra função de elasticidade da mola que
- poderíamos considerar é
- para e então a equação diferencial se torna
- .
+
+
+
+ .
Em ambos os casos temos equações diferenciais de ordem 2 com coeficientes variáveis e isto dificulta muito a obtenção
de uma solução analítica.
-
-
- Outra complicação que podemos causar, que não dificulta determinar uma solução, é considerar que o corpo oscile imerso
+
+
+ Outra complicação que podemos causar, que não dificulta determinar uma solução, é considerar que o corpo oscile imerso
em algum fluido, como ar, água, óleo, entre outros. Isto obrigará a consideração de alguma força externa de atrito
agindo sobre o sistema.
-
-
- Em geral, uma força de atrito é considerada como sendo proporcional a uma potência da velocidade. Como a velocidade de
- oscilação da massa é relativamente pequena, em geral a potência considerada é 1, isto é, a força de atrito é
- proporcional à velocidade .
-
-
- Nestes termos, consideremos
-
-
-
-
-
- para
- . O sinal negativo é decorrência de que a força de amortecimento é contrária à velocidade. Assim, a
- força resultante é
-
-
-
-
-
- e temos
-
-
-
-
-
-
-
- Lembrando que a aceleração é a derivada segunda da posição (
- ) e que a velocidade é a derivada primeira
- da posição (
- ), então vem a equação diferencial
-
-
-
-
-
-
- (4.20)
-
-
- sujeita às condições iniciais
- (posição inicial) e
- (velocidade inicial).
-
-
- A solução desta equação agora depende agora das raízes da equação auxiliar quadrática,
-
-
-
-
-
- e, portanto, do comportamento de
- . Temos três casos a considerar.
-
-
- Caso 1. Se
- então podemos verificar que a função dada por
-
-
-
-
-
- com
-
-
-
- e
-
- é solução da equação diferencial (4.20) para quaisquer constantes reais e .
-
-
- Observe que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e isto garante que, independentemente das constantes e , ou da posição inicial e da velocidade inicial,
- a solução do sistema tende a zero exponencialmente quando
- . De outra forma,
-
-
-
-
-
-
-
- Isto significa que o movimento do corpo tende a cessar exponencialmente. É uma consequência imediata de uma constante
- de amortecimento muito grande. Grande o suficiente para garantir que
- . Neste caso
+
+
+
+ . Neste caso
dizemos que o sistema é super amortecido.
-
-
- Caso 2. Se
- então podemos verificar que a função
-
-
-
-
-
- é solução da equação diferencial (4.20) para e constantes reais e
-
- a única raiz real da equação auxiliar.
-
-
- Note que ainda temos e, portanto, a solução ainda decai (exponencialmente) para zero quando
- . Este
+
+
+
+ . Este
sistema é dito criticamente amortecido, pois ainda é amortecido, mas qualquer decréscimo na constante de amortecimento
- , o movimento se tornará oscilatório.
-
-
- Caso 3. Se
- então temos que a função
-
-
-
-
-
- com
- , é solução da equação diferencial (4.20) para e
- constantes reais quaisquer. Observe que mesmo sendo um movimento oscilatório, o termo
-
- tende a zero quando
- . Isto significa que este movimento oscilatório ainda
+
+
+
+ . Isto significa que este movimento oscilatório ainda
tende a diminuir e cessar com o tempo. Porém isto ocorrerá de forma mais lenta permitindo algum tempo de oscilação do
corpo antes da parada.
-
-
- Este tempo de oscilação naturalmente depende de que é a constante de proporcionalidade da força de atrito.
- Quanto menor o valor de mais tempo de oscilação antes de o corpo parar. Esta parada ocorre na prática, mas
- lembremos que teoricamente a oscilação ocorre para todo .
-
+
+
+ Este tempo de oscilação naturalmente depende de
+
+
+
+ que é a constante de proporcionalidade da força de atrito.
+ Quanto menor o valor de
+
+
+
+ mais tempo de oscilação antes de o corpo parar. Esta parada ocorre na prática, mas
+ lembremos que teoricamente a oscilação ocorre para todo
+
+
+
+ .
+
- Observando o triângulo da figura anterior e sendo o ângulo , temos as seis relações trigonométricas associadas a este ângulo , dadas por
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e chamadas respectivamente de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de . É comum ainda representar a cossecante do ângulo por
- e a tangente de por
- . A notação
- é a notação padrão para a tangente no sistema de medida estadunidense e, por isso, muitas calculadoras usam essa notação.
-
-
- Podemos pensar que à medida que o ângulo varia, variam também as razões entre os lados desse triângulo e, consequentemente, variam as relações trigonométricas associadas ao ângulo . Dessa forma, podemos pensar que as relações trigonométricas são dadas em função do ângulo .
-
-
- Observemos que é imediato dessas definições que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Queremos então construir as funções trigonométricas, que a cada ângulo associam o seno, o cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de . Temos alguns problemas nesse sentido. Primeiro quando pensamos em função, pensamos em domínio, imagem, gráfico da função entre outras propriedades. Um dos problemas é que o sistema cartesiano, utilizado para representar graficamente uma função, possui uma escala de medida baseada no comprimento. Por outro lado, um ângulo é tradicionalmente medido em graus. Precisamos utilizar um sistema de medida de ângulos compatível com o sistema cartesiano. Além disso, a trigonometria em um triângulo retângulo somente pode levar em conta ângulos de amplitude entre 0 e 90 graus (exluindo-se esses dois) e, no caso de funções, queremos estender ao máximo o domínio de definição, pretendendo, inclusive, calcular o valor das seis razões trigonométricas quando possui uma medida negativa.
-
-
- Vamos construir então o aparato compatível para o desenvolvimento dos nossos estudos.
-
-
- A trigonometria circular é construída sobre uma circunferência unitária, isto é, de raio 1, centrada na origem, cuja equação é
- . Essa circunferência é chamada de circunferência trigonométrica, ou círculo trigonométrico.
-
O ponto é a origem de quaisquer arcos a serem marcados na circunferência.
-
-
-
A cada ponto da circunferência, correspondem um arco e um ângulo associado , marcado no sentido anti-horário, ao qual é atribuída uma medida positiva.
-
-
-
A cada ponto da circunferência, correspondem também um arco e um ângulo associado , marcado no sentido horário, ao qual é atribuída uma medida negativa.
-
-
-
- A medida que atribuiremos a esse ângulo é baseada em algum dos sistemas de medidas de ângulos conhecidos. São três os sistemas de medidas de ângulo mais difundidos: graus, grados e radianos.
-
-
- O sistema grado é o menos utilizado e consiste em dividir a circunferência trigonométrica em 400 partes iguais, cada fração chamada de 1 grado. É um sistema baseado em escala decimal. Os eixos coordenados dividem portanto a circunferência em 4 partes cada uma com medida 100 grados.
-
-
- O sistema grau é bastante conhecido dos estudantes de ensino médio e fundamental. Consiste em dividir a circunferência trigonométrica em 360 partes iguais, cada uma dessas partes chamada de 1 grau. Os eixos coordenados dividem então a circunferência em 4 partes iguais de medida 90 graus cada uma.
-
-
- Relata-se que o sistema grau surgiu por volta de 4000 a.C. com os egípcios. Eles desejavam construir um calendário e, para isso, criaram um círculo com marcas onde poderiam contar os dias do ano. Quando um ano se passasse, a contagem deveria voltar ao ponto de partida, para o início de uma nova contagem. Naquela época, acreditavam que o Sol é que girava em torno da Terra e acreditavam que esta volta completa durava 360 dias. Então construíram uma circunferência dividida em 360 partes iguais e a cada dia que se passava, o marcador avançava
- da circunferência.
+
+
+
+ da circunferência.
Algumas destas informações foram atualizadas com o tempo. Hoje sabe-se com mais precisão o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa em torno do Sol, mas a divisão da circunferência em 360 partes iguais já havia sido consolidada.
-
-
- O sistema radiano é o mais adequado para o nosso estudo. Como sabemos, o comprimento de uma
- circunferência é calculado por , sendo o raio da circunferência. Isto significa que a circunferência trigonométrica possui comprimento igual a . Os eixos coordenados dividem portanto essa circunferência em 4 arcos, de comprimento
- cada um. A cada ponto da circunferência, a medida do arco será exatamente a medida do seu comprimento, considerada negativa, se o arco estiver marcado no sentido horário.
-
-
- Dessa forma, a cada ponto sobre a circunferência está associado um arco e para este arco, um ângulo de medida positiva e um ângulo de medida negativa. Queremos agora a partir de uma medida, positiva ou negativa, determinar um ponto cujo arco e cujo ângulo estejam associados a esta medida.
-
-
- A cada número real
- está associado um ponto da circunferência de forma que o arco , marcado no sentido anti-horário, mede unidades de comprimento. A partir do número real , digamos
- , ainda podemos marcar o ponto na circunferência, no sentido anti-horário, porém, o comprimento do arco é .
-
-
- Convencionamos então que a cada número real está associado um ponto da circunferência, de forma que o comprimento do arco , marcado no sentido anti-horário, mede para algum
- com . Mais precisamente, satisfaz
- . Em outras palavras, a medida do arco é igual a descontando-se voltas completas na circunferência.
-
-
- Admitindo convenções similares para a marcação de arcos no sentido horário, temos que a cada número real negativo, corresponde um único ponto na circunferência de forma que o arco mede para algum
- com . Em outras palavras, a medida do arco é igual a adicionando-se voltas completas na circunferência.
-
-
-
-
-
-
Figura 1.3:
- Ângulos positivo e negativo.
-
-
-
-
-
-
-
- Dessa forma, temos que a cada
- , também chamado ângulo radiano , corresponde um ponto na circunferência de modo que o arco mede
- para
- que satisfaz
- . Desse ponto em diante, escreveremos simplesmente que o ponto , ou que o arco , está associado ao ângulo radiano , ou ainda que o arco ou o ângulo mede radianos.
-
-
- Note que, se
- então a área do setor circular é igual a
- unidades de área. Dado um ângulo radiano
- , seja o ponto sobre a circunferência tal que tem medida . O ponto possui, no sistema cartesiano prefixado, duas coordenadas . O seno de é definido como sendo a ordenada do
- ponto , isto é,
-
-
-
-
-
- ordenada de
-
- e o cosseno de é definido como sendo a absissa do ponto , isto é,
-
-
- absissa de
-
-
-
- Outra forma de ver isto, é traçarmos pelo ponto a perpendicular ao eixo e a perpendicular ao eixo . O seno do ângulo é então o comprimento do segmento orientado (ou ) com relação ao eixo . Se o segmento tiver sentido contrário ao eixo , entenderemos seu comprimento como negativo. O cosseno do ângulo é igual ao comprimento do segmento orientado (ou ) com relação ao eixo . Se o segmento estiver orientado contrariamente ao eixo entenderemos o comprimento como sendo negativo.
-
- Outras quatro razões trigonométricas chamadas respectivamente de tangente, cotangente, secante e cossecante, são definidas por
-
-
-
-
-
- e
-
-
-
- Naturalmente, a observação destas razões no triângulo retângulo, acarreta que as razões sejam sempre números positivos. A definição sobre a circunferência trigonométrica estende estes conceitos. Mas também traz alguns problemas. Por exemplo, a abscissa ou a ordenada do ponto podem ser nulas, o que acarreta seno ou cosseno de igual a zero. Algumas das razões acima não estarão definidas nesses casos.
-
-
- Dados dois ângulos radianos, de medidas e , consideremos os pontos e sobre a circunferência,
- associados aos ângulos radianos e respectivamente. Os pontos e estão sobre a circunferência e são simétricos um do outro em relação ao eixo .
-
- Note que as coordenadas do ponto são então
- e, como o ponto está sobre a circunferência, suas coordenadas devem satisfazer a equação da circunferência
- . Temos então
-
-
-
-
-
-
- (1.3)
-
-
- que é conhecida como a relação fundamental da trigonometria (circular).
-
-
- Assim como no caso de seno e cosseno, podemos também fazer uma visualização geométrica das outras quatro funções trigonométricas.
-
-
- Consideremos, no círculo trigonométrico, a reta paralela ao eixo e que passa pelo ponto e a reta paralela ao eixo e que passa pelo ponto . São duas retas tangentes à circunferência
- trigonométrica. Dado um ângulo radiano representado pelo arco , prolongamos o segmento até que ele
- intercepte as retas e respectivamente nos pontos e . A tangente do ângulo é o comprimento do
- segmento orientado com relação ao eixo . A cotangente de é igual ao comprimento do segmento orientado , com relação ao eixo .
-
- Nestes termos, notemos que os triângulos e são semelhantes e, portanto,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Também o triângulo é semelhante ao triângulo e, dessa semelhança, temos que
-
-
-
-
-
- e isso significa que as coordenadas de e são
- e
- .
-
-
- Note que se
- para
- , então o ponto coincidirá com ou e então o prolongamento do segmento não intercepta a reta e nesses casos, não está definida a tangente de . Isso pode também ser observado na expressão
- , pois nos pontos mencionados, temos um denominador nulo. O mesmo ocorre com
- nos casos em que
- , pois nesses pontos,
- .
-
-
- Considerando ainda o ângulo , determinado pelo arco , traçamos pelo ponto a reta , tangente a
- circunferência trigonométrica que passa pelo ponto . Essa reta corta os eixos e nos pontos que chamaremos, respectivamente e . A secante do ângulo (denotada por ) é igual ao comprimento do segmento orientado , com relação ao eixo e a cossecante de (denotada por ) é igual ao comprimento do segmento orientado , com relação ao eixo .
-
-
-
-
-
-
-
Figura 1.7:
- Secante e cossecante de um ângulo.
-
-
-
-
-
-
-
- Vemos na figura anterior, que os triângulos e são semelhantes e dessa semelhança vem
-
-
-
-
-
-
-
- Também os triângulos e são semelhantes e, portanto,
-
-
-
-
-
- e isso significa que as coordenadas dos pontos e são,
- e
- .
-
-
- Note ainda que se
- para
- , então como antes, coincidirá com ou
- e a reta tangente à circunferência que passa por será paralela ao eixo e não existirá a secante de . Lembre-se que nestes pontos
- . Também se
- , não existirá pelo mesmo motivo. Nesses pontos
- .
-
-
- O que queremos agora é deduzir as fórmulas de soma de arcos para o seno e o cosseno. Consideremos dois ângulos radianos e . O ângulo radiano fica determinado pelo arco e o ângulo radiano fica denotado pelo arco .
-
-
-
-
Figura 1.8:
- Ângulos e .
-
-
-
-
-
-
-
- Baixamos pelo ponto a perpendicular ao segmento . Essa perpendicular cruza o eixo em um ponto que
- chamaremos de . Vamos rotacionar o ângulo de forma que o segmento coincida com o segmento .
- Temos então esquema da figura 1.9.
-
-
-
-
Figura 1.9:
- Ângulos e reposicionados.
-
-
-
-
-
-
-
- Nesses termos, o arco está agora ascociado ao ângulo . Lembremos também que o novo triângulo é retângulo em e ainda valem as relações
-
-
-
- e
-
-
-
- Pelo ponto baixamos a perpendicular ao eixo que cruza esse eixo no ponto . Pelo ponto também baixamos a perpendicular ao eixo que cruza esse eixo no ponto . Pelo ponto , baixamos a perpendicular ao segmento , que cruza esse segmento em um ponto que chamaremos de e a perpendicular ao eixo que cruza esse eixo em um ponto que chamaremos .
-
-
-
-
-
Figura 1.10:
- Relações nos ângulos e .
-
-
-
-
-
-
-
- Temos então
-
-
-
- e
-
- e também,
-
-
-
- e
-
-
-
- Com base na figura, vemos que os triângulos retângulos e são semelhantes e, portanto, valem as igualdades
-
-
-
- e
-
-
-
- Notemos agora que o triângulo retângulo é também semelhante ao triângulo retângulo . Para mostrar isso, mostraremos que o ângulo tem a mesma medida do ângulo . De fato, o segmento é paralelo ao eixo e então os ângulos alternos internos e possuem a mesma medida.
-
-
- Então,
-
-
-
-
-
- e, portanto,
-
-
-
-
-
-
- donde os triângulos retângulos e são semelhantes. Levando em conta a primeira semelhança (entre e ), são semelhantes os triângulos retângulos e . Dessa última semelhança e, sabendo que , temos
-
- As fórmulas, (1.4) e (1.5), juntamente com as fórmulas (1.1), (1.2) e (1.3) são as cinco principais fórmulas da trigonometria circular. Com essas fórmulas, podemos obter outras fórmulas conhecidas, tais como as fórmulas de duplicação de arcos,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e as fórmulas de diferença de arcos,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-e
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Ainda como exemplo, vamos obter outras identidades trigonométricas. São de fácil demonstração e somente estamos
+
+ As fórmulas, (
+
+ 1.4
+
+ ) e (
+
+ 1.5
+
+ ), juntamente com as fórmulas (
+
+ 1.1
+
+ ), (
+
+ 1.2
+
+ ) e (
+
+ 1.3
+
+ ) são as cinco principais fórmulas da trigonometria circular. Com essas fórmulas, podemos obter outras fórmulas conhecidas, tais como as fórmulas de duplicação de arcos,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ e
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ e as fórmulas de diferença de arcos,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ e
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ Ainda como exemplo, vamos obter outras identidades trigonométricas. São de fácil demonstração e somente estamos
explicitando por motivos de referência futura. Para ser mais preciso, essas identidades serão úteis na seção
- 1.7.
-
-
-
Proposição 1.1
- Valem as seguintes identidades trigonométricas circulares
-
-
Para todos e tais que
- ,
-
-
-
-
-
-
- (1.6)
-
-
-
-
Para todo
- ,
-
-
-
-
-
-
- (1.7)
-
-
-
-
Para todo
- ,
-
-
-
-
-
-
- (1.8)
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (
+
+ 1
+
+ .
+
+ 8
+
+ )
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ Prova
+
+ .
-
Prova.
-
- Para , temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- As demonstrações de e são mais rápidas. De fato,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
e essa demonstração está concluída.
-
-
-
-
-
-
-
- 1.2 Funções trigonométricas circulares
-
-
-
- Nesta seção, vamos estudar os aspectos principais das funções trigonométricas circulares. Será conveniente que o leitor possua conhecimentos conceituais sobre domínio, imagem, gráfico e também limites de funções.
+ Para
+
+
+
+ , temos
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ As demonstrações de
+
+
+
+ e
+
+
+
+ são mais rápidas. De fato,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ e
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ e essa demonstração está concluída.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ 1.2 Funções trigonométricas circulares
+
+
+
+ Nesta seção, vamos estudar os aspectos principais das funções trigonométricas circulares. Será conveniente que o leitor possua conhecimentos conceituais sobre domínio, imagem, gráfico e também limites de funções.
-
- Admitindo que é uma variável real, podemos considerar as funções que a cada valor de associam o seno, o
- cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de , quando existirem. Olhemos uma por uma essas
+
+ Admitindo que
+
+
+
+ é uma variável real, podemos considerar as funções que a cada valor de
+
+
+
+ associam o seno, o
+ cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de
+
+
+
+ , quando existirem. Olhemos uma por uma essas
funções.
-
- Para cada valor real de , a função
-
-
-
+
+ Para cada valor real de
+
+
+
+ , a função
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- associa o seno do ângulo (radiano) . Da seção anterior, temos que esta função assume 0 para os valores , para qualquer
- . Também essa função é limitada, assumindo no máximo 1 e no mínimo -1. É uma função periódica de período . O seu gráfico é como na figura abaixo.
+
+
+
+ . Também essa função é limitada, assumindo no máximo 1 e no mínimo -1. É uma função periódica de período
+
+
+
+ . O seu gráfico é como na figura abaixo.
+
+ Figura 1.11:
+
+ Gráfico da função seno circular.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
- Notemos que é uma função contínua (mostraremos isto detalhadamente na próxima seção), não injetora e nem sobrejetora de
- em
- . Também o comportamento oscilatório para os infinitos, faz com que não existam os limites de quando
- .
+
+
+
+ .
-
- A função cosseno se comporta de forma similar. Basta notar que
- , isto é, a função cosseno é apenas um deslocamento horizontal da função seno. Dessa forma, a função
- , definida em
- é também uma função contínua, periódica de período , que assume máximo 1 e mínimo -1. Os zeros dessa função (os pontos onde a função intercepta o eixo ) são
- para qualquer
- . O gráfico fica como na figura abaixo.
+
+
+
+ . O gráfico fica como na figura abaixo.
-
-
-
Figura 1.12:
- Gráfico da função cosseno circular.
+
+ Figura 1.12:
+
+ Gráfico da função cosseno circular.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
- Não é uma função injetora e nem sobrejetora de
- em
- .
+
+
+
+ .
-
- Para a função tangente, lembremos que
- e então por se
- tratar de uma razão, precisamos nos preocupar com os valores de que anulam o denominador. Tais pontos não estarão
- no domínio de definição de
- . Os valores para os quais
- , são
- , com
-
- . O domínio da função tangente é então
- .
+
+
+
+ .
-
- Como seno e cosseno são funções periódicas em , então a função tangente também será periódica. O que ocorre é que
- o período da fração diminui para pelo jogo de sinal entre numerador e denominador. De fato, as funções seno e
- cosseno em módulo são periódicas de período .
+
+ Como seno e cosseno são funções periódicas em
+
+
+
+ , então a função tangente também será periódica. O que ocorre é que
+ o período da fração diminui para
+
+
+
+ pelo jogo de sinal entre numerador e denominador. De fato, as funções seno e
+ cosseno em módulo são periódicas de período
+
+
+
+ .
-
- Vamos analizar os limites (laterais) nos pontos onde a função tangente não está definida. São os pontos
- . Pela periodicidade da função, basta analizar os limites em um destes pontose a análise valerá
- para os demais. Vamos considerar, por simplicidade, . Então se se aproxima de
- teremos o
- denominador indo para 0, e o numerador
- indo para 1 e, portanto, a razão vai para o infinito. Resta o
- estudo do sinal. Se
- então os valores de são ligeiramente maiores que
- .
+
+
+
+ .
Neste caso, o seno será positivo e o cosseno negativo e, portanto,
-
-
-
+
-
-
- Quando
- então os valores de serão menores que
- e, neste caso, seno e
+
+
+
+ e, neste caso, seno e
cosseno serão positivos e, portanto,
-
-
+
-
-
- Estendendo esta análise para os outros valores de , temos para todo
- ,
-
+
+
+
+ ,
+
-
- e
+
+ e
+
-
-
- Por se tratar de um quociente de duas funções, a função tangente será uma função contínua nos pontos em que o
- denominador não se anulae cruzará o eixo nos pontos em que o numerador se anular, isto é, para com
- . Seu gráfico é como na figura abaixo.
+
+
+
+ . Seu gráfico é como na figura abaixo.
-
-
-
Figura 1.13:
- Gráfico da função tangente circular.
+
+ Figura 1.13:
+
+ Gráfico da função tangente circular.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
- É uma função ímpar. Não é injetora, mas é sobrejetora de
- em
- . Observe
- atentamente que se analisada em apenas um dos intervalos de amplitude , da forma
-
- então torna-se uma função crescente e injetiva e, portanto, bijetiva.
+
+
+
+ então torna-se uma função crescente e injetiva e, portanto, bijetiva.
-
- A análise da função
- é feita da mesma forma que a
- função tangente. Por se tratar de um quociente, o domínio de definição consiste dos valores de para os quais
- . A função seno se anula nos pontos para
- . Desta forma, o domínio da função cotangente é
- o conjunto
- . Também esta função se anula nos pontos em que o numerador se anula,
- isto é, em
- para todo
- .
+
+
+
+ .
-
- É também uma função periódica de período . Vamos analisar os limites nos pontos onde esta função não está
+
+ É também uma função periódica de período
+
+
+
+ . Vamos analisar os limites nos pontos onde esta função não está
definida, isto é, nos pontos onde o denominador se anula. Pela periodicidade, basta analizar os limites em um destes
- pontos e esta análise valerá para os demais. Consideremos então por simplicidade o caso em que , isto é, o ponto
- . Quando se aproxima de 0 o denominador
- se aproxima de 0 também e o numerado se aproxima de 1.
+
+
+
+ se aproxima de
+
+ 0
+
+ também e o numerado se aproxima de 1.
A fração vai portanto para o infinito. Resta o estudo de sinais.
-
- Quando
- , então é positivo; e tanto seno quanto cosseno são positivos, resultando
-
-
-
-
- e quando
- então o seno será negativo e o cosseno positivo, neste caso
-
-
-
+
-
-
- Transmitindo estes fatos para os demais pontos onde a função não está definida, temos que
-
-
- e
-
- para qualquer
- .
+
+
+
+ .
-
- O gráfico então é a curva da figura abaixo.
+
+ O gráfico então é a curva da figura abaixo.
-
-
-
Figura 1.14:
- Gráfico da função cotangente circular.
+
+ Figura 1.14:
+
+ Gráfico da função cotangente circular.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
- É uma função ímpar, sobrejetora mas não injetora de
- em
- . Se analisada por partes,
- isto é, em apenas um dos intervalos de amplitude da forma
- , então temos injetividade (e
+
+
+
+ , então temos injetividade (e
portanto bijetividade) em qualquer um destes intervalos.
-
- Agora a função
- . Usando a identidade
- , vemos que o
- domínio desta função fica caracterizado pelo conjunto
- , dos pontos tais que o
+
+
+
+ , dos pontos tais que o
denominador não se anule. É uma função que nunca se anula, pois o numerador é fixo e não nulo. Note que o denominador
- assume todos os valores reais entre e (inclusive estes dois). Isto significa que a fração poderá resultar em
- qualquer um dos valores maiores que ou menores que (inclusive estes dois). O conjunto imagem então é o
- conjunto
- .
+
+
+
+ .
-
- Vamos verificar o comportamento da função nas proximidades dos pontos onde não estiver definida. Sendo o denominador
- uma função periódica de período e o numerador constante, então o quociente é também uma função periódica de
- período . Por este motivo, olhemos para o intervalo ; e usando a periodicidade deduzimos o
+
+ Vamos verificar o comportamento da função nas proximidades dos pontos onde não estiver definida. Sendo o denominador
+ uma função periódica de período
+
+
+
+ e o numerador constante, então o quociente é também uma função periódica de
+ período
+
+
+
+ . Por este motivo, olhemos para o intervalo
+
+
+
+ ; e usando a periodicidade deduzimos o
comportamento da função para os demais pontos onde não estiver definida.
-
- Quando
- pela direita, os valores de se aproximam de 0 negativamente e, portanto,
- . Pela esquerda, os valores de vão para 0 positivamente e, portanto,
- . Resumindo,
-
-
- e
+
+ e
+
-
-
- Se
- pela direita, então se aproxima de 0 positivamente e, portanto,
- e
- se
- pela esquerda, então se aproxima de 0 negativamente e, portanto,
- .
+
+
+
+ .
Isto é,
-
-
- e
+
+ e
+
-
-
- Note ainda que nos pontos
- , temos
- e então,
- nestes pontos. Nos pontos
-
- temos
- e então
- nestes pontos. O gráfico desta função é mostrado
+
+
+
+ nestes pontos. O gráfico desta função é mostrado
na figura abaixo.
-
-
-
Figura 1.15:
- Gráfico da função secante circular.
+
+ Figura 1.15:
+
+ Gráfico da função secante circular.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
- Note que não é uma função injetora, nem sobrejetora de
- em
- .
+
+
+
+ .
-
- Finalmente para a função
- , levamos em conta que
- e
+
+
+
+ e
analisamos este quociente. O domínio é o conjunto de pontos tais que o denominador não se anula, ou seja, o conjunto
-
- . Também o denominador assume todos os valores (não nulos) entre e e, portanto, a
- função assume todos os valores menores que e maiores que . O conjunto imagem é então o conjunto
-
- .
+
+
+
+ .
-
- Trata-se de um quociente com denominador periódico e numerador constante e, portanto, essa função também é periódica, de
- período . Basta analizarmos o intervalo
- e repetirmos o comportamento para os
+
+
+
+ e repetirmos o comportamento para os
demais pontos, onde o denominador se anula.
-
- Quando pela direita, então os valores de
- se aproximam de 0 positivamente e então
- . Se pela esquerda, então os valores de
- vão para 0 negativamente e então
- .
+
+
+
+ .
Resumindo isto, temos
-
-
- e
+
+ e
+
-
-
- Se se aproxima de pela direita, então o denominador
- se aproxima de 0 negativamente e então
- . Se se aproxima de pela esquerda, então o denominador se aproxima de 0 positivamente e, assim,
-
- . Dessa forma, temos
-
-
- e
+
+ e
+
-
-
- Temos ainda que nos pontos
- o denominador da fração assume o valor 1 e,
- portanto, é igual a 1 nestes pontos. Analogamente nos pontos
- o
- denominador é igual a -1 e, portanto, a função assume o valor -1 nestes pontos. O gráfico de é representado na
+
+
+
+ o
+ denominador é igual a -1 e, portanto, a função
+
+
+
+ assume o valor -1 nestes pontos. O gráfico de
+
+
+
+ é representado na
figura abaixo.
-
-
-
Figura 1.16:
- Gráfico da função cossecante circular.
+
+ Figura 1.16:
+
+ Gráfico da função cossecante circular.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
- Não é uma função injetora e nem sobrejetora de
- em
- .
+
+
+
+ .
-
- Nota: Observe que a função seno é um deslocamento da função cosseno (e vice-versa) e por este motivo, os quocientes
- e
- são também deslocamentos um do outro. Compare isto nos limites que
+
+
+
+ são também deslocamentos um do outro. Compare isto nos limites que
deduzimos e nos gráficos das duas funções.
-
-
-
-
-
- Vamos resumir em uma tabela o domínio e a imagem de cada uma das funções trigonométricas.
+
+
+
-
-
-
-
Tabela 1.1:
- Domínio e imagem das funções trigonométricas circulares
+ 1.3 Continuidade das funções trigonométricas circulares
+
+
+
+ Nesta seção vamos mostrar que as funções trigonométricas circulares são contínuas nos seus domínios de definição. Mais
precisamente, queremos primeiro mostrar que
-
-
-
- e
-
- para qualquer
- . Para as outras quatro funções trigonométricas circulares, a continuidade seguirá da
+
+
+
+ . Para as outras quatro funções trigonométricas circulares, a continuidade seguirá da
continuidade destas duas funções e da propriedade de continuidade do quociente de funções contínuas.
-
-
- Observando os gráficos destas duas funções nas figuras 1.11 e 1.12, vemos que são gráficos formados
+
+
+ Observando os gráficos destas duas funções nas figuras
+
+ 1.11
+
+ e
+
+ 1.12
+
+ , vemos que são gráficos formados
por linhas contínuas e, do ponto de vista gráfico, as funções são contínuas satisfazendo portanto os limites acima.
Todavia, precisamos ser mais rigorosos.
-
-
- Vamos primeiro listar alguns resultados a respeito de limites que iremos utilizar nesta seção. Não vamos demonstrar
+
+
+ Vamos primeiro listar alguns resultados a respeito de limites que iremos utilizar nesta seção. Não vamos demonstrar
aqui estes resultados, pois está fora do nosso interesse principal. O leitor interessado nestas demonstrações pode
- consultar [4, Leithold].
-
-
-
Teorema 1.2
- Se e são funções cujos limites existem quando , então
-
-
a)
-
- ,
-
-
b)
-
- para qualquer
- ,
-
-
c)
-
- ,
-
-
d)
-
-
- desde que
- .
-
-
-
-
-
Teorema 1.3 (Teorema do confronto, ou Teorema do sanduíche)
- Sejam , e funções tais que
- para todo em algum intervalo em torno de um ponto
- , exceto possivelmente no ponto . Se
-
-
-
-
-
-
- então
-
-
-
-
-
-
-
Teorema 1.4
- Se e são funções tais que
- para todo em algum intervalo em torno de um ponto , exceto
- possivelmente no ponto , então o limite de quando existe se e somente se existe o limite de
- quando . Além disso,
-
-
-
-
-
-
-
Teorema 1.5
- O limite
- existe, se e somente se, existe o limite
- ; e mais
+
+
+
+ ; e mais
ainda,
-
-
-
-
-
-
- Agora começamos o trabalho de provar a continuidade das funções seno e cosseno.
-
-
Prova.
-
- Provaremos que os limites laterais existem e são iguais a 1. Consideremos primeiro o caso ; e podemos também
- considerar que
- . No círculo trigonométrico, construímos o arco de comprimento . Então
- o ângulo tem medida radianos. Consideremos a reta de equação , perpendicular ao eixo ,
- passando pelo ponto . Prolonguemos o segmento até interceptar a reta em um ponto que designaremos por .
- Consideremos então o triângulo , o setor circular e o triângulo retângulo .
-
-
-
-
Figura 1.17:
- Visualização geométrica do limite.
-
-
-
-
-
-
-
- Vemos claramente que a área do triângulo retângulo é maior que a área do setor circular que por sua vez é
- maior que a área do triângulo . O triângulo tem base com medida 1 e altura com medida
- e, portanto, a sua área é
- . O setor circular tem área igual a
- . O
- triângulo tem base com medida 1 e altura com medida
- e, portanto, área igual a
- . Nestes
+
+
+
+ . Nestes
termos
-
-
-
-
-
-
-
- Multiplicando tudo por 2 e dividindo por
- (que é positivo), temos
-
-
-
-
-
- ou ainda
-
-
-
-
-
-
-
- Da primeira desigualdade, temos que
- . Substituindo por
- temos que
- . Assim,
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+ . Assim,
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
- Segue que
- e reorganizando os termos obtemos
- .
+
+
+
+ .
Logo
-
-
-
-
-
-
-
- Como o limite das funções 1 e
- existem e são iguais a 1 quando
- , então segue do
- Teorema do confronto (Teorema 1.3) que
-
-
-
-
-
-
-
- Agora, se , levando em conta que
- é uma função par, então o comportamento pela direita de zero é
+
+
+
+ é uma função par, então o comportamento pela direita de zero é
o mesmo pela esquerda. Segue que
-
-
-
-
-
- também e isso prova o limite desejado.
-
-
-
Teorema 1.7
- As funções seno e cosseno são contínuas em , isto é,
-
+
+
+ e
+
+
+
+
+
+ Prova
+
+ .
-
- e
-
-
-
-
Prova.
-
- Para o primeiro limite, supondo primeiro , usamos a desigualdade
-
-
-
-
-
-
- obtida na demonstração do teorema anterior; e o teorema do confronto garante que
- . Para lembremos que cosseno é uma função par e então o comportamento à esquerda de 0 é o mesmo comportamento
+
+
+
+ . Para
+
+
+
+ lembremos que cosseno é uma função par e então o comportamento à esquerda de 0 é o mesmo comportamento
à direita de 0. Segue que
-
-
-
-
-
- e isto prova o primeiro limite.
-
-
- Para provar o segundo limite, usaremos o item (c) do teorema 1.2. Como os limites de
- e de
- existem quando então o limite do produto existe e
-
-
-
-
-
-
-
- Agora, como
- para todo então do teorema 1.4 segue que
-
+
+ Prova
+
+ .
Usando a identidade trigonométrica para a soma de arcos do cosseno,
-
-
-
-
-
- e como existem os limites de e de
- , quando , então existem os limites de
- e de
-
- e também existe o limite da soma destes dois termos, quando . Segue que
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+ e também existe o limite da soma destes dois termos, quando
+
+
+
+ . Segue que
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
- Usando agora a identidade trigonométrica para a soma de arcos do seno e a existência dos limites de
- e
- de
- , quando , temos
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+ , quando
+
+
+
+ , temos
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
- e isso termina essa demonstração.
-
-
-
-
- Os limites indicados no início desta seção seguem agora imediatamente do teorema 1.5 e deste último teorema.
-
-
-
Corolário 1.9
- As funções seno e cosseno são contínuas em qualquer ponto
- , isto é,
-
-
-
- e
-
-
-
- Podemos agora analisar a continuidade das outras quatro funções trigonométricas circulares, já que estas são escritas
- como um quociente em termos de seno e cosseno. Usando o item (d) do teorema 1.2, podemos facilmente provar as
+
+
+ e
+
+
+
+
+ Podemos agora analisar a continuidade das outras quatro funções trigonométricas circulares, já que estas são escritas
+ como um quociente em termos de seno e cosseno. Usando o item (d) do teorema
+
+ 1.2
+
+ , podemos facilmente provar as
próximas afirmações.
-
-
- As funções tangente, cotangente, secante e cossecante são contínuas nos seus domínios de definição. De outra forma,
-
+ 1.4 Derivadas de funções trigonométricas circulares
+
+
+
+ Nesta seção estamos interessados em obter as fórmulas de derivada para as seis funções trigonométricas circulares. Para
isto, usaremos a definição de derivada
-
-
-
-
-
- para obter as derivadas das funções seno e cosseno. Feito isto, usaremos a regra do quociente para determinar as
- derivadas das outras quatro funções trigonométricas. Lembremos rapidamente da regra do quociente para derivadas. Se
- e são funções deriváveis em um ponto e
- , então o quociente é derivável neste ponto ; e mais
+
+
+
+ , então o quociente é derivável neste ponto
+
+
+
+ ; e mais
ainda
-
-
-
-
-
-
-
- Primeiro precisamos estabelecer um limite necessário para a obtenção da derivada da função cosseno.
-
-
Prova.
-
- Podemos supor que
- . Neste intevalo temos que
- e então
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Como o limite da função
- existe (ver proposição 1.6) e o limite da função
- existe como função contínua de
- , então do item (c) do teorema
- 1.2, temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+ , então do item (c) do teorema
+
+ 1.2
+
+ , temos
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
- e isto termina esta demonstração.
-
-
-
-
- Agora estamos prontos para obter as derivadas das funções trigonométricas. Comecemos com
- , definida em toda a reta real. Aplicando a definição de derivada temos que
-
-
-
-
-
-
- para todo
- tal que o limite exista. Observe que para o limite existe e então a derivada da função seno
- existe em pelo menos um ponto. Vamos provar que o limite existe para qualquer
- .
-
-
- Desta forma, para todo
- , temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- As duas parcelas dentro do último limite, são funções cujo limite em existe para todo
- (ver proposições
- 1.6 e 1.10). Então
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Como o limite existe para todo
- , a função
- é derivável em todo
- ; e, além disso,
-
-
-
-
-
-
-
- Tomemos agora a função
- , definida em toda a reta real. Da definição de
+
+
+
+ , definida em toda a reta real. Da definição de
derivada,
-
-
-
-
-
- para todo
- tal que o limite existe. Observe novamente que já provamos que este limite existe pelo menos para
- . Para
- , temos que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Novamente, as parcelas dentro do limite são funções tais que o limite existe em para todo
- . Assim,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- O limite existe, portanto, para todo
- e, assim, segue que a função
- é derivável em todo
- ; e, além disso,
-
-
-
-
-
-
-
- Conhecendo agora as derivadas de seno e cosseno, definidas em todo
- , vamos utilizar estas para determinar as
+
+
+
+ , vamos utilizar estas para determinar as
derivadas das outras quatro funções trigonométricas circulares, já que são escritas em termos de seno e cosseno.
-
-
- Consideremos agora a função
- , definida em
- . Como
- e são diferenciáveis em todo
- , a derivada do
- quociente
- existe em todos os pontos onde
- .
-
-
- Dessa forma, para todo
- , temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Portanto
-
-
-
-
-
-
- para
- .
-
-
- Analogamente, para a função
- , temos para todo
- tal que
- ,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Então,
-
-
-
-
-
- para todo
- .
-
-
- Considerando agora a função
- , temos para todo
- tal
- que
- ,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Da mesma forma, para a função
- , temos que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- para todo
- tal que
- .
-
-
- Vamos resumir as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas circulares em uma tabela.
-
-
-
-
-
Tabela 1.2:
- Derivadas das funções trigonométricas circulares.
-
-
-
-
função
-
domínio
-
derivada
+
+
+
+ .
+
+
+ Vamos resumir as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas circulares em uma tabela.
+
- 1.5 As funções trigonométricas circulares inversas
-
-
-
- Antes de começarmos, lembremos que nenhuma das funções trigonométricas circulares é bijetora dos seus domínios de
- definição em
- . Sabemos também que somente as funções bijetoras possuem função inversa. O que precisamos então é
+
+
+
+ . Sabemos também que somente as funções bijetoras possuem função inversa. O que precisamos então é
restringir o domínio e/ou o contradomínio de tais funções, conforme o caso exigir, a fim de torná-las bijetoras e só
então poderemos definir as funções inversas.
-
-
- Comecemos então pela função seno que não é injetora e nem sobrejetora de
- em
-
- . Resolvemos o problema da sobrejetividade restringindo o contradomínio, tornando-o igual à imagem
- . O problema da injetividade é resolvido restringindo o domínio. Consideramos então o domínio como sendo
-
- . A função seno é bijetora de
- em . Podemos
- definir então a função inversa do seno, que a cada número real
- associa o (único) número
- , satisfazendo a relação
- .
-
-
- Representamos a função inversa do seno por por
- , ou
- . Neste texto, vamos utilizar
- a primeira notação e muito cuidado para não confundir as expressões
- e
- . A segunda
- expressão é o inverso multiplicativo do seno, ou seja
- . Assim, temos
+
+
+
+ . Assim, temos
definida a função
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- que deve satisfazer a relação
- . Desta igualdade, vemos que quando se aproxima de (somente pela
- esquerda), devemos ter se aproximando de
- e quando tender a (somente pela direita), devemos
- ter tendendo a
- . Isto é,
-
-
-
- e
-
-
-
- Deve ser uma função crescente no intervalo de definição , já que da relação
- vemos que conforme
- cresce, o ângulo radiano deve também crescer em
- . Como é de se esperar
+
+
+
+ . Como é de se esperar
de uma função inversa, são válidas as seguintes relações,
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
-
- O gráfico desta função, definida apenas no intervalo , é dado por
-
-
-
-
Figura 1.18:
- Gráfico da função seno inverso.
-
-
-
-
-
-
-
- Agora tomemos a função cosseno. Sabemos que a função cosseno, também não é injetora e
- nem sobrejetora de
- em
- . Colocando o contradomínio como sendo a imagem a tornamos sobrejetora.
- Colocando o domínio como sendo a tornamos injetora de em . Definimos assim, a função
- inversa do cosseno, denotada por
- (ou ), por
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- que deve satisfazer
- . Usando esta última igualdade, vemos que quando estiver suficientemente próximo de
- (somente pela direita) então estará próximo de e quando estiver suficientemente próximo de
- (somente pela esquerda), então estará próximo de 0. Valem portanto os limites,
-
-
-
- e
-
-
-
- O gráfico desta função é dado por,
-
-
-
-
Figura 1.19:
- Gráfico da função cosseno inverso.
-
-
-
-
-
-
-
- É uma função decrescente no intervalo de definição. Analogamente, as relações inversas são,
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
-
- Note que existe uma relação entre os gráficos das funções seno e cosseno inversas. Se tomarmos o gráfico da função seno
- inverso e aplicarmos uma reflexão em torno do eixo e um deslocamento de
- unidades para cima,
- teremos o gráfico da função cosseno inverso. Esta relação é descrita pela igualdade
- .
-
-
- É fácil provar esta última igualdade usando que
- é válido
- para todo
- . Vejamos os detalhes. Primeiro observemos que a função
- é uma função ímpar, pois
- se
- , então
- e, portanto,
- , o que acarreta
- e
- segue que
- . Agora vamos à igualdade de interesse. Se
- , então temos que
- , donde
- e, portanto,
- . Como também
- então
- .
-
-
- Consideremos agora a função tangente, que é sobrejetora, porém não é injetora de
-
- em
- . Para resolver o problema da injetividade precisamos restringir somente o domínio desta função. Considerando
- então o domínio como sendo o intervalo
- temos a bijetividade da função tangente, de
-
- em
- . Definimos então a função inversa da tangente, denotada por
- (ou ), como
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- de tal forma que vale a relação
- . Esta relação mostra que quando cresce indefinidamente então devemos
- ter se aproximando de
- e quando cresce indefinidamente, com valores negativos, então deve
- estar se aproximando de
- . Isto se resume nos limites
-
-
-
- e
-
-
-
- O gráfico desta função é dado por,
-
-
-
-
Figura 1.20:
- Gráfico da função tangente inversa.
-
-
-
-
-
-
-
- É uma função monótona crescente e ímpar. As retas
- são assíntotas horizontais desta função. Esta
+
+
+
+ são assíntotas horizontais desta função. Esta
função desempenha um papel importante na matemática. Ela associa bijetivamente toda a reta real com um intervalo
limitado. Valem as relações inversas,
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
-
- Agora a função cotangente. Vimos que a cotangente não é uma função injetora, mas é
- sobrejetora de
- em
- . A restrição do domínio para o intervalo faz da função cotangente, uma função
- bijetora de em
- . Assim podemos definir a função cotangente inversa, denotada por
- e
+
+
+
+ e
dada por
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- desde que valha a relação
- . Esta relação mostra que se tende ao infinito, então deve estar indo
- para 0; e se vai para o infinito negativo, então deve estar indo para . Temos assim,
-
-
-
- e
-
-
-
- O gráfico da função cotangente inversa é
-
-
-
-
Figura 1.21:
- Gráfico da função cotangente inversa.
-
-
-
-
-
-
-
- Vemos que é uma função estritamente decrescente. Além disso, são válidas as relações inversas,
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
-
- Assim como no caso do cosseno inverso, existe uma relação entre os gráficos das funções tangente e cotangente inversas.
- Esta relação é semelhante àquela envolvendo seno e cosseno inversos. É
- .
- Também é fácil provar esta relação usando a igualdade
- , que é válida para todo
- . Desta vez deixamos os detalhes por conta do leitor.
-
-
- Tomando a função secante, lembremos que ela não é injetora e nem sobrejetora de
- em
-
- . A imagem é o conjunto
- e então restringimos o contradomínio no conjunto imagem e
- tornamos a secante sobrejetora. Para a injetividade, escolhemos o conjunto
- . Nestes termos a função secante, é bijetora de
- em
- . Definimos então a função secante inversa, denotada por
- , como
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- desde que valha a relação
- . Desta relação vemos pelo gráfico da função secante que quando vai ao
- infinito positivamente ou negativamente então deve estar se aproximando de
- . Isto é,
-
-
-
-
-
-
-
- Também quando se aproxima de (somente pela esquerda), devemos ter se aproximando de e quando
- tende a (somente pela direita) deve estar indo para 0. Temos então os limites
-
-
-
- e
-
-
-
- O gráfico desta função é da forma,
-
-
-
-
Figura 1.22:
- Gráfico da função secante inversa.
-
-
-
-
-
-
-
- Para esta função, valem as relações inversas,
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
-
- Finalmente, a função cossecante não é injetora nem sobrejetora de
- em
- .
- Restringimos então o contradomínio pela sua imagem, que é o conjunto
- . Para acertar a
- injetividade, escolhemos a restrição do domínio ao conjunto
- . Assim a função cossecante se tornará bijetiva. Então definimos a função
- cossecante inversa, denotada por
- e dada por
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- de tal forma que
- . Desta relação, observando o gráfico da função cossecante, temos que quando cresce
- indefinidamente (positivamente ou negativamente), os valores de devem estar se aproximando de 0. Por isto temos
-
-
-
-
-
-
-
- Também se se aproxima de (somente pela esquerda), devemos ter se aproximando de
- . Da mesma
- forma, se se aproxima de (somente pela direita) então devemos ter se aproximando de
- . Assim,
-
-
-
- e
-
-
-
- O gráfico desta função é da forma,
-
-
-
-
Figura 1.23:
- Gráfico da função cossecante inversa.
-
-
-
-
-
-
-
- Para esta função, valem as relações inversas são,
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
-
- Novamente vemos a presença de uma relação entre os gráficos de secante e cossecante inversas. É novamente a igualdade
-
- . Podemos provar esta igualdade usando
- ,
- válida para
- . Detalhes novamente por conta do leitor.
-
-
- Resumimos as funções trigonométricas circulares inversas, com seus respectivos domínios e imagens na próxima tabela.
-
-
-
-
-
-
Tabela 1.3:
- Domínio e imagem das funções trigonométricas circulares inversas
-
-
-
-
função
-
domínio
-
imagem
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- 1.6 Continuidade das funções trigonométricas circulares inversas
-
-
-
- Antes de obtermos as derivadas das funções trigonométricas circulares inversas, vamos analisar a continuidade destas
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ 1.6 Continuidade das funções trigonométricas circulares inversas
+
+
+
+ Antes de obtermos as derivadas das funções trigonométricas circulares inversas, vamos analisar a continuidade destas
funções em todos os pontos de definição. Esta continuidade pode ser obtida em virtude da continuidade das funções
- trigonométricas circulares estabelecida na seção 1.3. Mais precisamente se
- é um intervalo e
-
- é contínua em , então é um intervalo e também
-
-
-
-
-
-
- para qualquer . Isto é o que afirma o próximo teorema, que enunciaremos sem demonstração. A demonstração pode
- ser encontrada em [5, Lima, pág 237].
-
-
-
-
Teorema 1.11
- Se
- é um intervalo e
- é uma função contínua em todo e que admite função inversa,
- então a função inversa
- é também contínua em
- .
-
-
-
- Este teorema se aplica às seis funções trigonométricas circulares inversas. As seis funções trigonométricas circulares
+
+
+
+ .
+
+
+
+
+ Este teorema se aplica às seis funções trigonométricas circulares inversas. As seis funções trigonométricas circulares
são contínuas em seus respectivos domínios de definição. As restrições bijetivas são todas definidas em conjuntos que
são intervalos e, portanto, as funções trigonométricas circulares inversas são contínuas nos seus intervalos de
definição, respeitando a lateralidade dos extremos fechados em cada um destes intervalos.
-
-
- Resumindo, temos que,
-
-
-
-
- ,
-
para todo
-
- ,
-
-
- ,
-
para todo
-
- ,
-
-
- ,
-
para todo
-
- ,
-
-
- ,
-
para todo
-
- ,
-
-
- ,
-
para todo
-
- e
-
-
- ,
-
para todo
-
- .
-
-
-
-
-
- Note que o domínio de definição das funções arco secante e arco cossecante não são intervalos, mas sim uma união de
+
+
+
+ .
+
+
+
+
+
+
+ Note que o domínio de definição das funções arco secante e arco cossecante não são intervalos, mas sim uma união de
dois intervalos. Estudados separadamente cada um destes intervalos, temos no caso da função arco secante que a função
- secante é contínua e bijetora de
- em
- e, portanto, o teorema 1.11 se
- aplica a este intervalo. Novamente a função secante é contínua e bijetora de
- em
- e o
- teorema 1.11 se aplica também a este intervalo. Segue que a função arco secante é contínua em ambos os
- intervalos
- e
- e, portanto, contínua na união destes intervalos. Raciocínio similar para a
+
+
+
+ e, portanto, contínua na união destes intervalos. Raciocínio similar para a
função arco cossecante.
-
-
- 1.7 Derivadas das funções trigonométricas circulares inversas
-
-
-
- Estamos agora interessados nas derivadas das funções trigonométricas inversas. Para obter a derivada de uma
- função inversa
- , tradicionalmente usamos diferenciação implícita na igualdade
- , ou
- equivalentemente, na igualdade .
-
-
- Comecemos com a função
- definida para todo
- , com
- . Sabemos que a diferenciação não pode ser estabelecida nos extremos do intervalo
- fechado e então vamos considerar, ainda bijetivamente, que
- e
- .
- Para e nos intervalos citados, vale a relação
- . Ao derivarmos com respeito a , lembremos que
- é variável dependente de e, portanto, devemos usar a regra da cadeia. Derivando então a relação
- , com
- respeito a , temos
-
-
-
-
-
-
-
- Como queremos determinar
- vamos então isolar este termo na última igualdade. Obtemos assim,
-
-
-
-
-
-
-
- Obviamente, queremos também que essa derivada seja dada somente em termos de , e não de . Precisamos substituir a
- expressão do segundo membro, mas só conhecemos a relação
- . Então usamos o fato de que
-
- para
- , para escrever
-
-
-
-
-
- e segue que
-
-
-
-
-
- para todo
- . Note que a derivada não está definida para e para .
-
-
- Tomemos agora a função
- , definida para todo
- , com
- . A derivada
- será estabelecida então para
- com
- . Então derivamos a relação
- implicitamente
- em relação à variável , obtendo
-
-
-
-
-
- e isolando o termo de interesse, temos
-
-
-
-
-
-
-
- Novamente, vamos substituir a variável dependente , no segundo membro, pela variável independente. Lembremos que
- para
- a função seno é positiva. Segue que
-
-
-
-
-
- e, portanto,
-
-
-
-
-
-
-
- Tomando agora a função
- , definida para
- , assumindo valores
- . Para todo
- , temos a igualdade
- e então derivando em relação a
- , vem
-
-
-
-
-
-
-
- Desta igualdade e da identidade (1.9) da proposição 1.1, obtemos
-
-
-
-
-
- e desta forma,
-
-
-
-
-
- para todo
- . Note que o lado direito está bem definido para todo
- .
-
-
- Agora consideremos
- . Esta função está definida para todo
- , com valores
- . Derivando então a igualdade
- em relação a , temos
-
-
-
-
-
- donde temos
-
-
-
-
-
-
-
- Usando agora a identidade (1.8), da proposição 1.1, temos
-
-
-
-
-
- e obtemos a derivada
-
-
-
-
-
- definida para todo
- .
-
-
- Seja agora
- , definida para todo
- com valores em
- . Para a diferenciação, vamos considerar bijetivamente que
- com valores em
- . Para qualquer
- no intervalo de diferenciação, temos
- e derivando esta igualdade em , obtemos
-
-
-
-
-
- e isolando o termo de interesse, vem
-
-
-
-
-
-
-
- Usaremos novamente a igualdade (1.7) da proposição 1.1. Extraindo a raiz quadrada em ambos os
- membros de (1.7), conseguimos
-
-
-
-
-
-
-
- Como
- não podemos garantir que a tangente de seja positiva,
- mas sim que
- é positivo. Assim,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Segue que
-
-
-
-
-
- para todo
- .
-
-
- Nota: Observe que para tornar a função secante uma função bijetiva, acabamos por escolher um intervalo do domínio onde a
+
+
+
+ .
+
+
+
+ Nota
+
+ : Observe que para tornar a função secante uma função bijetiva, acabamos por escolher um intervalo do domínio onde a
função torna-se bijetora. Esta escolha não é única. Outras escolhas também tornam a função secante bijetora. Alguns
- autores escolhem
- , pois esta escolha, além de outras
- implicações, tornará mais simples a fórmula de derivada, que será
- , já que neste intervalo, teríamos
- , e não precisaríamos manter o módulo. O leitor poderá
+
+
+
+ , e não precisaríamos manter o módulo. O leitor poderá
encontrar em alguns livros de Cálculo Diferencial e Integral esta última fórmula para a derivada da secante inversa.
-
-
-
-
-
- Para finalizar esta etapa, tomamos
- , que é definida para todo
- com
- . Descartando os extremos fechados de cada intervalo,
- derivamos
- em relação a , obtendo
-
-
-
-
-
- donde segue
-
-
-
-
-
-
-
- Extraindo raiz quadrada em ambos os membros da igualdade (1.8), da proposição 1.1, conseguimos
+
+
+
+
+ Extraindo raiz quadrada em ambos os membros da igualdade (
+
+ 1.8
+
+ ), da proposição
+
+ 1.1
+
+ , conseguimos
a identidade
-
-
-
-
-
-
-
- Agora como
- não podemos garantir que
- seja positiva, mas
- sabemos que
- é positivo. Então
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- donde temos
-
-
-
-
-
- para todo
- .
-
-
- Nota: Aqui ocorre o mesmo que o comentado na nota anterior. A escolha de
- , tornará a fórmula de derivada mais simples. Será
- , já
- que no intervalo mencionado temos
- sempre positivo. O leitor poderá encontrar em alguns livros de Cálculo
+
+
+
+ sempre positivo. O leitor poderá encontrar em alguns livros de Cálculo
Diferencial e Integral esta última fórmula para a derivada da cossecante inversa.
-
-
-
-
- Resumimos as derivadas das funções trigonométricas circulares inversas na próxima tabela.
-
-
-
-
Tabela 1.4:
- Derivadas das funções trigonométricas circulares inversas.
-
-
-
-
função
-
domínio
-
derivada
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Observe que as derivadas das inversas das co-funções diferem das derivadas das inversas das funções apenas pelo sinal.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ Observe que as derivadas das inversas das co-funções diferem das derivadas das inversas das funções apenas pelo sinal.
Isto é decorrência das relações mencionadas na seção anterior,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Derivando estas três igualdades em ambos os membros, com relação a , obtemos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ Derivando estas três igualdades em ambos os membros, com relação a
+
+
+
+ , obtemos
+
- Dado um número real
- , vamos considerar a transformação
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- (2.1)
-
-
-
-
- Esta transformação é conhecida como deslocamento ou deslizamento sobre a hipérbole. Isto se deve ao fato de que
- leva pontos da hipérbole na hipérbole (ver proposição 2.1). Esta transformação é bastante importante no
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (
+
+ 2
+
+ .
+
+ 1
+
+ )
+
+
+
+
+
+
+
+ Esta transformação é conhecida como deslocamento ou deslizamento sobre a hipérbole. Isto se deve ao fato de que
+
+
+
+ leva pontos da hipérbole na hipérbole (ver proposição
+
+ 2.1
+
+ ). Esta transformação é bastante importante no
nosso estudo e possui propriedades interessantes. As próximas proposições evidenciam algumas destas propriedades.
- Outras propriedades podem ser encontradas em [7, Shervatov].
-
-
-
-
Proposição 2.1
- A transformação
- , definida por (2.1), possui as seguintes propriedades:
-
-
- leva pontos da hipérbole em pontos da hipérbole.
-
-
- leva retas do plano em retas.
-
-
- preserva a razão entre os comprimentos de segmentos de uma mesma reta.
-
-
- leva retas paralelas em retas paralelas.
-
-
- preserva as assíntotas da hipérbole.
-
-
Prova.
+
+
+
+
+
+
+ preserva as assíntotas da hipérbole.
+
+
+
+
+ Prova
+
+ .
- Dado , o ponto
- pertencente à hipérbole e temos
-
-
-
-
-
- sendo que claramente o membro da direita é um ponto que ainda está sobre a hipérbole, uma vez que satisfaz a equação
- . Isto prova
- . Para provar
- consideremos a parametrização
- que descreve os pontos de uma reta, fazendo variar em
- , para quaisquer
- ,
- desde que
- pois é o vetor diretor da reta. Então aplicando ,
-
-
-
-
-
- e obviamente os pontos do membro da direita descrevem uma reta fazendo variar em
- . Para o item
- ,
- consideremos novamente a parametrização
- de uma reta qualquer. O comprimento de um segmento
-
- é a distância entre e . Se
- e
- , então
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Se
-
- é outro segmento desta reta com
- e
- , então da
- mesma forma, o comprimento do segmento
- é igual a
- e a razão entre os
+
+
+
+ e a razão entre os
segmentos é
-
-
-
-
+
-
- pois
- .
-
-
- Vamos então provar que se , , e , então
-
- . De fato,
- ,
- ,
- e
- . Então
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e da mesma forma
-
-
-
-
-
- e, portanto,
-
-
-
-
+
-
-
e isso prova o item
- .
-
-
- Para provar
- , tomemos duas retas paralelas e , isto é, os coeficientes são proporcionais. Tomemos
- as parametrizações
- e
- , para
- . Então,
- e
- e, claramente, e são paralelas, já que os seus coeficientes são proporcionais.
-
-
- Finalmente vamos a
- . As assíntotas da hipérbole são os eixos coordenados. As suas parametrizações são
- e . Obviamente
- , que continua sendo o eixo e
- , que continua sendo o eixo .
-
-
-
-
-
- Nota: Observe que, na transformação dada em (2.1), para
- temos a aplicação identidade. Para
- , um dado ponto será deslocado por no sentido do crescimento do eixo . E se
- , então o
- deslocamento de um determinado ponto da hipérbole, se dará no sentido contrário ao do crescimento do eixo .
-
-
-
-
-
-
Proposição 2.2
- A transformação não altera a área de figuras do plano.
-
Prova.
-
- De fato, pode ser escrita como composição das transformações
-
-
-
- e
+
+ e
+
-
-
-
- Sabemos da geometria plana que a transformação altera a área de uma figura plana multiplicando esta área por
- e a segunda transformação multiplica a área de uma figura por
- . A composta das duas
- aplicações então multiplica a área de figuras primeiro por e depois por
- e, portanto, não
+
+
+
+ e, portanto, não
altera a área de figuras planas.
-
-
-
-
- A figura 2.2 representa um braço da hipérbole de equação cartesiana
- . Esta “metade”
- de hipérbole é conhecida como hipérbole trigonométrica.
-
-
- Note que, se rotacionarmos o gráfico da figura 2.2,
- no sentido anti-horário com relação a
- origem, este braço de hipérbole se torna o braço de hipérbole da figura 2.1, bastando apenas ajustar o valor
- de . Também as assíntotas , após esta rotação, se tornam os eixos coordenados da figura 2.1.
- Isso significa que, por uma rotação, as propriedades listadas nas Proposições 2.1 e 2.2 são
- válidas também na hipérbole trigonométrica e suas assíntotas . Isto porque a rotação (de
- ), é
+
+
+
+ ), é
um movimento rígido e preserva comprimento de segmentos, relação de paralelismo e medidas de áreas.
-
-
-
-
Figura 2.2:
- Hipérbole trigonométrica.
-
-
-
-
-
-
-
- Chamemos o vértice da hipérbole da figura 2.2. Consideremos um ponto sobre a hipérbole
- situado no primeiro quadrante (fig. 2.3). Pelo ponto traçamos a perpendicular ao eixo . Marcamos
- o ponto simétrico de com relação ao eixo . O segmento é dito segmento conjugado do segmento , pois
- o prolongamento de encontra no ponto médio de . O ponto está então sobre a hipérbole no quarto
- quadrante e o segmento é também perpendicular ao eixo . Traçamos pelo ponto a reta paralela a assíntota
- e pelo ponto a reta paralela a assíntota . As retas e se encontram no ponto , sobre o
- eixo , formando o triângulo retângulo em .
-
-
-
-
Figura 2.3:
- Construindo propriedades adicionais na hipérbole.
-
-
-
-
-
-
-
- Aplicamos agora um deslizamento sobre a hipérbole, isto é, aplicamos a transformação dada em (2.1).
- Obtemos assim os pontos , , , e imagem pela dos pontos , , , e
- respectivamente; e as retas e imagem pela das retas e respectivamente, conforme figura
- 2.4.
-
-
-
-
Figura 2.4:
- Propriedades adicionais na hipérbole.
-
-
-
-
-
-
-
- Nestes termos, como os pontos , e estão sobre uma mesma reta, pela propriedade
- da Proposição
- 2.1 os pontos , e estão também sobre uma mesma reta. Pela mesma razão, os pontos , ,
- e também estão alinhados, isto é, sobre uma reta. Os pontos , e ainda estão sobre a hipérbole.
- A razão entre as medidas dos segmentos e é igual 1 e, portanto, pelo item
- da Proposição
- 2.1, a razão entre as medidas dos segmentos e é também 1, isto é, o ponto é ainda o ponto
- médio do segmento . Pelas propriedades
- e
- da mesma Proposição, as retas e
- são paralelas as retas imagens das assíntotas por . Como as assíntotas não são alteradas, e
- ainda são paralelas as assíntotas. Isto significa que o triângulo é ainda um triângulo retângulo em .
-
-
-
-
-
- 2.2 A trigonometria hiperbólica
-
-
-
- A trigonometria hiperbólica é construída sobre a hipérbole trigonométrica, isto é, o braço da hipérbole de equação
-
- , representado na figura 2.2. Dado um número real , entenderemos por ângulo
- hiperbólico , ou ângulo hiperbólico , o arco da hipérbole no primeiro quadrante, de forma que a área do
- setor seja igual a
- (Ver figura 2.5). No caso em que o ângulo hiperbólico
- é o arco da hipérbole, no quarto quadrante, de forma que a área do setor seja igual a
- .
-
- Note que esta definição, em termos de área, é escolhida pois o deslizamento hiperbólico não altera área de figuras
- no plano (Proposição 2.2) e desta forma um ângulo hiperbólico não será alterado quando aplicarmos o
- deslizamento hiperbólico. Na figura 2.6, o ângulo hiperbólico é igual ao ângulo hiperbólico
- se e são imagens respectivas dos pontos e por deslizamento hiperbólico.
+
+
+
+ .
+
+
- Note ainda que podemos considerar ângulos hiperbólicos de qualquer magnitude, já que a área do setor entre as
- assíntotas e a hipérbole, é infinita. Vamos agora definir seno e cosseno hiperbólico de um ângulo
- (hiperbólico)
- .
+
+
+
+ .
-
- Nesses termos, dado um ângulo hiperbólico , determinado pelo arco de hipérbole , consideramos o ponto ,
- projeção do ponto sobre o eixo e o ponto projeção do ponto sobre o eixo . O cosseno hiperbólico de
- é definido como sendo a abscissa do ponto , isto é, o comprimento do segmento
- orientado (ou ), com relação ao eixo . Note que este segmento orientado nunca terá sentido contrário ao
- eixo e, portanto, a medida de cosseno hiperbólico de será sempre positiva (maior ou igual a 1 para ser mais
- preciso). O seno hiperbólico de é definido como sendo a ordenada do ponto , isto é, o
- comprimento do segmento orientado (ou ), com relação ao eixo , isto é, se o segmento orientado tem
- sentido contrário ao eixo , então entendemos que a medida do segmento é negativa. Isto ocorrerá apenas para valores
- negativos de .
+
+ Nesses termos, dado um ângulo hiperbólico
+
+
+
+ , determinado pelo arco de hipérbole
+
+
+
+ , consideramos o ponto
+
+
+
+ ,
+ projeção do ponto
+
+
+
+ sobre o eixo
+
+
+
+ e o ponto
+
+
+
+ projeção do ponto
+
+
+
+ sobre o eixo
+
+
+
+ . O cosseno hiperbólico de
+
+
+
+
+
+ é definido como sendo a abscissa do ponto
+
+
+
+ , isto é, o comprimento do segmento
+ orientado
+
+
+
+ (ou
+
+
+
+ ), com relação ao eixo
+
+
+
+ . Note que este segmento orientado nunca terá sentido contrário ao
+ eixo
+
+
+
+ e, portanto, a medida de cosseno hiperbólico de
+
+
+
+ será sempre positiva (maior ou igual a 1 para ser mais
+ preciso). O seno hiperbólico de
+
+
+
+
+
+ é definido como sendo a ordenada do ponto
+
+
+
+ , isto é, o
+ comprimento do segmento orientado
+
+
+
+ (ou
+
+
+
+ ), com relação ao eixo
+
+
+
+ , isto é, se o segmento orientado
+
+
+
+ tem
+ sentido contrário ao eixo
+
+
+
+ , então entendemos que a medida do segmento é negativa. Isto ocorrerá apenas para valores
+ negativos de
+
+
+
+ .
- As demais funções trigonométricas hiperbólicas, tangente, cotangente, secante e cossecante, são definidas como na
- trigonometria circular, isto é, respectivamente
+
+ As demais funções trigonométricas hiperbólicas, tangente, cotangente, secante e cossecante, são definidas como na
+ trigonometria circular, isto é, respectivamente
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
e
-
-
-
-
-
-
- Se considerarmos dois ângulos hiperbólicos de medidas e , representados respectivamente pelos arcos e
- , vemos (na figura 2.8) que os valores de seno hiperbólico são diferentes apenas por um sinal, pois os
- segmentos orientados e tem sentidos opostos e que os valores de cosseno hiperbólico são ambos iguais ao
- segmento orientado .
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ e
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ Se considerarmos dois ângulos hiperbólicos de medidas
+
+
+
+ e
+
+
+
+ , representados respectivamente pelos arcos
+
+
+
+ e
+
+
+
+ , vemos (na figura
+
+ 2.8
+
+ ) que os valores de seno hiperbólico são diferentes apenas por um sinal, pois os
+ segmentos orientados
+
+
+
+ e
+
+
+
+ tem sentidos opostos e que os valores de cosseno hiperbólico são ambos iguais ao
+ segmento orientado
+
+
+
+ .
-
-
-
Figura 2.8:
- Ângulos hiperbólicos de sinais contrários.
+
+ Figura 2.8:
+
+ Ângulos hiperbólicos de sinais contrários.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
- Isto significa que,
+
+ Isto significa que,
-
-
-
-
e
-
- (2.2)
-
-
- Em outras palavras, o seno hiperbólico é uma função ímpar e o cosseno hiperbólico é uma função par.
+
+
+
+
+
+
+ e
+
+
+
+
+ (
+
+ 2
+
+ .
+
+ 2
+
+ )
+
+
+
+
+
+
+ Em outras palavras, o seno hiperbólico é uma função ímpar e o cosseno hiperbólico é uma função par.
-
- Nosso próximo passo é deduzir as principais fórmulas da trigonometria hiperbólica. Serão cinco fórmulas, contando com
- as duas identidades em (2.2). Faltam a relação fundamental e as fórmulas de soma de arcos para o seno
+
+ Nosso próximo passo é deduzir as principais fórmulas da trigonometria hiperbólica. Serão cinco fórmulas, contando com
+ as duas identidades em (
+
+ 2.2
+
+ ). Faltam a relação fundamental e as fórmulas de soma de arcos para o seno
e o cosseno hiperbólicos. Demais fórmulas trigonométricas que se deseje podem ser deduzidas a partir destas cinco.
-
- Da figura 2.7, podemos ver claramente que as coordenadas cartesianas do ponto são
- . Também o ponto está sobre a hipérbole, e então suas coordenadas devem obrigatoriamente satisfazer a
- equação da hipérbole
- e, assim,
+
+
+
+ e, assim,
-
-
-
-
-
- (2.3)
-
-
- que é a relação fundamental da trigonometria hiperbólica.
-
-
- Vamos agora mostrar a validade das fórmulas trigonométricas da soma de arcos do cosseno hiperbólico e do seno
- hiperbólico. Consideremos dois ângulos hiperbólicos e determinados pelos arcos hiperbólicos e
- respectivamente, conforme a figura abaixo.
-
-
-
-
Figura 2.9:
- Ângulos hiperbólicos e .
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (
+
+ 2
+
+ .
+
+ 3
+
+ )
+
+
+
+
-
-
- Tomando o ponto , sobre a hipérbole, simétrico do ponto pelo eixo , temos o segmento conjugado ao
- segmento , isto é, o prolongamento do segmento corta o segmento em seu ponto médio. Chamemos , este
- ponto médio. também é a projeção de sobre o eixo . Considerando as retas e paralelas as assíntotas
- , que passam pelos pontos e respectivamente, temos que e se encontram sobre o eixo no
- ponto que denotaremos por .
+
+ que é a relação fundamental da trigonometria hiperbólica.
+
+
+ Vamos agora mostrar a validade das fórmulas trigonométricas da soma de arcos do cosseno hiperbólico e do seno
+ hiperbólico. Consideremos dois ângulos hiperbólicos
+
+
+
+ e
+
+
+
+ determinados pelos arcos hiperbólicos
+
+
+
+ e
+
+
+
+ respectivamente, conforme a figura abaixo.
-
-
-
Figura 2.10:
- Segmento conjugado ao ângulo hiperbólico .
+
+ Figura 2.9:
+
+ Ângulos hiperbólicos
+
+
+
+ e
+
+
+
+ .
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
- Decorre disto que
-
-
- e
+
+ e
+
-
-
- Vamos agora aplicar um deslizamento hiperbólico que desliza o arco de forma que a imagem de coincide com
- o ponto . A imagem de então será denotada por , isto é, . Lembrando ainda que o ângulo hiperbólico
- continua sendo o ângulo hiperbólico , em virtude da invariância de áreas por deslizamento hiperbólico. O ponto
- por sua vez determina o arco de hipérbole associado ao ângulo hiperbólico . Também, sejam , e
- as respectivas imagens dos pontos , e e e as respectivas imagens das retas e .
+
+ Vamos agora aplicar um deslizamento hiperbólico que desliza o arco
+
+
+
+ de forma que a imagem
+
+
+
+ de
+
+
+
+ coincide com
+ o ponto
+
+
+
+ . A imagem de
+
+
+
+ então será denotada por
+
+
+
+ , isto é,
+
+
+
+ . Lembrando ainda que o ângulo hiperbólico
+
+
+
+ continua sendo o ângulo hiperbólico
+
+
+
+ , em virtude da invariância de áreas por deslizamento hiperbólico. O ponto
+
+
+
+ por sua vez determina o arco de hipérbole
+
+
+
+ associado ao ângulo hiperbólico
+
+
+
+ . Também, sejam
+
+
+
+ ,
+
+
+
+ e
+
+
+
+ as respectivas imagens dos pontos
+
+
+
+ ,
+
+
+
+ e
+
+
+
+ e
+
+
+
+ e
+
+
+
+ as respectivas imagens das retas
+
+
+
+ e
+
+
+
+ .
- Pelos pontos e traçamos, as perpendiculares ao eixo , e . Lembremos que a corda , é ainda
- conjugada a , ou seja, o prolongamento de encontra o ponto médio do segmento e com sendo este
+
+ Pelos pontos
+
+
+
+ e
+
+
+
+ traçamos, as perpendiculares ao eixo
+
+
+
+ ,
+
+
+
+ e
+
+
+
+ . Lembremos que a corda
+
+
+
+ , é ainda
+ conjugada a
+
+
+
+ , ou seja, o prolongamento de
+
+
+
+ encontra o ponto médio do segmento
+
+
+
+ e com
+
+
+
+ sendo este
ponto médio.
+
+ Figura 2.12:
+
+ Projeções
+
+
+
+ e
+
+
+
+ .
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
- Nestes termos temos as relações,
-
-
- e
-
- e
-
-
- e
+
+ e
+
-
-
- Vamos agora mostrar que também valem,
+
+ Vamos agora mostrar que também valem,
-
-
-
-
e
-
- (2.4)
-
-
-
-
- Os segmentos e estão sobre a mesma reta e então do item
- da proposição 2.1 temos que
- a razão
- é preservada pelo deslizamento hiperbólico, ou seja,
- . Levando
- em conta que , temos imediatamente que
-
-
-
+
-
-
- Agora, os triângulos e são triângulos retângulos e e são pontos médios das respectivas
- hipotenusas. O ponto médio da hipotenusa é equidistante aos vértices de um triângulo retângulo, isto é,
-
- e
- . Também, como os segmentos e estão sobre uma mesma reta, a razão
- é
- preservada pelo deslizamento hiperbólico, isto é,
- . Segue que
-
+
+ Figura 2.13:
+
+ Projeções
+
+
+
+ e
+
+
+
+ .
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
- Notemos que os triângulos e são semelhantes. Vamos verificar que também são semelhantes os triângulos
- e . Para isto mostraremos que o ângulo é igual ao ângulo
- . A reta , paralela a
- bissetriz , passa por , intercepta em e intercepta em um ponto que chamaremos de (Figura
- 2.14).
+
+
+
+ . A reta
+
+
+
+ , paralela a
+ bissetriz
+
+
+
+ , passa por
+
+
+
+ , intercepta
+
+
+
+ em
+
+
+
+ e intercepta
+
+
+
+ em um ponto que chamaremos de
+
+
+
+ (Figura
+
+ 2.14
+
+ ).
- Assim,
- . Mais ainda, como o triângulo é retângulo em e é o ponto
- médio da hipotenusa , segue que o triângulo é isósceles e pontanto os ângulos
- e
-
- possuem a mesma medida, isto é,
- . Mas
-
-
- e, portanto,
- .
+
+
+
+ .
Segue disto que
-
-
+
-
-
- Agora,
- e, portanto,
-
-
-
- e como
- então temos,
-
-
-
- como desejado. Isto mostra que os triângulos e são semelhantes. Desta semelhança, segue que
-
- e
-
- e destas igualdades,
-
- e
+
+ e
+
-
-
- Também são semelhantes os triângulos e e desta semelhança, temos
-
- As fórmulas (2.5) e (2.6), juntamente com a relação fundamental (2.3) e as duas
- fórmulas em (2.2), constituem as 5 fórmulas básicas da trigonometria hiperbólica. Com elas podemos
+
+ As fórmulas (
+
+ 2.5
+
+ ) e (
+
+ 2.6
+
+ ), juntamente com a relação fundamental (
+
+ 2.3
+
+ ) e as duas
+ fórmulas em (
+
+ 2.2
+
+ ), constituem as 5 fórmulas básicas da trigonometria hiperbólica. Com elas podemos
deduzir outras fórmulas, como por exemplo, as fórmulas de duplicação de arcos,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e as fórmulas de diferença de arcos,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ e as fórmulas de diferença de arcos,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Vamos agora obter duas outras fórmulas trigonométricas hiperbólicas que serão úteis mais adiante. São fórmulas fáceis
- de serem obtidas, similares às fórmulas obtidas na proposição 1.1. Estamos apresentando-as em virtude do
- uso futuro (na seção 2.8).
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ Vamos agora obter duas outras fórmulas trigonométricas hiperbólicas que serão úteis mais adiante. São fórmulas fáceis
+ de serem obtidas, similares às fórmulas obtidas na proposição
+
+ 1.1
+
+ . Estamos apresentando-as em virtude do
+ uso futuro (na seção
+
+ 2.8
+
+ ).
-
Proposição 2..3
- São válidas as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas
-
-
Para todos e reais,
-
-
-
-
-
-
- (2.7)
-
-
-
-
Para todo
- ,
-
-
-
-
-
-
- (2.8)
-
-
-
-
Para todo
- ,
-
-
-
-
-
-
- (2.9)
-
-
-
-
-
Prova.
-
- Para , temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Os itens e ficam
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
e
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
e a prova está concluída.
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ (
+
+ 2
+
+ .
+
+ 9
+
+ )
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
- 2.3 As funções trigonométricas hiperbólicas
-
-
-
-
-
- Nesta seção, vamos estudar os aspectos das funções trigonométricas hiperbólicas. Primeiro vamos observar os gráficos dessas funções, determinando, com precisão, os respectivos domínios. Também, vamos observar alguns limites importantes em cada uma das funções. Para esse nosso estudo, vamos considerar as funções de uma variável real que a cada valor de associa o seno, ou o cosseno, ou a tangente, ou a cotangente, ou a secante, ou ainda a cossecante hiperbólica de . Vamos olhar uma a uma.
-
-
- Para a função
- , notemos que para cada valor real de , construímos o ângulo hiperbólico
- determinado pelo arco , onde a ordenada do ponto é o seno hiperbólico de .
- Não há nenhuma impossibilidade matemática para e, portanto, o domínio da função
- é todo o conjunto
- dos números reais. Além disso, fazendo variar no conjunto dos reais, os valores resultantes para a ordenada do
- ponto também percorrem o conjunto dos números reais. Desta forma, temos que a função
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- é sobrejetiva. Além disso, para cada
- , é único o valor de que satisfaz , então esta função é
- também injetora. Logo,
- é uma função bijetora.
-
-
- Conforme aumenta (para o infinito) o tamanho do arco também aumenta. Por conseguinte, a ordenada do ponto
- aumenta e o valor de também aumenta indefinidamente. O mesmo ocorre para os valores negativos de . Temos
+
+
+
+ é uma função bijetora.
+
+ Conforme
+
+
+
+ aumenta (para o infinito) o tamanho do arco
+
+
+
+ também aumenta. Por conseguinte, a ordenada do ponto
+
+
+
+ aumenta e o valor de
+
+
+
+ também aumenta indefinidamente. O mesmo ocorre para os valores negativos de
+
+
+
+ . Temos
então
-
-
-
- e
-
-
-
- O gráfico de
- é dado por
-
-
-
-
Figura 2.15:
- Gráfico da função seno hiperbólico.
-
-
-
-
-
-
-
- Podemos notar ainda que é uma função contínua (mostraremos isto formalmente na próxima seção), ímpar e estritamente
+
+
+
+ é dado por
+
+
+ Figura 2.15:
+
+ Gráfico da função seno hiperbólico.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ Podemos notar ainda que é uma função contínua (mostraremos isto formalmente na próxima seção), ímpar e estritamente
crescente.
-
-
- Agora a função
- . Para qualquer valor real , construímos o arco
- hiperbólico associado ao ângulo hiperbólico , cujo cosseno hiperbólico é a abscissa do ponto . Notemos que
- não há nenhuma impossibilidade matemática para o valor de e, sendo assim, o domínio da função
- é o
- conjunto dos números reais. Fazendo variar no conjunto dos números reais, vemos que a abscissa do ponto somente
- poderá assumir valores maiores do que , isto é,
- . Isto significa que esta função não é
- sobrejetora no conjunto dos números reais, mas sim no conjunto
- . Note também que esta função não é
- injetora, pois para qualquer valor de temos
- , isto é, é uma função par. Portanto a função
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- não é bijetora.
-
-
- Conforme o valor de aumenta (para o infinito), o tamanho do arco aumenta e a abscissa do ponto também
- aumenta indefinidamente. Uma análise similar para valores negativos de levam à mesma conclusão. Temos assim,
-
-
-
- e
-
-
-
- O gráfico desta função é dado por
-
-
-
-
Figura 2.16:
- Gráfico da função cosseno hiperbólico.
-
-
-
-
-
-
-
- Para a função
- vamos usar a identidade
- . Fazendo variar no conjunto dos números reais, temos apenas que nos preocupar com o denominador,
- que não pode ser nulo. Como vimos anteriormente, para qualquer valor de , temos que é maior ou igual a 1,
- e, portanto, o denominador da fração anterior, não se anula. Com isto o domínio da função
- é todo o
+
+
+
+ é todo o
conjunto dos números reais.
-
-
- Além disso, como o ponto está entre as retas assíntotas e , temos que a abscissa do ponto é
- sempre maior que a ordenada do ponto em módulo, isto é,
- para qualquer valor de . Isto
- significa que a fração
- resultará sempre valores menores que 1 em módulo, isto é,
-
- .
-
-
- À medida que aumenta indefinidamente, os valores de
- e tendem a se igualar, pois o ponto se
- aproxima da assíntota e isto significa que quando
- os valores de
- se aproximam de 1. No
- caso em que
- então o ponto se aproxima da assíntota e neste caso levamos em conta os sinais
- de
- e . Em outras palavras,
-
-
-
- e
-
-
-
- O gráfico da função
- é dado por
-
-
-
-
Figura 2.17:
- Gráfico da função tangente hiperbólica.
-
-
-
-
-
-
-
- A função
- é uma função monótona crescente, ímpar, limitada e bijetora de
- em .
-
-
- O estudo da função cotangente hiperbólica,
- , também será feito analizando a identidade
- . Para determinar o domínio desta função, como se trata de
- um quociente, precisamos nos preocupar com o anulamento do denominador. O seno hiperbólico se anula somente no ponto e, portanto, o domínio de
- é o conjunto
- .
-
-
- Também, como visto anteriormente, o numerador é sempre maior que o denominador, em módulo. Portanto os valores
- resultantes deste quociente são sempre maiores que 1, em módulo, isto é, a imagem desta função é o conjunto
- . À medida que cresce indefinidamente, os valores de
- e se aproximam (veja
+
+
+
+ e
+
+
+
+ se aproximam (veja
explicação anterior) e, portanto,
-
-
-
- e
-
-
-
- Como o ponto é um ponto crítico desta função, vamos estudar os limites no ponto 0. A medida que se aproxima
- de 0, os valores do denomidador
- , se aproximam de 0 e a fração vai para o infinito. Temos então, com o
+
+
+
+ , se aproximam de
+
+ 0
+
+ e a fração vai para o infinito. Temos então, com o
respectivo estudo de sinal lateral,
-
-
-
- e
-
-
-
- O gráfico desta função é dado por
-
-
-
-
Figura 2.18:
- Gráfico da função cotangente hiperbólica.
-
-
-
-
-
-
-
- A função
- é uma função ímpar e bijetora do conjunto
- no conjunto
- .
-
-
- Para a função
- , o domínio é o conjunto dos
+
+
+
+ ,
+
+
+ o domínio é o conjunto dos
números reais, uma vez que o denominador nunca se anula, mais do que isto, o denominador é sempre maior ou igual a 1.
- Portanto, os valores assumidos pelo quociente
- , serão sempre positivos e menores ou iguais a e,
+
+
+
+ , serão sempre positivos e menores ou iguais a
+
+
+
+ e,
desta forma, a função é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1. Além disso, como cosseno hiperbólico é uma
função par, então a função secante também será uma função par.
-
-
- À medida que cresce indefinidamente, o denominador também cresce indefinidamente e, portanto,
-
-
-
-
-
-
-
- O gráfico desta função é
-
-
-
-
Figura 2.19:
- Gráfico da função secante hiperbólica.
-
-
-
-
-
-
-
- A cossecante hiperbólica é dada pelo quociente
- e desta forma, seu domínio é o conjunto dos números reais tais que o denominador não se anula, isto
- é,
- . A imagem por sua vez é também o conjunto
- já que a fração
- jamais se anula.
- Conforme cresce (para o infinito), o denominador também cresce (para o infinito) e, assim,
-
-
-
-
-
-
-
- Próximo do ponto crítico os valores do denominador também estarão próximos de 0 e, portanto, fazendo o estudo
+
+
+
+
+
+ Próximo do ponto crítico
+
+
+
+ os valores do denominador também estarão próximos de
+
+ 0
+
+ e, portanto, fazendo o estudo
de sinal, temos
-
-
-
- e
-
-
-
- O gráfico da função cossecante hiperbólica é
-
-
-
-
Figura 2.20:
- Gráfico da função cossecante hiperbólica.
-
-
-
-
-
-
-
- A função cossecante hiperbólica é uma função ímpar bijetora de
- em
- . É decrescente em cada um dos
+
+
+
+ . É decrescente em cada um dos
semi-eixos positivo e negativo.
-
-
- A relação completa das funções trigonométricas hiperbólicas, com os domínios e imagens é resumida na próxima tabela.
-
-
-
-
-
-
Tabela 2.1:
- Domínio e imagem das funções trigonométricas hiperbólicas.
-
-
-
-
função
-
domínio
-
imagem
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- 2.4 Continuidade das funções trigonométricas hiperbólicas
-
-
-
- Agora vamos mostrar que as funções trigonométricas hiperbólicas são contínuas em cada um dos pontos de definição destas
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ 2.4 Continuidade das funções trigonométricas hiperbólicas
+
+
+
+ Agora vamos mostrar que as funções trigonométricas hiperbólicas são contínuas em cada um dos pontos de definição destas
funções. Mais precisamente, mostraremos que
-
-
Prova.
-
- Vamos estudar os limites laterais e verificar que são ambos iguais a 1. Para obter o limite quando
-
- podemos considerar que . Consideremos o arco hiperbólico , relacionado com o ângulo hiperbólico e a
- reta paralela ao eixo que passa por . Esta reta intercepta o segmento em um ponto que denominaremos
- (Ver figura 2.21).
-
-
-
-
Figura 2.21:
- Visualização geométrica do limite
-
-
-
-
-
-
-
- Nestes termos, sabemos que a área do setor hiperbólico (a área sombreada da figura (2.5)) é igual
- a
- , a área do triângulo é igual a
- e a área do triângulo retângulo é igual
- a
- . Também a área do triângulo é menor que a área do
- setor hiperbólico que por sua vez é menor que a área do triângulo , ou seja,
-
-
-
-
-
-
-
- Multiplicando tudo por 2 e dividindo tudo por
- (que é positivo), temos
-
-
-
-
-
- ou ainda,
-
-
-
-
-
-
-
- Da primeira desigualdade temos que
- e, usando isto, temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Desta forma
- e, reorganizando os termos, temos
-
-
-
-
-
- e como
- então , o que nos permite obter
- . Segue que
-
-
-
-
-
-
-
- Passando agora o limite na desigualdade, quando
- , temos que o limite do termo do lado esquerdo existe e é
- igual a 1 e o limite do lado direito também existe e é igual a 1, pois
- é uma função contínua em . Temos então pelo teorema do confronto (teorema do sanduíche) que
-
-
-
-
-
-
-
- O caso em que , é obtido observando que a função
- é uma função par. Assim o comportamento à
+
+
+
+ é uma função par. Assim o comportamento à
esquerda de 0 é o mesmo comportamento à direita de zero. Temos então
-
-
-
-
-
- e, portanto,
-
-
-
-
-
-
o que encerra esta demonstração.
-
-
-
-
-
Teorema 2.5
- As funções seno e cosseno hiperbólico são contínuas em , isto é,
-
+
+
+ e
+
+
+
+
+
+ Prova
+
+ .
-
- e
-
-
-
-
Prova.
-
- Para o primeiro limite, supondo primeiro (mais precisamente ), usamos a desigualdade obtida no teorema
+ Para o primeiro limite, supondo primeiro
+
+
+
+ (mais precisamente
+
+
+
+ ), usamos a desigualdade obtida no teorema
anterior
-
-
-
-
-
- e o teorema do confronto garante que
- . Para lembremos que cosseno
+
+
+
+ . Para
+
+
+
+ lembremos que cosseno
hiperbólico é uma função par e então como na demonstração do teorema anterior,
-
-
-
-
-
- e isso prova o primeiro limite.
-
-
- Para provar o segundo limite, usaremos o item (c) do teorema 1.2. Como os limites de
- e de
- existem quando então o limite do produto existe e
-
-
-
-
-
-
-
- Agora, como
- para todo então do teorema 1.4 segue que
-
-
+
+ Prova
+
+ .
Usando a identidade trigonométrica para a soma de arcos do cosseno hiperbólico, temos que
-
-
-
-
-
- e dos itens (a) e (b) do teorema 1.2, segue que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Usando agora a identidade trigonométrica para a soma de arcos do seno hiperbólico, temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
e isso termina esta demonstração.
-
-
-
-
- Os limites indicados no início desta seção seguem agora imediatamente do teorema de mudança de variáveis 1.5,
+
+
+
+ e dos itens (a) e (b) do teorema
+
+ 1.2
+
+ , segue que
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ Usando agora a identidade trigonométrica para a soma de arcos do seno hiperbólico, temos
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ e isso termina esta demonstração.
+
+
+
+
+
+
+
+ Os limites indicados no início desta seção seguem agora imediatamente do teorema de mudança de variáveis
+
+ 1.5
+
+ ,
e dos limites que acabamos de provar.
-
-
-
Corolário 2.7
- As funções seno e cosseno hiperbólicos são contínuas em qualquer ponto
- , isto é,
-
-
-
- e
-
-
-
- Vamos agora analisar a continuidade das outras quatro funções trigonométricas hiperbólicas, já que estas são escritas
- como um quociente em termos de seno e cosseno. Usando o item (d) do teorema 1.2, podemos facilmente provar as
+
+
+ e
+
+
+
+
+ Vamos agora analisar a continuidade das outras quatro funções trigonométricas hiperbólicas, já que estas são escritas
+ como um quociente em termos de seno e cosseno. Usando o item (d) do teorema
+
+ 1.2
+
+ , podemos facilmente provar as
afirmações a seguir.
-
-
- As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas são contínuas nos seus domínios de definição. Isto
+
+
+ As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas são contínuas nos seus domínios de definição. Isto
é,
-
-
-
-
-
- , para todo
- ,
-
-
-
- , para todo
- com ,
-
-
-
- , para todo
- e
-
-
-
- , para todo
- com .
-
-
-
-
-
-
-
- 2.5 Derivadas de funções trigonométricas hiperbólicas
-
-
-
-
-
-
- Vamos agora deduzir as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas. Para isto usaremos primeiro a definição de
+
+
+
+ com
+
+
+
+ .
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ 2.5 Derivadas de funções trigonométricas hiperbólicas
+
+ Vamos agora deduzir as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas. Para isto usaremos primeiro a definição de
derivada, isto é,
-
-
-
-
-
- para encontrar as derivadas de
- e . Depois usaremos a regra do quociente para obter as derivadas das
+
+
+
+ e
+
+
+
+ . Depois usaremos a regra do quociente para obter as derivadas das
demais funções trigonométricas hiperbólicas. Antes precisamos determinar um limite importante.
-
-
+
+ Prova
+
+ .
Vamos modificar um pouco o quociente deste limite e usar a proposição anterior. Notemos que
-
-
-
-
-
-
-
- Usando agora a identidade fundamental (2.3) no membro da direita, temos que
-
-
-
-
-
-
-
- Olhando para o membro da direira, temos que, o limite da primeira fração quando existe e é igual a 1
- (proposição 2.4) e o limite da segunda fração quando também existe por ser uma função contínua
- em . Desta forma o limite do produto existe quando e,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
e a prova está terminada.
-
-
-
-
- Agora temos condições de deduzir as fórmulas de derivada para as funções trigonométricas seno e cosseno
- hiperbólicos. Para a função seno hiperbólico temos que a derivada é dada por,
-
-
-
-
-
- em todos os valores
- tais que o limite existe.
-
-
- Assim,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- para todo
- tal que o limite acima existe.
-
-
- Mas os limites de
- e
- existem para todo
- e assim,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+ e assim,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
- para todo
- .
-
-
- Para a função cosseno hiperbólico, temos que
-
-
-
-
-
- para todo
- tal que o limite exista. Para tais , temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Como os limites de cada uma das frações
- e
- existem para
- todo
- então
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+ então
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
- para todo
- .
-
-
- Para as demais funções trigonométricas hiperbólicas usaremos as identidades em termos de seno e cosseno hiperbólico e a
- regra de derivação do quociente. Já que as funções seno e cosseno hiperólico são diferenciáveis em todo
-
- então os quocientes de definição das demais funções trigonométricas hiperbólicas são diferenciáveis em todos os pontos
+
+
+
+ então os quocientes de definição das demais funções trigonométricas hiperbólicas são diferenciáveis em todos os pontos
onde o denominador não se anula.
-
-
- A função
- é diferenciável em todo
- e
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Para a função cotangente, temos em todo
- ,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- E, finalmente, para todo
- ,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- e também, para todo
- ,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- A tabela abaixo, reúne as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas hiperbólicas. O conjunto domínio
+
+
+
+ ,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ A tabela abaixo, reúne as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas hiperbólicas. O conjunto domínio
descrito na tabela é o domínio da derivada. Note a semelhança com o caso circular.
-
-
-
-
-
-
Tabela 2.2:
- Derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas.
+ Nesta seção, vamos definir as funções trigonométricas inversas, estabelecendo os domínios, as imagens e indicando
alguns limites importantes. Também apresentaremos os gráficos destas funções. Este não é um trabalho muito fácil pois,
como acabamos de ver, as funções trigonométricas hiperbólicas não são todas elas bijetoras. Já passamos por este
-problema na seção 1.5 com as funções trigonométricas circulares. Vamos impor, quando necessário, condições
+problema na seção
+
+ 1.5
+
+ com as funções trigonométricas circulares. Vamos impor, quando necessário, condições
de restrição de domínio e de imagem para tornar as funções bijetivas.
-
-
-Comecemos com a função seno hiperbólico, que como vimos anteriormente, é uma função bijetora de
- em
-. Desta
-forma, podemos obter a função inversa do seno hiperbólico, para qualquer valor real. Dado
-, o seno
-hiperbólico inverso de , é o número , representado por
-, que satisfaz
-. É usual
-representar também a função seno hiperbólico inverso por
- e lemos “arco seno
-hiperbólico”. Vamos usar neste texto a primeira notação e lembre-se de não confundir
- com
-. A segunda expressão é o inverso multiplicativo do seno hiperbólico, ou seja a cossecante hiperbólica.
-
-
-Fazendo variar em
-, temos a função seno hiperbólico inverso,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-que satisfaz a relação
-. Se fizermos tender para o infinito, a relação
- nos diz que
-também deve ir para o infinito e analogamente para
-. Temos assim,
-
-
-
- e
-
-
-
-Valem as seguintes relações inversas,
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
-
-O gráfico da função seno hiperbólico inverso, é da forma,
-
-
-
-
Figura 2.22:
-Gráfico de seno hiperbólico inverso.
-
-
-
-
-
-
-
-A função cosseno hiperbólico não é uma função bijetora. Lembremos que seu domínio é
-, mas sua imagem é o
-subconjunto
-. Restringindo o contradomínio a
- tornamos esta função sobrejetora.
-Também a função cosseno hiperbólico, definida em todo o domínio
-, não é injetora. Vamos então restringir o domínio
+
+
+
+ , não é injetora. Vamos então restringir o domínio
desta função ao conjunto dos reais não negativos. Temos assim que a função cosseno hiperbólico é bijetora de
-
- em
-. Por restrição, podemos então definir a função cosseno hiperbólico inverso, denotada por
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-e que satisfaz a relação
-. Levando ao infinito, a relação
- nos mostra que também vai
-para o infinito. No outro extremo do intervalo de definição, isto é, quando tende para 1 (somente pela direita), a
-mesma relação mostra que vai para 0. Então,
-
-
-
- e
-
-
-
-O gráfico desta função é a curva da figura abaixo.
-
-
-
-
Figura 2.23:
-Gráfico da função cosseno hiperbólico inverso.
-
-
-
-
-
-
-
-Ocorrem as seguintes relações inversas,
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
-
-A função tangente hiperbólica é uma função injetora do conjunto
- no conjunto
-, mas não é sobrejetora já que o
-conjunto imagem é o intervalo . Restringindo o contradomínio temos a bijetividade da função tangente
-hiperbólica de
- em . Definimos então a função tangente hiperbólica inversa,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-com e satisfazendo
-. Vamos observar o seu comportamento nos extremos do intervalo. Quando tende
-a 1 (pela esquerda) então a relação
- mostra que deve ir para o infinito. Analogamente se
-então vai para . Resumindo,
-
-
-
- e
-
-
-
-O gráfico da função tangente hiperbólica inversa,
-
-
-
-
Figura 2.24:
-Gráfico da função tangente hiperbólica inversa.
-
-
-
-
-
-
-
-As relações inversas são
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
-
-A função cotangente hiperbólica também é uma função bijetora do conjunto
- no conjunto
-. Desta forma, definimos a função cotangente hiperbólica inversa por,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-desde que
-. Analisando os extremos do intervalo de definição, temos que quando
- a relação
-
- nos diz que isto ocorre quando vai para 0 (com valores negativos). Analogamente, quando
- então deve ocorrer (com valores positivos). Fazendo
- então, a mesma relação anterior,
-nos diz que deve ir para e analogamente
- quando
-. Resumindo,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-O gráfico desta função é dado por
-
-
-
-
Figura 2.25:
-Gráfico da função cotangente hiperbólica inversa.
-
-
-
-
-
-
-
-Valem as seguintes relações de inversão,
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
-
-Para a secante hiperbólica, temos alguns problemas como no caso do cosseno hiperbólico inverso. O domínio da
-função secante hiperbólica é o conjunto
- e a imagem é o conjunto . Mas esta função não é injetora de
-
-em . Então vamos restringir o conjunto domínio para os reais não negativos. Assim, a função secante hiperbólica
-é bijetiva de
- em e podemos definir a função secante hiperbólica inversa
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-satisfazendo
-. Quando (pela direita), a relação
- diz que deve estar indo para o infinito por valores positivos e consequentemente deve estar indo para o infinito.
-Quando vai para 1 (pela esquerda) então está indo para 1 e deve estar se aproximando de 0. Temos
+
+
+
+ diz que
+
+
+
+ deve estar indo para o infinito por valores positivos e consequentemente
+
+
+
+ deve estar indo para o infinito.
+Quando
+
+
+
+ vai para 1 (pela esquerda) então
+
+
+
+ está indo para 1 e
+
+
+
+ deve estar se aproximando de 0. Temos
então
-
-
-
- e
-
-
-
-As relações inversas ficam,
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
-
-Graficamente, temos
-
-
-
-
Figura 2.26:
-Gráfico de secante hiperbólica inversa.
-
-
-
-
-
-
-
-Finalmente, lembremos que a função cossecante hiperbólica é bijetora do conjunto
- no conjunto
-.
-Definimos então a função cossecante hiperbólica inversa
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-que também satisfaz
-. Esta relação explica também os limites. Quando
-
-então
- deve ir para 0 por valores negativos e então deve ir para 0 também por valores negativos.
-Analogamente, quando
-,
- deve ir para 0 por valores positivos e então deve ir também para 0
-por valores positivos. Se por valores positivos então
- deve ir para o infinito e
-
-também. Da mesma forma, se por valores negativos, então
- vai para e consequentemente,
- também. Resumindo,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-O gráfico desta função é representado por
-
-
-
-
Figura 2.27:
-Gráfico da função cossecante hiperbólica inversa.
-
-
-
-
-
-
-
-São válidas as relações de inversão,
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
-
-A relação completa de funções trigonométricas hiperbólicas inversas com seus respectivos domínios de definição e
+
+
+
+ também. Resumindo,
+
+
+ Figura 2.27:
+
+ Gráfico da função cossecante hiperbólica inversa.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ São válidas as relações de inversão,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para todo
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para todo
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ A relação completa de funções trigonométricas hiperbólicas inversas com seus respectivos domínios de definição e
conjunto imagem é dada na próxima tabela.
-
-
-
-
-
Tabela 2.3:
-Domínio e imagem das funções trigonométricas hiperbólicas inversas.
-
-
-
-
função
-
domínio
-
imagem
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- 2.7 Continuidade das funções trigonométricas hiperbólicas inversas
-
-
-
- O procedimento adotado aqui não tem diferenças do procedimento adotado para as funções trigonométricas circulares. O
- teorema 1.11 se aplica às funções trigonométricas hiperbólicas em seus respectivos domínios de definição.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ 2.7 Continuidade das funções trigonométricas hiperbólicas inversas
+
+
+
+ O procedimento adotado aqui não tem diferenças do procedimento adotado para as funções trigonométricas circulares. O
+ teorema
+
+ 1.11
+
+ se aplica às funções trigonométricas hiperbólicas em seus respectivos domínios de definição.
Vamos omitir os detalhes. Entretanto entendemos deste ponto em diante que cada função trigonométrica inversa é contínua
nos seus respectivos domínios de definição respeitando a lateralidade nos extremos fechados destes domínios.
-
-
- Temos assim, que
-
-
-
-
-
-
para todo
-
- ,
-
-
-
-
para todo
-
- ,
-
-
-
-
para todo
-
- ,
-
-
-
-
para todo
-
- ,
-
-
-
-
para todo
-
- ,
-
-
-
-
para todo
-
- .
-
-
-
-
-
-
-
- 2.8 Derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas inversas
-
- Considerando a função
- , para todo
- , queremos agora derivar em relação a e obter
-
- . Sabemos que neste caso é válida a relação
- . Lembre-se que é variável dependente
- de e, por isto, quando derivarmos devemos usar diferenciação implícita. Nestes termos, derivando em relação a
- os dois membros de
- , temos
-
-
-
-
-
-
-
- Como queremos determinar
- basta agora isolar este termo. Obtemos
-
-
-
-
-
-
-
- Mas claro que desejamos obter esta derivada como função de novamente. Precisamos então substituir a variável
- dependente do segundo membro pela variável independente . A única expressão que faz esta substituição é a
- própria relação
- . Assim, vamos substituir o termo por alguma expressão que contenha
- .
- Usando a relação fundamental (2.3), temos
-
-
-
-
-
- para todo
- .
-
-
- Tomamos agora a função
- , definida para todo
- . Derivando implicitamente a
- igualdade
- com relação a , para todo , obtemos
-
-
-
-
-
-
-
- Isolando agora o termo
- , como feito para o caso do seno hiperbólico e usando a relação fundamental
- (2.3), obtemos
-
-
-
-
-
- para todo . Note que esta derivada não está definida para .
-
-
- Para a função
- , definida no intervalo , derivamos a igualdade
- com relação
- a , obtendo
-
-
-
-
-
-
-
- Reorganizando os termos e usando a igualdade (2.8), da proposição 2.3, vem
-
-
-
-
-
- para todo
- .
-
-
- Considerando
- , definida para todo
- , vamos derivar a
- igualdade
- com respeito a . Obtemos
-
-
-
-
-
-
-
- Isolando o termo
- e usando a identidade (2.9) da proposição 2.3,
+
+
+
+ e usando a identidade (
+
+ 2.9
+
+ ) da proposição
+
+ 2.3
+
+ ,
temos
-
-
-
-
-
- para
- .
-
-
- Tomando agora a função
- , que está definida para todo
- , temos
- , com
-
- . Derivando em relação a , obtemos
-
-
-
-
-
- para todo
- . Então,
-
-
-
-
-
-
-
- Usaremos a identidade (2.8) da proposição 2.3, válida para
- . Extraindo a
- raiz quadrada em ambos os membros de (2.8), temos que
-
-
-
-
-
-
-
- Como
- o termo
- do lado esquerdo é sempre positivo. Descartamos então o módulo, obtendo
-
-
-
-
-
-
-
- Finalmente para a função
- , definida para todo
- , escrevemos
- , com
-
- e derivando implicitamente em relação a , obtemos
-
-
-
-
-
- que nos fornece
-
-
-
-
-
-
-
- Vamos usar a igualdade (2.9), da proposição 2.3, válida para
- . Extraímos a
- raiz quadrada em ambos os membros de (2.9) para obter
-
-
-
-
-
-
-
- Observe que
- não é sempre positiva para
- e isto nos impede de descartar o módulo. Mas
- é sempre positivo. Então temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- donde segue que
-
-
-
-
-
- para todo
- .
-
-
- Vamos resumir as fórmulas desta seção na próxima tabela.
-
-
-
-
Tabela 2.4:
- Derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas inversas.
-
-
-
-
função
-
domínio
-
derivada
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Note que as derivadas das funções
- e
- são iguais, porém estão definidas em conjuntos
+
+
+
+ são iguais, porém estão definidas em conjuntos
disjuntos, isto é, conjuntos que não possuem pontos em comum.
-
-Como sabemos, o logaritmo é a função inversa da função exponencial, com a devida restrição no domínio e na imagem. É
+
+
+
+
+
+
+ e
+
+
+
+
+ (
+
+ 3
+
+ .
+
+ 1
+
+ )
+
+
+
+
+
+
+ Como sabemos, o logaritmo é a função inversa da função exponencial, com a devida restrição no domínio e na imagem. É
natural então pensarmos que as funções trigonométricas hiperbólicas inversas possam ser escritas como logaritmos. Isto
de fato ocorre e também mostraremos como são obtidas as fórmulas
-
-
-
-
-
e
-
- (3.2)
-
-
-
-
-Identidades similares às identidades em (3.1) e em (3.2) também são válidas para a trigonometria
+
+
+
+
+
+
+ e
+
+
+
+
+ (
+
+ 3
+
+ .
+
+ 2
+
+ )
+
+
+
+
+
+
+ Identidades similares às identidades em (
+
+ 3.1
+
+ ) e em (
+
+ 3.2
+
+ ) também são válidas para a trigonometria
circular. Entretanto neste caso será necessário o envolvimento de variáveis complexas.
-
-
-
-
-
- 3.1 Método das séries de potência
-
-
-
-O método que utilizaremos para provar as identidades em (3.1) nesta seção é o método das séries de potência e
+
+ O método que utilizaremos para provar as identidades em (
+
+ 3.1
+
+ ) nesta seção é o método das séries de potência e
então faremos primeiramente uma breve introdução às séries de potência de variáveis reais. Para um estudo mais
-aprofundado sobre séries de potências recomendamos [8, Swokowski].
-
-
-
Definição 3.1
-Se é uma variável real independente, então uma série de potências em é uma soma infinita da forma,
-
-
-
-
-
-sendo que cada termo é um número real, chamado de coeficiente da -ésima potência de .
-
-
-
-Observe que o primeiro termo da série é
-. Para simplificar a notação, estamos supondo que mesmo
-para .
-
-
-Se a soma infinita existir e for um número real , então dizemos que a série converge, ou ainda, que converge para
-. Se a soma não existir então a série é dita divergente. Naturalmente a convergência de uma série de potências está
-condicionada aos termos e principalmente ao valor da variável .
-
-
-Observe que para a série se reduz a um único termo e, portanto, é uma série convergente (para ). O que
-realmente interessa é se existem outros valores de , além de , para os quais a série de potências é
-convergente. Nestes termos um fato importante é a determinação dos valores de que tornam uma série de potências
-convergente, isto é, determinar os valores de para os quais a soma infinita existe.
-
-
-O conjunto dos valores de que tornam a série convergente é um intervalo, centrado em 0 e com raio . É um
-intervalo do tipo , podendo ainda ser fechado em algum dos extremos. Para determinar este intervalo
-usamos, em geral, o chamado teste da razão (Critério de D'Alembert).
-
-
Teorema 3.2 (Teste da razão)
-Dada uma série
-, então
-
-
Se
-, a série é absolutamente
+
+
+
+ , a série é absolutamente
convergente (e, portanto, convergente).
-
-
Se
-, a série é divergente.
-
-
-
-Para os valores de que tornam a série convergente, definimos uma função , cujo domínio é o intervalo de
-convergência da série. O recíproco disto é uma pergunta mais interessante. Dada uma função definida em algum
-intervalo
-, é possível obter uma série de potências
- de forma que
-
-para todo ? Mais ainda, se existir tal série, como devem ser os coeficientes ? A segunda pergunta
+
+
+
+ para todo
+
+
+
+ ? Mais ainda, se existir tal série, como devem ser os coeficientes
+
+
+
+ ? A segunda pergunta
é respondida pelo teorema de Maclaurin.
-
-
-
Teorema 3.3 (Teorema de Maclaurin)
-Se é uma função que admite uma representação por série de potências de ,
-
-
-
-
-
-para todo
-, então é uma função infinitamente diferenciável no ponto e mais ainda,
-
-
-
-
-
-para todo
-.
-
-
-
-Este teorema nos diz principalmente que os coeficientes , da série de potências de uma função, são
-respectivamente
-, sendo que a notação refere-se à derivada de ordem da função .
-
-
-Para exemplificar o processo, vamos obter as séries de potência de algumas funções de interesse como
-, ,
-, e , assumindo que estas funções admitem uma representação em série de potências em algum
-intervalo . Este não deve ser um trabalho difícil neste momento pois conhecemos as derivadas destas funções.
-Assim, parece não haver problemas significativos para a determinação dos coeficientes das séries de potências
+
+
+
+ ,
+
+
+
+ e
+
+
+
+ , assumindo que estas funções admitem uma representação em série de potências em algum
+intervalo
+
+
+
+ . Este não deve ser um trabalho difícil neste momento pois conhecemos as derivadas destas funções.
+Assim, parece não haver problemas significativos para a determinação dos coeficientes
+
+
+
+ das séries de potências
destas funções.
-
-
-Primeiramente, vamos à série de potências da função . Esperamos encontrar uma série de potências em , de
+
+
+ Primeiramente, vamos à série de potências da função
+
+
+
+ . Esperamos encontrar uma série de potências em
+
+
+
+ , de
forma que,
-
-
-
-
-
-
-
-De acordo com o teorema de Maclaurin, devemos ter
- para todo
-. Como sabemos,
-a função exponencial
- possui derivadas de qualquer ordem contínuas e mais ainda
- para
-qualquer
-. Então os coeficientes da série de Maclaurin ficam
-
-
-
-
-
-e assim temos que
-
-
-
-
-
-
- (3.3)
-
-
-
-
-Podemos determinar (pelo teste da razão) que a série do lado direito converge para todo
-, já que para qualquer
-,
-
-
-
-
-
-e, portanto, a igualdade (3.3) é válida para todo
-.
-
-
-Consideremos agora a função
-. Queremos determinar os coeficientes
- para
-todo
-. Dos resultados dos capítulos anteriores, temos que se é par,
- e se é
-ímpar
-. Desta forma, os coeficientes são dados por
-
-
-
-
+
-
-
-
-Substituindo estes coeficientes na série de potências temos que
-
-
-
-
-
-
- (3.4)
-
-
-
-
-A série do lado direito converge (pelo teste da razão) para qualquer
-, pois para todo
- temos
-
-
-
-
-
-e, portanto, a igualdade (3.4) é válida para todo real.
-
-
-Com raciocínio similar desenvolvemos a série de potências para a função
-. Lembremos que agora,
-
- se é par e
- se é ímpar. Então, contrariamente ao caso anterior,
-
-
-
-
+
-
-
-
-Desta forma, temos
-
-
-
-
-
-
- (3.5)
-
-
-sendo também esta igualdade verdadeira para todo
-.
-
-
-Dada agora a função
-, queremos determinar para todo
- os coeficientes
- da série de potências de . Dos resultados anteriores, sabemos que se é par,
-
- e se é ímpar
-. Desta forma, os
+
+
+
+ . Desta forma, os
coeficientes são
-
-
-
-
+
-
-
-
-Observe que os termos
- para ímpar, são alternadamente 1 e -1. Substituindo estes coeficientes
+
+
+
+ para
+
+
+
+ ímpar, são alternadamente 1 e -1. Substituindo estes coeficientes
na série de potências temos que
-
-
-
-
-
-
- (3.6)
-
-
-
-
-A série do lado direito converge (pelo teste da razão) para qualquer
-, já que
-
-
-
-
-
-para qualquer
-. Segue que a igualdade (3.6) é válida para todo real.
-
-
-Com raciocínio similar a este abordamos a função
-. Lembremos que,
- se é par e
- se é ímpar. Então, contrariamente ao caso anterior,
-
-
-
-
+
-
-
-
-Desta forma, temos
-
-
-
-
-
-
-(3.7)
-
-
-sendo também esta igualdade verdadeira para todo
-.
-
-
-Vamos usar agora as séries de potência obtidas anteriormente para verificar a validade das igualdades em
-(3.1). Consideremos primeiro a série de potência da função exponencial em 3.1,
-
-
-
-
-
-válida para todo
-. Naturalmente se substituirmos na série por obtemos a série de potências para a
-função . Isto também pode ser feito como anteriormente, determinando-se os coeficientes
- para a série de potências da função
-. Isto nos leva aos coeficientes
-. De qualquer forma teremos
-
-
-
-
-
-para todo
-. Somando as série de potências de e de obtemos,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-Agora lembremos que a série do lado direito é exatamente a série de potências da função cosseno hiperbólico (Ver
-(3.5)). Desta forma temos que
-
-
-
-
-
-donde segue que
-
-
-
-
-
-
-
-Por outro lado, fazendo a diferença entre as séries de potências das funções e , temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-e lembrando que o lado direito é a série de potências da função seno hiperbólico (Ver (3.4)), temos que
-
-
-
-
-
-donde segue
-
-
-
-
-
-
-
-Fica assim verificada a validade das fórmulas exponenciais, que são comumente utilizadas para definir as funções
+
+
+
+
+
+ Fica assim verificada a validade das fórmulas exponenciais, que são comumente utilizadas para definir as funções
trigonométricas hiperbólicas. Com estas duas igualdades, podemos escrever as demais funções trigonométricas
hiperbólicas também em termos da função exponencial. São
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
para
-
-
-
-
-
-
-
- 3.2 Método das equações diferenciais
-
-
-
- Nesta seção, provaremos as identidades em (3.1) usando o método das equações diferenciais. Precisamos
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ 3.2 Método das equações diferenciais
+
+
+
+ Nesta seção, provaremos as identidades em (
+
+ 3.1
+
+ ) usando o método das equações diferenciais. Precisamos
naturalmente alguns resultados em relação às equações diferenciais. Para um estudo mais aprofundado sobre equações
- diferenciais recomendamos [10, Zill].
-
-
-
Definição 3.4
- Uma equação diferencial ordinária, de ordem , é uma equação que envolve uma variável real independente , uma
- função e suas derivadas
- , de forma que o coeficiente de seja não nulo.
-
-
-
- São exemplos de equações diferencias ordinárias:
-
Definição 3.5
- Uma equação diferencial ordinária linear, de ordem , é uma equação diferencial que seja linear nas componentes
- , para todo
- . É uma expressão da forma,
-
-
-
-
-
- sendo que as funções coeficientes , para todo
- e a função , são contínuas para todo
- em um certo intervalo de interesse . Também é não identicamente nula em . Quando
- ,
+
+
+
+ ,
então dizemos que a equação diferencial é homogênea.
-
-
-
Definição 3.6
- Qualquer função , definida num intervalo , que satisfaz a equação diferencial neste intervalo, é dita uma
- solução para a equação diferencial em .
-
-
-
- As funções
- ,
- e
- (), são soluções das equações
- diferenciais (3.8), (3.10) e (3.11), respectivamente. A solução da equação diferencial (3.9)
- é dada implicitamente por
- , para
- .
-
-
- Embora a ideia seja bastante simples, encontrar uma solução para uma equação diferencial dada, não é tarefa simples. Os
+
+
+
+ .
+
+
+ Embora a ideia seja bastante simples, encontrar uma solução para uma equação diferencial dada, não é tarefa simples. Os
métodos conhecidos nos permitem determinar soluções de uma classe muito pequena de equações diferenciais. Mesmo assim,
algumas destas equações não possuem solução explícita.
-
-
- Não é do nosso interesse estudar aqui os métodos para obtenção de soluções de uma equação diferencial. Entretanto é
+
+
+ Não é do nosso interesse estudar aqui os métodos para obtenção de soluções de uma equação diferencial. Entretanto é
importante saber que nem sempre uma solução para uma equação diferencial é única. Podemos verificar que a função
-
-
-
-
-
- é uma solução da equação
- , para quaisquer valores reais de e . Para podermos determinar os
- valores de e são necessárias informações adicionais, chamadas de condições iniciais. Como veremos mais
+
+
+
+ , para quaisquer valores reais de
+
+
+
+ e
+
+
+
+ . Para podermos determinar os
+ valores de
+
+
+
+ e
+
+
+
+ são necessárias informações adicionais, chamadas de condições iniciais. Como veremos mais
tarde, dentro de certas hipóteses, uma equação diferencial munida de condições iniciais possui solução única.
-
-
-
Definição 3..7
- Um problema de valor inicial, ou PVI, consiste de uma equação diferencial ordinária, de ordem , juntamente com
- restrições. Tais restrições são chamadas de condições iniciais. É um problema da forma,
-
-
-
-
+
-
- sendo que é um ponto de interesse no intervalo e os valores , para
- , são
+
+
+
+ , são
números reais conhecidos.
-
-
-
- Cuidado para não confundir um PVI com uma equação diferencial. Um PVI é um conjunto de uma equação diferencial
+
+
+
+ Cuidado para não confundir um PVI com uma equação diferencial. Um PVI é um conjunto de uma equação diferencial
juntamente com condições iniciais.
-
-
- Como exemplo, vamos agora considerar a equação diferencial de ordem 2, mencionada anteriormente
- , a sua
- “família” de soluções dada por
- e impor duas condições iniciais que permitirão
- determinar os valores de e . Tomemos o PVI,
-
-
-
-
-
- e substituindo as duas condições iniciais, temos que
-
-
-
-
-
e
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- o que nos leva a uma única solução do PVI dado, que é
-
-
-
-
-
-
-
- O próximo teorema, é a chave para o nosso objetivo. Sua demonstração é que não é do nosso interesse, pois além de não
+
+
+
+
+
+ O próximo teorema, é a chave para o nosso objetivo. Sua demonstração é que não é do nosso interesse, pois além de não
ser o objetivo principal deste capítulo, é um tanto complexa e exige ferramentas que não abordamos como por exemplo o
teorema de ponto fixo de Banach. Desta forma, vamos omitir a sua demonstração. O leitor interessado nesta demonstração
- poderá consultar algum texto de Equações Diferenciais (ordinárias). Sugerimos [10, Zill].
-
-
-
Teorema 3.8 (Teorema de Picard)
- Se as funções , para todo
- e , forem contínuas em um intervalo , com
- para todo e é um ponto de , então o PVI
-
-
-
-
+
-
- possui uma única solução , neste intervalo.
-
-
-
- Agora estamos prontos para estabelecer as identidades mencionadas no início deste capítulo. Para isto, consideremos
- primeiro o problema de valor inicial, definido em
- ,
-
-
-
-
+
-
-
-
- Notemos que a função
-
-
-
-
-
- é solução do PVI dado. Mas, do que vimos nos capítulos anteriores a respeito das funções trigonométricas hiperbólicas,
- a função
- , satisfaz a equação diferencial, pois
-
-
-
-
-
- para todo real e, além disso,
- satisfaz as duas condições iniciais,
-
-
-
- e
-
- donde temos que
- é também uma solução do PVI. Mas o Teorema de Picard, garante que a solução deste
- PVI é única e, portanto, as duas soluções coincidem para todo
- , isto é,
-
-
-
-
-
- qualquer que seja
- .
-
-
- Para a segunda fórmula em (3.1), consideremos outro problema de valor inicial, também definido em
- ,
-
-
-
-
+
-
-
-
- Observe que, comparando com o PVI anterior, apenas trocamos as condições iniciais. Nestes termos, a função
-
-
-
-
-
- é solução deste novo PVI. Entretanto, do que vimos nos capítulos anteriores, a função
- também
+
+
+
+ também
satisfaz a equação diferencial,
-
-
-
-
-
- para todo real e as duas condições inicias,
-
-
-
- e
-
- e, dessa forma,
- também é solução do PVI, para todo
- . Do Teorema de Picard, segue que as
- duas soluções coincidem para todo
- , isto é,
-
-
-
-
-
- para todo
- .
-
-
-
-
-
-
- 3.3 As fórmulas logarítmicas
-
-
-
- Esta seção é dedicada à obtenção das igualdades logarítmicas em (3.2), além das igualdades correspondentes às
+
+
+
+ .
+
+ Esta seção é dedicada à obtenção das igualdades logarítmicas em (
+
+ 3.2
+
+ ), além das igualdades correspondentes às
outras quatro funções trigonométricas hiperbólicas inversas.
-
-
- Dados
- de forma que
- , já sabemos que é válida a relação
-
-
-
-
-
-
-
- Vamos isolar no segundo membro e obter uma expressão para em termos da variável independente . A igualdade
+
+
+
+
+
+ Vamos isolar
+
+
+
+ no segundo membro e obter uma expressão para
+
+
+
+ em termos da variável independente
+
+
+
+ . A igualdade
anterior, nos leva a
-
-
-
-
-
-
-
- Multiplicando ambos os membros por e reorganizando os termos temos
-
-
-
-
-
- que é uma equação quadrática na expressão . As soluções desta equação quadrática, são dadas por
-
-
-
-
-
-
-
- Temos que descartar uma das soluções porque o lado esquerdo da igualdade acima é sempre positivo e o termo
- é sempre negativo já que
- . Tomando então a solução positiva temos
- e aplicando logaritmo (natural) em ambos os membros,
-
-
-
-
-
- para todo
- .
-
-
- Para o cosseno hiperbólico inverso, consideramos
- e a relação inversa
- , válida para
- todos e . Como antes, tomemos a identidade
-
-
-
-
-
- e vamos isolar no segundo membro. De forma análoga ao caso anterior, multiplicamos os dois membros por ,
+
+
+
+
+
+ e vamos isolar
+
+
+
+ no segundo membro. De forma análoga ao caso anterior, multiplicamos os dois membros por
+
+
+
+ ,
reorganizamos os termos e chegamos a
-
-
-
-
-
- e resolvendo esta equação quadrática em termos de temos
-
-
-
-
-
-
-
- Observamos agora que os dois termos a que se refere o segundo membro são positivos e, portanto, não há impossibilidades
- matemáticas para aplicar o logaritmo. Entretanto lembremos que e isto siginifica que
- . Mas
- para temos que
-
-
-
-
-
- e desta forma
- .
-
-
- Descartando esta inconsistência, tomamos
- e aplicando o logaritmo em ambos os membros, temos
-
-
-
-
-
-
-
- Já provamos as duas fórmulas indicadas no início deste capítulo. Contudo, vamos completar o trabalho e obter as
+
+
+
+
+
+ Já provamos as duas fórmulas indicadas no início deste capítulo. Contudo, vamos completar o trabalho e obter as
fórmulas em termos do logaritmo para as demais funções trigonométricas hiperbólicas.
-
-
- Consideremos
- e a relação inversa
-
-
-
-
-
- válida para
- e
- . Organizando os termos temos
-
-
-
-
-
- e multiplicando ambos os membros por e reorganizando em forma de equação quadrática, chegamos a
-
-
-
-
-
- que resolvida em termos de fornece
-
-
-
-
-
-
-
- Como o primeiro membro é sempre positivo, então descartamos a solução negativa. Observemos também que como
- então a fração dentro da raiz quadrada é sempre positiva, o que não acarreta mais inconsistências. Aplicando
+
+
+
+ então a fração dentro da raiz quadrada é sempre positiva, o que não acarreta mais inconsistências. Aplicando
então o logaritmo, temos que
-
-
-
-
-
- para todo
- .
-
-
- Agora a cotangente hiperbólica inversa. Tomamos
- , para todo
- , com
-
- e então
-
-
-
-
-
-
-
- Como no caso da tangente hiperbólica, reorganizamos os termos e multiplicamos por ambos os membros e chegamos a
-
-
-
-
-
- e resolvendo esta equação quadrática em temos
-
-
-
-
-
-
-
- Note que a fração dentro da raiz quadrada é sempre positiva para
- . De fato, o
- numerador e o denominador são ambos negativos no intervalo
- e são ambos positivos no intervalo
-
- . Vamos descartar a solução negativa, pois o lado esquerdo da igualdade é sempre positivo. Assim, tomando a
+
+
+
+ . Vamos descartar a solução negativa, pois o lado esquerdo da igualdade é sempre positivo. Assim, tomando a
solução positiva e aplicando logaritmo em ambos os membros, vem
-
-
-
-
-
-
-
- Para a secante hiperbólica inversa, fazendo
- , para todo
- , com , temos
-
-
-
-
-
-
-
- Após reorganização dos termos e multiplicação por , obtemos a equação quadrática
-
-
-
-
-
- que resolvida em termos de nos traz
-
-
-
-
-
-
-
- Notemos que para
- ocorre
- e, portanto, não temos problemas com a raiz quadrada. Entretanto,
- para
- temos
- e então
-
-
-
-
-
- donde temos que
- e, portanto,
- . Mas isto é inconsistente
- com o primeiro membro , que é maior ou igual a 1, já que . Só não seria inconsistente caso os dois
- termos fossem iguais a 1, isto é
- , que somente ocorre se e .
- Mas a igualdade
- também se verifica para e e, portanto, podemos
- descartar totalmente a solução
- .
-
-
- Tomando então a solução que não apresenta inconsistências, tomamos
-
-
-
-
-
- e aplicando o logaritmo, temos
-
-
-
-
-
-
-
- Finalmente, considerando
- e a relação inversa
-
-
-
-
-
- válida para todos
- e
- . Procedendo como no caso da secante, obtemos a equação quadrática
-
-
-
-
-
- que resolvida em , nos fornece
-
-
-
-
-
-
-
- Notemos que como antes, queremos que o membro da direita seja positivo, pois o da esquerda o é. O termo
-
- é sempre maior que 1. O numerador assume portanto valores positivos considerando
- ,
- e valores negativos considerando
- . Mas como
- temos que o denominador também assume
- valores positivos e valores negativos. Então se , devemos considerar a solução
-
-
-
-
-
- e se , devemos considerar a solução
-
-
-
-
-
-
-
- Podemos ainda obter uma única expressão válida para os dois casos. Observe que se podemos escrever
-
-
-
-
-
- e se , podemos escrever
-
-
-
-
-
-
-
- Assim, para qualquer
- , escrevemos
-
-
-
-
-
- e aplicando o logaritmo, temos
-
-
-
-
-
- que é válida para todo
- .
-
-
- A tabela abaixo reúne as fórmulas desta seção.
-
-
-
-
-
Tabela 3.1:
- Fórmulas logarítmicas para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas.
-
-
-
-
função
-
domínio
-
igualdade logarítmica
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Note que as fórmulas de derivação das funções trigonométricas hiperbólicas inversas, foram obtidas na seção
- 2.8 e resumidas na tabela 2.4. Naquela seção foi utilizado o método da diferenciação
- implícita. As fórmulas de derivação da tabela 2.4 podem também ser obtidas derivando diretamente as
- expressões logarítmicas da tabela 3.1. Deixamos os detalhes para o leitor.
-
-
-
-
-
- 3.4 Extensão às variáveis complexas
-
-
-
- Identidades similares das identidades (3.1) são conhecidas para as funções trigonométricas circulares. Mas
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ Note que as fórmulas de derivação das funções trigonométricas hiperbólicas inversas, foram obtidas na seção
+
+ 2.8
+
+ e resumidas na tabela
+
+ 2.4
+
+ . Naquela seção foi utilizado o método da diferenciação
+ implícita. As fórmulas de derivação da tabela
+
+ 2.4
+
+ podem também ser obtidas derivando diretamente as
+ expressões logarítmicas da tabela
+
+ 3.1
+
+ . Deixamos os detalhes para o leitor.
+
+
+
+
+
+ 3.4 Extensão às variáveis complexas
+
+
+
+ Identidades similares das identidades (
+
+ 3.1
+
+ ) são conhecidas para as funções trigonométricas circulares. Mas
isto exigirá o uso de números complexos. Além disso, modelos matemáticos que representam fenômenos físicos são
constantemente usados para estudar e conhecer esses fenômenos — e em várias situações — a representação desses fenômenos
exige a utilização de números complexos juntamente com funções trigonométricas. Em virtude disso, apresentaremos nesta
seção como são definidas as funções trigonométricas circulares e hiperbólicas de uma variável complexa.
-
- Usando as séries de potências das funções trigonométricas, desenvolvidas na seção anterior, vamos construir as funções
- trigonométricas de variáveis complexas. Na seção 3.1, vimos que
+
+ Usando as séries de potências das funções trigonométricas, desenvolvidas na seção anterior, vamos construir as funções
+ trigonométricas de variáveis complexas. Na seção
+
+ 3.1
+
+ , vimos que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- para todo
- .
+
+
+
+ .
-
- Observe que o lado direito destas igualdades faz sentido se for um número complexo, desde que a série seja
+
+ Observe que o lado direito destas igualdades faz sentido se
+
+
+
+ for um número complexo, desde que a série seja
convergente para este número complexo. Isto nos sugere que a igualdade possa ser utilizada para definir as funções
- trigonométricas seno e cosseno para os números complexos que tornam a série convergente. Nestes termos, se
- ,
+
+
+
+ ,
então definimos
- Precisamos determinar os valores
- que tornam estas séries convergentes. Para isto, recorremos ao teste da
+
+
+
+ que tornam estas séries convergentes. Para isto, recorremos ao teste da
razão (Critério de D'Alembert), para garantir a convergência de séries de potências de variável complexa. A
- demonstração deste teorema pode ser encontrada em algum texto de Variáveis complexas. Recomendamos [11, Zill].
-
+ demonstração deste teorema pode ser encontrada em algum texto de Variáveis complexas. Recomendamos [
+
+ 11
+
+ , Zill].
-
Teorema 3.9 (Teste da razão)
- Se
- é uma sequência de números complexos e
-
-
-
-
-
- então a série
- é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
-
-
-
- A série de potências (3.12) converge qualquer que seja
- , pois
-
-
-
- para qualquer
- . Analogamente para as séries de potências em (3.13), (3.14) e (3.15).
+
+
+
+ . Analogamente para as séries de potências em (
+
+ 3.13
+
+ ), (
+
+ 3.14
+
+ ) e (
+
+ 3.15
+
+ ).
-
- Naturalmente as definições (3.12)-(3.15) não são muito cômodas para trabalharmos. Vamos então tentar
+
+ Naturalmente as definições (
+
+ 3.12
+
+ )-(
+
+ 3.15
+
+ ) não são muito cômodas para trabalharmos. Vamos então tentar
modificar estas expressões para redefinir seno e cosseno de números complexos em termos de funções reais de variável
real. Independente de modificarmos estas expressões, os membros na direita destas igualdades são números complexos e
então o que esperamos é que possamos reescrever a série de potências como sendo um número complexo mais simples de ser
- manipulado, dado na forma tradicional com
- .
+
+
+
+ .
-
- Comecemos então com a identidade (3.12), colocando
- , com
- . Temos então
+
+
+
+ . Temos então
-
-
-
-
-
- (3.16)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Usando a fórmula da expansão binomial para o termo
- , podemos reescrever (3.16) como
+
+
+
+ , podemos reescrever (
+
+ 3.16
+
+ ) como
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- O próximo lema será útil para trabalhar com o somatório duplo do segundo membro desta última igualdade.
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ O próximo lema será útil para trabalhar com o somatório duplo do segundo membro desta última igualdade.
-
Lema 3.10
- Para qualquer
- ,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+ ,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
Prova.
+
+
+ Prova
+
+ .
Tomando
-
-
-
-
-
- vamos separar o caso do somatório externo e depois os casos do somatório interno. Desta forma, para
- qualquer que seja
- , obtemos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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-
-
-
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-
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-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+ , obtemos
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
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+
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+
+
+
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+
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+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
- Separando novamente os temos em do somatório interno, temos
+ \frac{(-1)^{n}}{(r+m)!(2n-r+1)!} x^{2n-r+1} (yi)^{r+m}.$" loading="lazy" src="img/img1386.svg" style="height: 6.89ex; vertical-align: -2.90ex; "/>
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ Separando novamente os temos em
+
+
+
+ do somatório interno, temos
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ exatamente como desejado.
+
+
+
+
+
+
+ Usando agora repetidamente este lema temos que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- exatamente como desejado.
-
-
-
-
- Usando agora repetidamente este lema temos que
-
-
-
-
sen
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+ sen
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
- e assim sucessivamente. Desta forma, obtemos
-
-
-
- e usando o fato de que
- e que
- , então temos que
+
+
+
+ , então temos que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Temos portanto uma definição alternativa e mais elegante para a definição do seno de um número complexo
- .
+
+
+
+ .
Definição esta que será também útil para os nossos propósitos. Não estamos interessados em repetir o procedimento
anterior, mas ele pode ser aplicado também às funções cosseno, senho hiperbólico e cosseno hiperbólico para obter
expressões mais simples. Como não repetiremos o processo anterior apenas enunciaremos as expressões finais na próxima definição.
-
Definição 3.11
- Dado
- , os números complexos seno de , cosseno de , seno hiperbólico de e cosseno
- hiperbólico de , são dados respectivamente por,
-
-
+
+
+
+ , os números complexos seno de
+
+
+
+ , cosseno de
+
+
+
+ , seno hiperbólico de
+
+
+
+ e cosseno
+ hiperbólico de
+
+
+
+ , são dados respectivamente por,
+
- Vamos analisar um pouco mais estas funções e verificar que elas possuem propriedades similares às funções
+
+ Vamos analisar um pouco mais estas funções e verificar que elas possuem propriedades similares às funções
trigonométricas com argumentos reais. É natural esperar por isto, pois extensões não devem desorganizar o que já estava
“funcionando”. Comecemos com os casos circulares.
-
- Vamos determinar as raízes das funções seno e cosseno. Queremos então determinar os valores de
- para
- os quais
- . Nestes termos queremos determinar os valores (reais) de e tais que
-
-
+
-
-
- Da igualdade de números complexos temos que
+
+ Da igualdade de números complexos temos que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Da primeira equação, como
- para todo
- , então resta que
- . Temos assim que para qualquer
- . Com estes valores de na segunda equação temos que
- e então resta
- que
- donde obtemos . Assim,
-
- se e somente se
-
- para qualquer
- , exatamente como no caso real.
+
+
+
+ , exatamente como no caso real.
-
- Analogamente para determinar os valores de
- tais que
- , temos que encontrar os valores
- reais de e tais que
-
-
-
- e da igualdade de números complexos
+
+
+
+ e da igualdade de números complexos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Como
- para todo
- , da primeira equação resta que
- e então
- para qualquer
- . Como
- , substituindo na segunda equação vem
- e, portanto, . Assim,
-
- se e somente se
-
- para qualquer
- , também como no caso real.
+
+
+
+ , também como no caso real.
-
- Dessa forma, as demais funções trigonométricas circulares com argumentos complexos são definidas, em termos destas duas,
+
+ Dessa forma, as demais funções trigonométricas circulares com argumentos complexos são definidas, em termos destas duas,
como no caso de variável real, respeitando o domínio de definição. São portanto,
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
-
- Podemos facilmente verificar, pelas igualdades (3.17) e (3.18), a validade para o caso complexo de
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para todo
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para todo
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para todo
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para todo
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ Podemos facilmente verificar, pelas igualdades (
+
+ 3.17
+
+ ) e (
+
+ 3.18
+
+ ), a validade para o caso complexo de
identidades conhecidas para o caso real, tais como
-
-
-
-
-
-
-
e
-
-
-
-
e
-
-
-
-
e
-
-
-
-
- dentre muitas outras.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ e
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ e
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ e
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ dentre muitas outras.
-
- Uma consequência direta da definição das funções seno e cosseno por série de potência é que estas funções são
+
+ Uma consequência direta da definição das funções seno e cosseno por série de potência é que estas funções são
analíticas no domínio de convergência da série, isto é, no plano complexo todo. Sendo assim, estas funções satisfazem
as condições de Cauchy-Riemann em todo o plano complexo e isto nos dá uma forma rápida para determinar as derivadas
destas duas funções. Para um estudo mais aprofundado sobre funções analíticas e as condições de Cauchy-Riemann pode-se
- consultar algum texto sobre variáveis complexas. Recomendamos [11, Zill].
+ consultar algum texto sobre variáveis complexas. Recomendamos [
+
+ 11
+
+ , Zill].
-
- Por hora basta saber que se e
- é uma função analítica em uma região do plano
+
+
+
+ é uma função analítica em uma região do plano
complexo, então
-
-
-
- para todo nesta região.
+
+
+
+ para todo
+
+
+
+ nesta região.
-
- Considerando
- , temos
- e
- e então
+
+
+
+ e então
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Também, se
- então
- e
- e, dessa
+
+
+
+ e, dessa
forma,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- As derivadas das funções seno e cosseno de variável complexa são então respectivamente o cosseno e o oposto do seno,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ As derivadas das funções seno e cosseno de variável complexa são então respectivamente o cosseno e o oposto do seno,
exatamente como no caso real. Já que as regras de derivação para funções complexas são as mesmas para funções reais,
isto é,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- então as derivadas das demais funções trigonométricas circulares, são também iguais às derivadas obtidas no caso real.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ então as derivadas das demais funções trigonométricas circulares, são também iguais às derivadas obtidas no caso real.
São portanto
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- respeitados os domínios de definição.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ respeitados os domínios de definição.
-
- Além disso, as identidades obtidas
- e
- permitem estabelecer uma
+
+
+
+ permitem estabelecer uma
correspondência entre as funções trigonométricas circulares e as suas respectivas hiperbólicas. As correspondências das
demais funções trigonométricas ficam
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Vamos estudar outras propriedades das funções trigonométricas hiperbólicas de variável complexa. Comecemos pelas raízes
- destas funções. Queremos determinar os números complexos
- tais que
- . Nestes termos
- devemos encontrar números reais e tais que
-
-
-
- e da igualdade de complexos, e devem satisfazer
+
+
+
+ e da igualdade de complexos,
+
+
+
+ e
+
+
+
+ devem satisfazer
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Da segunda equação, como
- para todo
- , então devemos ter
- e, portanto,
- para
- . Com estes valores de na primeira equação, resta que
- e então . Temos assim que
-
- se e somente se
-
- para
- . Observe que estas raízes são complexas e que a única destas raízes que é real, é , que coincide
+
+
+
+ . Observe que estas raízes são complexas e que a única destas raízes que é real, é
+
+
+
+ , que coincide
com a única raiz real da função seno hiperbólico a argumento real.
-
- Agora vamos determinar
- tal que
- . Da identidade (3.20), queremos determinar os
- valores reais de e que satisfazem
+
+
+
+ . Da identidade (
+
+ 3.20
+
+ ), queremos determinar os
+ valores reais de
+
+
+
+ e
+
+
+
+ que satisfazem
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Como
- então da primeira equação segue que
- e, portanto,
- para
- . Com estes valores de na segunda equação temos que
- e então . Segue que
-
- se e somente se
-
- para
- . Dentre estas raízes complexas não existe nenhuma raiz real, o que ratifica a não existência de números
- reais tais que
- .
+
+
+
+ .
-
- As demais funções trigonométricas hiperbólicas de variáveis complexas são definidas em termos de seno e cosseno como no
+
+ As demais funções trigonométricas hiperbólicas de variáveis complexas são definidas em termos de seno e cosseno como no
caso real, restritas ao domínio de definição. Isto é,
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
para todo
-
-
-
-
-
-
- As definições de seno e cosseno hiperbólicos em termos de séries de potências, convergentes em todo o plano complexo,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para todo
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para todo
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para todo
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ para todo
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ As definições de seno e cosseno hiperbólicos em termos de séries de potências, convergentes em todo o plano complexo,
nos diz que estas funções são analíticas em todo o plano complexo e então podemos determinar facilmente as derivadas
- destas funções. Considerando que e que
- temos
+
+
+
+ temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- exatamente como no caso de variáveis reais.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ exatamente como no caso de variáveis reais.
-
- Analogamente, para a função
- , temos
+
+
+
+ , temos
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- também como no caso real. Considerando ainda que a regra de derivação para o quociente de funções de variáveis
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ também como no caso real. Considerando ainda que a regra de derivação para o quociente de funções de variáveis
complexas é idêntica à regra de derivação para o quociente de funções de variáveis reais, então temos que
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- com a devida restrição do domínio de definição. São as mesmas fórmulas de derivação que as funções trigonométricas
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ com a devida restrição do domínio de definição. São as mesmas fórmulas de derivação que as funções trigonométricas
hiperbólicas de variáveis reais.
-
- Podem ainda ser definidas as funções trigonométricas circulares e hiperbólicas inversas a argumentos complexos. Não
+
+ Podem ainda ser definidas as funções trigonométricas circulares e hiperbólicas inversas a argumentos complexos. Não
vamos nos estender neste aspecto, em virtude de que o caso complexo não é o foco do nosso interesse. Além disso,
- entraríamos no campo das funções multivalentes, isto é, funções que assumem mais de um valor para cada
- . Esta categoria de funções foge do conceito de função de um curso de Cálculo Diferencial e Integral.
+
+
+
+ . Esta categoria de funções foge do conceito de função de um curso de Cálculo Diferencial e Integral.
-
-
-
-
- 3.5 Fórmulas exponenciais para funções trigonométricas circulares
-
-
-
- Nesta seção, obteremos fórmulas exponenciais similares às identidades em (3.1) para as funções trigonométricas
+
+
+
+
+ 3.5 Fórmulas exponenciais para funções trigonométricas circulares
+
+
+
+ Nesta seção, obteremos fórmulas exponenciais similares às identidades em (
+
+ 3.1
+
+ ) para as funções trigonométricas
circulares. Mais precisamente, provaremos que
-
-
-
-
-
e
+
+
+
+
+
+
+ e
+
+
+
- (3.21)
-
-
-
-
- Observe que o lado direito destas igualdades envolve a função exponencial de variável complexa. Precisamos definir a
+ (
+
+ 3
+
+ .
+
+ 21
+
+ )
+
+
+
+
+
+
+ Observe que o lado direito destas igualdades envolve a função exponencial de variável complexa. Precisamos definir a
função exponencial de variável complexa e o faremos como na seção anterior onde definimos as funções trigonométricas
- de variáveis complexas. A expansão em série de potências da função
- , para
- , é
-
-
-
-
-
-
-
- Mas a série de potências do lado direito da igualdade faz sentido se for um número complexo que torne a série
+
+
+
+
+
+ Mas a série de potências do lado direito da igualdade faz sentido se
+
+
+
+ for um número complexo que torne a série
convergente. Definimos então por esta série de potências a função exponencial de variável complexa dada por
-
-
-
-
-
- para todo
- tal que a série seja convergente.
-
-
- De acordo com o teste da razão (Teorema 3.9), esta série de potências é convergente em todo o plano
+
+
+
+ tal que a série seja convergente.
+
+
+ De acordo com o teste da razão (Teorema
+
+ 3.9
+
+ ), esta série de potências é convergente em todo o plano
complexo, já que
-
-
-
-
-
- para qualquer
- .
-
-
- Esta série é importante, porém, dificulta o trabalho com a função . Como de costume, vamos reescrever esta série
+
+
+
+ .
+
+
+ Esta série é importante, porém, dificulta o trabalho com a função
+
+
+
+ . Como de costume, vamos reescrever esta série
em termos mais agradáveis. Mais precisamente, já que o lado direito da série de potências é um número complexo,
- esperamos poder escrever este número complexo na tradicional forma algébrica com
- .
-
-
- Tomando então
- com
- , aplicando a expansão binomial, podemos reescrever a função
+
+
+
+ , aplicando a expansão binomial, podemos reescrever a função
exponencial na forma
-
- e assim sucessivamente. Desta forma, obtemos
-
-
-
-
-
- e usando o fato de que quando é par, temos que
-
-
-
-
-
- e quando é impar,
-
-
-
-
-
- então podemos separar o último somatório nas suas parcelas com par e com ímpar e obtemos
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+ então podemos separar o último somatório nas suas parcelas com
+
+
+
+ par e com
+
+
+
+ ímpar e obtemos
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
- Formalmente, temos então uma definição alternativa para a exponencial de um número complexo sem o uso explícito das
+
+
+
+
+
+
+ Formalmente, temos então uma definição alternativa para a exponencial de um número complexo sem o uso explícito das
séries de potência.
-
-
Definição 3.13
- Dado
- , definimos a exponencial de , como sendo o número complexo representado por
- e dado por
-
-
-
-
-
-
-
- Agora estamos prontos para obter as identidades em (3.21). Dado
- , temos desta última definição
+
+
+
+ , temos desta última definição
que
-
-
-
-
-
- e também
-
-
-
-
-
-
-
- Somando estas duas últimas igualdades, temos
-
-
-
-
-
- e subtraindo a segunda da primeira, temos
-
-
-
-
-
-
-
- Segue portanto que
-
-
-
- e
-
-
-
- Estas duas igualdades são as identidades exponenciais para as funções trigonométricas circulares e são válidas para
- valores reais de . Obviamente combinando estas duas fórmulas, podemos deduzir fórmulas exponenciais para as outras
+
+
+
+ e
+
+
+
+ Estas duas igualdades são as identidades exponenciais para as funções trigonométricas circulares e são válidas para
+ valores reais de
+
+
+
+ . Obviamente combinando estas duas fórmulas, podemos deduzir fórmulas exponenciais para as outras
funções trigonométricas circulares. São elas
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
- respeitados os domínios de definição das funções.
-
-
-
-
-
- 3.6 Fórmulas logarítmicas para as funções trigonométricas circulares inversas
-
-
-
-Podemos também, como no caso hiperbólico, escrever as funções inversas das funções trigonométricas circulares em termos
-do logaritmo. Isto porque a função logaritmo de um número complexo, é a função inversa da exponencial ,
-com uma certa restrição no logaritmo. Para conhecer mais sobre esta restrição, recomendamos [11, Zill]. Por
-hora, é suficiente saber que
-, para
- e
-.
-
-
-Também temos que lembrar que a conhecida “fórmula de Bháskara” continua válida para resolver equações quadráticas
-que envolvem coeficientes complexos. Mais precisamente, se
- é uma equação com
- e , então as soluções desta equação são dadas por
-
-
-
-
-
-
-
-Note que não usamos o sinal , porque a função raiz quadrada (potência meio) para números complexos é bivalente,
-isto é, assume dois valores, que são simétricos com relação à origem e isto substitui o sinal . Veja
-[11, Zill] ou outro texto sobre números complexos para um estudo mais completo sobre raízes de um número
+
+
+
+
+
+ Note que não usamos o sinal
+
+
+
+ , porque a função raiz quadrada (potência meio) para números complexos é bivalente,
+isto é, assume dois valores, que são simétricos com relação à origem e isto substitui o sinal
+
+
+
+ . Veja
+[
+
+ 11
+
+ , Zill] ou outro texto sobre números complexos para um estudo mais completo sobre raízes de um número
complexo.
-
-
-Considerando
-, para
- e
-, então temos a relação
-
-
-
-
-
-e multiplicando esta igualdade por e, organizando os termos, temos
-
-
-
-
-
-
-
-Resolvendo esta equação quadrática, em termos de , segue que
-
-
-
-
-
-
-
-Como
- a raiz do segundo membro é um número real. Levando em conta que
- então aplicando o logaritmo em ambos os membros, obtemos
-
-
-
-
-
-e multiplicando tudo por , segue que
-
-
-
-
-
-
-
-Para
-, vale a relação
-, com
- e
-.
-Procedendo como anteriormente, multiplicamos esta relação por 2 e por . Obtemos
-
-
-
-
-
-e resolvendo a equação quadrática
-
-
-
-
-
-em , temos
-
-
-
-
-
-
-
-Esta solução envolve a raiz quadrada de um número que é real e negativo, já que
-. Escrevemos então
-
-
-
-
-
-e agora aplicando o logaritmo em ambos os membros, vem
-
-
-
-
-
-já que
-. Multiplicando a igualdade por obtemos
-
-
-
-
-
-
-
-Considerando agora
-, válida para todo
- e
-, temos
-
-
-
-
-
-donde
-
-
-
-
-
-
-
-Multiplicando por e organizando os termos temos a equação quadrática
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-Resolvendo em obtemos,
-
-
-
-
-
-e aplicando logaritmo em ambos os membros, já que
-, temos
-
-
-
-
-
-e multiplicando a igualdade por , temos
-
-
-
-
-
-
-
-Analogamente para a cotangente inversa, temos
-, para todo
- e
- e vale a relação
-
-
-
-
-
-
-
-Procedendo como no caso da tangente, chegamos a equação quadrática
-
-
-
-
-
-que resolvida nos fornece,
-
-
-
-
-
-
-
-Aplicando o logaritmo e multiplicando o resultado por , chegamos a
-
-
-
-
-
-
-
-Considerando agora
-, para todo
- e
-. Tomamos a relação
- e obtemos,
-
-
-
-
-
-
-
-Multiplicando a equação por e reorganizando os termos obtemos
-
-
-
-
-
-que resolvida em nos leva a
-
-
-
-
-
-
-
-A raiz quadrada do segundo membro tem no radicando um número real negativo, já que
-. Escrevemos então
-
-
-
-
-
-e temos
-
-
-
-
-
-ou ainda,
-
-
-
-
-
-
-
-Finalmente, para
-, fazendo
- para todo
- e
-
-. Temos então
-
-
-
-
-
-e então
-
-
-
-
-
-
-
-Resolvendo em , vem
-
-
-
-
-
-e aplicando o logaritmo e uma multiplicação por , temos
-
-
-
-
-
-
-
-Organizando as fórmulas logarítmicas, temos a tabela abaixo.
-
-
-
-
-
Tabela 3.2:
-Fórmulas logarítmicas para as funções trigonométricas circulares inversas.
- Esta obra trata da construção da trigonometria hiperbólica na hipérbole trigonométrica, fazendo a comparação com a trigonometria circular. São abordados aspectos das funções trigonométricas circulares e hiperbólicas, relacionados ao cálculo diferencial e integral.
-
- Este livro é uma publicação da
-
-
- Editora Moan
-
-
- , Foz do Iguaçu - PR, Brasil. Seu identificador é
-
- ark:68745/eMR8J
-
- . A versão física (impressa) deste livro possui
-
- ark:68745/eMR8J.4N
-
- e
-
- isbn:9786599140440
-
- .
-
- BibTeX:
+ Este livro é uma publicação da
+
+
+ Editora Moan
+
+
+ , Foz do Iguaçu - PR, Brasil. Seu identificador é
+
+ ark:68745/eMR8J
+
+ . A versão física (impressa) deste livro possui
+
+ ark:68745/eMR8J.4N
+
+ e
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+ isbn:9786599140440
+
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@book{guzzo_s_m_2021,
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- GUZZO, S. M.
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- As funções trigonométricas circulares e hiperbólicas
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- . Foz do Iguaçu: Editora Moan, 2021. Disponível em: https://livro.online/ark:68745/eMR8J. Acesso em: dd mmm(3 primeiras letras). yyyy.
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se e somente se![\"$\\displaystyle](\"img/img1427.svg\")
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se e somente se![\"$\\displaystyle](\"img/img1510.svg\")
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![\"$az^{2}+bz+c](\"img/img1595.svg\")
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![\"$\\frac{i}{2}](\"img/img1646.svg\")
![\"$\\frac{i}{2}](\"img/img1647.svg\")
![\"$-i](\"img/img1648.svg\")
![\"$-i](\"img/img1649.svg\")
![\"$\\pi](\"img/img9.svg\"\n)
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![\"$14^{a}$\"](\"img/img2211.svg\"\n)
![\"$<$\"](\"img/img2212.svg\"\n)
![\"$>$\"](\"img/img2213.svg\"\n)
, que foi utilizada pela primeira vez em 1706 por
+ 
- 
. A fração
- 
é uma das mais famosas aproximações para 
. Mais precisamente,
-
- 
- 
, a soma dos termos desta sequência é chamada de série
+
+ 
- 
, então dizemos que a série é convergente, ou
- ainda, convergente para 
então a soma é igual a 
e portanto convergente e se 
então a soma é
-
- 
e portanto divergente.
- 
, é convergente, se e somente se, 
. No caso de convergir, o valor desta
- soma é precisamente o número
- 
.
- 
é uma sequência infinita de termos positivos, então uma série alternada é uma soma da
+
+ 
- 
é convergente se os termos 
formam uma sequência positiva, decrescente,
+
+ 
seja uma variável real que assume valores no intervalo 
. Então
- 
.
- Podemos assim, construir uma série geométrica com primeiro termo igual a 1 e razão
- 
, que de acordo com o teorema 4.2, é convergente para o número
- 
, já que
- 
.
+
+ 
. Observe que esta é uma série geométrica, mas também é uma série alternada. Podemos ainda
- dizer que esta série é uma série de potências de 
, vista como função de 
,
- exatamente como vimos na seção (1.7). Em outras palavras,
-
- 
- 
- 
possui representação em série de potência de 
e esta série
- for convergente em todo
- 
, então
-
-
- 
- 
. A convergência da nova série obtida pela integração dos termos, pode ser alterada se 
.
- 
+ 
, deve ser avaliado novamente pois é um dos
- extremos do intervalo de convergência. Para ser mais preciso, a série geométrica (4.1) é divergente no ponto
- 
- 
, mas como este valor de 
, então temos a fórmula,
-
- 
+ ![$[-1,1]$](img/img280.svg)
e
- como se pode ver, o ponto 
+
+ 
+
+
+
+ 
, ou
- 
em (4.2) pois não conhecemos
- 
ou
-
- 
. É necessário um argumento mais engenhoso.
- 
- 
- 
, escreveu
- 
+ 
+ 
- 
- 
em somas de arco tangentes com argumentos menores, motivou outros
+
+ 
, 
e 
inteiros, se mostrou útil nesta abordagem. Note que se 
e
- 
serem menores do
- que
- 
. Isto significa que
- 
- 
em ambos os membros, vem
-
- 
- 
em
- (4.5) e (4.6), obtendo
-
- 
- 
e 
como sendo dois fatores inteiros do número 2. Escolhemos os fatores 1 e 2.
- Colocando 
e 
obtemos 
e 
e, substituindo em (4.5), temos a fórmula
- 
ou
-
- 
por outra soma de arco tangentes com argumentos menores ainda, para fazer convergências mais rápidas.
- 
+ 
- 
- 
+ ![$\displaystyle C = \int_{a}^{b} \sqrt{1+[g'(x)]^{2}} dx = \frac{1}{r} \int_{a}^{b} \sqrt{r^{2}+x^{2}} dx, $](img/img1775.svg)
- 
+ 
- 
+ 
+ 
e
- 
e 
são funções cujos limites existem quando 
, então 
funções tais que
- 
para todo 
- 
- 
para todo 
- quando 
- 
existe, se e somente se, existe o limite
- 
; e mais
+
+ 
- 
+ 
; e podemos também
- considerar que
- 
. No círculo trigonométrico, construímos o arco 
de comprimento 
. Então
- o ângulo 
tem medida 
de equação 
, perpendicular ao eixo 
. Prolonguemos o segmento 
até interceptar a reta 
.
- Consideremos então o triângulo 
, o setor circular 
.
-
-
-
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
-
-
+ 
e
- 
- 
- 
- 
- 
+ e
+ 
+ 
- 
e de
- 
, quando 
, então existem os limites de
- 
e de
-
- 
e também existe o limite da soma destes dois termos, quando 
+ e
+ 
+ 
- 
, então o quociente é derivável neste ponto ![$\displaystyle \frac{d}{du} \left( \frac{f(u)}{g(u)} \right) = \frac{f'(u)g(u) - f(u)g'(u)}{[g(u)]^{2}}. $](img/img368.svg)
- 
+ 
. Neste intevalo temos que
- 
e então
-
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
.
- 
+
+ para
+
+ 
+
+ e o gráfico é a curva da figura
+
+ 2.1
+
+ .
+
+
+
+
+
+ 
, definida por (2.1), possui as seguintes propriedades:
- 
leva pontos da hipérbole em pontos da hipérbole.
- 
, o ponto
- 
pertencente à hipérbole e temos
-
-
- 
- 
. Isto prova
- 
que descreve os pontos de uma reta, fazendo 
, para quaisquer
- 
,
- desde que
- 
pois é o vetor diretor da reta. Então aplicando 
- 
de uma reta qualquer. O comprimento de um segmento
-
- 
é a distância entre 
e 
. Se
- 
e
- 
, então
-
- 
+ 
.
-
- 
- 
+ 
+
+
+ 
e
+ 
e
+ 
e
+ 
e
- 
e
+ 
+ 
+ 
- 
+ 
- 
- 
e
- 
e
+ 
e
- 
e
+ 
+ 
+ 
- 
, temos
-
- 
+ 
- 
- 
e
- 
- 
e
![$[a,b]
- \subset [-r,r]$](img/img1771.svg)
- 
![$[a,b] \subset \mathbb{R}$](img/img1774.svg)
![$[a,b]$](img/img1777.svg)
![$x \in [-r,r]$](img/img1787.svg)
![$t \in
- [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$](img/img1793.svg)
+ 
- 
+ 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
+ 
- 
- 
e
- 
e
- 
- 
+ 
- 
- 
- 
- 
- 
- ![$\mathcal{C} = C([-L,L]; \mathbb{R})$](img/img1914.svg)
![$[-L,L]$](img/img1915.svg)
- 
- 
- 
- 
![$\displaystyle = \frac{1}{2} \left[ \frac{L}{(m+n)\pi}{\mathrm {sen}}(\frac{m\pi...
- ...(m-n)\pi}{\mathrm {sen}}(\frac{m\pi}{L}x-\frac{n\pi}{L}x) \right]_{-L}^{L} = 0,$](img/img1928.svg)
![$\displaystyle = \frac{1}{2} \left[ \frac{L}{(m-n)\pi}{\mathrm {sen}}(\frac{m\pi...
- ...(m+n)\pi}{\mathrm {sen}}(\frac{m\pi}{L}x+\frac{n\pi}{L}x) \right]_{-L}^{L} = 0,$](img/img1931.svg)
![$\displaystyle = \frac{L}{m\pi} \left[ \frac{1}{2}u + \frac{1}{4} {\mathrm {sen}}(2u) \right]_{-m\pi}^{m\pi} = L,$](img/img1935.svg)
- 
![$\displaystyle = \frac{L}{m\pi} \left[ \frac{1}{2}u - \frac{1}{4} {\mathrm {sen}}(2u) \right]_{-m\pi}^{m\pi} = L,$](img/img1942.svg)
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- ![$f:[-L,L] \to \mathbb{R}$](img/img1970.svg)
![$\displaystyle f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left[ a_{k} \cos(\frac{k\pi}{L}x) + b_{k} {\mathrm {sen}}(\frac{k\pi}{L}x) \right], $](img/img1972.svg)
- ![$x \in [-L,L]$](img/img1973.svg)
![$[0,L]$](img/img1974.svg)
- 
- 
- 
![$[0,L] =
- [0,640]$](img/img1982.svg)
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
+ 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
e
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
e
- 
- 
- 
- 
- e
- 
- 
,
![$u \in [0,2\pi]$](img/img59.svg)
ordenada de 
- 
absissa de 
- 
e
- 
abscissa de 
ordenada de 
- 
- 
- 
- 
e
- 
e
- 
e
- 
e
- 
- 
- 
e
- 
+ 
+ 
e
+ 
- 
+ 
e
- 
![$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$](img/img251.svg)
![$[0,2\pi]$](img/img252.svg)
e
+ 
e
+ 
![$[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$](img/img269.svg)
e
+ 
e
+ 
![$\lim\limits_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} g(x)$](img/img287.svg)
![$\lim\limits_{x \to a} [f(x)g(x)] = \left(\lim\limits_{x \to a} f(x)\right)\left(\lim\limits_{x \to a} g(x) \right)$](img/img290.svg)
+ 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
![$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$](img/img422.svg)
![$u \in [-1,1]$](img/img423.svg)
![$w \in
- [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$](img/img424.svg)
![$\displaystyle f : [-1,1]$](img/img431.svg)
![$\displaystyle [-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$](img/img432.svg)
e
- ![$-[\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$](img/img438.svg)
para![$\displaystyle \quad u \in [-1,1]$](img/img441.svg)
![$\displaystyle \quad u \in [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].$](img/img443.svg)
![$[0,\pi]$](img/img444.svg)
![$\displaystyle [0,\pi]$](img/img447.svg)
e
- 
![$\displaystyle \quad u \in [0,\pi].$](img/img454.svg)
e
- 
e
- 
![$[0,\pi] - \{\frac{\pi}{2}\} = [0,
- \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]$](img/img494.svg)
![$[0, \frac{\pi}{2}) \cup
- (\frac{\pi}{2},\pi]$](img/img495.svg)
![$\displaystyle f : (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$](img/img497.svg)
![$\displaystyle [0, \tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi]$](img/img498.svg)
- 
e
- 
![$\displaystyle \quad u \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$](img/img505.svg)
![$\displaystyle \quad u \in [0, \tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi].$](img/img507.svg)
![$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\} =
- [-\frac{\pi}{2},0) \cup (0,\frac{\pi}{2}]$](img/img508.svg)
![$\displaystyle [-\tfrac{\pi}{2},0) \cup (0,\tfrac{\pi}{2}]$](img/img510.svg)
- 
e
- 
![$\displaystyle \quad u \in [-\tfrac{\pi}{2},0) \cup (0,\tfrac{\pi}{2}].$](img/img518.svg)
![$[-\frac{\pi}{2},0) \cup (0,\frac{\pi}{2}]$](img/img526.svg)
- 
![$a \in [-1,1]$](img/img537.svg)
![$a \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$](img/img542.svg)
![$(\frac{\pi}{2},\pi]$](img/img544.svg)
![$(-\infty,-1]$](img/img545.svg)
![$w \in [0,\pi]$](img/img564.svg)
![$u \in (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$](img/img581.svg)
![$w \in [0,
- \tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi]$](img/img582.svg)
![$w \in [-\tfrac{\pi}{2},0) \cup (0,\tfrac{\pi}{2}]$](img/img599.svg)
e
e
, notemos que para cada valor real de 
, onde a ordenada do ponto 
é todo o conjunto
- dos números reais. Além disso, fazendo 
, é único o valor de 
, então esta função é
- também injetora. Logo,
- 
é uma função bijetora.
-
- 
também aumenta indefinidamente. O mesmo ocorre para os valores negativos de 
e
- 
+ 
. Para qualquer valor real 
é o
- conjunto dos números reais. Fazendo 
, isto é,
- 
. Isto significa que esta função não é
- sobrejetora no conjunto dos números reais, mas sim no conjunto
- 
. Note também que esta função não é
- injetora, pois para qualquer valor de 
, isto é, é uma função par. Portanto a função
- 
e
- 
vamos usar a identidade
- 
. Fazendo 
é maior ou igual a 1,
- e, portanto, o denominador da fração anterior, não se anula. Com isto o domínio da função
- 
é todo o
+
+ 
e 
, temos que a abscissa do ponto 
para qualquer valor de 
.
- 
os valores de
- 
se aproximam de 1. No
- caso em que
- 
então o ponto 
e
- 
, também será feito analizando a identidade
- 
. Para determinar o domínio desta função, como se trata de
- um quociente, precisamos nos preocupar com o anulamento do denominador. O seno hiperbólico se anula somente no ponto 
e, portanto, o domínio de
- 
é o conjunto
- 
.
- 
. À medida que 
e
- 
e
- 
, o domínio é o conjunto dos
+
+ 
, serão sempre positivos e menores ou iguais a 
- 
e desta forma, seu domínio é o conjunto dos números reais tais que o denominador não se anula, isto
- é,
- 
. A imagem por sua vez é também o conjunto
- 
jamais se anula.
- Conforme 
- 
e
- 
e
- 
.
-
- 
- 
- podemos considerar que 
. Consideremos o arco hiperbólico 
que passa por 
- (Ver figura 2.21).
-
-
-
- 
, a área do triângulo 
e a área do triângulo retângulo 
é igual
- a
- 
. Também a área do triângulo 
- 
- 
- 
e, usando isto, temos
- 
e, reorganizando os termos, temos
-
- 
- 
então 
, o que nos permite obter
- 
. Segue que
-
- 
- 
é uma função contínua em 
- 
, é obtido observando que a função
- 
é uma função par. Assim o comportamento à
+
+ 
- 
- 
e
- 
- 
. Para 
- 
- 
para todo 
então do teorema 1.4 segue que
-
- 
- 
+ e
+ 
+ ![$\displaystyle \lim_{u \to 0} \cosh(u+a) = \lim_{u \to 0} [\cosh u \cosh a + {\mathrm{senh}}u {\mathrm{senh}}a], $](img/img925.svg)
- 
![$\displaystyle = \lim_{u \to 0} [\cosh u \cosh a] + \lim_{u \to 0} [{\mathrm{senh}}u {\mathrm{senh}}a]$](img/img927.svg)
![$\displaystyle = \lim_{u \to 0} [{\mathrm{senh}}u \cosh a + {\mathrm{senh}}a \cosh u]$](img/img931.svg)
![$\displaystyle = \lim_{u \to 0} [{\mathrm{senh}}u \cosh a] + \lim_{u \to 0} [{\mathrm{senh}}a \cosh u]$](img/img932.svg)
e
- 
, para todo
- 
, para todo
- 
,
, para todo
- 
, para todo
- 
- 
- 
- 
- 
existe e é igual a 1
- (proposição 2.4) e o limite da segunda fração quando 
- 
tais que o limite existe.
- 
![$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left[ {\mathrm{senh}}u \frac{(\cosh h - 1)}{h} + \frac{{\mathrm{senh}}h}{h} \cosh u \right]$](img/img953.svg)
e
- 
existem para todo
- 
+ 
- 
![$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left[ \cosh u \frac{(\cosh h - 1)}{h} + \frac{{\mathrm{senh}}h}{h} {\mathrm{senh}}u \right].$](img/img961.svg)
![$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left[ \cosh u \frac{(\cosh h - 1)}{h} + \frac{{\mathrm{senh}}h}{h} {\mathrm{senh}}u \right]$](img/img964.svg)
+ 
, representado por
-
, que satisfaz
-
. É usual
-representar também a função seno hiperbólico inverso por
-
e lemos “arco seno
-hiperbólico”. Vamos usar neste texto a primeira notação e lembre-se de não confundir
-
com
-
. A segunda expressão é o inverso multiplicativo do seno hiperbólico, ou seja a cossecante hiperbólica.
-
e
-
para todo
para todo
. Restringindo o contradomínio a
-
em
-
. Levando 
e
-
para todo
para todo
. Vamos observar o seu comportamento nos extremos do intervalo. Quando 
-então 
. Resumindo,
-
-
e
-
para todo
para todo
. Analisando os extremos do intervalo de definição, temos que quando
-
(com valores positivos). Fazendo
-
então, a mesma relação anterior,
-nos diz que 
quando
-
. Resumindo,
-
para todo
para todo
![$(0,1]$](img/img887.svg)
. Mas esta função não é injetora de
-![$\displaystyle f: (0,1]$](img/img1032.svg)
. Quando 
diz que 
deve estar indo para o infinito por valores positivos e consequentemente 
e
-
para todo![$\displaystyle \quad u \in (0,1],$](img/img1040.svg)
para todo
. Esta relação explica também os limites. Quando
-
deve ir para 0 por valores negativos e então 
também. Resumindo,
-
para todo
para todo
+ 
,
,
,
![$a \in (0,1]$](img/img1067.svg)
,
.
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
![$u \in (0,1]$](img/img1087.svg)
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
e
-
-
-
-
-
-
+ 
-
+ 
+ 
-
+ 
-
-
-
-
-
-
para
para
para
para
- 
- 
+ 
- 
e
- 
+ 
- 
- 
e
- 
- 
+ 
- 
- 
e
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
![$x \in (0,1]$](img/img1293.svg)
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
![$\mathbb{R}- [-1,1]$](img/img1332.svg)
- 
- 
- 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
- 
+ 
se e somente se
- 
- 
se e somente se
- 
para todo
para todo
para todo
para todo
e
e
e
- 
- 
se e somente se
- 
se e somente se
- 
para todo
para todo
para todo
para todo
e
- 
- 
- 
+ 
+ 
- 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
e
- 
![$b \in (-\pi,\pi]$](img/img1594.svg)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
![$w \in (0, \frac{\pi}{2}]$](img/img1639.svg)
-
-
-
-
+ 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
-