{"title":"O uso do astrolábio caseiro no
ensino da trigonometria","markdown":{"headingText":"O uso do astrolábio caseiro no
ensino da trigonometria","containsRefs":false,"markdown":"\n $$\\newcommand{\\sen}{\\mathrm{sen}\\thinspace}\\newcommand{\\tg}{\\mathrm{tg}\\thinspace}$$\n\n::: autores\nBruna Eduarda Unser^[1](#footnote-23){#footnote-ref-23}^
\nEduardo Rossoni Zeni^[2](#footnote-24){#footnote-ref-24}^
\nFabiana Magda Garcia Papani^[3](#footnote-25){#footnote-ref-25}^\n:::\n\n## Objetivo geral\n\nEsta proposta didática propõe a construção de um astrolábio caseiro e a\nutilização desse instrumento para realização de um experimento de\nmedições, simulando o trabalho, por exemplo, de geógrafos, agrimensores\nou astrônomos. Os resultados obtidos nessas medições serão utilizados\npara ensinar trigonometria. A proposta também prevê a inserção do uso de\nplanilhas eletrônicas como ferramenta para o ensino de trigonometria.\n\n## Introdução\n\nA trigonometria (TRI + GONO + METRIA que significa TRÊS + ÂNGULOS +\nMEDIDA), é \"\\[\\...\\] parte da matemática que tem como objeto de estudo\nos lados e os ângulos de um triângulo\" [@leite_2016, p. 15]. Surgiu com\nas necessidades práticas oriundas da astronomia, agrimensura, navegação,\nentre outras ciências. Para solucionar problemas, como por exemplo,\ncalcular as alturas das pirâmides ou a largura dos rios, os\ncientistas^[4](#footnote-26){#footnote-ref-26}^ dessas áreas se baseavam\nem dois conceitos matemáticos básicos: a razão entre dois números e\nsemelhança de triângulos.\n\nSegundo Boyer [@boyer_2001], a trigonometria não foi obra de um só homem, nem\nde um só povo, e seus primeiros indícios apareceram no Egito e na\nBabilônia. No Egito, rudimentos de trigonometria aparecem a partir da\nrevolução agrícola, quando o homem começou a demarcar terras, fixar\npropriedade e formas de plantio, gerando a necessidade de saber qual o\ntamanho do terreno, por exemplo. Na Babilônia, além da agricultura, a\nevolução da trigonometria se deu pelo trabalho dos astrônomos, que\ndurante muitos anos mediram os movimentos dos astros. \n\nO astrolábio, cuja origem do nome provém do grego *astrolabion*, foi um\ninstrumento desenvolvido e aprimorado durante séculos por diversos povos\ncom base em teorias aritméticas, trigonométricas, astrológicas e\ngeográficas. Quando do seu surgimento, tinha como função resolver\nproblemas relacionados à navegação, ao deslocamento e temporalidade dos\nastros, a medir a altura de objetos de difícil acesso, entre outras\naplicações.\n\nAutores discutem sobre o surgimento exato ou até mesmo a inexistência de\numa história completamente linear e definida de tal instrumento. No\nentanto, sua presença em diversas culturas e regiões distantes umas das\noutras demonstra seu movimento, utilização, bem como seu papel\ncientífico e social. No contexto islâmico, por exemplo, o indivíduo que\nsabia utilizar o astrolábio era considerado uma pessoa importante e\npossuir um astrolábio era sinal de poder político e religioso [@saraiva_2016].\n\n::: bloco-imagem\n\n{#fig-41 fig-alt=\"Astrolábio Esférico\" loading=\"lazy\"}\n\n[Fonte:]{.figure-caption} @brian\n:::\n\nCom o passar dos anos, os instrumentos criados pelos antepassados foram\nsofrendo melhorias em seus mecanismos, se adequando às necessidades e\nisso não foi diferente com o astrolábio. O instrumento passou por\ndiversas versões até chegar no que temos hoje. Podemos ver, na [[@fig-41]]{.nobreak}, o\nastrolábio esférico. Este possuía discos, nos quais pontuavam-se as\nlatitudes, longitudes, horizonte, mapa astrológico e movimento do sol.\nEsses adornos possibilitavam a descoberta de características do tempo e\ndo espaço, tais como dias, estações e partilhas geográficas durante todo\no ano. Devido às mudanças de contextos históricos e de realidade e,\nainda, pelo fato deste instrumento ser muito pesado e complexo,\ndificultando seu uso, este astrolábio caiu em desuso, sendo substituído\npor uma versão mais leve e simplificada, baseada na projeção\nestereográfica. O astrolábio planisférico, o qual podemos observar na\n[@fig-42], é capaz de resolver problemas sem precisar recorrer à\ntrigonometria esférica. Nos séculos XV e XVI, o astrolábio plano foi\nsimplificado dando origem ao astrolábio náutico, o qual foi amplamente\nutilizado no continente europeu [@fantuzzi]. Veja [@fig-43]. A\ninvenção do relógio de pêndulos e de instrumentos científicos como o\ntelescópio fez do astrolábio um instrumento obsoleto e atualmente\nastrolábios são construídos apenas por curiosidade, diversão ou para\nfins educacionais [@morrison].\n\n::: bloco-imagem\n\n{#fig-42 fig-alt=\"Astrolábio Planisférico\" loading=\"lazy\"}\n\n[Fonte:]{.figure-caption} [@sailko]\n:::\n\n::: bloco-imagem\n\n{#fig-43 fig-alt=\"Astrolábio Náutico\" loading=\"lazy\"}\n\nFonte: [@skoklosters]\n:::\n\nEssa proposta didática abordará a construção de uma versão caseira do\nastrolábio e a realização de experimentos com a sua utilização para\nensinar trigonometria. Vários autores relatam que atividades práticas em\nsala de aula, utilizando o astrolábio, têm trazido bons resultados para\numa aprendizagem com significado da trigonometria. Campos [-@campos_2017], por\nexemplo, apresenta um relato de experiência, no qual constrói o\nastrolábio e o utiliza em atividades práticas com o objetivo de estudar\nconceitos de razões trigonométricas com alunos do 1º ano do Ensino\nMédio. O autor conclui que a abordagem teórica tradicional aliada às\natividades práticas contribui para que o aluno perceba a matemática na\nsua vida e não apenas nos livros ou na escola. Soriano, Silva e\nDamasceno [@soriano] colocam que a ressignificação de conteúdos obsoletos,\npor meio da utilização da história da matemática em sala de aula,\ninstiga a curiosidade dos alunos e mostra o processo de criação dos\nconceitos matemáticos. Saito [-@saito_2016] salienta que quando o professor\nreintegra o conteúdo matemático ao processo histórico, ele consegue\npropor novas estratégias de ensino, dando outro significado à\nmatemática, mostrando que a matemática é uma construção humana, que\nocorreu aos poucos, com erros, aproximações e, então, pequenos acertos,\ndesconstruindo a visão de uma ciência construída por formas\nadivinhatórias completas e por poucos homens sábios.\n\nAlém disso, ao utilizar o astrolábio para realizar medições,\ntrabalharemos com a experimentação em sala de aula. Segundo Lorenzato [2010 *apud* @almeida_2019], \"experimentar é valorizar também a construção do conhecimento em vez do resultado dele, pois mais\nimportante que conhecer a solução é saber como encontrá-la. Tal aspecto\ndesperta o interesse do discente e favorece a aprendizagem com\nsignificado\".\n\nAs atividades de experimentação sugeridas nessa proposta didática estão\npropositalmente organizadas de forma a aumentar o grau de dificuldade do\nconteúdo abordado e permitir o avanço dos conteúdos da trigonometria,\naté que em um determinado momento, é introduzida a utilização de\nplanilhas eletrônicas como ferramenta facilitadora do ensino desse\nconteúdo. De acordo com Silva e Moraes [-@silva_2016], as planilhas eletrônicas\nse relacionam bem com a matemática e estão repletas de ferramentas que\nproporcionam uma aula bastante dinâmica e atrativa, deixando os alunos\nmais interessados pela disciplina e, consequentemente, alcançando o\nresultado esperado. Saldanha [-@saldanha_2016] ressalta que as atividades\nutilizando planilhas eletrônicas, além de tornar as aulas mais\natrativas, permitem que os alunos se concentrem no raciocínio e na\nprogramação, ao invés de efetuar cálculos muitas vezes entediantes.\n\n## Atividade 1:
construção do astrolábio caseiro\n\nPretendemos --- com a construção do astrolábio --- desenvolver a\ncriatividade, a interatividade entre os alunos e o professor e promover\no interesse pela história por trás do objeto construído e pelo estudo da\ntrigonometria.\n\n### Materiais e métodos\n\nA construção do astrolábio requer os seguintes materiais: um canudo ou\ntubo de caneta; um pedaço de arame; fio de *nylon* ou barbante; um\ntransferidor; fita adesiva e um objeto que sirva de peso, como metal ou\numa pedra. Observem a [@fig-44].\n\n::: bloco-imagem\n\n{#fig-44 fig-alt=\"Materiais para a construção: canudo, tubo de caneta, pedaço de arame,\nbarbante, transferidor, fita adesiva e um pedaço de\nmetal.\" loading=\"lazy\"}\n:::\n\nPara construir o astrolábio, deve-se --- com um alicate ou algum objeto\nsimilar --- segurar o arame, aquecê-lo e fazer um furo no centro do\ntransferidor, ou seja, sobre a reta com a marcação de 90°, como\napresentado na [@fig-45]. Em seguida, é necessário cortar e amarrar um\npedaço de barbante no furo realizado e amarrar na outra extremidade do\nbarbante o objeto escolhido como peso. Por fim, deve-se fixar o canudo\nsobre o transferidor, paralelo à reta que contém as marcações 0° e 180º,\nobserve a [@fig-46].\n\n::: bloco-imagem\n\n{#fig-45 fig-alt=\"Furando o transferidor\" loading=\"lazy\"}\n:::\n\n::: bloco-imagem\n\n{#fig-46 fig-alt=\"Canudo fixado nas marcações 0º e 180º\" loading=\"lazy\"}\n:::\n\n## Atividade 2:
medições com o astrolábio\n\n### Método de uso\n\nO objetivo é utilizar o astrolábio construído para realizar medições de\nalturas inacessíveis, simulando o trabalho de um topógrafo, por exemplo,\ne utilizar a dinâmica para a facilitar a compreensão dos conceitos de\ntrigonometria, tais como: seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis;\nrelações trigonométricas em um triângulo retângulo; adição e subtração\nde arcos; apresentar aplicações desses conceitos matemáticos em outras\nciências e no nosso cotidiano, mostrando que a matemática, assim como\noutras ciências, é desenvolvida pouco a pouco.\n\nO primeiro passo para utilizar o astrolábio é definir o objeto de\nestudo. Tendo realizado a escolha, deve-se enxergar pelo canudo o topo\ndo objeto escolhido como ilustrado na [@fig-47].\n\n::: bloco-imagem\n\n{#fig-47 fig-alt=\"Modo de usar o astrolábio caseiro. Uma pessoa ao ar livre, em um gramado, usando o astrolábio caseiro para medir um prédio\" loading=\"lazy\"}\n:::\n\nEm seguida, deve-se observar o ângulo demarcado pelo astrolábio, o qual\nchamaremos de α (*alfa*). Para isso, basta verificar a marcação\ndeterminada pelo barbante sobre o transferidor.\n\n::: bloco-imagem\n\n{#fig-48 fig-alt=\"Uma imagem contendo pessoa, edifício, ao ar livre, usando o astrolábio caseiro para medir.\" loading=\"lazy\"}\n:::\n\nSe chamarmos de θ (*teta*) o ângulo complementar ao ângulo *α*, ou seja,\no ângulo que somado a *α* resulta em 90° ([@fig-48]), podemos observar na\n[[@fig-49]]{.nobreak} que o cateto oposto a *θ* é $h$ (a altura do objeto menos a\naltura do observador) e que o cateto adjacente a este mesmo ângulo é a\ndistância $(d)$ entre o observador e o objeto. Assim, devemos também\nmedir a altura do observador e a distância entre o mesmo e o objeto\nescolhido para estudo.\n\n::: bloco-imagem\n\n{#fig-49 fig-alt=\"Esquema gráfico da medição, mostrando alfa, teta, a altura do\nobservador, a altura do objeto e a distância do observador até o objeto.\" loading=\"lazy\"}\n:::\n\nDesta forma, a altura do objeto é obtida por meio da aplicação da\nrelação ([-@eq-tg]) abaixo, relação métrica no triângulo retângulo baseada na\ntangente do ângulo *θ* e, portanto, relaciona os catetos oposto e\nadjacente a este ângulo.\n\n$$\\tg\\theta = \\frac{h}{d}$${#eq-tg}\n\nConsidere $h$ a altura do objeto menos a altura do observador e $d$\né a distância entre o observador e o objeto.\n\nUma vez que conhecemos o ângulo θ, a altura do observador e a distância\nentre o observador e o objeto, temos na relação dois elementos\nconhecidos e apenas a altura do objeto desconhecida.\n\n### Medindo uma árvore\n\nPara calcular a altura da árvore, seguimos os passos definidos\nanteriormente. Primeiramente, tomou-se a distância da árvore ao observador e com a\nutilização do astrolábio demarcou-se o ângulo *α* --- formado entre o\ncanudo e o barbante --- e calculou-se o ângulo complementar $\\theta$.\nEm seguida, com uma trena, mediu-se a distância entre a árvore e o\nobservador e a altura do observador.\n\n::: bloco-imagem\n\n{#fig-410 fig-alt=\"Imagem ao ar livre com um gramado, um prédio, uma árvore e uma pessoa\nusando o astrolábio caseiro para medir a altura da árvore. Sobre a\nimagem há marcações em vermelho mostrando as medidas obtidas: os ângulos\nalfa e teta, a altura do observador e a distância do observador até a\nárvore. A altura da árvore desde a cabeça do observador até o topo é uma\nlinha pontilhada.\" loading=\"lazy\"}\n:::\n\nNesse exemplo, como exibido na [@fig-410], os resultados obtidos foram,\n$\\alpha = 60^\\circ$ e consequentemente $\\theta = 30^\\circ$, a\ndistância entre o observador e a árvore foi de $8,35 \\thinspace m$ e\na altura do observador $1,60 \\thinspace m$.\n\nAo término das medições, os alunos voltam à sala de aula e o professor\nutiliza os resultados das observações para introduzir ou aplicar\nconceitos de trigonometria.\n\nPodemos observar que nesta primeira situação o ângulo $\\theta$ é o\nângulo notável, de $30^\\circ$, cuja tangente mede\n$\\frac{\\sqrt{3}}{3}$. Os ângulos $30^\\circ$, $45^\\circ$ e\n$60^\\circ$ são chamados ângulos notáveis por suas aparições em\nvários problemas matemáticos e, assim, é importante conhecer os valores\ndo seno, cosseno e tangente desses ângulos. Desta forma, utilizando a\nrelação (1), temos que,\n\n$$\\tg30^\\circ =\\frac{h}{8,35}$$\n\nUtilizando $0,5773$ como valor aproximado para tangente de $30^\\circ$ e realizando as\ndevidas manipulações, temos que,\n\n$$h = 0,5773 \\cdot 8,35 = 4,82 \\thinspace m$$\n\nPara sabermos a altura da árvore, basta somarmos o valor encontrado com\na altura do observador, deste modo,\n\nAltura da árvore = $4,82 + 1,60 = 6,42 \\thinspace m$\n\n### Medindo uma porta\n\nO objetivo deste experimento é:\n\n::: bloco-imagem\n\n{#fig-411 fig-alt=\"Uma menina usando o astrolábio caseiro para medir uma porta. É uma\nárea aberta, mas coberta e com sombra.\" loading=\"lazy\"}\n:::\n\n- Medir um objeto acessível, para poder comparar o resultado da medida\n utilizando o astrolábio com a medida obtida em uma medição\n convencional. Escolhemos para isso uma porta, como mostra a [[@fig-411]]{.nobreak}.\n- Provocar uma situação didática na qual o ângulo $\\theta$ não é um ângulo\n notável, de modo a dar continuidade, em sala de aula, ao ensino da\n trigonometria, apresentando algumas relações trigonométricas.\n Realizamos o procedimento de medição como anteriormente, no caso da\n árvore. Obtivemos para este objeto as medidas: $2,60 \\thinspace m$ de distância do observador à porta, o ângulo demarcado no astrolábio foi $75^\\circ$ e, portanto, seu ângulo complementar é $15^\\circ$. Neste caso o ângulo encontrado não é um ângulo notável, mas pode ser obtido como a diferença entre dois ângulos\n notáveis. Sendo assim, podemos calcular sua tangente utilizando a\n relação entre a tangente da diferença e a tangente dos arcos, a\n saber:\n\n$$\\tg(a-b) = \\frac{\\tg a -\\tg b}{1+\\tg a \\cdot \\tg b}$${#eq-tgdif}\n\nPodemos expressar o ângulo de $15^\\circ$ como $45^\\circ - 30^\\circ$. Assim, uma vez que a tangente de $30^\\circ$ é\n$\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ e a tangente de $45^\\circ$ é $1$, temos,\nutilizando a equação ([-@eq-tgdif]),\n\n$$\n \\begin{aligned}\n \\tg(15^\\circ) &= \\tg(45^\\circ - 30^\\circ) \\\\[10pt]\n &= \\frac{1 -\\frac{\\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3}} \\\\[10pt]\n &= \\frac{\\frac{3 - \\sqrt{3}}{3}}{\\frac{3 + \\sqrt{3}}{3}} \\\\[10pt]\n &= \\frac{3 - \\sqrt{3}}{3 + \\sqrt{3}}\n \\end{aligned}\n$$\n\nNeste momento, podemos efetuar uma racionalização e encontrar\n\n$$\\begin{aligned} \\tg(15^\\circ) &= \\frac{3 - \\sqrt{3}}{3 + \\sqrt{3}}\\cdot \\frac{3 + \\sqrt{3}}{3 + \\sqrt{3}} \\\\[10pt]\n&= \\frac{12 - 6\\sqrt{3}}{6} = 2 - \\sqrt{3} \\\\[10pt]\n& \\approx 0,2679 \\end{aligned}$$\n\nAssim $h = 0,2679 \\cdot2,60 = 0,6965 \\thinspace m$.\n\nPara sabermos a altura da porta, basta somarmos o valor encontrado com a\naltura do observador $(1,60 \\thinspace m)$, deste modo a altura da\nporta é $2,2965 \\thinspace m$.\n\nCabe ressaltar que a altura da porta obtida pela medição convencional,\nisto é, medindo a porta como uma trena é de $2,30 \\thinspace m$.\nLogo, podemos notar que a medida obtida utilizando o astrolábio fornece\num resultado muito próximo a altura real da porta, sendo que a diferença\nobtida se deve às aproximações realizadas e a possíveis imprecisões nas\nmedições.\n\nPodemos aproveitar o contexto gerado pelo experimento para explorar o\nseno, cosseno ou tangente de arcos e as relações entre seno, cosseno e\ntangente da soma, ou diferença, dos respectivos arcos, tais como as\napresentadas na Tabela 1.\n\nTabela 1 -- Relações entre seno, cosseno e tangente da soma e/ou\ndiferença de arcos e os respectivos arcos\n\n| |\n|:---:|\n| $\\sen(a + b) = \\sen a \\cdot \\cos b + \\sen b \\cdot \\cos a$ |\n| $\\sen(a - b) = \\sen a \\cdot \\cos b - \\sen b \\cdot \\cos a$ |\n| $\\cos(a + b) = \\cos a \\cdot \\cos b - \\sen a \\cdot \\sen b$ |\n| $\\cos(a - b) = \\cos a \\cdot \\cos b + \\sen a \\cdot \\sen b$ |\n| $\\tg(a + b) = \\frac{\\tg a + \\tg b}{1 - \\tg a \\cdot \\tg b}$ |\n| $\\tg(a - b) = \\frac{\\tg a - \\tg b}{1 + \\tg a \\cdot \\tg b}$ |\n \nPodemos, ainda, explorar os conceitos de racionalização, bem como de\nvalor aproximado (arredondamento), números racionais e irracionais.\n\n### Medindo um prédio\n\n::: bloco-imagem\n\n{#fig-412 fig-alt=\"Imagem ao ar livre com um gramado, um prédio, uma árvore e uma pessoa\nusando o astrolábio caseiro para medir a altura do prédio. Sobre a\nimagem há marcações em verde mostrando as medidas obtidas: os ângulos\nalfa e teta, a altura do observador e a distância do observador até a\nárvore. A altura do prédio desde a cabeça do observador até o topo é uma\nlinha pontilhada.\" loading=\"lazy\"}\n:::\n\nO objetivo desse experimento foi criar uma situação diferente das\ngeradas nos dois casos anteriores. Neste caso o ângulo θ não é um ângulo\nnotável, tão pouco pode ser obtido por meio da soma ou subtração de\nângulos notáveis. Sendo assim, abordaremos a possibilidade de utilizar\nplanilhas eletrônicas. Escolhemos, para realizar o experimento, medir a\naltura de um prédio. Como nos casos anteriores, foram medidos o ângulo α\ncom ajuda do astrolábio, a distância entre o observador e o prédio e a\naltura do observador, como podemos ver na [@fig-412].\n\nO ângulo marcado no transferidor foi $\\alpha = 50 ^\\circ$, porém,\ndevemos lembrar que este ângulo é o complementar do ângulo formado pela\nlinha de visão do observador e o solo. Assim, o ângulo entre a linha de\nvisão do observador e o solo é $\\theta = 40 ^\\circ$. Temos também\nque a distância entre o observador e o objeto é $ d = 13,50 \\thinspace\nm $ e que a altura do observador é $ h = 1,80 \\thinspace m $.\n\nQuando voltarmos para a sala de aula e utilizar os resultados das\nmedições, observaremos que neste experimento, o ângulo encontrado não é\num ângulo notável e não conseguimos obtê-lo a partir da soma ou\ndiferença de ângulos notáveis. Portanto, exploraremos o uso de\ncalculadora ou planilhas eletrônicas como, por exemplo, o Excel (2020),\npara o cálculo de valores das funções trigonométricas. O Excel\ndisponibiliza as funções *sen, cos* e *tan*, que fornecem,\nrespectivamente o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo dado em\nradianos. Neste momento cabe abordar a questão das diferentes unidades\nde medida que podem ser utilizadas para medir ângulos e a relação entre\nelas. Nas calculadoras científicas, por exemplo, devemos escolher qual\nunidade de medida (radianos, grau ou grado) vamos utilizar. No Excel,\npor exemplo, se digitarmos \"$\\sen(30)$\"\", o aplicativo irá retornar o\nvalor -0,98803. O leitor distraído pode achar que o software realizou um\ncálculo errado, pois sabe que seno de $30^\\circ$ é $0,5$. O\nacontece é que o Excel entende o argumento \"$30$\"\" como $30$\nradianos, que equivale aproximadamente $1719^\\circ$, que é um arco\nsituado no quarto quadrante.\n\nAssim, se optamos por utilizar o Excel e desejamos retornar o valor do\nseno (cosseno, tangente) de um ângulo dado em graus, devemos primeiro\ntransformá-lo em radianos, utilizando a função *radianos*. Por exemplo,\npara calcular o seno de $30^\\circ$, podemos digitar no Excel $\\sen(\\text{radianos}(30))$ e então o Excel retornará o valor $0,5$.\n\nRetornando ao nosso problema, podemos utilizar a função para encontrar\n$\\tg 40^\\circ = 0,8391$.\n\nAssim, utilizando a relação ([-@eq-tg]), obtemos\n\n$$h = 0,8391 \\cdot 13,50 = 11,33 \\thinspace m$$.\n\nPara sabermos o valor da altura do prédio, basta somarmos $h$ com a altura do observador, obtendo que a altura do prédio é $13,12 \\thinspace m$.\n\nDestacamos que por ocasião deste experimento, o professor, em sala de\naula, além de explorar a utilização de planilhas eletrônicas como\nferramenta para o ensino, neste caso da trigonometria, pode explorar a\nrelação entre as unidades de medida de ângulo, grau e radianos, o sinal\ndas funções seno, cosseno e tangente em cada um dos quadrantes e o\n(de)crescimento dessas funções trigonométricas, de modo que, o aluno,\nconhecendo os valores dessas funções para os ângulos notáveis, possa\navaliar a coerência da resposta retornada pelo software.\n\n## Considerações finais\n\nAcredita-se que as atividades apresentadas nesta proposta didática\npermitirão a utilização de aspectos da história da matemática para\nensinar conceitos de trigonometria, corroborando com a opinião de\ndiversos autores de que ao utilizar a história da matemática como\nferramenta didática, estamos proporcionando mais do que um recurso\ninformativo. Essa metodologia permite mostrar aos alunos uma matemática\nem construção, portanto fruto da invenção humana. Permitirá ainda uma\nabordagem diferente para o conteúdo de trigonometria, com as atividades\npráticas, possibilitando a percepção de que a trigonometria pode ser\nutilizada em atividades cotidianas. Por último, a proposta didática\nestimula e exemplifica a utilização de planilhas eletrônicas em sala de\naula. Essa prática, além de colocar os alunos em contato com uma\nferramenta muito presente na vida cotidiana, permite que os alunos\ndesenvolvam os cálculos mais rapidamente, podendo dar maior atenção às\nideias e conceitos presentes na atividade.\n\n## Notas\n\n1. ::: {#footnote-23}\n Acadêmica do Curso de Matemática -- Unioeste/Cascavel-PR. Bolsista\n do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid).\n E-mail: bruna.unser@unioeste.br [↑](#footnote-ref-23)\n :::\n\n2. ::: {#footnote-24}\n Acadêmico do Curso de Matemática -- Unioeste/Cascavel-PR. Bolsista\n do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid).\n E-mail: Eduardo.zeni1@unioeste.br [↑](#footnote-ref-24)\n :::\n\n3. ::: {#footnote-25}\n Professora do Curso de Matemática -- Unioeste/Cascavel. Colaboradora\n de área do subprojeto Interdisciplinar Matemática/Química, do\n Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid), da\n Unioeste. E-mail: [↑](#footnote-ref-25)\n :::\n\n4. ::: {#footnote-26}\n \"Cientistas\" e \"Ciências\" estão sendo usadas em um sentido amplo\n neste texto. Questionamentos como \"Existia ciência na antiguidade?\"\n não fazem parte do escopo deste trabalho. [↑](#footnote-ref-26)\n :::\n\n## Referências","srcMarkdownNoYaml":""},"formats":{"moan-livro-html":{"identifier":{"display-name":"HTML","target-format":"moan-livro-html","base-format":"html","extension-name":"moan-livro"},"execute":{"fig-width":7,"fig-height":5,"fig-format":"retina","fig-dpi":96,"df-print":"default","error":false,"eval":true,"cache":null,"freeze":false,"echo":true,"output":true,"warning":true,"include":true,"keep-md":false,"keep-ipynb":false,"ipynb":null,"enabled":null,"daemon":null,"daemon-restart":false,"debug":false,"ipynb-filters":[],"ipynb-shell-interactivity":null,"plotly-connected":true,"engine":"markdown"},"render":{"keep-tex":false,"keep-typ":false,"keep-source":false,"keep-hidden":false,"prefer-html":false,"output-divs":true,"output-ext":"html","fig-align":"default","fig-pos":null,"fig-env":null,"code-fold":"none","code-overflow":"scroll","code-link":false,"code-line-numbers":false,"code-tools":false,"tbl-colwidths":"auto","merge-includes":true,"inline-includes":false,"preserve-yaml":false,"latex-auto-mk":true,"latex-auto-install":true,"latex-clean":true,"latex-min-runs":1,"latex-max-runs":10,"latex-makeindex":"makeindex","latex-makeindex-opts":[],"latex-tlmgr-opts":[],"latex-input-paths":[],"latex-output-dir":null,"link-external-icon":false,"link-external-newwindow":false,"self-contained-math":false,"format-resources":[],"notebook-links":true,"shortcodes":[],"format-links":false},"pandoc":{"standalone":true,"wrap":"none","default-image-extension":"png","to":"html","filters":["lightbox"],"include-after-body":{"text":"\n\n\n"},"number-sections":false,"output-file":"uso-do-astrolabio-caseiro-no-ensino-da-trigonometria.html"},"language":{"toc-title-document":"Neste 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Este livro apresenta propostas didáticas que desafiam o paradigma tradicional e abrem espaço para a criatividade e a dinamicidade em sala de aula. Sabemos que romper com o modelo convencional de ensino pode ser intimidador para muitos professores. Dessa forma, oferecemos uma alternativa valiosa ao ensino tradicional. Apresentamos propostas dinâmicas e muitas delas com o uso de jogos — tanto os analógicos quanto os digitais online, acessíveis por QR Code na versão impressa — como ferramentas pedagógicas. Essas atividades lúdicas promovem o engajamento, a interação e a compreensão dos conceitos matemáticos de forma envolvente e prazerosa. As propostas didáticas, neste livro, foram desenvolvidas no Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid) por professores e acadêmicos dos cursos de Licenciatura em Matemática da Unioeste, tanto do campus de Cascavel quanto do de Foz do Iguaçu, Paraná. Explore novas possibilidade e renove a sua prática docente!","organizador":"Arleni Elise Sella Langer, Adriana Schawabe Reis Lepreda, Dulcyene Maria Ribeiro, Fabiana Magda Garcia Papani, Renata Camacho Bezerra, Richael Silva Caetano","autor":"Arleni Elise Sella Langer, Adriana Schawabe Reis Lepreda, Dulcyene Maria Ribeiro, Fabiana Magda Garcia Papani, Renata Camacho Bezerra, Richael Silva Caetano, Erika Diana Alves de Oliveira, Ricardo Mondini Ferrazza, Thamara Tobaldini, Luiza Stunder, Eliza Bruna Dalla Corte Andreolla, Fernanda Guerra, Thais de Souza, Bruna Eduarda Unser, Eduardo Rossoni Zeni, Ana Carolina Marques Pauluk, Ashley Esquitine Fernandes Mello, Bruno Eduardo Duarte, Cassio Rafael Santos de Lima, Fabio Goulart de Campos, Gabrielle Thais Werle, Hevila Maria Simonetti, Letícia Santiago Silva e Patricia Alves de Oliveira, Janice Kunz Oenning","apoio-financeiro":"Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – CAPES","realização":"Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência - PIBID/Unioeste. 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