# O uso do astrolábio caseiro no
ensino da trigonometria

\[\newcommand{\sen}{\mathrm{sen}\thinspace}\newcommand{\tg}{\mathrm{tg}\thinspace}\]

Bruna Eduarda Unser1
Eduardo Rossoni Zeni2
Fabiana Magda Garcia Papani3

## Objetivo geral

Esta proposta didática propõe a construção de um astrolábio caseiro e a utilização desse instrumento para realização de um experimento de medições, simulando o trabalho, por exemplo, de geógrafos, agrimensores ou astrônomos. Os resultados obtidos nessas medições serão utilizados para ensinar trigonometria. A proposta também prevê a inserção do uso de planilhas eletrônicas como ferramenta para o ensino de trigonometria.

## Introdução

A trigonometria (TRI + GONO + METRIA que significa TRÊS + ÂNGULOS + MEDIDA), é “[...] parte da matemática que tem como objeto de estudo os lados e os ângulos de um triângulo” (LEITE, 2016, p. 15). Surgiu com as necessidades práticas oriundas da astronomia, agrimensura, navegação, entre outras ciências. Para solucionar problemas, como por exemplo, calcular as alturas das pirâmides ou a largura dos rios, os cientistas4 dessas áreas se baseavam em dois conceitos matemáticos básicos: a razão entre dois números e semelhança de triângulos.

Segundo Boyer (BOYER, 2001), a trigonometria não foi obra de um só homem, nem de um só povo, e seus primeiros indícios apareceram no Egito e na Babilônia. No Egito, rudimentos de trigonometria aparecem a partir da revolução agrícola, quando o homem começou a demarcar terras, fixar propriedade e formas de plantio, gerando a necessidade de saber qual o tamanho do terreno, por exemplo. Na Babilônia, além da agricultura, a evolução da trigonometria se deu pelo trabalho dos astrônomos, que durante muitos anos mediram os movimentos dos astros.

O astrolábio, cuja origem do nome provém do grego astrolabion, foi um instrumento desenvolvido e aprimorado durante séculos por diversos povos com base em teorias aritméticas, trigonométricas, astrológicas e geográficas. Quando do seu surgimento, tinha como função resolver problemas relacionados à navegação, ao deslocamento e temporalidade dos astros, a medir a altura de objetos de difícil acesso, entre outras aplicações.

Autores discutem sobre o surgimento exato ou até mesmo a inexistência de uma história completamente linear e definida de tal instrumento. No entanto, sua presença em diversas culturas e regiões distantes umas das outras demonstra seu movimento, utilização, bem como seu papel científico e social. No contexto islâmico, por exemplo, o indivíduo que sabia utilizar o astrolábio era considerado uma pessoa importante e possuir um astrolábio era sinal de poder político e religioso (SARAIVA JUNIOR, 2016).

Figura 2.1: Astrolábio Esférico

Fonte: BRIAN (2007)

Com o passar dos anos, os instrumentos criados pelos antepassados foram sofrendo melhorias em seus mecanismos, se adequando às necessidades e isso não foi diferente com o astrolábio. O instrumento passou por diversas versões até chegar no que temos hoje. Podemos ver, na Figura 2.1, o astrolábio esférico. Este possuía discos, nos quais pontuavam-se as latitudes, longitudes, horizonte, mapa astrológico e movimento do sol. Esses adornos possibilitavam a descoberta de características do tempo e do espaço, tais como dias, estações e partilhas geográficas durante todo o ano. Devido às mudanças de contextos históricos e de realidade e, ainda, pelo fato deste instrumento ser muito pesado e complexo, dificultando seu uso, este astrolábio caiu em desuso, sendo substituído por uma versão mais leve e simplificada, baseada na projeção estereográfica. O astrolábio planisférico, o qual podemos observar na Figura 2.2, é capaz de resolver problemas sem precisar recorrer à trigonometria esférica. Nos séculos XV e XVI, o astrolábio plano foi simplificado dando origem ao astrolábio náutico, o qual foi amplamente utilizado no continente europeu (FANTUZZI, [s. d.]). Veja Figura 2.3. A invenção do relógio de pêndulos e de instrumentos científicos como o telescópio fez do astrolábio um instrumento obsoleto e atualmente astrolábios são construídos apenas por curiosidade, diversão ou para fins educacionais (MORRISON, [s. d.]).

Figura 2.2: Astrolábio Planisférico

Fonte: (SAILKO, 2013)

Figura 2.3: Astrolábio Náutico

Fonte: (SLOTT, 2014)

Essa proposta didática abordará a construção de uma versão caseira do astrolábio e a realização de experimentos com a sua utilização para ensinar trigonometria. Vários autores relatam que atividades práticas em sala de aula, utilizando o astrolábio, têm trazido bons resultados para uma aprendizagem com significado da trigonometria. Campos (2017), por exemplo, apresenta um relato de experiência, no qual constrói o astrolábio e o utiliza em atividades práticas com o objetivo de estudar conceitos de razões trigonométricas com alunos do 1º ano do Ensino Médio. O autor conclui que a abordagem teórica tradicional aliada às atividades práticas contribui para que o aluno perceba a matemática na sua vida e não apenas nos livros ou na escola. Soriano, Silva e Damasceno (SORIANO et al., 2021) colocam que a ressignificação de conteúdos obsoletos, por meio da utilização da história da matemática em sala de aula, instiga a curiosidade dos alunos e mostra o processo de criação dos conceitos matemáticos. Saito (2016) salienta que quando o professor reintegra o conteúdo matemático ao processo histórico, ele consegue propor novas estratégias de ensino, dando outro significado à matemática, mostrando que a matemática é uma construção humana, que ocorreu aos poucos, com erros, aproximações e, então, pequenos acertos, desconstruindo a visão de uma ciência construída por formas adivinhatórias completas e por poucos homens sábios.

Além disso, ao utilizar o astrolábio para realizar medições, trabalharemos com a experimentação em sala de aula. Segundo Lorenzato (2010 apud ALMEIDA; MALHEIRO, 2019), “experimentar é valorizar também a construção do conhecimento em vez do resultado dele, pois mais importante que conhecer a solução é saber como encontrá-la. Tal aspecto desperta o interesse do discente e favorece a aprendizagem com significado”.

As atividades de experimentação sugeridas nessa proposta didática estão propositalmente organizadas de forma a aumentar o grau de dificuldade do conteúdo abordado e permitir o avanço dos conteúdos da trigonometria, até que em um determinado momento, é introduzida a utilização de planilhas eletrônicas como ferramenta facilitadora do ensino desse conteúdo. De acordo com Silva e Moraes (2016), as planilhas eletrônicas se relacionam bem com a matemática e estão repletas de ferramentas que proporcionam uma aula bastante dinâmica e atrativa, deixando os alunos mais interessados pela disciplina e, consequentemente, alcançando o resultado esperado. Saldanha (2016) ressalta que as atividades utilizando planilhas eletrônicas, além de tornar as aulas mais atrativas, permitem que os alunos se concentrem no raciocínio e na programação, ao invés de efetuar cálculos muitas vezes entediantes.

## Atividade 1:
construção do astrolábio caseiro

Pretendemos — com a construção do astrolábio — desenvolver a criatividade, a interatividade entre os alunos e o professor e promover o interesse pela história por trás do objeto construído e pelo estudo da trigonometria.

### Materiais e métodos

A construção do astrolábio requer os seguintes materiais: um canudo ou tubo de caneta; um pedaço de arame; fio de nylon ou barbante; um transferidor; fita adesiva e um objeto que sirva de peso, como metal ou uma pedra. Observem a Figura 2.4.

Figura 2.4: Materiais para a construção do astrolábio

Para construir o astrolábio, deve-se — com um alicate ou algum objeto similar — segurar o arame, aquecê-lo e fazer um furo no centro do transferidor, ou seja, sobre a reta com a marcação de 90°, como apresentado na Figura 2.5. Em seguida, é necessário cortar e amarrar um pedaço de barbante no furo realizado e amarrar na outra extremidade do barbante o objeto escolhido como peso. Por fim, deve-se fixar o canudo sobre o transferidor, paralelo à reta que contém as marcações 0° e 180º, observe a Figura 2.6.

Figura 2.5: Perfuração do transferidor
Figura 2.6: Canudo fixado nas marcações 0º e 180º

## Atividade 2:
medições com o astrolábio

### Método de uso

O objetivo é utilizar o astrolábio construído para realizar medições de alturas inacessíveis, simulando o trabalho de um topógrafo, por exemplo, e utilizar a dinâmica para a facilitar a compreensão dos conceitos de trigonometria, tais como: seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis; relações trigonométricas em um triângulo retângulo; adição e subtração de arcos; apresentar aplicações desses conceitos matemáticos em outras ciências e no nosso cotidiano, mostrando que a matemática, assim como outras ciências, é desenvolvida pouco a pouco.

O primeiro passo para utilizar o astrolábio é definir o objeto de estudo. Tendo realizado a escolha, deve-se enxergar pelo canudo o topo do objeto escolhido como ilustrado na Figura 2.7.

Figura 2.7: Modo de utilizar o astrolábio

Em seguida, deve-se observar o ângulo demarcado pelo astrolábio, o qual chamaremos de α (alfa). Para isso, basta verificar a marcação determinada pelo barbante sobre o transferidor.

Figura 2.8: Representação dos ângulos alfa e teta

Se chamarmos de θ (teta) o ângulo complementar ao ângulo α, ou seja, o ângulo que somado a α resulta em 90° (Figura 2.8), podemos observar na Figura 2.9 que o cateto oposto a θ é \(h\) (a altura do objeto menos a altura do observador) e que o cateto adjacente a este mesmo ângulo é a distância \((d)\) entre o observador e o objeto. Assim, devemos também medir a altura do observador e a distância entre o mesmo e o objeto escolhido para estudo.

Figura 2.9: Representação do esquema de medição

Desta forma, a altura do objeto é obtida por meio da aplicação da relação (2.1) abaixo, relação métrica no triângulo retângulo baseada na tangente do ângulo θ e, portanto, relaciona os catetos oposto e adjacente a este ângulo.

\[\tg\theta = \frac{h}{d} \tag{2.1}\]

Considere \(h\) a altura do objeto menos a altura do observador e \(d\) é a distância entre o observador e o objeto.

Uma vez que conhecemos o ângulo θ, a altura do observador e a distância entre o observador e o objeto, temos na relação dois elementos conhecidos e apenas a altura do objeto desconhecida.

### Medindo uma árvore

Para calcular a altura da árvore, seguimos os passos definidos anteriormente. Primeiramente, tomou-se a distância da árvore ao observador e com a utilização do astrolábio demarcou-se o ângulo α — formado entre o canudo e o barbante — e calculou-se o ângulo complementar \(\theta\). Em seguida, com uma trena, mediu-se a distância entre a árvore e o observador e a altura do observador.

Figura 2.10: Ilustração das medidas obtidas

Nesse exemplo, como exibido na Figura 2.10, os resultados obtidos foram, \(\alpha = 60^\circ\) e consequentemente \(\theta = 30^\circ\), a distância entre o observador e a árvore foi de \(8,35 \thinspace m\) e a altura do observador \(1,60 \thinspace m\).

Ao término das medições, os alunos voltam à sala de aula e o professor utiliza os resultados das observações para introduzir ou aplicar conceitos de trigonometria.

Podemos observar que nesta primeira situação o ângulo \(\theta\) é o ângulo notável, de \(30^\circ\), cuja tangente mede \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Os ângulos \(30^\circ\), \(45^\circ\) e \(60^\circ\) são chamados ângulos notáveis por suas aparições em vários problemas matemáticos e, assim, é importante conhecer os valores do seno, cosseno e tangente desses ângulos. Desta forma, utilizando a relação (1), temos que,

\[\tg30^\circ =\frac{h}{8,35}\]

Utilizando \(0,5773\) como valor aproximado para tangente de \(30^\circ\) e realizando as devidas manipulações, temos que,

\[h = 0,5773 \cdot 8,35 = 4,82 \thinspace m\]

Para sabermos a altura da árvore, basta somarmos o valor encontrado com a altura do observador, deste modo,

Altura da árvore = \(4,82 + 1,60 = 6,42 \thinspace m\)

### Medindo uma porta

O objetivo deste experimento é:

Figura 2.11: Medição da porta

- Medir um objeto acessível, para poder comparar o resultado da medida utilizando o astrolábio com a medida obtida em uma medição convencional. Escolhemos para isso uma porta, como mostra a Figura 2.11.
- Provocar uma situação didática na qual o ângulo \(\theta\) não é um ângulo notável, de modo a dar continuidade, em sala de aula, ao ensino da trigonometria, apresentando algumas relações trigonométricas. Realizamos o procedimento de medição como anteriormente, no caso da árvore. Obtivemos para este objeto as medidas: \(2,60 \thinspace m\) de distância do observador à porta, o ângulo demarcado no astrolábio foi \(75^\circ\) e, portanto, seu ângulo complementar é \(15^\circ\). Neste caso o ângulo encontrado não é um ângulo notável, mas pode ser obtido como a diferença entre dois ângulos notáveis. Sendo assim, podemos calcular sua tangente utilizando a relação entre a tangente da diferença e a tangente dos arcos, a saber:

\[\tg(a-b) = \frac{\tg a -\tg b}{1+\tg a \cdot \tg b} \tag{2.2}\]

Podemos expressar o ângulo de \(15^\circ\) como \(45^\circ - 30^\circ\). Assim, uma vez que a tangente de \(30^\circ\) é \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) e a tangente de \(45^\circ\) é \(1\), temos, utilizando a equação (2.2),

\[ \begin{aligned} \tg(15^\circ) &= \tg(45^\circ - 30^\circ) \\[10pt] &= \frac{1 -\frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \\[10pt] &= \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} \\[10pt] &= \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \end{aligned} \]

Neste momento, podemos efetuar uma racionalização e encontrar

\[\begin{aligned} \tg(15^\circ) &= \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \\[10pt] &= \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3} \\[10pt] & \approx 0,2679 \end{aligned}\]

Assim \(h = 0,2679 \cdot2,60 = 0,6965 \thinspace m\).

Para sabermos a altura da porta, basta somarmos o valor encontrado com a altura do observador \((1,60 \thinspace m)\), deste modo a altura da porta é \(2,2965 \thinspace m\).

Cabe ressaltar que a altura da porta obtida pela medição convencional, isto é, medindo a porta como uma trena é de \(2,30 \thinspace m\). Logo, podemos notar que a medida obtida utilizando o astrolábio fornece um resultado muito próximo a altura real da porta, sendo que a diferença obtida se deve às aproximações realizadas e a possíveis imprecisões nas medições.

Podemos aproveitar o contexto gerado pelo experimento para explorar o seno, cosseno ou tangente de arcos e as relações entre seno, cosseno e tangente da soma, ou diferença, dos respectivos arcos, tais como as apresentadas na Tabela 1.

Tabela 1 – Relações entre seno, cosseno e tangente da soma e/ou diferença de arcos e os respectivos arcos

\(\sen(a + b) = \sen a \cdot \cos b + \sen b \cdot \cos a\)
\(\sen(a - b) = \sen a \cdot \cos b - \sen b \cdot \cos a\)
\(\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sen a \cdot \sen b\)
\(\cos(a - b) = \cos a \cdot \cos b + \sen a \cdot \sen b\)
\(\tg(a + b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 - \tg a \cdot \tg b}\)
\(\tg(a - b) = \frac{\tg a - \tg b}{1 + \tg a \cdot \tg b}\)

Podemos, ainda, explorar os conceitos de racionalização, bem como de valor aproximado (arredondamento), números racionais e irracionais.

### Medindo um prédio

Figura 2.12: Ilustração das medidas obtidas

O objetivo desse experimento foi criar uma situação diferente das geradas nos dois casos anteriores. Neste caso o ângulo θ não é um ângulo notável, tão pouco pode ser obtido por meio da soma ou subtração de ângulos notáveis. Sendo assim, abordaremos a possibilidade de utilizar planilhas eletrônicas. Escolhemos, para realizar o experimento, medir a altura de um prédio. Como nos casos anteriores, foram medidos o ângulo α com ajuda do astrolábio, a distância entre o observador e o prédio e a altura do observador, como podemos ver na Figura 2.12.

O ângulo marcado no transferidor foi \(\alpha = 50 ^\circ\), porém, devemos lembrar que este ângulo é o complementar do ângulo formado pela linha de visão do observador e o solo. Assim, o ângulo entre a linha de visão do observador e o solo é \(\theta = 40 ^\circ\). Temos também que a distância entre o observador e o objeto é $ d = 13,50 m $ e que a altura do observador é $ h = 1,80 m $.

Quando voltarmos para a sala de aula e utilizar os resultados das medições, observaremos que neste experimento, o ângulo encontrado não é um ângulo notável e não conseguimos obtê-lo a partir da soma ou diferença de ângulos notáveis. Portanto, exploraremos o uso de calculadora ou planilhas eletrônicas como, por exemplo, o Excel (2020), para o cálculo de valores das funções trigonométricas. O Excel disponibiliza as funções sen, cos e tan, que fornecem, respectivamente o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo dado em radianos. Neste momento cabe abordar a questão das diferentes unidades de medida que podem ser utilizadas para medir ângulos e a relação entre elas. Nas calculadoras científicas, por exemplo, devemos escolher qual unidade de medida (radianos, grau ou grado) vamos utilizar. No Excel, por exemplo, se digitarmos “\(\sen(30)\)”“, o aplicativo irá retornar o valor -0,98803. O leitor distraído pode achar que o software realizou um cálculo errado, pois sabe que seno de \(30^\circ\) é \(0,5\). O acontece é que o Excel entende o argumento”\(30\)“” como \(30\) radianos, que equivale aproximadamente \(1719^\circ\), que é um arco situado no quarto quadrante.

Assim, se optamos por utilizar o Excel e desejamos retornar o valor do seno (cosseno, tangente) de um ângulo dado em graus, devemos primeiro transformá-lo em radianos, utilizando a função radianos. Por exemplo, para calcular o seno de \(30^\circ\), podemos digitar no Excel \(\sen(\text{radianos}(30))\) e então o Excel retornará o valor \(0,5\).

Retornando ao nosso problema, podemos utilizar a função para encontrar \(\tg 40^\circ = 0,8391\).

Assim, utilizando a relação (2.1), obtemos

\[h = 0,8391 \cdot 13,50 = 11,33 \thinspace m\].

Para sabermos o valor da altura do prédio, basta somarmos \(h\) com a altura do observador, obtendo que a altura do prédio é \(13,12 \thinspace m\).

Destacamos que por ocasião deste experimento, o professor, em sala de aula, além de explorar a utilização de planilhas eletrônicas como ferramenta para o ensino, neste caso da trigonometria, pode explorar a relação entre as unidades de medida de ângulo, grau e radianos, o sinal das funções seno, cosseno e tangente em cada um dos quadrantes e o (de)crescimento dessas funções trigonométricas, de modo que, o aluno, conhecendo os valores dessas funções para os ângulos notáveis, possa avaliar a coerência da resposta retornada pelo software.

## Considerações finais

Acredita-se que as atividades apresentadas nesta proposta didática permitirão a utilização de aspectos da história da matemática para ensinar conceitos de trigonometria, corroborando com a opinião de diversos autores de que ao utilizar a história da matemática como ferramenta didática, estamos proporcionando mais do que um recurso informativo. Essa metodologia permite mostrar aos alunos uma matemática em construção, portanto fruto da invenção humana. Permitirá ainda uma abordagem diferente para o conteúdo de trigonometria, com as atividades práticas, possibilitando a percepção de que a trigonometria pode ser utilizada em atividades cotidianas. Por último, a proposta didática estimula e exemplifica a utilização de planilhas eletrônicas em sala de aula. Essa prática, além de colocar os alunos em contato com uma ferramenta muito presente na vida cotidiana, permite que os alunos desenvolvam os cálculos mais rapidamente, podendo dar maior atenção às ideias e conceitos presentes na atividade.

## Notas

1. Acadêmica do Curso de Matemática – Unioeste/Cascavel-PR. Bolsista do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid). E-mail: bruna.unser@unioeste.br ↑

2. Acadêmico do Curso de Matemática – Unioeste/Cascavel-PR. Bolsista do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid). E-mail: Eduardo.zeni1@unioeste.br ↑

3. Professora do Curso de Matemática – Unioeste/Cascavel. Colaboradora de área do subprojeto Interdisciplinar Matemática/Química, do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid), da Unioeste. E-mail: fabiana.papani@unioeste.br ↑

4. “Cientistas” e “Ciências” estão sendo usadas em um sentido amplo neste texto. Questionamentos como “Existia ciência na antiguidade?” não fazem parte do escopo deste trabalho. ↑

## Referências

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BOYER, C. História da Matemática. Tradução: Elza Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 2001.
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