# Jogos no/para o ensino de frações no 9º ano do ensino fundamental

Ana Carolina Marques Pauluk, Ashley Esquitine Fernandes Mello, Bruno Eduardo Duarte, Cassio Rafael Santos de Lima, Fabio Goulart de Campos, Gabrielle Thais Werle, Hevila Maria Simonetti, Letícia Santiago Silva e Patricia Alves de Oliveira1
Renata Camacho Bezerra e Richael Silva Caetano2
Janice Kunz Oenning3

O presente capítulo apresenta 3 (três) jogos elaborados pelos acadêmicos4 do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Oeste do Paraná (Unioeste) campus de Foz do Iguaçu e participantes (bolsistas e voluntários) do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (Pibid), em específico do subprojeto interdisciplinar Matemática (campi Cascavel e Foz do Iguaçu) e Química (campus Toledo). A elaboração desses jogos partiu de uma necessidade apresentada pela professora supervisora de Matemática, também participante do Pibid, ao compartilhar – em um dos encontros síncronos realizados – as dificuldades dos seus alunos do nono ano do Ensino Fundamental acerca da aprendizagem do objeto de conhecimento fração. Isso posto, o grupo Pibid decidiu que o jogo, por representar uma alternativa metodológica pertinente ao ensino de Matemática (de maneira remota ou presencial)5, seria uma boa opção enquanto um auxílio à professora supervisora de Matemática.

Contudo, antes de os licenciandos iniciarem a elaboração dos jogos, realizou-se um estudo teórico em dois documentos oficiais (Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e na Base Nacional Comum Curricular (BNCC)), orientado pelos professores universitários – os coordenadores voluntários de área do referido subprojeto – de modo a subsidiar tal elaboração.

Em um primeiro momento, e valendo-se dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) – Matemática (BRASIL, 1997), realizou-se o estudo e a discussão referente aos diferentes significados envolvendo o objeto de conhecimento fração, a saber: a) parte-todo – na qual a fração indica a relação que existe entre um número de partes e o total (p. ex., dividir uma pizza em partes iguais); b) quociente – na qual a fração indica a divisão de um número natural por outro \((a \div b =\frac{a}{b}; b \neq 0)\) (p. ex., dividir 2 chocolates para 5 pessoas; c) índice comparativo – na qual a fração indica uma comparação entre duas quantidades de mesma grandeza, sendo, portanto, interpretada como razão (p. ex., 2 de cada 5 habitantes de um município são imigrantes, escalas em mapas, o estudo de porcentagem); d) operador – na qual a fração desempenha um papel de transformação e que atua sobre uma situação modificando-a (p. ex., o número que deve ser multiplicado ao 3 para resultar em 2) e; e) medida – na qual a fração é utilizada na situação em que divide-se uma unidade em partes iguais e verifica-se quantas dessas partes cabem (p. ex., a quantidade de canecas de 2 litros necessárias para preencher um tambor com 11 litros de leite).

Em seguida, os acadêmicos realizaram uma pesquisa a respeito do objeto de conhecimento fração, apresentado na Base Nacional Comum Curricular (BNCC) (BRASIL, 2017). A partir dessa pesquisa, o grupo concluiu que o referido objeto de conhecimento é citado nos anos finais6 do Ensino Fundamental (6.º ao 9.º ano) e que diversas habilidades estão relacionadas a diferentes objetos de conhecimento que tratam explicitamente da fração. O quadro a seguir apresenta uma síntese dessa referida pesquisa e que foi objeto de discussão pelo grupo:

Quadro 1: Quadro 1: O objeto de conhecimento fração na BNCC

Ano | Objeto de conhecimento | Habilidade
--- | --- | ---
6º | Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações | (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.
(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.
7º | Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador | (EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.
(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas, que têm a mesma estrutura, podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.
(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.
(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.
(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.
Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações | (EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.
(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.
(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
8º | Dízimas periódicas: fração geratriz | (EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
9º | Potências com expoentes negativos e fracionários | (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

Fonte: Elaborado pelos autores a partir da BNCC (BRASIL, 2017)

O levantamento e o estudo dessas habilidades foram importantes, uma vez que os jogos elaborados – apresentados adiante – são constituídos por situações-problema, contemplando tais habilidades, de forma total ou parcial.

Após o estudo realizado a respeito do objeto de conhecimento fração, os professores coordenadores de área apresentaram alguns aspectos teóricos relacionados ao jogo. Para tanto, solicitou-se aos licenciandos a leitura do texto “Os diferentes papéis do jogo nas aulas de Matemática” (CAETANO, 2012). Em grupo, fez-se a discussão dos referidos aspectos teóricos citados no texto.

Conforme já destacado, o jogo representa uma alternativa (tendência) metodológica ao ensino de matemática (FLEMMING et al., 2005). Para Smole, Diniz e Milani (2007), o jogo, além do seu aspecto lúdico e que, provavelmente, representa uma atividade prazerosa ao aluno, pode vir a se tornar uma atividade significativa ao desencadear um ‘pensar sobre’ o desafio proposto no/pelo jogo. E esse ‘pensar sobre’ acaba exigindo do aluno o observar, analisar, levantar hipóteses, supor, refletir, tomar decisões, argumentar; ‘ações’ essas necessárias ao desenvolvimento do raciocínio lógico (BRENELI, 1986; MACEDO, 1994; OLIVEIRA, 2005).

Além disso, outro benefício do jogo se dá pela sua relação com o erro. Segundo Smole, Diniz e Milani (2007), o jogo acaba minimizando a consequência do erro e do fracasso, pois permite ao aluno desenvolver a autonomia, autoconfiança e iniciativa. Isso se deve uma vez que os erros cometidos durante as jogadas não são considerados como sendo definitivos e insuperáveis, mas como um fato natural e que estimulará o aluno a aperfeiçoar (rever – reavaliar) suas estratégias para a próxima jogada.

O jogo possibilita, também, a interação entre os alunos, no qual são necessários a cooperação e o respeito mútuo entre os pares, de modo a possibilitar a realização do jogo. E, dessa forma, o contexto do jogo acaba colaborando à constituição de valores éticos e morais balizado pelo respeito às regras e ao outro. Durante essa interação, torna-se possível a ocorrência da gradativa descentração (KAMII, 2005; KAMII; DECLARCK, 2001) na qual o estudante, ao coordenar o seu ponto de vista com o do outro, pode vir a desenvolver a reversibilidade operatória necessária à constituição das estruturas lógico-matemáticas (PIAGET; INHELDER, 1971).

Ainda sobre o jogo, Caetano (2012) apresenta que ele pode assumir diferentes papéis nas aulas de matemática: a) introduzir um objeto de conhecimento matemático; b) avaliar a aprendizagem de um objeto de conhecimento matemático; c) desenvolver um objeto de conhecimento matemático. Cada um desses papéis depende do público-alvo ao qual o jogo é proposto, uma vez que depende dos conhecimentos prévios já aprendidos por esse público. Por exemplo, um jogo utilizado no 6.º ano do Ensino Fundamental para desenvolver um determinado objeto de conhecimento matemático pode ser usado no 7.º ano do Ensino Fundamental para avaliar se o referido objeto de conhecimento já foi aprendido/compreendido pelo estudante.

Em relação ao professor que decide utilizar o jogo, sugere-se que ele: a) explore o jogo antes de sua utilização de modo a verificar se as regras estão adequadas; b) simule as jogadas de modo a analisar se o jogo é um desafio possível ao aluno, não sendo muito fácil ou muito difícil; c) utilize o jogo inserindo-o em seu planejamento visando estabelecer uma relação de continuidade e aprofundamento com o trabalho em desenvolvimento em sala de aula; d) elabore e proponha, durante as jogadas, questões que ‘levem’ o aluno a pensar sobre o jogo, as suas estratégias, etc.; e) realize, ao término do jogo, uma discussão coletiva no intuito de contribuir com gradativas sistematizações do objeto de conhecimento matemático abordado no jogo.

Enfim, o jogo – enquanto uma alternativa metodológica à prática pedagógica do professor que ensina matemática – apresenta potencialidades e possibilidades ao ensino e à aprendizagem da matemática desde que utilizado com intencionalidade (objetividade pedagógica).

Uma vez realizada a discussão a respeito dos aspectos teóricos referentes ao jogo, os licenciandos elaboraram 3 (três) jogos, contemplando diferentes objetos de conhecimento matemático envolvendo a fração. Uma vez elaborado em sua versão inicial, cada jogo foi discutido ao longo de três meses e (re)avaliado pelo grupo. Assim, algumas versões foram sendo elaboradas e avaliadas até a elaboração da versão final que será apresentada a seguir.

Cabe salientar que os professores universitários propuseram a elaboração dos jogos no formato digital (online) de modo a viabilizar a sua utilização em sala de aula. No entanto, caso o professor considere pertinente, é possível a reprodução de cada jogo no formato físico. Um dos motivos para a proposição do jogo no formato digital deveu-se à importância de contribuir com a Formação Inicial do professor no que tange à utilização das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação (TDIC). Além disso, outro motivo a essa proposição deveu-se à ocorrência do Pibid no momento da pandemia da COVID-19 e cujas atividades realizadas, nesse período, foram possíveis por meio dessas tecnologias.

A seguir apresentam-se os referidos jogos.

## Jogo card das frações (versão online)

O sublinhado no nome e pontos do grupo significa que é a vez dele de jogar (responder).

O javascript precisa estar ativado para jogar.

### Regras do jogo

1. A turma é dividida em dois grupos ou mais, de forma que, preferencialmente, os grupos tenham a mesma quantidade de integrantes.
2. Em cada grupo deve ser estabelecida uma ordem que os jogadores deverão seguir durante o andamento do jogo (a ordem estabelecida pode ficar a critério dos alunos ou do professor).
3. O professor deve mostrar o primeiro card e o primeiro aluno do Grupo 1, por exemplo, tem 2 minutos (o tempo pode ser alterado pelo professor) para resolver o que se pede no mesmo. Se o aluno responder corretamente, dentro do tempo, o grupo ganha um ponto; caso contrário, perde um ponto. Há a opção de pular o card, colocando-o no final da fila. Com essa opção não se perde ponto, no entanto, dá a chance de o adversário responder, caso apareça para o mesmo no futuro.
4. Cada aluno de cada grupo resolve o que se pede no card, um de cada vez, alternando-se entre os grupos e respeitando a ordem preestabelecida.
5. As respostas devem ser dadas na forma de frações irredutíveis.
6. Caso o aluno responda corretamente, o grupo leva um ponto. Ganha o jogo o grupo que acumular mais pontos.

### Situação exemplo:

A turma foi separada em dois grupos:

Quadro 2: Exemplo de divisão em dois grupos
Grupo 1 | Grupo 2
Aluno A | Aluno F
Aluno B | Aluno G
Aluno C | Aluno H
Aluno D | Aluno I
Aluno E | Aluno J

O primeiro a jogar será o Aluno A e este deverá resolver a operação presente no card apresentado pelo professor:

Figura 1: Exemplo de card presente no jogo

O aluno deverá resolver a operação dentro do tempo estipulado e dar a sua resposta na forma de fração irredutível. Feito isso, o professor clica no comando de próximo card para que o card gire e seja feita a correção automática e, assim, os alunos podem conferir se a resposta estava correta.

Em seguida, quem deverá responder o próximo card é o Aluno F do Grupo 2, depois o Aluno B do grupo 1 e assim, sucessivamente, até que todos os alunos respondam pelo menos um card.

### Os comandos do jogo:

A visualização do jogo é a seguinte:

Figura 2: Layout do Jogo

A seguir, apresentamos as funções de cada um desses comandos ao redor do card.

Quadro 3: As Funções do jogo
| O que está escrito no card é reproduzido sonoramente;
| Ativa ou desativa os sons produzidos pelo jogo;
| Pula o card apresentado, colocando-o no final da fila e dando a chance do seu adversário responder;
| Passa para o próximo card, efetuando a correção automática;

A seguir constam as situações-problema elaboradas e apresentadas nos cards.

Quadro 2: Quadro 4: situações problema do jogo *card* de frações

6º ano
Objeto de conhecimento: Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações.
Habilidade | Questão

(EF06MA07)

Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

Professora Helena comprou determinada quantidade de pizzas para 3 turmas. Sabendo que a turma A comeu \(\frac{6}{16}\) do total de pedaços, a turma B comeu \(\frac{2}{8}\) e a turma C comeu \(\frac{5}{12}\), qual fração representa a turma que comeu mais?

Resposta: \(\frac{5}{12}\).

Comprei uma barra de chocolate que possui vinte pedaços (quadradinhos) de mesmo tamanho. No primeiro dia comi \(\frac{1}{5}\) da barra. Já no segundo dia, comi o equivalente a \(\frac{4}{10}\) da barra inicial. Em qual dia eu comi mais chocolate? Resposta: Segundo dia.
(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. | A fração \(\frac{2}{5}\) pode ser representada por qual ponto na reta numérica? Resposta: Ponto B.
A fração \(\frac{17}{9}\) pode ser localizada entre quais pontos na reta numérica? Resposta: Entre os pontos B e C.
Indique quais pontos podem representar as frações \(\frac{7}{8}\), \(\frac{35}{7}\) e \(\frac{16}{6}\) na reta numérica, respectivamente. Resposta: B, E e D.

(EF06MA09)

Resolver e elaborar* problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora**.

*Obs.: Nesta questão o processo cognitivo “elaborar” não foi abordado.

**Obs.: O uso de calculadora fica a critério do(a) professor(a).

Yara comprou um pote de sorvete que tinha as seguintes dimensões: 22 cm de comprimento, 8 cm de largura e 20 cm de altura. Beatriz também queria comprar um pote de sorvete, porém, não tinha dinheiro suficiente e então resolveu comprar um que tinha \(\frac{25}{88}\) do volume do pote de Yara. Quantos mililitros têm o pote de Beatriz?

Resposta: 1000 ml ou 1 litro.

Ana quer comprar um celular no Paraguai e que custa 2.500,00 reais; ela já tem 2/5 do valor. Quantos reais faltam para ela conseguir comprar o celular? Resposta: \(\text{R}\$ \thinspace 1.500,00\).

(EF06MA10)

Resolver e elaborar* problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

*Obs.: Nesta questão o processo cognitivo “elaborar” não foi abordado.

Sabe-se que uma caixa d'água, inicialmente, estava com \(\frac{1}{4}\) da sua capacidade e foi completada com mais \(\frac{2}{5}\) da sua capacidade. Responda:

a) Qual é a fração que representa a quantidade de água na caixa d'água?

Resposta: \(\frac{13}{20}\).

b) Qual é a fração que representa a parte vazia da caixa d'água?

Resposta: \(\frac{7}{20}\).

Exercícios envolvendo adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

$$\frac{3}{8} + \frac{75}{3} = \frac{203}{8}$$

$$\frac{12}{15} + \frac{22}{5} = \frac{26}{5}$$

$$\frac{5}{9} + \frac{8}{5} = \frac{97}{45}$$

$$\frac{55}{9} + \frac{8}{9} = 7$$

$$\frac{2}{10} + \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$$

$$\frac{3}{4} + \frac{2}{8} = 1$$

$$\frac{29}{2} - \frac{1}{6} = \frac{43}{3}$$

$$\frac{60}{16} - \frac{82}{4} = - \frac{67}{4}$$

$$\frac{71}{6} - \frac{16}{3} = \frac{13}{2}$$

$$\frac{45}{4} - \frac{6}{8} = \frac{21}{2}$$

$$\frac{6}{7} - \frac{1}{3} = \frac{11}{21}$$

$$\frac{3}{8} - \frac{4}{16} = \frac{1}{8}$$

Obtenha o resultado, em forma de fração irredutível, da operação: \(\frac{3}{2} - \frac{1}{4}\). Resposta: \(\frac{5}{4}\).
Obtenha o resultado, em forma de fração irredutível, da operação: \(\frac{3}{2} + \frac{1}{4}\). Resposta: \(\frac{7}{4}\).
7º ano
Objeto de conhecimento: Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador
Habilidade | Questão

(EF07MA08)

Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

Caio, Raquel e Douglas estavam apostando uma corrida, na qual eles deveriam correr o máximo possível dentro de um determinado tempo estipulado por eles. Quando acabou o tempo, Caio, Raquel e Douglas verificaram a distância que cada um tinha percorrido que era, respectivamente, \(\frac{6}{24}\), \(\frac{9}{24}\) e \(\frac{4}{30}\) do percurso em linha reta. Qual deles ficou em último lugar?

Resposta: Douglas.

A mãe de Lucas e Beatriz comprou uma pizza de 8 pedaços e resolveu dividi-la entre os três da seguinte maneira: Beatriz ficaria com \(1/2\) da pizza, Lucas com \(\frac{1}{8}\) e sua mãe com \(\frac{6}{16}\). Qual deles ficou com mais pedaços? Resposta: Beatriz.
(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza. | Luana comprou 9 balões vermelhos e 15 amarelos. Qual é a fração que representa a razão entre o número de balões amarelos e vermelhos? Resposta: \(\frac{5}{3}\).
Elisa possui uma coleção de 90 carrinhos colecionáveis que são réplicas de diversas marcas, sendo 12 da Volkswagen, 27 da Chevrolet, 16 da Ford e 35 Fiat. Quais frações representam a razão entre os carrinhos da marca Fiat e Chevrolet, e da marca Ford e Volkswagen. Resposta: \(\frac{35}{27}\) e \(\frac{4}{3}\).
Ao dividir um bolo, em partes iguais, para oito pessoas, a razão estabelecida a cada pedaço do bolo será? Resposta: \(\frac{1}{8}\).
Considere que uma pizza tenha 4 sabores, possua ao total 12 pedaços do mesmo tamanho e que cada sabor possua a mesma quantidade de pedaços. Se uma pessoa comer um pedaço de cada sabor, qual será a razão do que ela comeu em relação ao total de pizza? Resposta: \(\frac{1}{3}\).
Objeto de conhecimento: Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações.
Habilidade | Questão

(EF07MA11)

Compreender* e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

*Obs.: Nesta questão, o processo cognitivo “compreender” não foi abordado.

$$\frac{2}{3} \times\left( \frac{16}{7} + \frac{\frac{5}{9}}{\frac{4}{8}} \right) = \frac{428}{189}$$

$$\left( \frac{9}{5} - \frac{3}{16} \right) \div \frac{5}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{43}{100}$$

$$\frac{1}{3} \times 3 + \frac{7}{38} \div \frac{5}{5} = \frac{111}{76}$$

$$1 \times \frac{4}{9} \div \frac{55}{6} = \frac{8}{165}$$

$$\frac{48}{2} - \frac{2}{35} \times \left( \frac{67}{3} \div \frac{77}{7} \right)= \frac{27586}{1155}$$

$$\frac{8}{9} \times \left( \frac{9}{8} \times \frac{1}{5} \right)= \frac{1}{5}$$

$$\frac{8}{33} \times \left( \frac{66}{4} + \frac{3}{4} \right)= \frac{46}{11}$$

$$\frac{2}{3} \times \left( \frac{14}{8} \div \frac{3}{2} \right)= \frac{7}{9}$$

$$\frac{3}{5} \times \left( \frac{12}{32} + \frac{5}{3} \right)= \frac{5}{8}$$

$$\frac{1}{5} \times \left( \frac{0}{3} + \frac{5}{4} \right)= \frac{1}{4}$$

8º ano
Objeto de conhecimento: Porcentagens.
Habilidade | Questão

(EF08MA04)

Resolver e elaborar* problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais**.

*Obs.: Nesta questão, o processo cognitivo “elaborar” não foi abordado.

**Obs.: O uso de tecnologias digitais fica a critério do(a) professor(a).

Um comerciante oferece \(7\%\) de desconto no pagamento à vista de um determinado produto. Sabe-se que esse produto custa \(R\$ 120,00\) para pagamento a prazo. No pagamento à vista, qual é o valor pago pelo produto?

Resposta: \(\text{R}\$ \thinspace 111,60\).

Sabrina entrou em uma loja que anunciava a seguinte promoção: “Não perca essa chance! Calças por apenas \(\text{R}\$ \thinspace 125,00\) e na compra de duas pague apenas \(\text{R}\$ \thinspace 95,00\) em cada!”. Qual porcentagem de desconto Sabrina ganhará no valor final caso compre duas calças? Resposta: \(24\%\).
Escreva três formas fracionárias que podem representar 88%. Resposta: \(\frac{88}{100}\), \(\frac{44}{50}\) e \(\frac{22}{25}\).
Objeto de conhecimento: Dízimas periódicas: fração geratriz.
Habilidade | Questão
(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica. | Qual é a fração geratriz da dízima periódica 0,4444...? Resposta: \(\frac{4}{9}\).
Qual é a fração geratriz da dízima periódica 0,8888...? Resposta: \(\frac{8}{9} = \frac{8}{3}\).
Qual é a fração geratriz da dízima periódica 2,6666...? Resposta: \(\frac{16}{6}\).

## Jogo da memória (versão online)

Ao errar, clique no pequeno “x” vermelho que aparece sobre a última carta virada para ir à próxima rodada ou, caso esteja jogando contra alguém, para passar a vez.

Jogado da Memória

### Jogo da Memória

1 Jogador 2 Jogadores
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Para efetuar a compra de uma tv no valor de R$ 1420,00, José recebeu um desconto de R$ 426,00 no pagamento à vista. Qual a fração que representa a porcentagem de desconto?
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Para efetuar a compra de uma tv no valor de R$ 1420,00, José recebeu um desconto de R$ 426,00 no pagamento à vista. Qual a fração que representa a porcentagem de desconto?
Para efetuar a compra de uma tv no valor de R$ 1420,00, José recebeu um desconto de R$ 426,00 no pagamento à vista. Qual a fração que representa a porcentagem de desconto?
Para efetuar a compra de uma tv no valor de R$ 1420,00, José recebeu um desconto de R$ 426,00 no pagamento à vista. Qual a fração que representa a porcentagem de desconto?
Para efetuar a compra de uma tv no valor de R$ 1420,00, José recebeu um desconto de R$ 426,00 no pagamento à vista. Qual a fração que representa a porcentagem de desconto?

### Regras do jogo

1. O jogo consiste na localização de pares correspondentes, sendo uma carta com uma questão/problema e seu par com a resposta.
2. Caso seja na forma presencial, não é necessário cronometrar, pois quem obtiver o maior número de pares vence.
3. Pode ser jogado em grupos, duplas e até sozinho (online).
4. Esta atividade pode ser realizada com o intuito de verificar/avaliar o conhecimento dos alunos do 9º ano a respeito do conteúdo frações, aliado a algumas habilidades e unidades temáticas previstas na BNCC, já estudadas nos anos anteriores do Ensino Fundamental – Anos Finais. Também promove a agilidade de raciocínio matemático, promove o trabalho em equipe e estimula a memorização.

### Situação exemplo:

Os problemas propostos na atividade/jogo podem ser resolvidos numa folha de caderno e entregues ao professor, para que ele possa avaliar os caminhos que os alunos traçaram para chegar à solução e direcionar sua abordagem na hora da explicação do conteúdo.

Quadro 3: Quadro 5: situações problema do jogo da memória

6º ano
Objeto de conhecimento: Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações.
Habilidade | Questão

(EF06MA07)

Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes*.

*Obs.: A questão não contempla a parte de “identificando frações equivalentes” contida na habilidade.

Laura comeu 1/6 de um bolo e João 1/3 desse mesmo bolo. Qual é a fração que representa a maior quantidade de bolo que foi comido?

Resposta: 1/3 > 1/6, João comeu mais bolo.

(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra. | Represente o número decimal 0,2 em forma de fração. Em seguida, represente essa fração na forma irredutível. Resposta: \(\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\).
Dentre os números \(\frac{7}{5}\), \(1,25\) e \(\frac{9}{8}\), qual representa o maior e menor valor, respectivamente? Resposta: \(\frac{7}{5}\) e \(\frac{9}{8}\).
Objeto de conhecimento: Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais.
Habilidade | Questão

(EF06MA09)

Resolver e elaborar* resolver problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.

*Obs.: A questão não contempla a parte de “elaborar problemas” contida na habilidade

No aniversário de Maria, foram encomendados 900 salgadinhos, sendo \(\frac{2}{5}\) de coxinha. Quantas coxinhas foram encomendadas para o aniversário?

Resposta: 360.

(EF06MA10)

Resolver e elaborar* problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

*Obs.: A questão não contempla a parte de “elaboração de problemas” contida na habilidade.

Para ir à escola, João utiliza sua bicicleta. Quando já havia percorrido \(\frac{1}{5}\) da distância, sua bicicleta estragou. A partir daí ele foi caminhando. Qual a distância restante que ele deverá caminhar até a escola?

Resposta: João caminhará \(\frac{4}{5}\) do percurso restante até a escola.

7º ano
Objeto de conhecimento: Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações.
Habilidade | Questão
(EF07MA12) Resolver e elaborar* problemas que envolvam as operações com números racionais. *Obs.: A questão não contempla a parte de “elaboração de problemas” contida na habilidade. | Maria e José estão comendo uma pizza de 18 fatias. Sabendo que Maria comeu 1/3 e José comeu 1/6, quantas fatias eles comeram no total? Resposta: 9 fatias.
Objeto de conhecimento: Reconhecer a operação necessária para resolver um problema, calcular o resultado de operações com números racionais, e identificar e calcular frações equivalentes.
Habilidade | Questão

(EF07MA12)

Resolver e elaborar* problemas que envolvam as operações com números racionais.

*Obs.: A questão não contempla a parte de “elaborar problemas” contida na habilidade.

Num centro de convivência com 260 alunos, foram ofertadas três atividades extraclasse: música, dança e artes marciais. Sabe-se que \(\frac{3}{13}\) escolheu música e dança, \(\frac{2}{5}\) escolheu somente música, \(\frac{1}{4}\) escolheu artes marciais e o restante escolheu apenas dança. Quantos alunos escolheram apenas dança?

Resposta: 31 alunos escolheram apenas dança.

Em uma corrida participaram 26 ciclistas. Desses ciclistas, 4/13 abandonaram a corrida por problemas na bicicleta. Quantos ciclistas terminaram a corrida? Resposta: 18 ciclistas.
Uma piscina teve 3/4 da sua capacidade preenchida. No entanto, ainda faltam 2.700 litros para que ela seja enchida por completo. Qual é a capacidade total dessa piscina? Resposta: 10.800 litros.

(EF07MA02)

Resolver e elaborar* problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

*Obs.: A questão não contempla a parte de “elaborar problemas” contida na habilidade

Nicolau tinha previsto, no orçamento, um gasto de R$ 2.100,00 para pintar sua casa. Mas devido a imprevistos na obra, o valor aumentou 30%. Calcule quantos reais ele gastou na pintura?

Resposta: R$ 2.730,00.

8º ano
Objeto de conhecimento: Reconhecer uma expressão algébrica. Reconhecer e efetuar operação usando as relações inversas de exponenciação e radiciação. Propriedades exponenciais com expoente fracionário.
Habilidade | Questão

(EF08MA02)

Resolver e elaborar* problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

*Obs.: A questão não contempla a parte de “elaborar problemas” contida na habilidade.

João corre todo fim de tarde. Sabe-se que ontem, a distância percorrida foi dada pela fórmula \(P(n) = 4^{\frac{n}{2}}\), com \(n = 3\). Quantos km ele correu ontem?

Resposta: 8 km.

Objeto de conhecimento: Efetuar operações com porcentagens, aliado a situações do cotidiano, como compra e venda de um produto. Compreender que a porcentagem, também pode ser representada como uma fração de denominador 100. Utilizar a regra de três para obter o resultado.
Habilidade | Questão

(EF08MA04)

Resolver e elaborar* problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

*Obs.: A questão não contempla a parte de “elaboração de problemas” contido na habilidade. É indicado o uso da calculadora

Para efetuar a compra de uma tv no valor de R$ 1.420,00, José recebeu um desconto de R$ 426,00 no pagamento à vista. Qual é a fração que representa a porcentagem de desconto?

Resposta: 30/100.

Objeto de conhecimento: Utilizar métodos de obtenção de uma fração geratriz de uma dízima periódica. Fração como parcela de um todo.
Habilidade | Questão
(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica. | Manoela comeu a quantia equivalente a 0,4444 ... de fatias de uma torta. Mostre em forma de fração quantas fatias ela comeu. Resposta: 4/9.
9º ano
Objeto de conhecimento: Potências com expoentes negativos e fracionários. Reconhecer e efetuar operação com expoente fracionário e sua relação inversa.
Habilidade | Questão
(EF09MA03) Efetuar cálculos com Números reais, inclusive potências com expoentes fracionários. | Considere os números a seguir: \({\frac{1}{4}}^{\frac{-1}{2}}\) e \((4)^{\frac{-3}{2}}\). Indique qual representa o maior valor. Resposta: \({\frac{1}{4}}^{\frac{-1}{2}} = (4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\).
Objeto de conhecimento: Realizar operação de probabilidade. Reconhecer que a probabilidade se dá na forma de fração, onde o denominador é o número de eventos e o numerador o número de ocorrências possíveis.
Habilidade | Questão
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes* e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos. *Obs.: A questão não contempla “eventos probabilísticos dependentes” contido na habilidade. | Lançando um dado comum (valores de 1 a 6), não viciado, qual as chances de se obter um valor ímpar? Resposta: 3/6.

## Jogo percurso de frações (versão online)

### Percurso das frações

Número de Jogadores:
Jogador 1
Escolha um nome (opcional)
Jogador 2
Escolha um nome (opcional)
Jogador 3
Escolha um nome (opcional)
Jogador 4
Escolha um nome (opcional)
Jogador 5
Escolha um nome (opcional)
Jogador 6
Escolha um nome (opcional)
Jogador 7
Escolha um nome (opcional)
Jogador 8
Escolha um nome (opcional)
⚑
1
2
3
4
8
7
6
5
9
10
11
12
13
14
15
18
17
16
21
20
19
22
23
24
25
26
27
28
32
31
30
29
33

### Definindo a ordem

1
8
5
4
6_
3
2
7

●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

### Material

- 1 tabuleiro contendo um percurso com 33 quadrados coloridos. O percurso é composto por questões (de nível fácil, médio e difícil) que envolvam conteúdos de frações.
- 1 dado simples (6 faces) e 1 card onde constam as questões variadas que envolvem cálculos com frações.
- 8 marcadores (2 peões, 2 bispos, 2 cavalos e 2 torres nas versões branco e preto) para diferenciar os jogadores em cada rodada.

### Regras do jogo

1. O jogo pode ser realizado com um mínimo de 2 e máximo de 8 jogadores. Cada jogador deve escolher um marcador para representá-lo. Na versão online, os marcadores são atribuídos automaticamente.
2. Para iniciar o jogo, todos os participantes da rodada devem lançar o dado, sendo o primeiro jogador a iniciar o que tirar a maior face. Caso haja empate (faces de mesmo valor), os participantes empatados devem lançar o dado novamente até que saia um vencedor entre eles. Na versão online, é lançado um dado de 8 faces sem repetição, então não há empate.
3. Iniciada a partida, cada jogador deve lançar o dado e responder à questão contida no card sorteado. O marcador só vai avançar a quantidade obtida no dado se acertar a questão, caso a questão seja respondida incorretamente, o marcador permanece onde está.
4. Vence o jogador que primeiro ultrapassar o quadrado de número 33. O participante que, após acertar a questão do card, parar exatamente no quadrado de número 33, deverá realizar mais jogadas até ultrapassá-lo. (Em caso de REPETIR a pergunta e que não esteja jogando a versão online, o aplicador pode sortear um novo card ou deixar que o jogador responda à pergunta repetida).
5. CASA GANHA-PERDE: Nessas casas, o jogador pode avançar mais um pouco ou retroceder, dependendo do valor contido nela.

ATENÇÃO: Assim que o jogador acertar o card, ele deve avançar a quantidade de casas correspondente à face obtida no dado.

### Situação exemplo:

O jogador deve obedecer ao tempo limite estimado pelo aplicador. Em caso de não cumprimento, o jogador perde a rodada.

O jogador só deve avançar nas casas se, e somente se, acertar a resposta do card sorteado. Caso erre a questão, seu marcador deve permanecer onde está parado.

É proibido o uso de tecnologias digitais (calculadora, celular) para facilitar a resolução dos problemas.

O aplicador é responsável pelo manuseio do jogo, levando ao êxito durante a aplicação.

A seguir apresentamos as funções de cada um dos comandos.

Quadro 6: Comandos do Jogo Percurso de Frações
| Bandeira que sinaliza o início do jogo;
| Os marcadores para diferenciar os jogadores em cada rodada;
| Dado de 8 faces sem repetição para definir a ordem dos jogadores;
| Dado a ser lançado por cada jogador a cada rodada;
| Ativar ou desativar os sons produzidos pelo jogo;
| Casa Ganha-Perde. Neste exemplo, indicando para avançar mais duas casas;
| Bandeira que sinaliza a chegada, fim do jogo.

Quadro 4: Quadro 7: situações problema do jogo percurso de frações

6º ano
Objeto de conhecimento: Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações.
Habilidade | Questão

(EF06MA10)

Resolver e elaborar* problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

*Obs.: O processo cognitivo elaborar não é contemplado nas questões propostas.

Isabel fez a festa de aniversário de seu filho. Do total dos doces comprados, 5/20) era de brigadeiro com granulado e 6/20 de brigadeiro com leite ninho. Qual a fração da quantidade de brigadeiros que Isabel comprou para a festa?

Resposta: 11/20.

Estefani e Gisele trabalham de frentista em um posto de Combustível. Para chegar até o trabalho, Estefani percorre 2/9 de quilômetro e Gisele 2/3 de quilômetro. Que fração representa a quantidade de quilômetros que Estefani e Gisele percorrem juntas? Resposta: 8/9.
Carla e Pietra trabalham em uma confeitaria. Em um determinado dia, Carla produziu 8/15 da produção total de salgadinhos da confeitaria e Pietra 3/15. Qual a fração que representa a quantidade de salgadinhos que Carla produziu a mais que Pietra? Resposta: 5/15 = 1/3.
Gustavo tem uma tira retangular que está dividida em 11 partes iguais. Nessa tira, ele pintou 5 partes iguais de verde, só que ele eliminou 3 partes dessa parte verde. Com isso, a parte verde que restou representa que fração da tira inicial? Resposta: 2/11.

(EF06MA07)

Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

Em uma eleição, há 2 candidatos concorrendo para ocuparem a vaga de vereador. O Candidato A está com 8/12 da intenção dos votos. O candidato B está com 2/6 da intenção dos votos. Qual dos dois candidatos possui mais chances de ser eleito? Por quê?

Resposta: O candidato A possui mais chances de ser eleito, pois 8/12 = 2/3. O candidato B possui 2/6 = 1/3. Logo 2/3 > 1/3.

A família de Francisco o saiu de Cascavel em direção a Curitiba. No primeiro dia, percorreu 1/2 da distância que separa as duas cidades e no segundo dia foi percorrido 4/16 do percurso total. Qual dia eles percorreram o maior trajeto do percurso? Resposta: O segundo dia foi o dia que percorreram a maior distância, pois 1/2 > 1/4.
Em duas turmas com a mesma quantia de alunos do 9º ano, a professora de matemática quis comparar o desenvolvimento de seus alunos ao resolverem a mesma prova. O 9º D teve 1/3 de suas provas gabaritadas, enquanto o 9ºF teve 6/9 de suas provas gabaritadas. Qual turma teve o maior número de provas gabaritadas? Resposta: 6/9 = 2/3. O 9º F teve o maior número de provas gabaritadas se comparado ao 9ºD.
Rodolfo está vendendo duas casas de mesmo valor e recebeu duas propostas. Vanessa se interessou pela casa 1 e ofereceu 2/5 do valor para pagamento à vista. Augusto, que se interessou pela casa 2, fez uma proposta de 1/3 em cima do valor para pagamento à vista. Qual proposta é mais lucrativa para Rodolfo? Resposta: Como 2/5 > 1/3, temos que a proposta de Vanessa é a mais lucrativa para Rodolfo.
7º ano
Objeto de conhecimento: Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.
Habilidade | Questão

(EF07MA08)

Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

Dois grupos de ciclistas saíram de Foz do Iguaçu com destino a Medianeira. Sabe-se que o primeiro grupo já percorreu 1/3 do percurso e o segundo grupo percorreu 1/4 do percurso. Qual grupo percorreu a maior parte do percurso?

Resposta: 1/3 = 0.333 … e 1/4 = 0,25. Como 0,333... > 0,25, concluímos que o grupo 1 já percorreu a maior parte do percurso.

Ellen trabalha em uma empresa que possui uma regra para as reuniões: é preciso ter pelo menos 2/5 dos funcionários da empresa presentes para que possam ser votadas algumas mudanças. Se no dia da reunião compareceram 4/7 do total funcionários, uma votação poderá ter ocorrido? Resposta: 2/5 = 0,4 e 4/7 = 0,571 ... Como 4/7 > 2/5, concluímos que poderá haver uma votação.

Renato é professor de Educação Física de uma escola, onde o esporte preferido de seus alunos do 8º ano é o futebol. Então, o professor fez a seguinte proposta: ele os deixaria jogar futebol na segunda parte da aula se pelo menos 2/3 da turma estiver a favor. Sabendo que o 8º ano possui 30 alunos e 15 queriam jogar futebol, qual a fração que representa os alunos que concordaram em jogar futebol? Eles irão jogar futebol nesta aula?

Resposta: 15/30 = 1/2 representa a fração de alunos que estavam a favor de jogar futebol. Mas 1/2 < 2/3, logo, os alunos não irão jogar futebol.

Gilberto leva 12/15 de 1 hora para ir da sua casa até a universidade de ônibus e seu colega de sala, Lucas, leva 6/12 de 1 hora indo de carro. Quem leva menos tempo para chegar à universidade? Resposta: Lucas.
(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza. | Sara comprou 5 pacotes de chicletes de morango e 7 de chicletes de uva. Qual é a razão do número de pacotes de chicletes de uva para o de morango? Resposta: 7/5.
Beatriz foi ao mercado, comprou 6 refrigerantes e 4 sucos. Qual a razão de refrigerantes e sucos equivale que Beatriz comprou? Resposta: 6/4 = 3/2.
Pedro levou 100 salgadinhos para festa de sua sala e a professora dividiu em quantidades iguais para seus 20 alunos. Qual a razão estabelecida entre salgadinhos e alunos? Resposta: 100/20 = 5/1 = 5.
Objeto de conhecimento: Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações.
Habilidade | Questão
(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias. | Roberta vende na feira a dúzia de Kiwi. Um de seus clientes pede apenas 2/6 de uma dúzia. Quantos kiwis Roberta terá que separar? Resposta: 2/6 de 12 unidades são 4, assim, Roberta vendeu 4 Kiwi a seu cliente.
Um lavador de carro gasta 4/3 de um litro de água para lavar cada carro. Quantos carros ele consegue lavar com 40 litros? Resposta: O lavador consegue lavar 30 carros com 40 litros de água.
8º ano
Objeto de conhecimento: Volume de bloco retangular. Medidas de capacidade.
Habilidade | Questão

(EF08MA21)

Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

Pedro construiu uma piscina que tem a forma de um paralelepípedo retangular com as seguintes dimensões: 9,80 m de comprimento, 4,25 m de largura e 1,40 m de profundidade. A capacidade dessa piscina em litros é?

Resposta: A capacidade dessa piscina em litros é de 58.310 L.

Qual é o volume, em mililitros (ml), de uma caixa de bis que tem a forma de um paralelepípedo retangular com largura de 3 cm, comprimento de 6 cm e altura de 19 cm? Resposta: O volume dessa caixa de bis corresponde a 342 ml.
Objeto de conhecimento: Dízimas periódicas: fração geratriz.
Habilidade | Questão
(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica. | Qual é a fração geratriz da dízima periódica 0,4555...? Resposta: 41/90 é a fração geratriz da dízima periódica 0,4555...

## Notas

1. Acadêmicos do Curso de Licenciatura em Matemática, da Universidade Estadual do Oeste do Paraná (Unioeste), campus de Foz do Iguaçu. E-mail: anacpauluk@hotmail.com; ashleyesquitine@gmail.com; brunohduart@outlook.com; cassio.lima@unioeste.br; fabgoucam@gmail.com; gabriellemath.werle@outlook.com; hevilasimonetti@gmail.com; leticiajoner08@gmail.com; nininhaah.77@hotmail.com ↑

2. Professores Adjuntos do Colegiado do Curso de Matemática lotado no Centro de Engenharias e Ciências Exatas (CECE), da Universidade Estadual do Oeste do Paraná (Unioeste), campus de Foz do Iguaçu. E-mail: renata.bezerra@unioeste.br; richael.caetano@unioeste.br ↑

3. Professora Supervisora do Pibid e professora de Matemática do Colégio Estadual Cívico Militar Tancredo de Almeida Neves. E-mail: janice.oenning@hotmail.com ↑

4. Com a finalidade de manter o acesso aos jogos online, a Editora Moan refez os jogos, mantendo a maior parte das diretrizes propostas pelos autores. Assim, a editora consegue manter o controle sobre os jogos e garantir o acesso. ↑

5. A preocupação em pensar atividades no contexto presencial e remoto se deu em virtude de que o projeto Pibid ocorreu no período da pandemia da COVID-19 e isso fez com que professores e futuros professores de matemática passassem a incluir a possiblidade do remoto ao pensar atividades metodológicas. ↑

6. Cabe salientar que o objeto de conhecimento fração é também apresentado, na BNCC, nos anos iniciais do Ensino Fundamental; contudo, esse nível de ensino não foi contemplado no presente trabalho por não constituir o público-alvo dos alunos da professora supervisora de matemática. ↑

## Referências

BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, SEB, 2017. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 12 nov. 2018.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: MEC, SEF, 1997. 142 p.
BRENELI, R. P. Observáveis e coordenações em um jogo de regras:influências do nível operatório e da interação social. 1986. 236 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade Estadual de Campinas, Campinas 1986.
CAETANO, R. S. Os diferentes papéis do jogo nas aulas de Matemática. Em: XI ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2012, São José do Rio Preto. Anais [...]. São José do Rio Preto: UNESP, 2012. p. 1–16.
FLEMMING, D. M.; LUZ, E. F.; MELLO, A. C. C. de. Tendências em Educação Matemática. 2. ed. Palhoça: UnisulVirtual, 2005. 87 p.
KAMII, C. A criança e o número: implicações educacionais da teoria de Piaget para a atuação junto a escolares de 4 a 6 anos. 33. ed. Campinas: Papirus, 2005. 124 p.
KAMII, C.; DECLARCK, G. Reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. 16. ed. São Paulo: Papirus, 2001. 308 p.
MACEDO, L. Ensaios construtivistas. 3. ed. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1994. 170 p.
OLIVEIRA, F. O. Um estudo de interdependências cognitivas e sócias em escolares de diferentes idades por meio do jogo xadrez simplificado. 2005. 331 f. Tese (Doutorado em Educação) - Universidade Estadual de Campinas, Campinas 2005.
PIAGET, J.; INHELDER, B. Gênese das estruturas lógicas elementares. Tradução: de Álvaro Cabral. Rio de Janeiro: Zahar, 1971. 356 p.
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; MILANI, E. Jogos de matemática de 6ᵒ a 9ᵒ ano. Em: CADERNOS DO MATHEMA - ENSINO FUNDAMENTAL. Porto Alegre: Artmed, 2007. 104 p.